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第五节 力的分解
力的分解方法
1.定义:求一个已知力的分力叫作力的分解。
2.分解原则
(1)力的分解是力的合成的逆运算,同样遵循平行四边形定则。
(2)如图所示,把一个已知力F作为平行四边形的对角线,与力F共点的平行四边形
的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2。
3.分解依据
(1)一个力分解为两个力,如果没有限制,可以分解为无数对大小、方向不同的分
力。
(2)实际问题中,通常依据力的实际作用效果分解。
力的分解的应用
力的分解在现实生活中有广泛的应用,利用了合力与分力的关系:当合力一定时,
分力的大小和方向会随着分力间夹角的改变而改变,两个分力的夹角越大,分力
就越大。
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.一个力F分解为两个力F1、F2,则F1、F2共同作用的效果与F相同。 ( )
2.力F的大小为100 N,它的一个分力F1的大小为60 N,则另一个分力可能小于
40 N。 ( )
√
3.在刀背上加上同样的压力时,顶角越大,分开其他物体的力越大。 ( )
把刀刃部分抽象后,可简化成一个等腰三角劈,设顶角为2θ,背宽为d,侧面长
为l,如图乙所示。
当在劈背施加压力F后,产生垂直侧面的两个分力F1、F2,则 F1=F2= ,可见,刀
背上加上一定的压力F时,顶角越小,F1和F2越大,即分开其他物体的力越大。
力的分解的讨论
力分解成互成角度的两个分力,有解或无解,简单地说就是代表合力的对角线与
给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)。若可以构成平
行四边形(或三角形),说明合力可以分解成给定的分力,即有解;若不能,则无解。
常见的有以下几种情况:
已知条件 分解示意图 解的情况
已知两个分力的方向
已知一个分力的大小
和方向
已知一个分力(F2)的大
小和另一个分力(F1)的
方向 ①F2< F sin θ
②F2= F sin θ
③F sin θ< F2④F2≥F
按力的作用效果分解力
传说我国明朝时,苏州的虎丘寺塔因年久失修,塔身倾斜,有倒塌的危险。如何修
复此塔 有人建议用粗绳子把塔拉正,可一拉反而可能会倒;有人建议用大木柱撑
住,但很不雅观。一天,一个和尚路过此地,观察斜塔后,自告奋勇说:“不需人力和
财力,我一个人就可以把塔扶正。”在场的人无不惊疑而取笑他,可和尚不管别
人怎么议论,每天提着一个大包走进寺院,包里装了一些一头厚一头薄的木楔(斜
面体),他把这些木楔一个个地从塔身倾斜的一侧的砖缝里敲进去。不到一个月,
塔身果然扶正了。
问题1
塔身是怎样被扶正的
提示 木楔对塔的弹力将塔身慢慢扶正。
问题2
木楔为什么能产生这么大的力量呢
提示 假设所用的木楔截面为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一推
力F,方向如图所示。
根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN,如图所示。
则 =sin
即FN=
所以当F一定时,θ越小,FN越大。
问题3
根据上述分析的木楔的作用,请你总结按作用效果分解力的思路。
提示 (1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
(2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形。
(3)最后由三角形知识求出两分力的大小。
对一个实际力进行分解,关键是根据力的作用效果确定分力的方向,然后画出力
的平行四边形,这样问题就转化为了一个根据边角关系进行求解的几何问题。常
见典型力的分解分为面模型、绳模型和杆模型。面模型中,两个分力一定垂直于
接触面或沿接触面;绳模型中,力对绳的作用效果一定沿着绳,并指向绳伸长的方
向;杆模型中,力对轻杆的作用效果不一定沿杆方向,需要根据力的平衡及已知条
件求解。常见典型力的分解如下:
实例 产生效果分析
水平地面上物体受斜向上的拉力F,拉力F一方面
使物体沿水平地面前进,另一方面向上提物体,因
此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的
力F2。F1=F cos α,F2=F sin α
质量为m的物体静止在斜面上,其重力产生两个
效果:一是使物体具有沿斜面下滑的趋势,二是使
物体压紧斜面。因此重力可分解为沿斜面向下
的分力F1和垂直于斜面向下的分力F2。F1=mg
sin α,F2=mg cos α
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜
面上时,其重力产生两个效果:一是使球压紧挡
板,二是使球压紧斜面。因此重力可以分解为垂
直于挡板的分力F1和垂直于斜面的分力F2。F1=
mg tan α,F2=
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,
其重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁,二
是使球拉紧悬线。因此重力可以分解为垂直于
墙壁的分力F1和沿着绳的分力F2。F1=mg tan α,F2
=
A、B两点位于同一平面上,质量为m的物体被
AO、BO两线拉住,其重力产生两个效果:一是使
物体拉紧AO线,二是使物体拉紧BO线。因此重
力可以分解为沿AO线的分力F1和沿BO线的分力
F2。F1=F2=
质量为m的物体被支架悬挂而静止,其对支架的
拉力产生两个效果:一是拉伸AB,二是压缩BC。
因此拉力可以分解为沿AB的分力F1和沿BC的分
力F2。F1=mg tan α,F2=
力的正交分解法
1.定义:把已知力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。
2.正交分解法的应用
(1)建立直角坐标系:以共点力的作用点为坐标原点,选择直角坐标系的x轴和y轴,
应使尽量多的力在坐标轴上。
(2)正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力
的大小,如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和,即Fx=F1x+F2x+…,Fy=F1y+F2y+…。
(4)求共点力的合力:合力大小F= ,设合力的方向与x轴的夹角为α,则tan α
= 。
典例 在同一平面内共点的四个力【1】F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40
N、30 N和15 N,方向如图所示【2】,求它们的合力。
信息提取 【1】求三个以上力的合力可以考虑正交分解法。
【2】从图中可以看出F1与F4互相垂直,可以以F1与F4所在的方向建立坐标轴。
思路点拨 在物体受到多个力的作用时,运用正交分解法解题。首先分析物体的受力,然后建立坐标系,建立坐标系时应使尽量多的力落在坐标轴上,不在坐标轴上的力分别沿x轴方向和y轴方向分解,然后根据同一直线上力的合成规律【3】分别求出x轴和y轴方向上的合力,再根据平行四边形定则
【4】确定所求合力。
解析 如图甲所示建立直角坐标系,把各个力分解到两个坐标轴上(由【1】、
【2】得到),求出x轴和y轴上的合力Fx和
x轴方向的合力为
Fx=F1+F2 cos 37°-F3 cos 37°=27 N
y轴方向的合力为Fy=F2 sin 37°+F3 sin 37°-F4=27 N(由【3】得到)
甲
乙
将Fx和Fy进行合成,如图乙所示,合力F= ≈38.2 N
tan φ= =1(由【4】得到)
即合力的大小约为38.2 N,方向与F1夹角为45°斜向上。
答案 38.2 N,方向与F1夹角为45°斜向上第五节 力的分解
基础过关练
题组一 力的分解的理解与讨论
1.(多选)一个力分解为两个分力,下列情况中,不能使力的分解结果一定唯一的有( )
A.已知两个分力的方向
B.已知两个分力的大小
C.已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D.已知一个分力的大小和方向
2.(多选)把一个力分解为两个力时,下列说法中正确的是( )
A.一个分力变大时,另一个分力一定会变小
B.两个分力可同时变大、同时变小
C.不论如何分解,两个分力不能同时大于这个力的2倍
D.不论如何分解,两个分力不能同时小于这个力的一半
3.已知两个共点力的合力F的大小为50 N,分力F1的方向与合力F的方向成30°角,分力F2的大小为30 N,则( )
A.F1的大小是唯一的
B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向
D.F2可取任意方向
题组二 力的效果分解法
4.(多选)如图所示,将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力,下列结论正确的是( )
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力,F2是物体对斜面的压力
B.物体受mg、FN、F1、F2四个力作用
C.物体只受重力mg和弹力FN的作用
D.FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg、FN两个力的作用效果相同
5.如图所示,被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球,若按力的作用效果来分解,小球受到的重力G的两个分力方向分别是图中的( )
A.1和4 B.2和4 C.3和4 D.3和2
6.(多选)如图所示,下列拉力T或重力G按力的作用效果分解正确的是( )
7.(多选)如图所示,细绳MO和NO所能承受的最大拉力相同,长度MO>NO,则在不断增加重物A重力的过程中(绳OC不会断),下列说法正确的是 ( )
A.NO绳先被拉断
B.MO绳先被拉断
C.细绳MO和NO同时被拉断
D.绳子断前重物A所受合力为零
8.如图所示,在倾角为α的斜面上放置一块挡板,有一个质量为m的光滑球体静止在挡板和斜面之间。重力加速度为g。
(1)当挡板与斜面垂直时,试把小球重力按照其作用效果分解,画力的分解图,并分别求出球体对挡板和斜面的压力的大小;
(2)当挡板竖直时,试把小球重力按照其作用效果分解,画力的分解图,并分别求出球体对挡板和斜面的压力的大小。
题组三 力的正交分解法
9.如图所示,放在水平面上的物体受到一个斜向上的拉力F作用,物体保持静止状态。将F分解为水平向右的力F1和竖直向上的力F2,下列说法正确的是( )
A.F1是物体对水平面的摩擦力
B.F1与水平面给物体的静摩擦力大小相等,方向相反
C.F2是水平面对物体的支持力
D.F2与物体的重力大小相等、方向相反
10.当直升机倾斜飞行时,螺旋桨产生的升力F垂直于机身,升力F与竖直方向的夹角为θ。现沿水平和竖直两个方向分解力F,如图所示。下列说法中正确的是( )
A.水平分力大小为Fx=F cos θ
B.水平分力大小为Fx=F tan θ
C.竖直分力大小为Fy=F cos θ
D.竖直分力大小为Fy=F tan θ
11.如图所示,水平地面上有一重60 N的物体,在与水平方向成30°角斜向右上方、大小为20 N的拉力F作用下匀速运动,求地面对物体的支持力和摩擦力大小。
12.如图所示,用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态,AO绳水平,OB绳与竖直方向的夹角为θ。求AO绳的拉力FA的大小、OB绳的拉力FB的大小。
能力提升练
题组一 力的分解的讨论
1.(多选)如图所示,将力F分解为F1和F2两个分力,已知F1的大小和F2与F之间的夹角α,且α为锐角,则( )
A.当F1>F sin α时,一定有两组解
B.当F1=F sin α时,有唯一解
C.当F1D.当F sin α题组二 力的效果分解法
2.(多选)如图所示是轿车常用的千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车轮刚离地时,汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°,则下列判断正确的是( )
A.此时千斤顶两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N
C.若继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶每臂受到的压力将增大
D.若继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶每臂受到的压力将减小
3.明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“……姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可,一游僧见之曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间缓慢敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,θ很小,忽略摩擦力的影响。现在木楔背上加一力F,方向如图所示,木楔两侧产生的推力大小为( )
A. B.
C. D.
4.如图是压榨机示意图,B为固定铰链,A、C为活动铰链,B、C间的距离为l1,A、B间的水平距离为l2,AB=AC,且B、C两点在同一竖直线上,在A处施加一大小为F、方向水平向左的推力,C与左壁接触面光滑,滑块和杆的重力不计。
(1)若力F的作用效果是沿杆挤压AB、AC,按该效果将力F分解,求沿杆AC的分力大小;
(2)若(1)中所求的分力的作用效果是水平向左挤压墙壁和竖直向下挤压物体,已知F=100 N,当图中l1=1 m,l2=0.05 m时,求被压榨物D受到的压力大小。
题组三 力的正交分解法
5.(多选)质量为m的木块,在推力F的作用下沿水平地面做匀速直线运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ,那么木块受到的滑动摩擦力为( )
A.μmg B.μ(mg+F sin θ)
C.μ(mg-F sin θ) D.F cos θ
6.(多选)如图所示,小孩用轻绳拉放置在水平面上的箱子,第一次轻拉,没有拉动,第二次用更大的力拉,箱子还是没动,两次拉力方向相同,则第二次拉时( )
A.地面对箱子的支持力一定更大
B.地面对箱子的作用力一定更大
C.箱子所受摩擦力一定更大
D.地面对人的作用力一定更大
7.如图,已知共面的三个力F1=20 N、F2=30 N、F3=40 N作用于物体的同一点上,三个力中任意两个力之间的夹角都是120°,求合力的大小和方向。
8.如图所示,用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体,两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°,求绳AC和BC对物体的拉力大小。(结果可保留根号)
9.一质量mB=4 kg的物块B放置于粗糙水平桌面上并处于静止状态,另有一质量mA=2 kg的物块A连着绳子静止在空中,如图所示。绳子的结点为O,B、O之间的绳水平,OC绳子的一端C固定在竖直墙壁上,OC绳子与墙壁的夹角θ=37°,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。则:
(1)求O、B之间绳子上的拉力F1的大小和OC绳子上的拉力F2的大小;
(2)求此时物块B与桌面之间的摩擦力f的大小;
(3)当物块A的质量增加到mA=4 kg时,物块B刚好要滑动,求物块B与桌面间的动摩擦因数。(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
答案全解全析
第五节 力的分解
基础过关练
1.BC 根据平行四边形定则可知,如果力的分解唯一,则以合力F为对角线的平行四边形只有一个。已知一个力的大小和方向或已知两个力的方向,力F的分解是唯一的,故A、D不符合题意;而B、C中将会有多种情况,即不能使力的分解结果一定唯一,故选B、C。
2.BD 当两个分力夹角很大时,两个分力都可能大于这个力的2倍,故选项C错误;当两个分力方向相同时,有F=F1+F2,显然F1、F2不能同时小于合力的一半,故选项D正确;合力一定时,由于两分力的大小与两分力夹角有关,所以一个分力变大或变小时,另一个分力可能变大,也可能变小,故选项A错误,B正确。
3.C 已知合力F的大小为50 N,分力F1的方向与合力F成30°角,可知另一个分力的最小值为F2 min=F sin 30°=25 N;由题知分力F2的大小为30 N,25 N<30 N<50 N,所以F2有两组解,如图所示,故C正确,A、B、D错误。
4.CD F1是重力沿斜面方向的分力,不是斜面作用在物体上使物体下滑的力,F2是重力垂直斜面方向的分力,不是物体对斜面的压力,故A错误;物体在光滑斜面上受重力mg、支持力FN两个力作用,故B错误,C正确;F1、F2两个力的作用效果跟重力mg的作用效果相同,合力与分力是等效替代的关系,所以FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg、FN两个力的作用效果相同,故D正确。
5.C 小球重力产生两个效果,一是使绳子拉紧,二是挤压斜面,故重力G的两个分力方向是3和4,C正确。
6.BD A选项中,拉力T的作用效果是使两绳子拉伸,可将拉力T沿着两绳子方向分解,如图1,故A错误。
图1
B选项中,拉力T的作用效果一是压斜杆,二是拉水平杆,因此拉力的分解图正确,故B正确。
C选项中,拉力T的作用效果一是压水平杆,二是拉绳子,如图2,故C错误。
图2
D选项中,球的重力的作用效果,一是压斜面,二是推竖直面,因此重力的分解图正确,故D正确。
7.AD 重物对O点的拉力大小等于重物的重力大小,拉力有两个效果:一是使绳NO拉紧;二是使绳MO拉紧;按效果把重物对O点的拉力分解,如图所示
由此可知,绳NO受的力大于绳MO受的力,当重力逐渐增大时,绳NO先达到的能承受的最大拉力,故绳NO先断,A正确,B、C错误;绳子断前重物始终处于静止状态,所受合力为0,保持不变,故D正确。
8.答案 (1)图见解析 mg sin α mg cos α
(2)图见解析 mg tan α
解析 (1)重力产生两个效果:挤压挡板和斜面,力的分解图如图所示
解得G1=mg sin α,G2=mg cos α
所以球体对挡板的压力为F1=G1=mg sin α,球体对斜面的压力为F2=G2=mg cos α。
(2)重力产生的效果是使球压斜面和挡板,重力分解图如图所示
解得G1=mg tan α,G2=
所以球体对挡板的压力为F1=G1=mg tan α,球体对斜面的压力为F2=G2=。
9.B F1是F的水平分力,不是物体对水平面的摩擦力,A错误;物体水平方向受力平衡,F1与水平面给物体的静摩擦力大小相等,方向相反,B正确;F2是F的竖直分力,不是水平面对物体的支持力,根据物体竖直方向受力平衡可得,水平面对物体的支持力为N=mg-F2,故F2与物体的重力大小不一定相等,C、D错误。
10.C 将力F分解为两个相互垂直的分力,其中沿水平方向的分力大小为Fx=F sin θ,竖直分力大小为Fy=F cos θ,故C正确,A、B、D错误。
11.答案 50 N 10 N
解析 对物体进行受力分析,如图所示,物体受重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力Ff。建立直角坐标系,对力F进行正交分解。
y轴方向:FN+F sin 30°-G=0①
x轴方向:Ff-F cos 30°=0②
由①②得FN=50 N,Ff=10 N。
方法技巧
建立坐标系的原则
原则上坐标系的建立是任意的,但为使问题简化,一般依据以下两个原则:
(1)使尽量多的力处在坐标轴上;
(2)尽量使待求力处在坐标轴上。
12.答案 G tan θ
解析 结点O受到三个力作用FA、FB、FC,如图所示。
沿水平方向与竖直方向建立坐标系,把FB分解到水平方向与竖直方向,根据平衡条件得
水平方向:FBx=FB sin θ=FA
竖直方向:FBy=FB cos θ=FC=G
解得FA=G tan θ,FB=。
能力提升练
1.BCD 当F>F1>F sin α时,根据平行四边形定则,如图,有两组解;若F1>F,只有一组解,故A错误,D正确。当F1=F sin α时,两分力和合力恰好构成直角三角形,有唯一解,故B正确。F12.BD 将汽车对千斤顶的压力F分解为沿两臂的两个分力F1与F2,根据对称性可知,两臂受到的压力大小相等,由2F1 cos θ=F得F1==F=1.0×105 N,可知此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N,故A错误。汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N,根据力的相互性得千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N,故B正确。继续摇动把手,两臂靠拢,夹角θ减小,由F1=分析可知,F不变,当θ减小时,cos θ增大,F1减小,故C错误,D正确。
3.A 选木楔为研究对象,木楔受到的力有水平向左的力F和两侧砖给它的与木楔的斜面垂直的弹力,由于木楔处于平衡状态,所以两侧砖给木楔的垂直斜面的弹力与F沿垂直两斜面分解的力是相等的,力F的分解如图:
则F=F1 cos +F2 cos =2F1×cos =2F1 sin ,木楔两侧产生的推力FN=F1,得FN=,故A正确,B、C、D错误。
4.答案 (1) (2)500 N
解析 (1)将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解,作出力的分解图如图甲所示。则有
2F1 cos α=2F2 cos α=F
可得F1=F2=
其中cos α=
所以F2=
(2)再将F2按作用效果分解为FN和FN',作出力的分解图如图乙所示
则有FN=F2 sin α
联立得到FN=F tan α
根据几何知识得
tan α===10
得到FN=5F=5×100 N=500 N
5.BD 木块匀速运动时受到四个力的作用:重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力f。沿水平方向建立x轴,沿竖直方向建立y轴,将F进行正交分解如图所示,由于木块做匀速直线运动,所以在x轴上,F cos θ=f,在y轴上,FN=mg+F sin θ,又由于f=μFN,所以f=μ(mg+F sin θ),故B、D正确,A、C错误。
6.BCD 设轻绳的拉力为F,对箱子受力分析,在竖直方向有F sin θ+N=mg,在水平方向有f=F cos θ。N=mg-F sin θ,由于箱子重力不变,则F增大时,N减小,A错误;地面对箱子的作用力大小等于拉力F与箱子的重力mg的合力大小,当F增大时,地面对箱子的作用力增大,B正确;箱子所受摩擦力f=F cos θ,则当F变大时,f增大,C正确;地面对人的作用力大小等于绳子对人的拉力(大小为F)与人的重力Mg的合力大小,则当F变大时地面对人的作用力增大,D正确。
7.答案 10,与F3的夹角为30°,斜向右上方
解析 如图所示,建立直角坐标系,以力的作用点为坐标原点,
F3的方向为x轴正方向,垂直于F3建立y轴,向上为y轴正方向。
把F1、F2正交分解到坐标轴上,可得
F1x=F1 sin 30°=10 N
F1y=F1 cos 30°=10 N
F2x=F2 sin 30°=15 N
F2y=F2 cos 30°=15 N。
故沿x轴方向的合力Fx=F3-F1x-F2x=15 N,
沿y轴方向的合力Fy=F2y-F1y=5 N,
可得这三个力合力的大小F==10 N
设方向与x轴的夹角为θ,则
tan θ==,解得θ=30°
8.答案 50(-1) N 25(-) N
解析 以C为原点建立直角坐标系,x轴水平,y轴竖直,将FAC和FBC沿x轴和y轴分解,有
FACx=FAC sin 30°=FAC
FACy=FAC cos 30°=FAC
FBCx=FBC sin 45°=FBC
FBCy=FBC cos 45°=FBC
在x轴上,FACx与FBCx大小相等,即
FAC=FBC①
在y轴上,FACy与FBCy的合力与重力大小相等
即FAC+FBC=50 N②
由①②两式联立解得
绳BC的拉力FBC=25(-) N
绳AC的拉力FAC=50(-1) N。
方法技巧
此题可以用平行四边形定则求解,但因夹角不是特殊角,计算麻烦,故用正交分解法求解。正交分解法不一定按力的实际效果来分解,而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解,它是处理复杂的力的合成和分解问题的一种简便方法。
9.答案 (1)15 N 25 N
(2)15 N
(3)0.75
解析 (1)对结点O受力分析,如图所示,将F2正交分解可得
F2 cos θ=mAg
F2 sin θ=F1
解得F2=25 N
F1=15 N
(2)由B受力平衡可得
水平方向:f=F1
解得f=15 N
(3)当mA=4 kg时,由(1)的分析可知OB之间的绳子的拉力变为30 N,此时物块B刚好要滑动,物块B所受的摩擦力达到最大静摩擦力,所以此时
fm=30 N
又因为fm=μmBg
解得μ=0.75
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