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1.水平路面
(1)汽车运动情况:汽车在水平公路上转弯时,相当于做圆周运动。
(2)向心力由车轮与路面间的静摩擦力提供,f=F=m ,解得v= 。如图甲所示。
导师点睛 当汽车转弯时,存在一个安全通过的最大速度,如果超过了这个速度,
汽车将发生侧滑现象。
第三节 生活中的圆周运动
1 | 公路弯道
2.倾斜路面
(1)汽车在内低外高的倾斜路面转弯时,向弯道内侧倾斜,重力mg和地面支持力FN
的合力指向弯道内侧,如图乙所示。
(2)若此时合力F恰好提供汽车转弯所需向心力,根据牛顿第二定律,可得F=mg tan
θ=m ,解得汽车转弯速度的大小v= 。
1.火车车轮的特点
火车车轮有突出的轮缘,它在铁轨上可以起到限定方向的作用。
2.弯道的内外轨一样高
火车在水平轨道上转弯时,外侧车轮的轮缘挤压外轨,车轮受外轨的横向力作用,
使火车获得转弯时所需的向心力,如图所示。
2 | 铁路弯道
(1)火车在外轨略高于内轨的弯道上转弯时,借助火车受到的支持力和重力的合
力提供部分向心力,减轻轮缘对轨道的挤压,如图所示。铁轨对火车的支持力不
是竖直向上的,而是斜向弯道内侧;火车转弯时向心力是水平的。
(2)若火车转弯时的向心力完全由重力mg和支持力FN的合力提供,满足mg tan θ=m
,则有v0= (其中R为弯道半径,θ为轨道所在平面与水平面的夹角,v0为转
弯处的规定速度)。由于铁轨建成后,θ、R是确定的,故火车转弯时恰对轨道无侧
压力时的车速是一个定值,即规定速度。
3.弯道的外轨略高于内轨
导师点睛 转弯速度对轨道侧压力的影响
(1)当火车转弯速度v=v0时,轮缘对内、外轨均无侧向压力。
(2)当火车转弯速度v>v0时,外轨对轮缘有向里的侧向压力。
(3)当火车转弯速度v判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.汽车通过凹形路面的最低点时,车对路面的压力大于汽车的重力。( √ )
2.汽车通过拱形桥最高点,速度较小时,对桥面的压力大于车重;速度较大时,对桥
面的压力小于车重。( )
3.在铁路弯道处,通常要求外轨比内轨高,目的是减轻轮缘与内轨间的挤压。
( )
4.汽车驶过拱形桥最高点,速度很大时,对桥的压力可能等于零。( √ )
5.汽车过拱形桥或凹形路面时,向心加速度的方向都是向上的。( )
知识辨析
1.过桥模型
竖直平面内的圆周运动模型
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析示意图
规定向心 力方向为 正方向 G-FN=m FN=G-m FN-G=m
FN=G+m
牛顿第 三定律 F压=FN =G-m F压=FN=
G+m
讨论 v增大,F压减小;当v增大到 时, F压=0 v增大,
F压增大
说明 (1)汽车在拱形桥最高点处,车对桥面的压力小于车的重力;汽车在
凹形路面最低点处,车对路面的压力大于车的重力; (2)汽车过拱形桥时,当0 时,汽车将脱离桥面,易发生危险 2.绳杆模型
(1)轻绳模型:在轨道最高点无支撑,如球与绳连接,沿内轨道运动的“过山车”等。
①受力示意图:弹力可能向下,也可能等于零。
②讨论分析:物体能过最高点时,v≥ ,FN+mg=m ,当v> 时,绳、轨道对球产
生的弹力FN>0;当v= 时,FN=0;
物体不能过最高点时,v< ,在到达最高点前物体已经脱离了圆轨道,如图所示
③v= 的意义:物体能否过最高点的临界速度
(2)轻杆模型:在轨道最高点有支撑(如球与杆连接,小球在弯管内运动等)。
①受力示意图:弹力可能向下,可能向上,也可能等于零。
②讨论分析:当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心;
当0当v= 时,FN=0;
当v> 时,FN+mg=m ,FN沿半径指向圆心,并随v的增大而增大。
③v= 的意义:FN表现为拉力还是支持力的临界速度。
典例 如图甲所示,一长为l的轻绳【1】,一端穿在过O点的水平转轴上,另一端固
定一质量未知的小球,整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时【2】,
绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系【3】如图乙所示,重力加速度为g,下列判
断正确的是 ( )
A.图像函数表达式为F=m +mg
B.绳长不变,用质量较小的球做实验,图线中b点左移
C.绳长不变,用质量较小的球做实验,得到的图线斜率更大
D.重力加速度g=
信息提取 【1】不计重力,只能提供沿绳方向的拉力,不能提供支持力。
【2】小球通过最高点时,轨迹圆心在正下方,向心力竖直向下;由于轻绳只能提供
拉力,则小球在竖直平面内做圆周运动时所需向心力不能小于重力。
【3】在最高点对小球进行受力分析,结合圆周运动规律得到F与v2的关系式。
思路点拨 在最高点,重力和拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力,结合牛
顿第二定律【4】求出拉力的表达式;根据F与v2的关系式,结合图线的横轴截距以及
斜率【5】分析判断。
解析 小球在最高点时,根据牛顿第二定律有F+mg=m (由【1】、【2】、
【3】和【4】得到),解得F=m -mg,选项A错误;当F=0时, 根据表达式有mg=m
(由【5】得到),结合图线解得g= ,选项D正确;由g= 可知b点的位置与小球的质
量无关,绳长不变,用质量较小的球做实验,图线b点的位置不变,选项B错误;根据F
=m -mg知,F-v2图线的斜率k= ,绳长不变,用质量较小的球做实验,斜率更小,选
项C错误。
答案 D第二章 圆周运动
第三节 生活中的圆周运动
基础过关练
题组一 公路弯道
1.质量相等的甲、乙两车以近似相等的速度经过环形道路图示位置时 ( )
A.两车的向心加速度大小相等
B.两车的角速度大小相等
C.两车受到指向轨道圆心的摩擦力大小相等
D.甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大
2.在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低。如图所示,在某路段汽车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是半径为R的圆周运动,设内外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,则汽车转弯时的车速应等于 ( )
A. B. C. D.
题组二 铁路弯道
3.在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示,当火车以规定的行驶速度v转弯时,下列说法正确的是 ( )
A.当火车的质量改变时,规定的行驶速度也改变
B.当火车的速度大于v时,外轨将受到轮缘的挤压
C.当火车的速度小于v时,火车将有向外侧冲出轨道的危险
D.设计弯道处的外轨略高于内轨主要是为了减少车轮与铁轨间的摩擦
4.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车,如图所示。当列车转弯时,在电脑控制下,车厢会自动倾斜;行走在直线上时,车厢又恢复原状,就像玩具“不倒翁”一样。假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶,以360 km/h的速度拐弯,拐弯半径为1 km,则质量为55 kg的乘客,在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力为(重力加速度g取10 m/s2) ( )
A.550 N B.1 100 N
C.0 D.550 N
5.某铁路转弯处的圆弧半径是500 m,若规定火车通过这个弯道的速度为72 km/h。一质量为2×104 kg 的机车(俗称火车头)通过该弯道,机车转弯时可以简化为质点做圆周运动,g取10 m/s2。
(1)若弯道处的铁轨铺设在水平路基上,如图1所示,求铁轨对车轮的侧向弹力大小;
(2)若弯道处的铁轨铺设在倾斜路基上,如图2所示,为了使铁轨对车轮没有侧向弹力,则路基的倾角θ多大 (求出θ的任一三角函数值即可)
题组三 拱形与凹形路面
6.一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s,车对桥顶的压力为车重的。如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力(重力加速度g取10 m/s2),车速至少为 ( )
A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s
7.一载重汽车以不变的速率在丘陵地带行驶,如图所示,汽车先后驶过A、B、C三点,则以下说法正确的是 ( )
A.汽车在行驶过程中所受的合力为0
B.汽车在行驶过程中合力保持不变
C.汽车在B处处于超重状态
D.汽车行驶到C处时最容易爆胎
8.如图所示,一个凹形路面模拟器固定在水平地面上,其凹形路面是半径为0.4 m的半圆,且在半圆最低点装有一个压力传感器(图中未画出)。一质量为0.4 kg的玩具小车经过凹形路面最低点时,传感器的示数为8 N,则此时小车的速度大小为(取重力加速度g=10 m/s2) ( )
A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.16 m/s
9.如图,半径R=10 m的圆形拱桥,水平地面到拱桥顶点的竖直距离为h=5 m,一辆质量为m=1 000 kg的小汽车从水平地面驶上拱桥,不计空气阻力,g取10 m/s2。
(1)小汽车到达拱桥顶点的速度为v0=8 m/s,小汽车对桥顶的压力为多大
(2)小汽车以多大速度经过拱桥顶点时恰好对桥没有压力
(3)小汽车若以(2)问的速度飞出,则落地点距离桥脚(桥面与水平地面交界)多远
能力提升练
题组一 游乐场、竞技场中的圆周运动
1.甲图为深圳“湾区之光”大转轮全景图,已知“湾区之光”摩天轮是一种轿厢自转式摩天轮,轿厢厢体通过轿厢圆环固定在大转轮外侧,如图乙所示,在大转轮绕转轴O转动时,轿厢厢体也在轿厢圆环内自转,使得游客始终处于轿厢的最低处,与站在地面上的感觉一样。如果大转轮绕转轴O顺时针匀速旋转,则 ( )
A.轿厢厢体自转方向为顺时针方向
B.轿厢厢体边沿各点的线速度与大转轮边沿各点的线速度相等
C.轿厢厢体自转的周期与大转轮的周期一样
D.丙图中A、B两轿厢中的观光者受到的向心力相同
2.(多选)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术,表演者骑车在倾角很大的桶壁上做圆周运动而不掉下来。示意图如图所示,已知桶壁的倾角为θ,车和人的总质量为m,做圆周运动的半径为r,重力加速度为g。若使表演者骑车做圆周运动时沿桶壁方向不受桶壁的摩擦力,下列说法正确的是 ( )
A.人和车的速度为
B.人和车的速度为
C.桶壁对车的弹力为
D.桶壁对车的弹力为
题组二 日常生活中的圆周运动
3.(多选)市面上有一种自动计数的智能呼啦圈,深受女士喜爱。如图甲,腰带外侧带有轨道,将带有滑轮的短杆穿入轨道,短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳,其简化模型如图乙所示。已知配重质量为0.5 kg,绳长为0.4 m,悬挂点到腰带中心的距离为0.2 m。水平固定好腰带,通过人体微小扭动,使配重做水平匀速圆周运动,计数器显示在1 min内圈数为120,此时绳子与竖直方向的夹角为θ。配重运动过程中认为腰带没有变形,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,下列说法正确的是 ( )
A.θ为37°
B.若增大转速,腰受到腰带的摩擦力不变
C.若增大转速,腰受到腰带的弹力增大
D.匀速转动时,腰给腰带的作用力不变
4.如图所示是中国传统的团圆桌,餐桌上放一半径为r=1.5 m可绕中心轴转动的圆盘,近似认为餐桌与圆盘在同一水平面内,忽略两者之间的间隙,餐桌离地高度为h=0.8 m,将某小物体放置在圆盘边缘,该物体与圆盘之间的动摩擦因数为μ1=0.6,与餐桌之间的动摩擦因数为μ2=0.225,设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。
(1)缓慢增大圆盘的转速,求小物体从圆盘上甩出时的速度大小;
(2)为使小物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大
题组三 交通运输中的圆周运动
5.歼-20是具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的隐形第五代制空战斗机。已知受过专门训练的空军飞行员最多可承受的弹力大小为其自身受到的重力的9倍,超过这一数值会大脑贫血甚至昏厥。在某次对敌作战(军事演习)中为躲避敌方导弹,飞行员驾驶歼-20在竖直平面上沿圆弧轨道展开俯冲拉起。若圆弧半径为125 m,取重力加速度大小g=10 m/s2,则飞机在最低点时的最大速度为 ( )
A.250 m/s B.125 m/s
C.111 m/s D.100 m/s
6.某兴趣小组研究小车在弯道半径为R的水平路面上转弯的情况。为避免车辆转弯时发生横向(即垂直于前进方向)滑动,兴趣小组现设计了一个解决方案,将弯道路面的外侧抬高,使弯道路面的横断面如图乙所示,路面与水平方向倾斜角度为θ。若车轮胎与路面间横向的最大静摩擦力等于它对路面压力的μ倍。重力加速度为g,当小车通过这个半径为R的弯道。
(1)要使车轮与路面之间的横向摩擦力为零,计算汽车的速度v0应为多大 简述若此时刻天空突然下雨,路面变滑,要同样满足车轮与路面之间的横向摩擦力为零的条件,汽车速度应如何变化
(2)要使小车不发生横向滑动,试分析小车行驶的最大速度为多少
题组四 工农业生产中的圆周运动
7.如图是小型电动打夯机的工作示意图,在距O轴r=0.5 m处有一质量为m=20 kg的重锤,打夯机启动后,重锤以10 rad/s的角速度绕O轴匀速转动,打夯机相对地面静止,则打夯机对地面的最大压力和最小压力之差为(重锤可视为质点) ( )
A.500 N B.1 000 N
C.1 500 N D.2 000 N
答案与分层梯度式解析
第二章 圆周运动
第三节 生活中的圆周运动
基础过关练8
1.D 由图可知,乙车的转弯半径大于甲车的转弯半径,根据a=可知乙车的向心加速度小于甲车的向心加速度,故A错误;根据ω=可知乙车的角速度小于甲车的角速度,故B错误;两车均由摩擦力指向轨道圆心的分力提供向心力,根据Fn=m可知甲车受到指向轨道圆心的摩擦力比乙车的大,故C错误,D正确。
2.B 设路面的倾角为θ,作出竖直平面内汽车的受力示意图,如图。根据牛顿第二定律得mg tan θ=m,由数学知识得tan θ=,联立解得v=,选项B正确。
3.B 当火车以规定的行驶速度v转弯时,满足mg tan θ=m,得v=,与火车的质量无关,选项A错误;当火车的速度大于规定速度v时,重力和支持力的合力不足以提供向心力,此时外轨对火车轮缘有侧压力,轮缘挤压外轨,此时火车将有向外侧冲出轨道的危险,选项B正确,C错误;弯道处的内外轨道有高度差,主要是为了火车拐弯时不侧向挤压内、外轨,靠重力和支持力的合力提供向心力,选项D错误。
4.D 向心力Fn=m=55× N=550 N,则乘客在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力为F== N=550 N,选D。
5.答案 (1) 1.6×104 N (2)tan θ=0.08
解析 (1)若在水平路基上,由侧向弹力提供向心力,有F=m,代入数据解得F=1.6×104 N。
(2)铁轨对车轮没有侧向弹力时,支持力与重力的合力提供向心力,对火车受力分析如图所示
可得tan θ=
根据牛顿第二定律得F合=m,解得tan θ=0.08。
6.B 在拱形桥顶点时,汽车对桥的压力为车重的时,由牛顿第三定律知,汽车所受支持力也为车重的,由牛顿第二定律得mg-mg=m,解得R=40 m;汽车在桥顶对桥面恰好没有压力时,有mg=m,解得v1=20 m/s,选项B正确。
7.C 汽车在行驶过程中做曲线运动,所以汽车所受合力不为零,选项A错误;汽车行驶过程中所受合力的方向是不断变化的,选项B错误;汽车驶过B点时,在竖直方向有FN-mg=,FN>mg,可知汽车在B处时对地面的压力大于自身的重力,即处于超重状态,选项C正确;汽车行驶到C处时处于失重状态,对地面的压力小于自身重力,所以不容易爆胎,选项D错误。故选C。
8.A 小车经过凹形路面的最低点时,在竖直方向受重力和支持力,沿半径方向的合外力提供向心力,由牛顿第二定律有FN-mg=m,由牛顿第三定律得FN'=FN,而FN'=8 N,联立得速度大小v==2 m/s,选项A正确。
9.答案 (1)3 600 N (2)10 m/s (3)(10-5) m
解析 (1)小汽车到达拱桥顶点时受到重力、支持力、摩擦力,竖直方向由重力和支持力的合力提供向心力。根据牛顿第二定律,有mg-FN=m ,得FN=3 600 N,根据牛顿第三定律知小汽车对桥的压力为3 600 N。
(2)当FN=0时,mg=m,解得汽车经过拱桥顶点时的速度为v1=10 m/s。
(3)小汽车以v1=10 m/s做平抛运动,根据平抛运动规律,在竖直方向上有h=gt2;在水平方向上s=v1t,联立得s=10 m
而由图可看出x==5 m
落地点到桥脚的距离为Δx=s-x=(10-5) m。
能力提升练
1.C 大转轮绕转轴O顺时针匀速旋转一周,轿厢厢体沿逆时针方向自转一周,可使得游客始终处于轿厢的最低处,与站在地面上的感觉一样,故轿厢厢体自转的周期与大转轮的周期一样,可推知轿厢厢体边沿各点和大转轮边沿各点角速度相同,前者到转轴O的距离大于后者到转轴O的距离,根据v=ωr,轿厢厢体边沿各点的线速度大于大转轮边沿各点的线速度,A、B错误,C正确;丙图中A、B两轿厢中的观光者受到的向心力方向不同,两观光者质量大小未知,无法判断所受向心力大小是否相等,D错误。
故选C。
2.AC 人和车做圆周运动,由重力和支持力的合力提供向心力,如图所示,人和车所受的合力为F合=mg tan θ,有mg tan θ=m,解得v=,选项B错误,A正确;桶壁对车的弹力为FN=,选项D错误,C正确。
3.BC 计数器显示在1 min内圈数为120,可得周期为T==0.5 s;配重的运动可看成圆锥摆运动,受力分析如图甲所示,根据牛顿第二定律得mg tan θ=mr,而圆周运动的半径r=r0+L sin θ,联立解得θ≠37°,选项A错误。若增大转速,配重做匀速圆周运动的半径变大,绳与竖直方向的夹角θ将增大,而mg=T cos θ,T sin θ=Fn,可知拉力T变大,向心力Fn变大;对腰带受力分析如图乙所示,有f=Mg+T cos θ=Mg+mg,N=T sin θ=Fn,故腰受到腰带的摩擦力大小不变,腰受到腰带的弹力增大,选项B、C正确。匀速转动时,腰给腰带的作用力是支持力N和摩擦力f的合力,其大小不变,但方向时刻变化,选项D错误。
4.答案 (1)3 m/s (2)2.5 m
解析 (1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力达到最大时,小物体即将被甩出,此时圆盘的角速度达到最大,有fm=μ1N=mω2r,
N=mg
两式联立可得ω==2 rad/s
所以小物体从圆盘上甩出时的速度大小v0=ωr=3 m/s
(2)由题意可得,临界情况是当小物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零。设小物体在餐桌上滑动的位移为s,小物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a,则有a=,f=μ2mg
所以a=μ2g=2.25 m/s2
小物体在餐桌上滑动的初速度大小为v0=3 m/s
由运动学公式得0-=-2as
可得s=2 m
由几何关系可知餐桌半径的最小值为
R==2.5 m
5.D 飞机做圆周运动的半径为125 m,在最低点有9mg-mg=m,解得v==100 m/s,选项D正确。
方法技巧
飞机类问题的处理方法
(1)确定研究对象(一般为飞机的飞行员),进行受力分析;
(2)确定飞机所在的平面,找出圆心所在的位置,确定飞机飞行轨迹的半径大小;
(3)根据牛顿第二定律列方程,判断飞行员的运动状态。
6.答案 (1)见解析 (2)
解析 (1)设当小车的行驶速度为v0时,它恰好不受斜面的横向摩擦力,此时小车受重力mg和垂直斜面向上的支持力N1,如图所示
在竖直方向,由平衡条件得N1 cos θ=mg;
在水平方向,由牛顿第二定律得N1 sin θ=m
解得v0=
由分析可知,当小车的行驶速度为v0时,重力和斜面支持力的合力提供汽车转弯的向心力。
若此时下雨,路面变滑,路面与车轮间的动摩擦因数变小,由v0=可知v0与动摩擦因数大小无关,故遇到雨天,同样条件下,v0大小保持不变。
(2)若小车行驶速度v>v0,则车轮受到横向摩擦力f方向沿斜面向下,且速度v越大,f越大。当f达到最大值fm2时,速度即为不发生横向滑动的最大速度vmax。这时小车的受力示意图如图所示
在水平方向由牛顿第二定律得N2 sin θ+fm2 cos θ=m;在竖直方向由平衡条件得N2 cos θ-f m2 sin θ=mg
又有fm2=μN2,解得vmax=,
即要保证小车不发生横向滑动,最大行驶速度应不超过vmax=。
7.D 重锤运动到最高点时,打夯机对地面的压力最小,根据牛顿第二定律有mg+F1=mω2r,设打夯机(不含重锤)的质量为M,则打夯机对地面的压力为FN1=Mg-F1=Mg+mg-mω2r。重锤运动到最低点时,打夯机对地面的压力最大,根据牛顿第二定律有F2-mg=mω2r,则打夯机对地面的压力为FN2=Mg+F2=Mg+mg+mω2r,打夯机对地面最大压力和最小压力之差为ΔF=FN2-FN1=2mω2r=2 000 N,选项D正确。
