(共18张PPT)
1.圆周运动:运动轨迹是圆的运动。
2.线速度
(1)定义:质点做圆周运动时,质点通过的弧长Δl跟通过这段弧长所用时间Δt的比
值。
(2)公式:v= ,反映了质点沿圆周运动的快慢。
(3)矢量性:线速度是矢量,其方向沿着圆周该点的切线方向。
(4)单位:在国际单位制中,线速度的单位是米每秒,符号是m/s。
3.匀速圆周运动
第一节 匀速圆周运动
1 | 线速度
(1)定义:如果做圆周运动的质点线速度大小不随时间变化,这种运动称为匀速圆
周运动。
(2)由于匀速圆周运动的线速度方向在时刻改变,所以它是一种变速运动,这里的
“匀速”实质上指的是“速率不变”。
1.角速度
(1)定义:质点做圆周运动时,质点所在半径转过的角度Δθ跟所用时间Δt的比值。
(2)公式:ω= ,反映了质点绕圆心转动的快慢。
(3)单位:在国际单位制中,角速度的单位是弧度每秒,符号是rad/s。
2.周期
(1)定义:做匀速圆周运动的质点运动一周所用的时间称为周期,用符号T表示。
(2)单位:在国际单位制中,周期的单位是秒,符号为s。
3.转速
(1)定义:物体转过的圈数与所用时间之比称为转速,用符号n表示。
(2)单位:转速的单位是转每秒,符号是r/s;或者转每分,符号是r/min。
2 | 角速度
3 | 线速度、角速度和周期间的关系
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.静止在地球上的物体要随地球一起转动,它们的线速度大小都相等。( )
2.常见自行车是用链条传动来驱动后轮前进的,两个齿轮边缘的线速度大小是相
等的。( √ )
3.机械表的分针与秒针从重合到再次重合,经历的时间为1分钟。( )
4.物体转得越快,物体的转速、周期越大。( )
知识辨析
常见传动装置及特点
1 几种典型传动装置的特点
同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的两
个圆盘上 两个轮子用皮带连
接,A、B两点分别是两
个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合,A、
B两点分别是两个齿轮
边缘上的点(两齿轮的
齿数分别为n1、n2)
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比: = 角速度与半径成反比: = 。 周期与半径成正比: = 角速度与半径成反比:
= = 。
周期与半径成正比:
= =
导师点睛 实际中,齿轮半径远大于齿的长度,故齿的长度可忽略,即rA=R,rB=r。
典例 一位同学学习了圆周运动的知识后,要对变速自行车的变速原理进行研
究,假设某种变速自行车有六个飞轮和三个链轮。
名称 链轮 飞轮 齿数N/
个 48 38 28 15 16 18 21 24 28
(1)如图所示【1】,前、后轮直径约为660 mm,链轮和飞轮的齿数【2】如表所示,人骑
该车行进速度【3】为4 m/s时,前轮的角速度为 rad/s;脚踩踏板做匀速圆周
运动的角速度最小值【4】约为 rad/s(前两空结果均保留两位小数)。当链轮(2
8齿)与飞轮(24齿)组合时,链轮与飞轮的角速度之比为 。
(2)把链轮半径和飞轮半径的比值k=r2/r3称为变速比,如果踏板的角速度为ω,后轮
的半径为R,则变速自行车的速度大小为 (用字母表示),由此可见,在脚踩
踏板的角速度一定时,要提高车速,就要 。
信息提取 【1】由图可知,后轮与飞轮、链轮与踏板均为同轴转动,角速度分别
相等;链轮与飞轮通过链条传动,相同时间内转过的齿数相等。
【2】 一对通过链条传动的齿轮的转数和齿数是两个相关联的量,相同时间内齿
轮转过的齿数相等,所以齿轮的转速和齿数成反比。
【3】自行车前进的速度大小等于后轮边缘的线速度大小。
【4】踏板的角速度最小,则链轮的半径最大,齿数最多,飞轮的半径最小,齿数最少。
思路点拨 (1)根据线速度与角速度的关系【5】,求出后轮的角速度,即得飞轮的角
速度;
(2)根据飞轮、链轮边缘线速度大小相等【6】,求出角速度最小值;
(3)根据齿轮的齿数与转速(频率)的关系【7】,求出链轮与飞轮的角速度之比
解析 (1)前轮与后轮边缘的线速度大小相等,半径相等,则前轮的角速度与后轮
的角速度相等,根据v=ωr得ω前=ω后= = rad/s≈12.12 rad/s(由【3】、【5】得
到);飞轮与后轮同轴转动,则飞轮的角速度与后轮的角速度相等,即飞轮的角速度
一定。由于R链ω链=R飞ω飞(由【6】得到),链轮的角速度与踏板的角速度相同,要想
踏板的角速度最小,则飞轮的半径最小,链轮的半径最大(由【4】得到),得ω踏板=ω链
= = = ×12.12 rad/s≈3.79 rad/s。当链轮(28齿)与飞轮(24齿)组合时,
两轮边缘线速度大小相等,因 = (其中n代表转速,N代表齿数)(由【2】、
【7】得到),ω=2πn,解得链轮与飞轮的角速度之比为ω链∶ω飞=N飞∶N链=6∶7。
(2)依据链条传动模型的特点,有R链ω链=R飞ω飞,而飞轮的角速度与后轮的角速度相
等,因此自行车的速度大小v'=ω后r后= ·r后= ·R·ω链= ,由此可见,在脚踩踏
板的角速度一定时,要提高车速,就要增大链轮和后轮半径,减小飞轮的半径。
答案 (1)12.12 3.79 6∶7 (2) 增大链轮和后轮半径,减小飞轮的半径
1.圆周运动多解问题的成因
匀速圆周运动具有周期性,使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可
能发生,这将造成多解。
2.圆周运动多解的类型
2 圆周运动的多解性问题
类型 图例 联系
直线运动+圆周运
动 不同的
运动形式,
时间相等
平抛运动+圆周运
动 3.圆周运动多解问题的处理方法
(1)抓住联系点:明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个物体参与的
两个运动虽然独立进行,但一定有联系,一般是时间或位移等,抓住两运动的联系
点是解题关键。
(2)先特殊后一般:分析问题时可暂时不考虑周期性,表示出一个周期的情况,再根
据运动的周期性,在转过的角度θ上再加上2nπ,n的取值应视具体情况而定。第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
基础过关练
题组一 对圆周运动的理解
1.关于圆周运动,下列说法中正确的是 ( )
A.圆周运动是匀变速运动
B.物体做圆周运动一定有加速度
C.物体做匀速圆周运动一定受到恒力作用
D.物体做匀速圆周运动一定不受外力作用
2.(多选)某同学参加了糕点制作的选修课,在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径约25 cm的蛋糕(圆盘中心与蛋糕中心重合)。他要在蛋糕上均匀“点”上奶油,挤奶油时手处于圆盘上方静止不动,奶油竖直下落到蛋糕表面,若不计奶油下落时间,每隔2 s“点”一次奶油,蛋糕一周均匀“点”上10处奶油。下列说法正确的是 ( )
A.圆盘转动一周历时18 s
B.圆盘转动一周历时20 s
C.蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为 m/s
D.蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为 m/s
题组二 描述圆周运动的物理量
3.一户外健身器材如图所示,当器材上轮子转动时,轮子上A、B两点的 ( )
A.转速nB>nA B.周期TB>TA
C.线速度vB>vA D.角速度ωB>ωA
4.A、B两个质点均做匀速圆周运动,在相等的时间内通过的弧长之比sA∶sB=4∶3,转过的圆心角之比θA∶θB=3∶2,则A、B运动的 ( )
A.线速度大小之比vA∶vB=3∶4
B.角速度之比ωA∶ωB=2∶3
C.周期之比TA∶TB=2∶3
D.半径之比rA∶rB=2∶1
5.植树节上同学们种下了绿色与希望。如果小明绕着地面上的O点把小树扶起来,简化后如图所示,当小明以速度v水平向左运动时,小树与地面的夹角恰为α。已知小明手扶树的位置与O点的距离为r,则此时小树转动的角速度ω为 ( )
A. B.
C. D.
6.如图甲所示,生活中我们常看见时钟分针和时针相遇的情景,其中的物理关系可以简化成图乙模型,有A、B两质点绕同一点O做匀速圆周运动,运动方向相同。已知A的周期为TA,B的周期为TB,且TA>TB,若设A、B运动到图示位置为第一次相遇,则两质点下一次相遇所用的时间为 ( )
A.TA-TB B.TA+TB
C. D.
7.如图所示是自行车的传动结构的示意图。已知大齿轮的齿数为50,小齿轮的齿数为10,后轮直径约为0.6 m,是小齿轮直径的10倍,假设将后轮支起,脚踏板在1 s内转了1圈,π取3.14,下列说法正确的是 ( )
A.后轮转动的线速度约为9.4 m/s
B.大齿轮边缘与小齿轮边缘的线速度之比为5∶1
C.后轮与小齿轮的周期之比为10∶1
D.后轮边缘与大齿轮边缘的线速度之比为1∶10
8.某同学设计了一个测量雾滴喷射速度的实验,如图甲所示,一个喷漆桶能够向外喷射不同速度的油漆雾滴,把直径为d的纸带环安放在以角速度ω顺时针(从上往下看)匀速转动的转台上,纸带环上有一条狭缝A,在狭缝A的正对面画一条标志线。向侧面同样开有狭缝B的固定纸盒中喷射油漆雾滴,当狭缝A转至与狭缝B正对平行时,雾滴便通过狭缝A匀速运动打在纸带的内侧面留下痕迹(若此过程转台转过不到半圈)。纸带从转台上取下后展开平放,如图乙所示,则离标志线距离s的雾滴的速度为 ( )
A. B. C. D.
9.现将一把雨伞撑开后置于图中所示的位置,伞面边缘点所围成的圆形的半径为R=1 m,其边缘距离地面的高度为h=5 m。现将雨伞绕竖直伞柄以角速度ω=2 rad/s匀速转动,其边缘上的水滴落到地面,形成一个半径较大的圆形,空气阻力忽略不计,当地重力加速度为g=10 m/s2,π≈3(计算最后结果可以用根号表示)。求:
(1)雨滴飞行的水平位移大小;
(2)雨滴着地时速度大小;
(3)雨滴在地面上形成圆的周长。
能力提升练
题组一 传动问题
1.某机械上的偏心轮如图所示,A、B、C三点为轮边缘上的点,BC为直径,O为轮的圆心,O'为AB上的点,OO'与AC平行。轮绕垂足为O'的轴转动时,则 ( )
A.点A和点B线速度相同
B.点A和点C线速度相同
C.点A、点B和点C角速度相同
D.点C的运行周期大于点B的运行周期
2.如图所示,地球可以看作一个球体,O点为地球球心,位于北纬60°的物体A和位于赤道上的物体B,都随地球自转做匀速圆周运动,则 ( )
A.物体的周期TA∶TB=1∶2
B.物体的周期TA∶TB=1∶1
C.物体的线速度大小vA∶vB=1∶1
D.物体的角速度大小ωA∶ωB=1∶2
3.如图所示,圆锥形转轮a与圆盘形转轮b均可绕其中轴(图中虚线表示)转动,两转轮在M处接触且无相对滑动。若将接触位置由M处移到N处,保持a轮转动的角速度不变,则b轮的 ( )
A.角速度不变,边缘线速度变大
B.角速度变大,边缘线速度变大
C.角速度变大,边缘线速度不变
D.角速度变小,边缘线速度不变
4.如图所示为两级皮带传动装置,转动时皮带均不打滑,中间两个轮子的轴是固定在一起的,轮1的半径和轮2的半径相同,轮3的半径和轮4的半径相同,且为轮1和轮2半径的一半,则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比 ( )
A.转速之比为1∶4
B.角速度大小之比为4∶1
C.周期之比为1∶8
D.线速度大小之比为1∶4
题组二 圆周运动中的多解问题
5.如图所示,水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO'匀速转动,筒壁上P处有一小圆孔,筒壁很薄,筒的半径R=2 m,在圆孔正上方h=3.2 m处有一小球由静止开始下落,已知圆孔的半径略大于小球的半径。已知小球刚好能从孔中进入圆筒,并且与圆筒不发生碰撞离开圆筒。不计空气阻力,g取10 m/s2,则圆筒转动的角速度可能是 ( )
A.3π rad/s B.5π rad/s
C. rad/s D.10π rad/s
6.(多选)如图所示,一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P,飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高,且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时,圆盘绕过圆盘中心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力,重力加速度为g,若飞镖恰好击中P点,则 ( )
A.圆盘的半径为
B.圆盘的半径为
C.P点随圆盘转动的线速度可能为
D.P点随圆盘转动的线速度可能为
7.如图所示,B物体放在光滑的水平地面上,在水平恒力F的作用下由静止开始运动,B物体的质量为m,同时A物体在竖直面内由M点开始沿逆时针方向做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。问:力F为多大时,可使A、B两物体在某些时刻的速度相同。
8.地面上有一个半径为R的圆形跑道,高为h的平台边缘上的P点在地面上P'点的正上方,P'与跑道圆心O之间的距离为L(L>R),如图所示。跑道上停有一辆小车,现从P点水平抛出小沙袋,使其落入小车中(沙袋所受空气阻力不计,重力加速度为g)。问:
(1)当小车分别位于A点和B点时(∠AOB=90°),沙袋被抛出时的初速度各为多大
(2)若小车在跑道上运动,则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内
(3)若小车沿跑道顺时针做匀速圆周运动,当小车恰好经过A点时,将沙袋抛出,为使沙袋能在B处落入小车中,小车的速率v应满足什么条件
答案与分层梯度式解析
第二章 圆周运动
第一节 匀速圆周运动
基础过关练
1.B 圆周运动是非恒力作用下的变加速运动,一定有加速度,故B正确。
2.BC 每隔2 s“点”一次奶油,蛋糕一周均匀“点”上10处奶油,则圆盘转动一圈的时间即周期为T=20 s,选项A错误,B正确;蛋糕边缘的奶油(可视为质点)线速度大小约为v=== m/s= m/s,选项C正确,D错误。
3.C 由于A、B两点随轮一起转动,属于同轴转动,所以A、B两点的角速度相同,转速相同,周期相同,选项A、B、D错误;rB>rA,由v=ωr可知,线速度vB>vA,选项C正确。
4.C 根据v=,可得== ,A错误;根据ω=,可得==,B错误;根据T=,可得==,C正确;根据v=ωr,可得=×=,D错误。故选C。
5.B 把速度v分解为垂直于树干的速度v1和沿树干的速度v2,如图所示,可得v1=v sin α,而 ω=,解得 ω=,故选B。
6.D 由题设情景分析可知,A、B下一次相遇时,它们转过的角度关系满足θB-θA=2π,有t-t=2π,解得t=,选项D正确。
7.A 脚踏板在1 s内转了1圈,即大齿轮在1 s内转了一圈,根据齿数比,可知小齿轮在1 s内转5圈,后轮与小齿轮同轴转动,它们的周期之比为1∶1,转动的角速度相等,为ω2=5×2×3.14 rad/s=31.4 rad/s,故后轮转动的线速度约为v2=ω2r2=31.4× m/s≈9.4 m/s,A正确,C错误;大齿轮与小齿轮为链条传动,二者边缘的线速度大小相等,B错误;因为大齿轮边缘的线速度等于小齿轮边缘的线速度,所以后轮边缘与大齿轮边缘的线速度之比等于后轮边缘与小齿轮边缘的线速度之比,二者的角速度相同,根据v=ωr,可知线速度之比等于半径之比,即等于10∶1,D错误。故选A。
8.A 雾滴从狭缝A匀速运动到纸带的内侧面的时间为t=,纸带环转过的角度θ==,所用时间为t==,联立可得v=,选项A正确。
9.答案 (1)2 m (2)6 m/s (3)18 m
解析 (1)雨滴离开伞面时的线速度大小为v0=ωR=2 m/s,雨滴离开伞面后做平抛运动,在竖直方向有h=gt2,解得t==1 s
则雨滴飞行的水平位移大小为x=v0t=2 m
(2)雨滴着地时竖直方向的分速度为vy=gt=10 m/s
则雨滴着地时的速度大小为v==6 m/s
(3)雨滴在地面上形成圆的半径为r==3 m ,雨滴在地面上形成圆的周长s=2πr=18 m
能力提升练
1.C 点A、B、C同轴转动具有相同的角速度,根据v=ωR可知,半径相同的各点线速度大小相等,则点A和点B线速度大小相等,但是方向不同,选项A错误;点A和点C的轨道半径不同,所以点A和点C线速度不相同,选项B错误;点A、点B和点C在同一轮上绕同一轴转动,角速度相同,选项C正确;根据T=可知,点C的运行周期等于点B的运行周期,选项D错误。
2.B A、B两物体同轴转动,角速度相同,周期相等,即两物体的周期TA∶TB=1∶1,角速度大小ωA∶ωB=1∶1,选项A、D错误,B正确;设地球半径为R,B物体做匀速圆周运动的半径为RB=R,A物体做匀速圆周运动的半径为RA=R·cos 60°=R,根据v=ωr,可知两物体的线速度大小之比为vA∶vB=1∶2,选项C错误。
3.B 两轮接触位置线速度大小相等,将接触位置由M移到N,保持a轮转动的角速度不变,a轮上与b轮接触位置的转动半径变大,根据v=ωr得,a轮上与b轮接触位置的线速度变大,则b轮边缘线速度变大,其角速度也变大,故B正确,A、C、D错误。
4.A 由题意知va=v3,v2=vc,又知轮2与轮3同轴转动,角速度相同,即ω2=ω3,由于v=ωr且r2=2r3,所以v2=2v3,va∶vc=1∶2,选项D错误;因为角速度ω=,所以==,选项B错误;根据T=,可得Ta∶Tc=ωc∶ωa=4∶1,选项C错误;根据ω=2πn,可得na∶nc=ωa∶ωc=1∶4,选项A正确。
方法技巧
求解传动问题的思路
(1)分清传动特点:若属于皮带传动、链条传动或齿轮传动,则轮子边缘各点线速度大小相等;若属于同轴转动,则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系:根据装置中各点位置确定半径关系,或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析:若线速度大小相等,则根据ω∝分析;若角速度大小相等,则根据v∝r分析。
5.C 根据自由落体运动规律,小球从开始下落至刚到达圆筒上侧,有h=g,解得t1=0.8 s;小球从开始下落至到达圆筒下侧,有h+2R=g,解得t2=1.2 s,故小球在圆筒中运动的时间Δt=t2-t1=0.4 s。根据小球在圆筒中运动的时间与圆筒自转的时间相等,圆筒转过的角度θ=ωΔt=(2k-1)π(k=1,2,3,…),解得ω=(k=1,2,3,…),当k=2时ω= rad/s,选项C正确。
方法技巧
圆周运动中多解问题的处理方法
(1)抓住联系点:明确两个物体参与运动的性质和求解的问题,两个物体参与的两个运动虽然独立进行,但一定有联系,其联系点一般是时间或位移等,抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)先特殊后一般:分析问题时可暂时不考虑周期性,表示出一个周期的情况,再根据运动的周期性,在转过的角度θ上再加上2nπ,具体n的取值应视情况而定。
6.BCD 飞镖水平抛出后做平抛运动,在水平方向做匀速直线运动,因此飞行时间t=,飞镖击中P点时,P恰好在最下端,则2r=gt2,解得圆盘的半径为r=,选项A错误,B正确;飞镖击中P点,则P点转过的角度θ满足θ=π+2kπ(k=0,1,2,…),故ω==(k=0,1,2,…),则P点随圆盘转动的线速度为v=ωr=·=,当k=0时,v=,当k=3时,v=,选项C、D正确。
7.答案 (n=0,1,2,…)
解析 设A、B运动时间t后速度相同(大小相等,方向相同)
对A物体,有t=T+nT=(n=0,1,2,…),vA=ωr
对B物体,有F=ma,得a=,vB=at= t
由vB=vA得=ωr(n=0,1,2,…)
解得F=(n=0,1,2,…)
8.答案 (1)(L-R)
(2)(L-R)≤v0≤(L+R)
(3)(n=0,1,2,…)
解析 (1)沙袋从P点被抛出后做平抛运动,设它的落地时间为t,有h=gt2,解得t=
当小车位于A点时,有xA=vAt=L-R,解得vA=(L-R)
当小车位于B点时,有xB=vBt=,解得vB=
(2)若小车在跑道上运动,要使沙袋落入小车中,最小的抛出速度为v0min=vA=(L-R)
若当小车经过C点时沙袋刚好落入,抛出时的初速度最大,有xC=v0maxt=L+R
可得v0max=(L+R) ,所以沙袋被抛出时的初速度范围为(L-R)≤v0≤(L+R)
(3)要使沙袋能在B处落入小车中,小车运动的时间应与沙袋下落的时间相同
tAB=(n=0,1,2,…),tAB=t=,得
v=(n=0,1,2,…)
