第二章 圆周运动
第二节 向心力与向心加速度
基础过关练
题组一 对向心力的理解
1.关于做圆周运动的物体所受的向心力,下列说法正确的是 ( )
A.因向心力总是沿半径指向圆心,且大小不变,故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心,且与线速度的方向垂直,所以它不能改变线速度的大小
C.它一定是物体所受的合力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
题组二 向心力来源
2.如图所示,小物块A与圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,下列关于A的受力情况说法正确的是 ( )
A.受重力、支持力
B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C.受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力、向心力
D.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
3.把一个小球放在光滑的球形容器中,使小球沿容器壁在某一水平面内做匀速圆周运动,如图所示,关于小球的受力情况,下列说法正确的是 ( )
A.小球受重力、向心力
B.小球受到的合力为零
C.小球受重力、容器壁的支持力
D.小球受重力、容器壁的支持力和向心力
题组三 探究影响向心力大小的因素
4.(多选)向心力演示器如图甲所示。转动手柄1,可使变速塔轮匀速转动。塔轮组A、B之间使用无滑动皮带连接,皮带有三挡连接方式可选,(塔轮组A、B半径关系如图乙所示)长槽4和短槽5分别固定在塔轮组A、B上随之一起转动,其上固定有竖直挡板,(用来提供小球做圆周运动时的向心力)长槽4上有两个挡板P1、P2,距转轴的水平距离分别为r和2r,短槽5上只有一个挡板Q1,距转轴的水平距离为r。球对挡板的反作用力通过杠杆原理使弹簧测力套筒7下降,露出标尺8上绘制的红白相间等分格子,该格数表示球所受向心力的大小。现将小球分别放在边槽内,为探究小球受到的向心力大小与哪些因素有关,下列说法正确的是 ( )
A.选择第一挡连接,质量相等的两个小球分别放在P2、Q1处,转动手柄,这是探究向心力与转动半径的关系
B.选择第二挡连接,质量相等的两个小球分别放在P1、Q1处,A、B标尺上的格数之比应为4∶1
C.选择第三挡连接,质量相等的两个小球分别放在P2、Q1处,A、B标尺上的格数之比应为2∶9
D.上述第一挡、第二挡和第三挡连接方式中,塔轮组A和塔轮组B的角速度之比分别是1∶1,2∶1和3∶1
题组四 向心力大小的计算
5.拨浪鼓是一种儿童玩具,如图所示,两等长轻绳一端系着质量为m的小球,另一端分别固定在关于拨浪鼓手柄对称的两侧鼓沿上。现使鼓随手柄绕竖直轴线匀速转动,稳定后,两小球在水平面内做匀速圆周运动,两绳拉力大小均为F。重力加速度为g,不计空气阻力,其中一个小球所受向心力大小为 ( )
A.F B.F+mg
C.F-mg D.
6.(多选)质量为20 kg的小孩坐在游乐场的旋转木马上,绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动,圆周的半径为4.0 m。当他的线速度为2.0 m/s时,他做匀速圆周运动的 ( )
A.角速度为0.5 rad/s
B.周期为2π s
C.转速为 r/s
D.向心力为20 N
7.“天问一号”的成功发射和运行,实现了我国在深空探测领域的技术跨越,而我国航天事业所取得的巨大突破离不开每一位优秀航天员的刻苦努力和辛勤付出。在太空环境适应过程中,航天员训练最多的是离心机。一般人只能承受1~2个g(重力加速度)的荷载,超过4个g就会感到呼吸困难,视力模糊,无法交流,而航天员的承受量可以达到8~10个g。某次训练中,航天员躺坐在座椅上,离心机装置在水平面内加速旋转,已知装置的转臂长为10 m,航天员的质量约为70 kg,当转速稳定在30 r/min后,座椅对航天员的作用力约为(g取10 m/s2,π2=10) ( )
A.4.2×104 N B.2.52×107 N
C.7.0×103 N D.9.0×103 N
8.如图所示,轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直平面内转动,杆的两端各固定一个质量均为m=1 kg的小球A和小球B,球心到O的距离分别为AO=0.8 m,BO=0.2 m。已知A球转到最低点时的速度大小为vA=4 m/s,问此时小球A、B对细杆的作用力的大小、方向如何 (g取10 m/s2)
题组五 向心加速度的比较与计算
9.(多选)如图所示为质点A、B、C、D做匀速圆周运动时向心加速度大小随半径变化的关系图线。质点A、B的图线是双曲线的一个分支,质点C、D的图线是过原点的直线。由图线可知 ( )
A.质点A、B的线速度大小随半径的增大而增大
B.质点B的线速度比质点A的线速度大
C.质点C、D的角速度大小不随半径的变化而变化
D.质点C的角速度小于质点D的角速度
10.如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点,左侧为一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中,皮带不打滑,则 ( )
A.a点与b点的角速度大小之比为1∶1
B.a点与b点的角速度大小之比为2∶1
C.c点与d点的向心加速度大小之比为1∶1
D.c点与d点的向心加速度大小之比为2∶1
11.(多选)陀螺是人们小时候特别喜欢玩的玩具,在公园里也经常可见很多老大爷通过玩陀螺来健身。如图所示,陀螺上a、b、c三点钉了三颗质量均为m=0.01 kg的小钉子,其中钉子c距离中心的距离为R=5 cm,则当陀螺以ω=10 rad/s的角速度旋转时,转轴在竖直方向,g取10 m/s2。下列说法正确的是 ( )
A.三颗钉子的向心加速度aa>ab>ac
B.三颗钉子的向心加速度aa
C.钉子c受到陀螺对它的作用力为5× 10-2 N
D.钉子c受到陀螺对它的作用力为5×10-2 N
12.汽车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形轨道匀速运动,当汽车从A运动到B时,汽车相对圆心转过的角度为90°,在这一过程中,试求:
(1)汽车位移的大小;
(2)汽车的角速度的大小;
(3)汽车运动的向心加速度的大小。
能力提升练
题组一 皮带传动、摩擦传动中的向心加速度问题
1.如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机,它主要是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘组成的。其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接,如图乙所示。现手摇主动轮以60 r/min的转速匀速旋转,已知主动轮的半径约为8 cm,从动轮的半径约为2 cm,P和Q是玻璃盘边缘上的两点,若转动时皮带不打滑,下列说法正确的是 ( )
A.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相同
B.从动轮的转速是260 r/min
C.P点的线速度大小约为3.8 m/s
D.Q点的向心加速度大小约为48 m/s2
2.(多选)如图所示的靠轮传动装置中右轮半径为2r,a为它边缘上的一点,b为轮上的一点,b点到右轮轮轴的距离为r;左侧为一轮轴,大轮的半径为4r,d为它边缘上的一点;小轮半径为r,c为它边缘上的一点。若传动中靠轮不打滑,则下列说法正确的是 ( )
A.b点与d点的周期之比为2∶1
B.a点与c点的线速度大小之比为1∶1
C.b点与c点的角速度大小之比为1∶1
D.a点与d点的向心加速度大小之比为1∶4
题组二 绳、弹簧连接类的向心力问题
3.(多选)如图所示,在光滑水平面上,质量分别为m1、m2的两个小球A、B用原长为l0的轻弹簧连接在一起,再用长为l1的细线拴在轴O上,使两小球以相同的角速度ω绕轴O做匀速圆周运动,并保证A、B与O点三者始终在同一条直线上。若两球之间的距离为l2,则下列说法正确的是 ( )
A.A的向心力由细线拉力提供,B的向心力由弹簧拉力提供
B.弹簧的劲度系数为
C.烧断细线的瞬间,A的加速度大小为ω2l1
D.烧断细线的瞬间,A的加速度大小为
4.如图所示,用两根长l1、l2的细线一端拴同一小球a,细线另一端分别系在一竖直杆上O1、O2处,当竖直杆以某一角速度(角速度范围为ω1≤ω≤ω2)转动时,小球a保持在图示虚线的轨道上做圆周运动,此时两根细线均被拉直,圆周半径为r,已知l1∶l2∶r=20∶15∶12,则ω1∶ω2= ( )
A.3∶4 B.3∶5 C.4∶5 D.1∶2
5.如图所示,质量为M=0.6 kg的物体A随圆盘一起绕中心轴匀速转动。细绳一端系着A,另一端通过圆盘的光滑小孔吊着质量m=0.3 kg的物体B,A的中心与圆孔距离为0.2 m,并知A和圆盘面间的最大静摩擦力为2 N,g取10 m/s2。求:
(1)物体A不受摩擦力时,圆盘的角速度ω0;
(2)物体B始终处于静止状态时,圆盘角速度ω的范围。
题组三 杆连接类的向心力问题
6.如图所示,长为L的轻杆,一端固定一个质量为m的小球,另一端固定在水平转轴O上,杆随转轴O在竖直平面内匀速转动,角速度为ω,某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直,设此时杆与水平面的夹角为θ,则(重力加速度为g) ( )
A.sin θ= B.tan θ=
C.sin θ= D.tan θ=
7.如图所示,一光滑轻杆水平放置,左端固定在竖直转轴AB上,a、b为两个可视为质点的相同小球,穿在杆上,并用相同长度的细线分别将转轴上的O点和b球与a球连接。当轻杆绕AB轴在水平面内匀速转动时,细线Oa、ab上的拉力大小之比为( )
A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.3∶2
题组四 平面、斜面、圆面上的向心力问题
8.图甲为游乐场中一种叫“魔盘”的娱乐设施,游客坐在转动的魔盘上,当魔盘转速增大到一定值时,游客就会滑向盘边缘,其装置可以简化为图乙。若魔盘转速缓慢增大,则游客在滑动之前 ( )
A.受到魔盘的支持力缓慢增大
B.受到魔盘的摩擦力缓慢减小
C.受到的合外力大小不变
D.受到魔盘的作用力大小变大
9.如图所示,ABC为竖直平面内的金属半圆环,AC连线水平,AB为固定在A、B两点间的直金属棒,在直棒和圆环的BC部分上分别套着小环M、N(棒和半圆环均光滑),现让半圆环绕竖直对称轴以角速度ω1匀速转动,小环M、N在图示位置,如果半圆环的角速度变为ω2,ω2比ω1稍微小一些,关于小环M、N的位置变化,下列说法正确的是 ( )
A.小环M将向B点靠近稍许,小环N将向B点靠近稍许
B.小环M将向B点靠近稍许,小环N的位置保持不变
C.小环M将到达B点,小环N将向B点靠近稍许
D.小环M将到达B点,小环N的位置保持不变
答案与分层梯度式解析
第二章 圆周运动
第二节 向心力与向心加速度
基础过关练
1.B 向心力的方向总是沿半径指向圆心,向心力是一个变力,选项A错误;向心力指向圆心,且与线速度的方向垂直,故改变线速度的方向,不改变线速度的大小,选项B正确;向心力可能是物体受到的合力,也可能是某个分力,选项C错误;向心力和向心加速度的方向都是时刻改变的,选项D错误。
方法技巧
向心力与合外力的辨析
(1) “一定”关系:无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,物体所受各力沿半径方向分量的矢量和一定为向心力。
(2) “不一定关系”:匀速圆周运动中,向心力就是合外力;非匀速圆周运动中,向心力不是合外力,向心力是合外力沿半径方向的分力,合外力不指向圆心。
2.B 物块A随圆盘一起做匀速圆周运动,受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力,重力和支持力平衡,静摩擦力提供向心力,所以B正确,A、C、D错误。
3.C 向心力是某个力、某个力的分力或几个力的合力提供的,在受力分析时不能再加上物体的向心力,选项A、D错误;小球沿容器壁在某一水平面内做匀速圆周运动,合力提供向心力,故小球受到的合力不为零,选项B错误;小球受到重力以及光滑容器壁的支持力,这两个力的合力提供向心力,选项C正确。
4.AC 选择第一挡连接时,塔轮组A、B转动的角速度相同,质量相等的两个小球分别放在P2、Q1处,两小球质量及转动的角速度均相等,轨道半径不相等,所以可以探究向心力与转动半径的关系,A正确;选择第二挡连接时,根据ω=可知,塔轮组A的角速度是塔轮组B的一半,质量相等的两个小球分别放在P1、Q1处,根据F=mω2r可知,A、B标尺上的格数之比应为1∶4,B错误;选择第三挡连接时,塔轮组A、B转动的角速度之比是1∶3,质量相等的两个小球分别放在P2、Q1处,转动半径之比为2∶1,则所需向心力之比为2∶9,C正确;上述第一挡、第二挡和第三挡连接方式中,塔轮组A和塔轮组B的角速度之比分别是1∶1,1∶2和1∶3,D错误。故选A、C。
5.D 由题可知,每个小球受重力mg和绳的拉力F作用,两个力的合力提供小球做圆周运动的向心力,则F向=,选项D正确。
6.AD 角速度为ω== rad/s=0.5 rad/s,选项A正确;周期为T==4π s,选项B错误;转速为n== r/s,选项C错误;向心力为F=m=20× N=20 N,选项D正确。
7.C 转速n=30 r/min=0.5 r/s,则角速度ω=2πn=π rad/s,则向心力约为F=mω2r=70×π2×10 N=7 000 N,座椅对航天员的作用力约为FN== N≈7.0×103 N,选项C正确。
8.答案 30 N 竖直向下 5 N 竖直向下
解析 小球A和小球B绕同一水平轴O转动,角速度大小相同,由v=ωr可得==,解得vB=1 m/s;
对小球A、B受力分析,由牛顿第二定律得FA-mg=m,mg-FB=m,解得FA=30 N,FB=5 N;
根据牛顿第三定律可知,此时小球A对细杆的作用力大小为FA'=FA=30 N,小球B对细杆的作用力大小为FB'=FB=5 N,方向均为竖直向下。
9.BC 由an=可知,当v一定时,an与r成反比,而质点A、B的an-r图线是双曲线的一个分支,故质点A、B的线速度大小不变,选项A错误;由题图可知,当质点A、B的运动半径相同时,质点B的向心加速度较大,说明质点B的线速度较大,选项B正确;由an=ω2r可知,质点C、D的an-r图线的斜率表示角速度的平方,由题图可知,质点C、D的角速度大小不随半径的变化而变化,且质点C的角速度大于质点D的角速度,选项C正确,D错误。
10.B b点和c点属于同轴转动,故ωb=ωc,而a点和c点属于皮带传动,所以va=vc,由于ra=r,rc=2r,由v=ωr可得ωa=2ωc,所以a点与b点的角速度大小之比为2∶1,选项A错误,B正确;c点和d点属于同轴转动,故ωc=ωd,由于rc=2r,rd=4r,由a=ω2r可得c点与d点的向心加速度大小之比为1∶2,选项C、D错误。
11.BC 三颗钉子同轴转动,根据a=ω2r,由于Ra12.答案 (1)60 m (2)0.5 rad/s (3)15 m/s2
解析 (1)位移是从初位置到末位置的有向线段,汽车相对圆心转过的角度为90°,故位移的大小为x=R=60 m。
(2)根据v=Rω可得汽车角速度ω== rad/s=0.5 rad/s。
(3)汽车运动的向心加速度的大小为a== m/s2=15 m/s2。
能力提升练
1.C 由题图可知,主动轮的转动方向与从动轮的相反,从动轮与玻璃盘同轴转动,转动方向相同,故玻璃盘的转动方向与主动轮转动的方向相反,所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反,选项A错误;主动轮与从动轮边缘各点的线速度大小相等,根据ω==2πn得从动轮转速为n'=n=×60 r/min=240 r/min,选项B错误;从动轮的角速度为ω'=2πn'=2π×4 rad/s=8π rad/s,P点的线速度大小约为vP=ω'=0.15×8π m/s≈3.8 m/s,选项C正确;根据向心加速度公式得Q点的向心加速度大小约为a=ω'2=0.15 ×(8π)2 m/s2≈95 m/s2,选项D错误。
2.AB 因为右轮与小轮靠摩擦传动,故a、c两点的线速度大小之比为1∶1,选项B正确;a、c两点的线速度大小相等,运动半径之比为2∶1,根据ω=,知a、c两点的角速度之比为1∶2,a、b两点的角速度相等,所以b点与c点的角速度之比为1∶2,选项C错误;大轮、小轮同轴转动,c、d两点角速度相等,a、c两点的角速度之比为1∶2,a、b两点的角速度相等,所以b、d两点的角速度之比为1∶2,根据T=,知b、d两点周期之比为2∶1,选项A正确;因为a、c两点的角速度之比为1∶2,c、d两点的角速度相等,所以a、d两点的角速度之比为1∶2,a、d两点的运动半径之比为1∶2,根据a=ω2r知,a、d两点的向心加速度之比为1∶8,选项D错误。
3.BD 对A受力分析,可知A的向心力由细线拉力和弹簧弹力的合力提供,B的向心力由弹簧拉力提供,选项A错误;设弹簧的劲度系数为k,对B受力分析,根据牛顿第二定律有m2ω2(l1+l2)=k(l2-l0),解得k=,选项B正确;烧断细线的瞬间,细线对A的拉力突变为0,而弹簧对A的弹力不发生突变,所以根据牛顿第二定律可得A的加速度为a1==,选项C错误,D正确。
4.A 设长l1的细线与竖直杆的夹角为θ1,长l2的细线与竖直水平的夹角为θ2,将细线的拉力沿竖直方向和水平方向分解,竖直方向的分力大小等于重力,水平方向的分力提供向心力,则有F向1=mg tan θ1=mr,F向2=mg tan θ2=mr;由几何关系可得r=l1 sin θ1=l2 sin θ2,
又l1∶l2∶r=20∶15∶12,联立解得ω1∶ω2=3∶4,B、C、D错误,A正确。
5.答案 (1)5 rad/s (2) rad/s≤ω≤ rad/s
解析 (1)对A受力分析,如图
则有FT=Man,an=r,又r=0.2 m;
由题意知,A不受摩擦力,细绳张力等于B的重力,有FT=mg
联立解得ω0=5 rad/s
(2)由题意得,物体B处于静止状态,当圆盘以最小角速度ω1转动时,对A受力分析,如图
则有FT-fm=Man1,又fm=2 N、an1=r,联立解得ω1= rad/s
当圆盘以最大角速度ω2转动时,对A受力分析,如图
则有FT+fm=Man2,an2=r,联立解得ω2= rad/s
则满足条件的角速度范围为 rad/s≤ω≤ rad/s
6.A 小球受重力和轻杆的作用力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律有mg sin θ=mω2L,解得sin θ=,选项A正确。
7.D 设细线Oa、ab上的拉力大小分别为F1、F2。对a球有F1-F2=mrOaω2,对b球有F2=mrObω2,因为rOb=2rOa,所以=2,解得F1∶F2=3∶2,选项D正确。
8.D 游客在滑动之前,对其受力分析如图所示
游客在竖直方向上受力平衡,有f sin θ+FN cos θ=mg,在水平方向上,由牛顿第二定律有f cos θ-FN sin θ=m,由于游客的重力保持不变,魔盘的倾斜角度不变,转速缓慢增大,所需向心力增大,因此只有摩擦力f增大,支持力FN减小符合实际情况,选项A、B错误;游客受到的合外力提供向心力,根据F向=m可知,魔盘转速缓慢增大,所需向心力增大,即游客受到的合外力增大,选项C错误;游客受到魔盘的作用力在竖直方向的分力与重力平衡,在水平方向的分力提供向心力,向心力缓慢增大,所以游客受到魔盘的作用力大小缓慢增大,选项D正确。
9.C M环做匀速圆周运动,有mg tan 45°=mω2r,小环M的合力大小为定值,如果角速度变小,其将一直下滑,直到B点;N环做匀速圆周运动,设其和ABC环圆心的连线,与竖直对称轴的夹角为θ,则有mg tan θ=mω2R sin θ
解得=ω2cos θ,如果角速度变小,θ变小,小环N将向B点靠近稍许。故选C。(共20张PPT)
1.向心力的定义
物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心,这个指向圆
心的合外力称为向心力。
2.向心力的作用效果
在匀速圆周运动中,向心力只改变线速度的方向,不改变线速度的大小。
3.向心力的来源
向心力是根据力的作用效果来命名的,它可以由不同性质的力提供,也可以
由某一力的分力或某些力的合力提供。
第二节 向心力与向心加速度
1 | 感受向心力
导师点睛 (1)向心力的方向指向圆心,不断变化,不是恒力。
(2)向心力使得物体做圆周运动,而不是做圆周运动产生向心力。
1.实验与探究
(1)实验目的
利用如图所示的向心力演示仪,定量探究匀速圆周运动所需向心力的大小与物体
的质量、角速度大小和运动半径之间的关系。
2 | 探究影响向心力大小的因素
实验目的 探究影响向心力大小的因素 实验方法 控制变量法 探究过程 m、r不变,改变角速度ω 探究向心力F与角速度之间的关系
m、ω不变,改变运动半径r 探究向心力F与运动半径之间的关系
ω、r不变,改变质量m 探究向心力F与质量之间的关系
(2)实验方法与探究过程
结论 物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量、运动半径、角速度都有关。物体做匀速圆周运动所受向心力的大小,在m、r一定时,与ω2成正比;在m、ω一定时,与r成正比;在ω、r一定时,与m成正比
2.公式
做匀速圆周运动的物体,所受向心力的大小为F=mω2r,而ω= ,则F=m 。
导师点睛 向心力公式F=m 或F=mω2r不仅适用于匀速圆周运动,也适用于变速
圆周运动或一般的曲线运动。
1.定义:做匀速圆周运动的物体,其加速度a的方向一定指向圆心,所以也叫向心加速度。
2.大小:a=ω2r或a= 。
3.对公式的理解
3 | 向心加速度
公式 理解 图像
a= r一定时,匀速圆周运动的向心加速度与v2成正比
v一定时,匀速圆周运动的向心加速度与r成反比
a=rω2 r一定时,匀速圆周运动的向心加速度与ω2成正比
ω一定时,匀速圆周运动的向心加速度与r成正比
4.物理意义:向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。
5.向心加速度的几种常用表达式
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.一个物体紧靠在一匀速转动的圆筒的内壁上,随圆筒一起运动,物体所需的向心
力是由静摩擦力提供的。( )
物体随圆筒在水平面内做圆周运动,竖直方向的静摩擦力与重力平衡,水平方向
的支持力提供向心力。
2.细线一端拴一重物,手执细线另一端,使重物在光滑水平面上做圆周运动,重物
所受合力一定指向圆心。( )
3.因为物体做圆周运动才产生了向心力,而不是因为有了向心力才使物体做圆周
运动。( )
4.自行车链条连接的大小齿轮边缘各点的向心加速度大小与其齿轮半径成反
比。( √ )
知识辨析
1.向心力的来源
物体做圆周运动时,向心力由物体所受合力沿半径方向的分力提供,也可以
由物体所受各力沿半径方向分力的合力提供。
2.向心力来源的实例分析
1 向心力来源的分析及计算
情形 受力分析 满足的方程
mg tan θ=mω2l sin θ,a=g tan θ
mg tan θ=mω2(d+l·sin θ),a=g tan θ
mg tan θ=mω2r,a=g tan θ
mg tan θ=mω2r,
a=g tan θ
a=
中国是一个特别注重团圆的国家,每逢节假日,亲朋好友常常聚在一起边畅聊边
用餐。为了方便多人用餐,常常在大圆桌上放置一个可绕中心转动的圆盘,当转
动圆盘时,餐盘以及餐盘中的食物便随圆盘一起转动。
问题1
食物能够被约束在餐盘中随圆盘一起转动,其约束关系是什么 对圆盘的转
速有何要求
提示 食物能够被约束在餐盘中随圆盘一起转动,其约束关系是餐盘以及餐盘中
2 涉及连接体的圆周运动的实例分析
的食物和圆盘转动的角速度相同;圆盘的转速不能过大,圆盘转速过大,餐盘以及
餐盘中的食物可能会相对圆盘滑动。
问题2
餐盘中的食物靠与餐盘之间的摩擦力提供其做圆周运动的向心力,当圆盘的
转速发生变化时(餐盘与圆盘未发生相对滑动),食物所受摩擦力有何变化
提示 若圆盘转速逐渐增大,则食物所受静摩擦力也逐渐增大,当静摩擦力达到
最大值时,若圆盘的转速继续增大,则食物与餐盘将发生相对滑动,静摩擦力变为
滑动摩擦力。
1.圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题,是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同
一转轴做圆周运动的问题。这类问题的一般解题思路是:分别隔离物体,进行受
力分析,画出受力示意图,确定轨道平面和半径。要特别注意约束关系,在连接体
的圆周运动问题中,角速度相同是一种常见的约束关系。
2.常见的圆周运动中的连接体情景分析
(1)如图甲所示,A、B两小球固定在轻杆上,随杆一起绕杆的端点O做圆周运动。
注意:计算杆OA段的拉力时,应以小球A为研究对象,而不能以A、B整体为研究对象。
甲 乙
(2)如图乙所示,A、B两物块随转盘一起转动,当转盘的转速逐渐增大时,物块A先
达到其最大静摩擦力,转速再增加,A、B间绳子开始有拉力,当B受到的静摩擦力
达到其最大值后两物块开始滑动(设A、B两物块与转盘间的动摩擦因数相等)。
(3)如图丙所示,A、B两物块叠放在一起随转盘一起转动,当求转盘对B的摩擦力
时,取A、B整体为研究对象比较简单;当研究单个物体的运动时,注意比较两接触
面间的动摩擦因数大小。
丙 丁
(4)如图丁所示,A、B两小球用轻线相连并穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面
内做圆周运动时,两球所受向心力大小相等,角速度相同,圆周运动的轨道半径与
小球质量成反比。
典例 (多选)如图所示,在匀速转动的水平盘上,沿直径方向放着用细线相连的
质量相等的两个物体A和B【1】,它们分居圆心两侧【2】,与圆心距离分别为rA=r,rB=
2r,两物体与盘间的动摩擦因数μ相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当圆盘转速
加快到两物体刚好还未发生滑动【3】时,下列说法正确的是 ( )
A.此时细线张力为4μmg
B.此时圆盘的角速度为ω=
C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心
D.此时B所受摩擦力方向沿半径背离圆心
信息提取 【1】细线中产生张力时,张力也沿直径方向,可提供向心力。
【2】A、B的向心力方向相反。
【3】细线的拉力与摩擦力的合力提供向心力。当圆盘角速度较小时A、B受力
如图甲所示,角速度较大时A、B受力如图乙所示。
思路点拨 两物体A和B随着圆盘转动时,始终与圆盘保持相对静止。当圆盘转
速加快到两物体刚好还未发生滑动时,A、B所受摩擦力都达到最大静摩擦力;对
A、B进行受力分析,由牛顿第二定律【4】求出A、B两物体与圆盘保持相对静止的
最大角速度及细线的拉力。
解析 两物体A和B随着圆盘匀速转动时,合外力提供向心力,则F=mω2r,B的运动
半径比A的运动半径大,所以B所需向心力大,细线上各处拉力相等,所以当圆盘转
速加快到两物体刚好还未发生滑动时,A、B所受摩擦力都达到最大静摩擦力,此
时B所受的静摩擦力方向指向圆心,A所受的静摩擦力方向背离圆心(由【3】得
到),选项C、D错误;设此时细线的拉力大小为T,根据牛顿第二定律,对B有T+μmg=
2mω2r,对A有T-μmg=mω2r(由【1】【2】【3】【4】得到),联立解得T=3μmg,ω=
,选项B正确,A错误。
答案 B
在传动装置中,常利用向心加速度公式分析其上的两点间的向心加速度大小
关系。(1)当同轴转动时,角速度相同:由a=ω2r知,向心加速度与半径成正比。
(2)当皮带、齿轮传动时,轮边缘各点线速度大小相等:由a= 知,向心加速度与半
径成反比。
(3)半径相同时,由a= =ω2r=4π2n2r= 知,向心加速度与线速度的平方成正比、
与角速度的平方成正比、与转速的平方成正比、与周期的平方成反比。
3 向心加速度公式的应用 