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1.构建两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型:行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速
圆周运动时,受到一个指向圆心(太阳)的引力,正是这个引力提供了向心力。
(2)质点模型:由于天体间的距离很远,研究天体间的引力时,将天体看成质点,即天
体的质量集中在球心上。
2.推导行星与太阳间的引力
(1)太阳对行星的引力
设行星质量为m,绕太阳公转的周期为T。太阳对行星的引力提供向心力,有F引=m
第二节 认识万有引力定律
1 | 行星与太阳间的引力
,又知v= ,可得F引= ·mr;将开普勒第三定律公式 =k代入得F引=4π2k· ,
可得F引∝ 。
(2)行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律,行星对太阳的引力F引'∝ 。
(3)行星与太阳间的引力
行星和太阳之间的引力是一对相互作用力,大小相等,则F引=F引'∝ ,写成等式
为F引=G ,式中的G与太阳、行星都没有关系。
2 | 月—地检验
猜想 维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力
是同一性质的力,同样遵从平方反比的规律
推理 根据牛顿第二定律,月球绕地球做匀速圆周运动
的向心加速度a月是苹果在地面附近的自由落体
加速度a苹的
结论 地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引
力,与太阳、行星间的引力,都遵从相同的规律
1.内容:宇宙间的一切物体都是互相吸引的,两个物体间引力的方向在它们的连线
上,引力的大小与它们的质量的乘积成正比,与它们之间距离的二次方成反比。
2.表达式:F=G 。
3.引力常量G:由英国科学家卡文迪许利用扭秤实验装置测出,
常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
4.适用条件
(1)两个质点间的相互作用。
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用,r为球心到质点的距离。
(3)两个质量均匀的球体间的相互作用,r为两球心间的距离。
3 | 万有引力定律
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加
速度,对万有引力定律进行了“月—地检验”。( )
牛顿通过比较月球公转的周期,根据万有引力充当向心力,对万有引力定律进行
了“月—地检验”。
2.万有引力定律的发现说明天上和地上的物体遵循同样的科学法则。( √ )
3.牛顿发现了万有引力定律,也测出了引力常量。( )
4.月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。( √ )
知识辨析
1.空球壳对质点的万有引力的计算
(1)质点位于球壳外部
假设球壳半径是R,质点到球壳表面距离为r,那么空球壳对质点的万有引力F=G
,即质点受到的万有引力为将球壳视为一位于球心处的与球壳等质量的质
点与壳外质点间的万有引力。
(2)质点位于球壳内部
均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零。
2.实心球对质点的万有引力的计算
(1)质点位于实心球体外部
万有引力定律的计算
假设实心球半径是R,质点在球外距离球表面r处,那么实心球对质点的万有引力F
=G ,即质点受到的万有引力为将球视为一位于球心处的等质量的质点与
该质点间的万有引力。
(2)质点位于实心球体内部
由于均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零,则质点所在处以外
的球体部分均可视为均匀球壳,该部分对质点的引力为零。质点所在处以内的球
体部分可视为一位于球心处的具有该部分球体质量的质点,再利用万有引力定律
计算。
典例 理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零【1】。
现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立
坐标轴Ox,如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x
轴上各位置受到的引力大小用F表示,则选项图所示的四个F随x的变化关系图【2】
正确的是 ( )
A B C D
信息提取 【1】小物体在x【2】x表示小物体与球心间的距离,分别列出x>R及x思路点拨 (1)求小物体在球壳内某处所受引力时,可将球从该处分为外部的球
壳和内部的小球两部分处理【3】。
(2)求小物体在球外所受引力可直接利用万有引力公式【4】计算。
解析 假设小物体在球壳内距离球心r的位置,外面环形球壳对其引力为0,内部以
r为半径的球体看作球心处的质点,对其引力为F= = =Gρ· πrm(由
【1】和【3】得到),则可知引力大小F与r成正比,图像为倾斜直线(由【2】得到);
当r>R时,球体看作圆心处的质点,引力F= = (由【4】得到),即F∝
(由【2】得到),选项A正确,B、C、D错误。
答案 A第三章 万有引力定律
第二节 认识万有引力定律
基础过关练
题组一 万有引力定律的发现
1.根据开普勒行星运动定律和圆周运动知识知:太阳对行星的引力F∝,行星对太阳的引力F'∝,其中M、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是 ( )
A.由F∝和F'∝知F∶F'=m∶M
B.因为太阳质量大于行星质量,所以F>F'
C.F和F'是一对平衡力,大小总是相等的
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
2.(多选)关于万有引力定律的建立,下列说法不正确的是 ( )
A.牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任意两个物体间
B.引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
C.“月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
D.“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的602倍
题组二 万有引力定律的理解及简单应用
3.关于万有引力定律,下列说法正确的是 ( )
A.当两物体之间的距离趋于0时,它们之间的万有引力大小趋于无穷大
B.使两物体的质量及它们之间的距离都变为原来的2倍,万有引力大小不变
C.两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反,是一对平衡力
D.万有引力定律只适用于计算两个质量都较大的物体之间的万有引力
4.“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星,如图所示。在此过程中,冥王星对探测器的引力 ( )
A.先变大后变小,方向沿两者连线指向冥王星
B.先变大后变小,方向沿两者连线指向探测器
C.先变小后变大,方向沿两者连线指向冥王星
D.先变小后变大,方向沿两者连线指向探测器
5.如图所示,空间有三个质量均为m的物体A、B、C(均可看作质点),恰好固定在等边三角形的三个顶点上,物体A、B之间的距离为l,引力常量为G,则物体C受到的引力大小为 ( )
A. B. C. D.
6.“天问一号”探测器在地火转移轨道飞行时,在某处到地球和火星的距离正好相等,已知火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,此时火星和地球对“天问一号”的引力的比值约为( )
A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.2.5
能力提升练
题组一 利用万有引力定律定性分析和定量计算
1.(多选)牛顿在研究太阳与行星之间的引力时,把行星的运动看成是以太阳为圆心的匀速圆周运动,总结出了太阳与行星相互作用的规律F=G,可以看出太阳与行星间的作用力与行星的运动状态无关。下列关于行星绕太阳沿椭圆轨道运动的说法正确的是( )
A.行星在远日点受太阳的引力最小
B.行星在近日点受太阳的引力最小
C.行星从远日点向近日点运动的过程中,引力方向与速度方向之间的夹角大于90°
D.行星从近日点向远日点运动的过程中,引力方向与速度方向之间的夹角大于90°
2.我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭,成功将第16颗北斗导航卫星发射升空并送入预定轨道。该卫星距离地球表面的高度为h,已知地球的质量为M,地球半径为R,卫星的质量为m,引力常量为G。F表示卫星所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是 ( )
3.火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为 ( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
4.如图所示为一质量为M的球形物体,质量分布均匀,半径为R,在距球心2R处有一质量为m的质点。若将球体挖去一个半径为的小球,两球心和质点在同一直线上,且挖去的球的球心在原来球心和质点连线外,两球表面相切。已知引力常量为G,则剩余部分对质点的万有引力的大小为 ( )
A. B. C. D.
题组二 万有引力和重力加速度的关系
5.假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体,一矿井深度为d,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ( )
A.1+ B.1-
C. D.
6.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球是半径为R、质量分布均匀的球体,假设一人掉进一个完全穿过地球中心的洞中,B点为地球中心。不考虑摩擦和旋转效应,则下列说法正确的是 ( )
A.人在A点速度最大
B.人在B点速度最大
C.人在C点速度最大
D.人在D点速度最大
答案与分层梯度式解析
第三章 万有引力定律
第二节 认识万有引力定律
基础过关练
1.D 太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力,根据牛顿第三定律可知,这两个力的大小相等、方向相反,选项A、B、C错误;行星绕太阳做匀速圆周运动,太阳对行星的万有引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力,选项D正确。
2.BD 牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任意两个物体间,选项A说法正确;引力常量G的大小是卡文迪许通过扭秤实验测出的,选项B说法错误;“月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律,选项C说法正确;“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到地球对它的引力的602倍,选项D说法错误。
3.B 当两物体之间的距离趋于0时,万有引力公式不再适用,它们之间的万有引力不是趋于无穷大,A错误;由万有引力公式F=可知,使两物体之间的距离及它们的质量都变为原来的2倍,万有引力大小不变,B正确;两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反,是一对相互作用力,C错误;只要两个物体可以看作质点,即使它们的质量很小,万有引力定律也适用,D错误。
4.A 根据万有引力定律F=G,在探测器飞掠冥王星的过程中,它与冥王星间的距离先减小,后增大,那么冥王星对探测器的引力先变大,后变小,而引力的方向沿两者的连线指向冥王星,选项A正确,B、C、D错误。
5.B 由万有引力公式F=可知,A、B两个物体对C的万有引力大小均为F=,因两个万有引力方向间的夹角为60°,所以物体C所受万有引力的合力大小为F合=2F cos 30°=,故B正确,A、C、D错误。
6.A 火星和地球对“天问一号”的引力的比值为F1∶F2=∶=0.1,选项A正确。
能力提升练
1.AD 由F=G可知,行星在近日点处r最小,则F最大;在远日点处r最大,则F最小,故A正确,B错误。行星从远日点向近日点运动时,速度不断增大,可知此时行星的受力方向与速度方向之间的夹角小于90°;从近日点向远日点运动过程中行星的受力方向与速度方向之间的夹角大于90°,如图所示,故C错误,D正确。
2.D 由万有引力定律可得F=G,当h=0时F=G ,且随h的增大,F非线性减小,对比可知,选D。
3.B 设物体质量为m,在火星表面受到的引力为F1=G,在地球表面受到的引力为F2=G,根据题意可知=,=,联立可得==×=0.4,故B正确,A、C、D错误。
4.C 根据m=ρV=ρ·πr3,由于挖去的球体半径是完整球体半径的,则挖去的球体质量是原球体质量的,所以挖去的球体质量M'=M。未挖时,完整球体对质点的万有引力F1=,挖去部分对质点的万有引力F2==,则剩余部分对质点的万有引力大小F=F1-F2=,C正确。
方法技巧
球体被挖去一小球体后不能看成质点,重心也不在球心,它与质点间的万有引力不能直接应用万有引力定律求解,可以用“割补法”处理该问题。
5.B 设地球的密度为ρ,忽略地球自转的影响,在地球表面,物体受到的重力和万有引力大小相等,有mg=G,g=G。由于地球的质量为M=ρ·πR3,所以重力加速度的表达式可写成g==G=GρπR。根据题意可知,质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,故在深度为d的井底,物体受到的重力等于半径为(R-d)的球体对它产生的万有引力,故井底的重力加速度g'=Gρπ(R-d),所以有==1-,选项B正确。
6.B 由于在匀质空腔内任意位置处,质点受到球壳的引力均为零,人从地面向地心运动的过程中,球壳越来越厚,对人产生引力的中间球体部分越来越小,设人离地心的距离为r,由牛顿第二定律有G=ma,得G=ma,得加速度a=,可知人在运动的过程中,距地心越近,中间球体部分的半径r越小,加速度越小,在地心处加速度为零,速度最大,故B正确。
