第三章 万有引力定律
第三节 万有引力定律的应用
基础过关练
题组一 重力与万有引力的关系
1.(多选)下列关于地球表面万有引力与物体重力的关系,说法正确的是 ( )
A.在任何地方重力都等于万有引力,方向指向地心
B.地球两极处重力等于万有引力,即mg=G
C.在地球上,除两极以外的其他位置,重力是万有引力的一个分力,mg>G
D.在赤道上,万有引力等于重力和向心力之和,即G=mω2R+mg
2.已知一质量为m的物体分别静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN,假设地球是质量分布均匀的球体,半径为R,则地球的自转周期为 ( )
A.T=2π B.T=2π
C.T=2π D.T=2π
题组二 预测未知天体
3.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是 ( )
A.天王星、海王星和冥王星,都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的
B.在18世纪已经发现的7个行星中,人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一个行星,是它的存在引起了上述偏差
C.海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经大量计算而发现的
D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒威耶合作研究后共同发现的
题组三 估算天体的质量
4.已知引力常量为G,为计算火星的质量,需要测量的数据是 ( )
A.火星表面的重力加速度g和火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r
B.火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径r和火星的公转周期T
C.火星表面的重力加速度g和火星的公转周期T
D.某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径R和环绕周期T
5.假设“天问一号”探测器在绕火星做圆周运动时距火星表面高为h,绕行的周期为T1;火星绕太阳公转的周期为T2,公转半径为R。太阳半径为r1,火星半径为r2。若忽略其他星球对“天问一号”探测器的影响,则火星与太阳的质量之比为 ( )
A. B.
C. D.·
能力提升练
题组一 天体的质量和密度的计算
1.地球表面的平均重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,用上述物理量计算出来的地球平均密度是 ( )
A. B. C. D.
2.2021年5月15号我国“天问一号”探测器成功在火星软着陆,“祝融号”火星车开始开展巡视探测等工作,我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。若“天问一号”在火星的近火轨道做匀速圆周运动时,其周期为T,已知火星的半径为R,引力常量为G,则由此可求得火星的平均密度为 ( )
A. B. C. D.
3.假定太阳系中有一颗质量均匀、可看成球体的小行星,自转原来可以忽略。若该行星自转加快,角速度为ω时,该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的。已知引力常量为G,则该行星的密度ρ为 ( )
A. B. C. D.
4.卫星绕某行星运动的轨道可近似看成是圆轨道,观察发现经过时间t,卫星运动所通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ。已知引力常量为G,由此可计算该行星的质量为 ( )
A. B. C. D.
5.2021年2月5日,我国首个火星探测器“天问一号”传回了火星照片,如图所示。多年以后,小明作为一位火星移民,于太阳光直射赤道的某天晚上,在火星赤道上某处仰望天空。某时,他在西边的地平线附近恰能看到一颗火星人造卫星出现,之后极快地变暗而看不到了,他记下此时正是火星上日落后约4小时5分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为T的探测卫星,查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为24小时30分,已知引力常量为G。根据以上信息,分析可得火星密度为 ( )
A. B. C. D.
题组二 万有引力定律的综合应用
6.2020年7月23日中国成功发射火星探测器“天问一号”,探测器经过数月的飞行后抵达火星进行登陆探测活动。若探测器降落到火星表面后,从距火星表面高度为h处由静止释放一物体,测出物体落到火星表面的时间为t。不计火星大气阻力及火星自转的影响,已知火星半径为R,引力常量为G,将火星视为质量均匀的球体,通过以上物理量可求得火星的平均密度为 ( )
A. B. C. D.
7.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度为g',空气阻力不计。则 ( )
A.g'∶g=1∶5 B.g'∶g=5∶2
C.M星∶M地=1∶20 D.M星∶M地=80∶1
8.火星探测器的发射时间要求很苛刻,必须在每次地球和火星相距最近之前几个月发射。设地球环绕太阳的运动周期为T,轨道半径为r1;火星环绕太阳的轨道半径为r2(r2>r1),火星的半径为R,引力常量为G。下列结论正确的是 ( )
A.太阳质量为
B.火星的公转周期为T
C.火星表面的重力加速度为
D.从火星与地球相距最近开始计时到火星与地球第一次相距最远的时间为
9.宇宙飞船以周期T绕地球做匀速圆周运动时,由于地球遮挡阳光,会经历“日全食”过程,宇航员在P点测出地球相对宇宙飞船的张角为θ,如图所示。已知地球自转周期为T0,引力常量为G,太阳光可看作平行光,地球视为质量分布均匀的球体。下列说法正确的是 ( )
A.θ越大,T越大
B.飞船每次经历“日全食”过程的时间为
C.一天内飞船经历“日全食”的次数为
D.地球的密度为
10.1610年1月,伽利略发现四颗天体不是绕着地球转,而是围绕着一颗当时已知的行星——木星转,伽利略的发现对当时大众认可的地心说是个致命的打击,后人为纪念伽利略的发现,这四颗木星的卫星被称为“伽利略卫星”。设想数年后中国宇航员登上木星表面,宇航员以初速度v竖直向上抛出一小球,经t时间后小球落回抛出点。已知木星的半径为R,木星与太阳间的距离为r,木星的公转周期为12年,引力常量为G(忽略空气阻力)。求:
(1)木星表面的重力加速度;
(2)木星的平均密度;
(3)地球与太阳间的距离。
答案与分层梯度式解析
第三章 万有引力定律
第三节 万有引力定律的应用
基础过关练
1.BD 在赤道上,重力和向心力在一条直线上,有F=Fn+mg,即G=mω2R+mg,选项D正确;在地球两极处,物体的向心力为零,重力等于万有引力,即mg=F=G,选项B正确;在地球上除两极外的其他位置,重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg2.A 在北极,物体所受的万有引力与支持力大小相等,即=FN1,在赤道处,物体所受的万有引力与支持力的差值等于物体随地球自转的向心力,即-FN2=mR;由牛顿第三定律可知支持力与压力大小相等,故FN1-FN2=ΔN;联立可得ΔN=mR,解得T=2π,选项A正确。
3.B 天王星是英国天文学家赫歇尔用自制大型反射望远镜通过观察发现的,选项A错误;海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国天文学家勒威耶分别独立推算出其运行轨道发现的,选项C、D错误。
4.D 根据=mg可得M火=,可知如果要计算火星的质量,需要知道火星的半径和火星表面的重力加速度;根据万有引力提供向心力,有=mr,可得M=,可知如果已知火星绕太阳运动的公转周期和半径,可求太阳的质量,但是不可求火星的质量,故A、B、C错误。根据M=,可知如果已知某卫星绕火星做匀速圆周运动的轨道半径R和环绕周期T,可求得火星质量,故D正确。
5.D 火星绕太阳公转时由万有引力提供向心力,有G=M火R;同理,“天问一号”探测器绕火星运动时,有G=M卫·(r2+h),联立解得=·,选项D正确。
能力提升练
1.A 在地球表面,物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力,有mg=G,解得M=,地球的体积V=πR3,则地球的平均密度ρ==,选项A正确。
2.A 设火星的质量为M,火星的平均密度为ρ,“天问一号”在火星的近火轨道做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,可得=mR,又M=ρ·πR3,联立解得火星的平均密度为ρ=,故A正确,B、C、D错误。
方法技巧
计算中心天体密度的步骤
(1)首先计算出中心天体的质量M;
(2)把中心天体看成球体,其体积为V=πr3;
(3)最后利用公式ρ=求密度。
3.B 忽略行星自转的影响时,G=mg,自转角速度为ω时,G=mg+mω2R,行星的密度ρ=,解得ρ=,选项B正确。
4.B 设行星的质量为M,卫星的质量为m,卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r,由万有引力提供向心力,则有G=m,其中r=,v=,联立可得M=,选项B正确。
5.C 火星自转周期约为24小时30分,日落后4小时5分,此时火星相对于日落时转过的角度为60°,卫星的位置如图所示,由图知=cos 30°;设火星的质量为M,卫星的质量为m,根据万有引力提供向心力,可得G=mr,火星密度为ρ=,联立解得ρ=,选项C正确。
6.B 设火星表面的重力加速度为g,物体下落过程有h=gt2,物体在火星表面有mg=,火星的质量为M=ρ·πR3,联立解得ρ=,选项B正确。
7.A 竖直上抛的小球在空中运动时间t=,因此得==,选项A正确,B错误;由mg=G,得M=,因而==×=,选项C、D错误。
8.B 设太阳质量为M,地球绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,可得G=mr1,解得M= ,故A错误;设火星公转周期为T1,由开普勒第三定律可得=,解得T1=T,故B正确;由题意可知,无法求出火星的质量,所以无法求出火星表面的重力加速度,C错误;地球公转的角速度ω=,火星公转的角速度ω'=,设从地球和火星相距最近到第一次相距最远所用的时间为t,则ωt-ω't=π,结合B选项,联立解得t= ,故D错误。
9.D 设地球半径为R,则飞船的轨道半径r=,根据万有引力提供向心力,可得G=mr,故飞船的周期T==,则θ越大,T越小,故A错误;设飞船经历“日全食”过程时,运动圆弧所对圆心角为α,如图所示:
由图可得r sin=R=r sin,则α=θ,因此飞船每次经历“日全食”过程的时间t=T=,故B错误;一天时间就是T0,因此飞船一天绕地球的圈数为,每绕地球一圈,就会经历一次“日全食”,因此一天内飞船经历“日全食”的次数为,故C错误;由G=mr可得地球质量为M==,地球体积为V=πR3,联立可得地球的密度为ρ== ,故D正确。
10.答案 (1) (2) (3)0.19r
解析 (1)根据竖直上抛运动规律可得v=g·,解得木星表面的重力加速度g=。
(2)小球在木星表面,有mg=G
木星的质量 M=ρ·πR3
联立解得ρ=
(3)根据开普勒第三定律可得=
解得r日地=r=0.19r(共15张PPT)
1.假设地球是一个半径为R且密度均匀的球体,质量为M,在纬度θ处相对于地球静
止地悬挂着一个质量为m的物体,它受到地球的引力大小F=G ,方向沿地球半
径指向球心。
2.地球引力产生两大作用效果,一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力平衡,即
FT=F1=mg;另一方面是提供物体随地球一起自转的向心力,即F2=mω2R cos θ。
第三节 万有引力定律的应用
1 | 地球引力的效果
3.重力加速度与纬度的关系:物体在两极的重力加速度最大,从两极移向赤道时重
力加速度减小,在赤道重力加速度最小。
导师点睛 万有引力的分解
(1)赤道处的物体受到地球的万有引力F引可以分解为同一直线上的重力G和使物
体随地球做圆周运动(自转)所需的向心力 Fn(方向指向地心),有F引=Fn+G,即G
=mω2R+mg。
(2)两极处的物体随地球做圆周运动(自转)所需的向心力 Fn=0,此处受到地球的万
有引力F引就等于物体受到的重力G(方向指向地轴),F引=G,即G =mg。
方法一:月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的,
即 =m月 r,由此可得地球质量M地= 。
方法二:地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力,有m物g=G
,由此可得M地= (黄金代换式)。
2 | 估算天体的质量
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.在不考虑地球自转的影响时,地面上的物体的重力等于地球对该物体的万有引
力。( √ )
2.我们知道地球表面的物体都受到重力作用,重力就是物体所受的万有引力。
( )
重力是物体所受的万有引力的一个分力。
3.海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。( √ )
4.知道引力常量G、地球的公转周期和轨道半径,就可以求出地球质量。
( )
知识辨析
1.中心天体质量和密度的估算方法
1 中心天体质量和密度的估算
已知量 利用公式 表达式
质量的计算 r、T G =mr M=
r、v G =m M=
v、T G =m G =mr M=
g、R mg= M=
密度的计算 r、T、R G =mr M=ρ· πR3 ρ= ;
当r=R时,
ρ=
g、R mg= M=ρ πR3 ρ=
2.解决天体做圆周运动问题的两条思路
(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转时,万有引力等于重力,即G
=mg,整理得GM=gR2,称为黄金代换式。(g表示天体表面的重力加速度)
(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即G =m =mω2r=m =
ma。
典例 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施,大约用十年时
间完成,这极大地提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关月球的
知识设计的两个问题,请你解答:
(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g【1】,月球绕地球运动的周期为
T【2】,且把月球绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动
的轨道半径;
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球某水平表面上方h高处以速度v0
水平抛出一个小球【3】,小球落到月球表面时水平位移为s【4】。已知月球半径为R月,引力常量为G。试求出月球的质量M月。
信息提取 【1】地球表面附近,物体所受的重力近似等于其所受的万有引力,有
mg= 。
【2】万有引力提供向心力,有 =mr 。
【3】【4】小球做平抛运动,竖直位移为h,水平位移为s,初速度为v0。
思路点拨 (1)在地球表面重力与万有引力相等,月球绕地球做圆周运动的向心
力由万有引力提供,据此计算月球做圆周运动的半径;
(2)根据平抛运动规律求得月球表面的重力加速度,再根据月球表面的重力与万
有引力相等计算出月球的质量M月。
解析 (1)在地球表面,由重力和万有引力的关系有mg=G (由【1】得到)
由题知把月球绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动,有G =M月 r(由
【2】得到)
综上计算有r=
(2)由题知从h高处以速度v0水平抛出一个小球,小球落回到月球表面的水平距离
为s,可知h= g月t2,s=v0t(由【3】【4】得到)
计算有g月=
由重力和万有引力的关系有mg月=G
联上得M月=
答案 (1) (2)
1.双星模型
(1)构建“双星”模型
宇宙中两颗离得比较近的恒星构成双星系统,它们离其他星球都较远,因此其他
星球对它们的万有引力可以忽略不计。它们绕两者连线上某固定点做匀速圆周
运动。
如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星,它们组成一双星系统,它们
间的距离为L。
2 双星、多星问题
(2)双星模型的特点
①两星的运行轨道为同心圆,圆心是它们之间连线上的某一点。
②两星的运动周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两星的运动半径之和等于它们之间的距离,即r1+r2=L。
④两星的向心力大小相等,由它们之间的万有引力提供。即 =m1 r1=m1
=m1r1 , =m2 r2=m2 =m2r2 。
(3)双星问题的两个结论
①轨道半径:r1= L,r2= L。由m1r1=m2r2,可得 = ,可知双星系统中两
颗星的运动半径之比等于其质量的反比。
②星体质量:m1= ,m2= ,两恒星的质量之和m1+m2= 。
③周期:T=2πL
2.多星系统
宇宙中存在一些离其他恒星较远(可忽略其他星体对它们的引力作用)的三
颗星或四颗星组成的四星系统。组成多星系统的恒星一般都在同一平面内绕同
一圆心做匀速圆周运动,它们的运动周期、角速度都相等。
