第四章　机械能及其守恒定律 复习提升（含答案解析）

第四章　机械能及其守恒定律
本章复习提升
易混易错练
　　　　　 　　　　 　　　　
易错点1　力与位移不对应出错
1.如图所示,滑轮和绳的质量及摩擦不计,用力F开始提升原来静止的质量为m=10 kg的物体,以大小为a=2 m/s2的加速度匀加速上升,求开始3 s内力F做的功。(g取10 m/s2)
易错点2　对动能定理理解不透彻出错
2.(多选)如图所示是某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置,当太阳光照射到小车上方的太阳能板时,太阳能板中产生的电流经电动机带动小车前进。若小车在平直的公路上以初速度v0开始加速直线行驶,经过时间t,前进了距离s,速度达到最大值vmax。设此过程中电动机的输出功率恒为P,小车受的阻力恒为Ff,则此过程中牵引力所做的功为 (　　)
A.Pt B.Ffvmaxt
C.Ffs D.m+Ffs-m
易错点3　对轻杆连接类的机械能守恒认识不清出错
3.如图所示,轻杆两端分别固定有质量相等的小球A、B,光滑水平转轴O到B的距离为到A的距离的2倍。开始时轻杆水平放置,不计空气阻力,则在杆转到竖直位置的过程中 (　　)
A.两球的线速度大小始终相等
B.轻杆对B球做正功
C.在竖直位置时,杆对小球A的弹力大小为其重力的
D.在竖直位置时,杆对水平转轴的压力大小等于两小球的重力
易错点4　忽略机械能的瞬时损失出错
4.一质量为m的小球,系于长为R的轻绳的一端,绳的另一端固定在空间的O点,假设绳不可伸长,柔软且无弹性。小球从O点的正上方离O点距离为R的O1点,以水平速度v0=抛出,试求:当小球到达O点的正下方时,绳对小球的拉力为多大 (重力加速度g=10 m/s2)
思想方法练
　　　　　 　　　　 　　　　
一、微元法
方法概述
微元法是指将研究对象分割成若干微小的单元,或从研究对象上选取某一“微元”加以分析,从而可以化曲为直的方法。常在非均匀变化过程中取极短时间Δt(微元化),然后进行累积求和。
1.水平桌面上,长R=5 m的轻绳一端固定于O点,如图所示(俯视图),另一端系一质量m=2.0 kg的小球,现对小球施加一个大小不变的力F=10 N,F拉着小球从M点运动到N点,方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则拉力F做的功与克服摩擦力做的功的比值为 (　　)
A. B. C.2 D.3
二、图像法
方法概述
图像法是根据各物理量间的数量关系,作出表示物理量之间的函数关系的图线,然后再利用图线的交点、图线的斜率、图线的截距、图线与坐标轴所围几何图形的“面积”等对问题进行分析、推理、判断或计算的方法。
2.如图所示,在竖直平面内,有一光滑圆形轨道,AB为其水平方向的直径。若甲、乙两球同时以同样大小的速度从A点出发,沿轨道内表面按图示方向运动到B,运动中均不脱离圆轨道,则下列说法正确的是 (　　)
A.甲球先到达B
B.乙球先到达B
C.两球同时到达B
D.若两球质量相等,则同时到达B
三、整体法
方法概述
整体法就是从整体的角度出发或者全方位分析问题的方法。当单独研究一个物体的运动比较繁琐或困难时,我们可以把几个物体合为一个整体来处理。
3.如图所示,两小球A、B系在跨过定滑轮的轻质细绳两端,小球A 的质量mA=2 kg,小球B的质量mB=1 kg,最初用手将A、B托住处于静止状态,绳上恰没有张力,此时A比B高h=1.2 m。将A、B同时释放,重力加速度g取10 m/s2,阻力不计,求:
(1)释放前,以B所在位置的水平面为参考平面,A的重力势能;
(2)释放后,当A、B到达同一高度时,A、B的速度大小。
答案与分层梯度式解析
第四章　机械能及其守恒定律
本章复习提升
易混易错练
1.答案　1 080 J
解析　物体受到两个力的作用:拉力F'和重力mg。由牛顿第二定律得F'-mg=ma
所以F'=m(g+a)=10×(10+2) N=120 N
而F=F'=60 N
物体从静止开始运动,3 s内的位移大小为l= at2= ×2×32 m=9 m。力F的作用点在绳的端点,而在物体发生9 m位移的过程中,绳的端点的位移为2l=18 m,所以力F做的功W=F·2l=60×18 J=1 080 J。
错解分析
　　混淆物体的位移和作用力F的作用点的位移。当一个恒力F作用于一个物体,使物体沿力F的方向移动了位移L,我们就说力F对物体做了大小为FL的功;此题中力F不是直接作用在物体上,力F作用点的位移和物体位移不一致,此时求拉力F做的功时一定要找准位移的大小。
2.ABD　牵引力的功率为P,则W=Pt,A正确;当牵引力等于阻力时,速度达到最大值,则有P=Ffvmax,B正确;加速阶段牵引力大于阻力,C错误;对加速阶段,由动能定理得W-Ffs=m-m,整理得W=m+Ffs-m,D正确。
错解分析
　　本题因已知量较多,容易出现漏选的情况,容易误认为牵引力所做的功就是克服阻力所做的功而误选C,实际上小车做加速运动时牵引力并不等于阻力。应用动能定理分析问题时,要确定研究过程的初、末状态,对研究对象进行受力分析,明确力的做功情况,如本题中对于小车以恒定功率加速的过程,要明确阻力做功为恒力做功,W=-Ffs,而牵引力做功为变力做功,由于功率不变,则W=Pt,动能定理的表现形式应为Pt-Ffs=m-m。
3.C　A、B两球同轴转动,角速度ω相等,由v=ωr,得B球的线速度是A的2倍,故A错误。在杆转到竖直位置的过程中,A球的动能和重力势能都增加,则A球的机械能增加,而A、B组成的系统机械能守恒,则知B球的机械能减小,根据功能关系知轻杆对B球做负功,故B错误;设轴O到A、B的距离分别为l和2l,杆转到竖直位置时A、B的速度分别为vA、vB,可知vB=2vA,对系统,由机械能守恒定律得mg·2l-mgl=m+m,解得vA=,vB=2;在竖直位置,对A,由牛顿第二定律得FA+mg=m,可得FA=-mg,负号表示FA的方向向上,是支持力,故C正确。在竖直位置,对B,由牛顿第二定律得FB-mg=m,可得FB=mg,根据牛顿第三定律知,A球对杆的压力为FA'=mg,方向向下,B球对杆的拉力为 FB'=mg,所以杆对水平转轴的压力大小N=FA'+FB'=mg,故D错误。
4.答案　mg
解析　小球的运动可分为三个过程:
第一过程:小球做平抛运动。设绳即将伸直时,绳与竖直方向的夹角为θ,则x=v0t=R sin θ,y=gt2=R-R cos θ,其中v0=,联立解得θ=,t=。
第二过程:绳绷直过程。绳绷直时,绳刚好水平,如图所示。由于绳不可伸长,故绳绷直时,v0损失,小球仅有速度v⊥,且v⊥=gt=。
第三过程:小球在竖直平面内做圆周运动。设小球到达O点正下方时,速度为v',根据机械能守恒定律有:
mv'2=m+mgR
设此时绳对小球的拉力为T,则T-mg=m,联立解得T=mg。
错解分析
　　本题容易出错之处在于对小球运动全过程运用能量守恒定律。造成错误的原因是对小球的运动过程分析不清楚,小球先做平抛运动(绳子松弛),当绳子刚要伸直时,小球速度方向并不与绳子垂直,也不沿绳子方向,绳子张紧后,由于绳子不会伸长,小球沿绳子方向的分速度会突然消失,只剩下垂直绳子方向的分速度,此后,小球在绳子的约束下做圆周运动。可见,在绳子突然绷紧的瞬间,有能量损失,机械能并不守恒。在处理类似问题时一定要判断在题目所给的条件下机械能是否守恒,挖掘出题目所描述的物理过程中包含的重要物理关系。
思想方法练
1.C　将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln,拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn,因拉力F大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以W1=Fl1cos 37°,W2=Fl2cos 37°,…,Wn=Flncos 37°,W=W1+W2+…+Wn=Fcos 37°(l1+l2+…+ln)=F cos 37°·R=π J,同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·R=π J,拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功的比值为2,选项C正确。
方法点津
　　解答本题体现了微元法的应用。解答此类问题的关键是找出待求量对应的微元表达式,在微元表达式的定义域内进行叠加计算,进而求得待求量,此方法多适用于力与位移方向不同的情况。
2.B　根据题意得乙球先向下运动,重力势能转化为动能,速率增大,然后动能转化为重力势能,速率变小,则乙球的速率是先变大后变小;甲球先向上运动,动能转化为重力势能,速率变小,然后重力势能转化为动能,速率变大,则甲球的速率是先变小后变大,而甲、乙两个小球运动过程中只有重力做功,机械能守恒,则到达B点的速率相等。画出两小球速率随时间变化的关系图像,如图所示。两球所通过的路程即t轴与图线所围面积要相等,由图可知小球乙先到达B点,选项B正确。
方法点津
　　解答本题体现了图像法的应用。解答本题时要明确甲、乙两个小球运动过程中只有重力做功,机械能守恒,则到达B点的速率相等,路程相等。再分析甲、乙两个小球的速率变化,进而画出各自的v-t图像,得出正确结论,图像法解题多适用于多过程问题。
3.答案　(1)24 J　(2)2 m/s　2 m/s
解析　(1)释放前,以B所在位置的水平面为参考平面,A的重力势能为
EpA=mAgh
可得EpA=24 J
(2)释放后,A、B构成的系统机械能守恒,A、B速度大小相等,有
mAg-mBg=(mA+mB)v2
解得v=2 m/s
方法点津
　　解答本题体现了整体法的应用。解题时若单独选择一个小球作为研究对象,机械能不守恒,若选择两个小球构成的系统作为研究对象,绳子拉力是内力,此时两个小球组成的系统机械能守恒。应用整体法灵活地选取过程和对象,可以有效地降低解题难度。