第三章　万有引力定律 测评卷（含答案解析）

第三章　万有引力定律
注意 事项 1.本试卷满分100分,考试用时75分钟。 2.无特殊说明,本试卷中重力加速度g取10 m/s2。
一、单项选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.人类对天体运动的认识,经历了一个漫长的发展过程。以下说法正确的是 (　　)
A.亚里士多德提出了日心说,迈出了人类认识宇宙历程中最艰难而重要的一步
B.第谷通过观察提出行星绕太阳运动的轨道是椭圆
C.牛顿在前人研究的基础上发现和总结出万有引力定律,并测出了引力常量
D.海王星的发现验证了万有引力定律的正确性,显示了理论对实践的巨大指导作用
2.开普勒行星运动定律被称为“中世纪科学与近代科学的分水岭”。如图所示,下面说法正确的是 (　　)
A.火星绕太阳运行过程中,速率不变
B.地球靠近太阳的过程中,运行速率减小
C.在相等时间内,火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等
D.火星绕太阳运行一周的时间比地球的长
3.2021年10月16号神舟十三号载人飞船发射任务圆满成功。若神舟十三号载人飞船在离开地球表面的过程中竖直向上做加速运动,质量为m的航天员王亚平在舱内固定的压力传感器上,当神舟十三号载人飞船上升到离地球表面某一高度h时,飞船的加速度为a,压力传感器的示数为F。已知地球表面的重力加速度为g,地球半径大小为R,则h为(　　)
A. B. C.-R D.-R
4.设两个行星A和B各有一个卫星a和b,且两卫星的圆轨道均很贴近行星表面。若两行星的质量比MA∶MB=p,两行星的半径比RA∶RB=q,那么这两个卫星的运行周期之比Ta∶Tb应为 (　　)
A.q· B.q·
C.p· D.
5.某人造地球卫星沿圆轨道运行,轨道半径是6.8×103 km,周期是5.6×103 s,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,利用这些数据估算地球的质量为(结果保留一位有效数字) (　　)
A.6×1020 kg B.6×1022 kg
C.6×1024 kg D.6×1026 kg
6.2020年7月23日,我国成功发射了“天问一号”火星探测器。探测器到达火星附近变轨后绕火星做匀速圆周运动。若探测器在运行轨道上做圆周运动的周期为T,轨道到火星表面的距离为火星半径的k倍,已知火星表面的重力加速度为g,则火星的第一宇宙速度为 (　　)
A. B.
C. D.
7.我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”,其标识如图所示。若火星质量为地球质量的10%,半径为地球半径的50%;火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2,下列说法正确的是 (　　)
A.同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的之比为∶
B.火星与地球绕太阳运动的线速度大小之比为2∶3
C.火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度
D.火星探测器的发射速度应介于地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
8.黑洞是宇宙空间内存在的一种天体。黑洞的引力很大,使得视界内的逃逸速度大于光速。黑洞无法直接观测,但可以由间接方式得知其存在与质量,并且观测到它对其他事物的影响,双星系统中两个星球A、B的质量都是m,A、B相距L,它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动,如图甲所示。实际观测该系统的角速度ω要大于按照力学理论计算出的角速度理论值ω0,且=k(k>1)于是有人猜测这可能是受到了一个未发现的黑洞C的影响,并认为C位于双星A、B的连线正中间,相对A、B静止,如图乙所示。已知引力常量为G,以下说法正确的是 (　　)
A.在运动的过程中,A和B两个星球的角速度、线速度都相同
B.如图甲,两个星球A、B组成的双星系统角速度理论值ω0=
C.图乙中A受到的万有引力为mω2
D.星球C的质量m(k2-1)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.某双星系统如图所示,已知恒星A、B间的距离恒为L,恒星A和恒星B的总质量为4M,恒星A与恒星B的转动半径之比为3∶1,引力常量为G,下列说法正确的是 (　　)
A.恒星的角速度为
B.恒星A的质量为M
C.恒星A和恒星B的向心力大小之比为1∶1
D.恒星A和恒星B的线速度大小之比为1∶4
10.2021年10月16日、神舟十三号载人飞船顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空,假设神舟十三号载人飞船在距地面高度为h的轨道做圆周运动,已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,下列说法正确的是 (　　)
A.神舟十三号载人飞船的线速度大于地球第一宇宙速度
B.神舟十三号载人飞船运行的周期为T=2π
C.神舟十三号载人飞船轨道处的重力加速度为
D.地球的平均密度ρ=
11.据报道,我国发射的“天问一号”探测器在2021年2月10日被火星“捕获”进入环火星椭圆轨道Ⅰ,2月20日再次实施近火星轨道调整,进入椭圆轨道Ⅱ,探测器运行过程简化如图,则下列说法正确的是 (　　)
A.探测器在A点加速才能被火星“捕获”进入环火星椭圆轨道Ⅰ
B.探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过B点的速度大于经过A点的速度
C.探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过B点的加速度等于在轨道Ⅱ上正常运行时经过B点的加速度
D.探测器在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期
12.设想在赤道上建造如图甲所示垂直于水平面的“太空电梯”,航天员通过电梯直通太空站。图乙中r为航天员到地心的距离,R为地球半径,曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小与r的关系;直线B为航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系,关于相对地面静止在不同高度的航天员,下列说法正确的有 (　　)
A.随着r增大,航天员的线速度也增大
B.航天员在r=R处的线速度等于第一宇宙速度
C.图中r0为地球同步卫星的轨道半径
D.随着r增大,航天员感受到“重力”也增大
三、非选择题(本题共6小题,共60分)
13.(6分)随着航天技术的发展,许多实验可以搬到太空中进行。飞船绕地球做匀速圆周运动时,无法在飞船中用天平称量物体的质量。假设某航天员在这种环境下设计了如图所示装置(图中O为光滑的小孔)来间接测量物体的质量:给待测物体一个初速度,使它在桌面上做匀速圆周运动。假设飞船中具有基本测量工具。
(1)物体与桌面间的摩擦力可以忽略不计,原因是　　　　　　　　;
(2)实验时测得的物理量有弹簧测力计示数F、圆周运动的周期T和圆周运动的半径R,则待测物体质量的表达式为M=　　　　。
14.(8分)在一个未知星球上用如图甲所示装置研究平抛运动的规律。悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝,当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断,小球由于惯性向前飞出做平抛运动。现对此运动采用频闪数码照相机连续拍摄。在有坐标纸的背景屏前,拍下了小球在做平抛运动过程中的多张照片,经合成后,照片如图乙所示,a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置,已知照相机连续拍照的时间间隔是0.10 s,照片大小如图中坐标所示,又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1∶4,则:(结果可保留根号)
(1)由以上及图信息,可以推算出该星球表面的重力加速度为　　　 m/s2。
(2)由以上及图信息可以算出小球在b点时的速度是　　　m/s。
(3)若已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,则该星球的质量与地球质量之比M星∶M地=　　　,第一宇宙速度之比v星∶v地=　　　。
15.(8分)一航天员在半径为R、密度均匀的某星球表面做如下实验,用不可伸长的、长为l的轻绳拴一质量为m的小球(可视为质点),上端固定在O点,如图所示,在最低点给小球某一初速度,使其绕O点恰好能在竖直面内做圆周运动,已知小球在最高点的速度为v0,引力常量为G,忽略各种阻力,求:
(1)该行星的平均密度ρ;
(2)该行星的第一宇宙速度v。
16.(8分)2021年2月10日19时52分,我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动,成功实现环绕火星运动,成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时,周期为T,轨道半径为r。已知火星的半径为R,引力常量为G,不考虑火星的自转。求:
(1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v;
(2)火星的质量M;
(3)火星表面的重力加速度的大小g火。
17.(12分)上九天揽月,登月表取壤,嫦娥五号完成了中国探月的一大壮举。2020年12月2日,嫦娥五号在月球上釆集1.7 kg月壤样品并封装,由上升器送入预定环月轨道。如果携带已封装月壤的上升器离开月球表面的一段运动过程中,在竖直方向上先加速上升,后减速上升,其v-t图像如图所示。已知月球质量约为地球的,月球表面重力加速度约为地球表面的,求:
(1)月球与地球的半径之比(结果可保留根号);
(2)加速及减速过程中,封装装置对月壤样品的作用力大小之差。
18.(18分)北斗卫星导航系统已组网成功,55颗卫星全部发射入网,标志着北斗跻身世界顶尖导航定位系统。如图所示,某卫星在地球赤道上空的圆形轨道运行,轨道半径为r1,运行周期为T,卫星绕行方向与地球自转方向相同,不计空气阻力,引力常量为G。
(1)求该卫星向心加速度的大小;
(2)假设某时刻因为任务的需要调整轨道,该卫星在A点变轨进入椭圆轨道,近地点B到地心的距离为r2,求卫星由A点运动到B点所需要的最短时间;
(3)该卫星在半径为r1的圆形轨道上运行期间,正好被在赤道某城市的天文爱好者杰克观察到,某时刻该卫星正处于杰克头顶的正上方(把这种状态称为相遇),此后,每过16小时卫星与杰克相遇一次,那么该卫星的周期为多少小时
答案与解析
第三章　万有引力定律
1.D　哥白尼提出了日心说,托勒密提出了地心说,故A错误;开普勒通过总结第谷的观测数据提出行星绕太阳运行的轨道是椭圆,故B错误;牛顿在前人研究的基础上发现并总结出万有引力定律,但引力常量是卡文迪许通过实验测出的,故C错误;海王星的发现验证了万有引力定律的正确性,显示了理论对实践的巨大指导作用,故D正确。
2.D　由开普勒第二定律可知,行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等,即在近日点速率大,在远日点速率小,火星与太阳连线、地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积是不相等的,A、B、C错误;由开普勒第三定律=k可知,半长轴大的周期长,则火星绕太阳运行一周的时间比地球的长,D正确。
3.C　对航天员受力分析有F-F引=ma又F引=,由黄金代换式gR2=GM可知F引=,解得h=-R所以A、B、D错误,C正确。
4.B　由题意可知,两卫星的轨道半径等于行星半径,根据万有引力提供向心力,有G=mR,解得T=,两行星质量之比为MA∶MB=p ,半径之比为RA∶RB=q ,所以两卫星运行周期之比=q,选项B正确。
5.C　设地球的质量为M,人造地球卫星的质量为m,根据万有引力提供向心力,可得G=mr,则M=,代入数据解得M≈6×1024 kg,选项C正确。
6.D　卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,则有G=m(k+1)R,又由于mg=G,解得R=。卫星在火星表面做匀速圆周运动,有G=m,解得火星的第一宇宙速度v==,选项D正确。
7.C　根据万有引力定律F=G,解得==,选项A错误;根据G=m 得v=,解得==,选项B错误;根据G=m得v'=,解得==,火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度,选项C正确;火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度,选项D错误。
8.C　在运动的过程中,A和B两个星的角速度相同、线速度大小相同,但线速度方向不同,故A错误;分析星球A、B:=mrA,=mrB,rA+rB=L联立解得ω0=,故B错误;由万有引力提供向心力可知,图乙中A受到的万有引力为mω2,故C正确;设黑洞C的质量为M,分析A星球,FAC=,FAB=,FAC+FAB=mω2 ,联立上式解得M=m(k2-1),故D错误。
9.BC　设恒星A的质量为mA,运动的半径为rA,恒星B的质量为mB,运动的半径为rB,由于双星的角速度相同,故有=mAω2rA=mBω2rB,解得mArA=mBrB,已知mA+mB=4M,rA∶rB=3∶1,解得mA=M,mB=3M,选项B正确;由题意可知rA=L,代入=mAω2rA,解得ω=,选项A错误;恒星A与恒星B的向心力由它们之间的万有引力提供,大小相等,选项C正确;由于双星的角速度相同,恒星A与恒星B的线速度之比为半径之比,即3∶1,选项D错误。
10.BC　由万有引力提供向心力可得G==m=man,且在地球表面满足G=mg即GM=gR2,由题意知神舟十三号载人飞船轨道半径为r=R+h,所以解得周期T=2π,线速度v=,由于神舟十三号载人飞船的轨道半径大于地球近地卫星的轨道半径,所以其线速度小于地球近地卫星线速度,即小于第一宇宙速度,向心加速度即重力加速度,为an=,故A错误,B、C正确;由密度公式得ρ===,故D错误。
11.BC　探测器在A点需要减速才能被火星“捕获”进入环火椭圆轨道Ⅰ,选项A错误;根据开普勒第二定律知探测器在轨道Ⅰ上正常运行时经过B点的速度大于经过A点的速度,选项B正确;根据G=ma知,探测器在轨道Ⅰ上经过B点的加速度等于轨道Ⅱ上经过B点的加速度,选项C正确;由开普勒第三定律=知探测器在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期,选项D错误。
12.AC　“太空电梯”任意处与地球自转的角速度ω相同,因此线速度v=ωr,因此随着r增大,航天员的线速度也增大,选项A正确;航天员在r=R处的线速度为v=ωR,小于同步卫星的线速度,而第一宇宙速度是在地球表面绕地球做匀速圆周运动的速度,=m,v0=,大于同步卫星线速度,所以航天员在r=R处的线速度小于第一宇宙速度,选项B错误;在B线上,r0处a1=ω2r0,有a1=a2,所以ω1=ω人=ω地,所以图中r0为地球同步卫星的轨道半径,选项C正确;随着r增大,万有引力F引减小,在电梯上随着r增大,航天员的重力G=F引-mω2r减小,所以航天员感受到“重力”减小,选项D错误。
13.答案　(1)在太空中物体与桌面间几乎没有压力,物体与桌面间摩擦力几乎为零(3分)
(2)(3分)
解析　(1)压力是产生摩擦力的前提条件,没有压力一定没有摩擦力。由于在太空中物体与桌面间几乎没有压力,物体与桌面间摩擦力几乎为零,因此摩擦力可以忽略不计。
(2)物体在桌面上做匀速圆周运动,物体与桌面间的摩擦力忽略不计,由弹簧测力计的拉力提供物体的向心力。根据牛顿第二定律有F=MR,解得M=。
14.答案　(1)8(2分)
(2)(2分)
(3) 1∶20(2分)　 ∶5(2分)
解析　(1)由平抛运动可知,小球在竖直方向做自由落体运动,连续相等的时间内位移差Δy=2l,又从图中得知每小格长1 cm,该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1∶4,可知Δy=2l=8 cm,根据Δy=gT2解得g=8 m/s2。
(2)小球在b点时竖直方向分速度vy== m/s=0.8 m/s
小球在b点时水平方向分速度vx== m/s=0.8 m/s
小球在b点时的速度vb== m/s。
(3)根据G=mg可得 ,GM星=g星,GM地=g,
联立得M星∶M地=1∶20;
根据G=m可得v星=,v地=,联立得第一宇宙速度之比v星∶v地=∶5。
15.答案　(1)　(2)
解析　(1)设行星表面的重力加速度为g,在最高点,对小球有
mg=m (1分)
解得g= (1分)
对行星表面的质量为m的小球,有
G=mg (1分)
解得行星质量M= (1分)
故行星的密度
ρ== (1分)
(2)对在行星表面附近做匀速圆周运动的卫星,万有引力提供向心力由牛顿第二定律得
G=m' (1分)
由(1)可知GM=gR2= (1分)
联立可得该行星的第一宇宙速度为v= (1分)
16.答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)由线速度定义可得v=。 (2分)
(2)设“天问一号”的质量为m,万有引力提供向心力,有
G=mr (2分)
得M= (1分)
(3)忽略火星自转,火星表面质量为m'的物体,其所受重力等于万有引力,m'g火= (2分)
得g火= (1分)
17.答案　(1)　(2)6.8 N
解析　(1)设地球质量为M,表面的重力加速度为g,则月球质量为M,表面的重力加速度为g;在地球表面有G=mg (2分)
则在月球表面有G=m'·g (2分)
联立解得= (1分)
(2)由图像得加速过程的加速度大小为a1=3 m/s2,减速过程的加速度大小为a2=1 m/s2;由牛顿第二定律得
在加速上升过程中,对月壤样品,有F1-mg'=ma1 (2分)
在减速上升过程中,对月壤样品,有mg'-F2=ma2 (2分)
作用力大小之差ΔF=F1-F2 (2分)
联立并代入数据解得ΔF=6.8 N(1分)
18.答案　(1)　(2)·　(3)9.6 h
解析　(1)卫星做匀速圆周运动,向心加速度的大小为
an=r1= (4分)
(2)由开普勒第三定律得= (4分)
解得T1=·T (2分)
卫星由A点运动到B点所需要的最短时间为
t=T1=· (2分)
(3)每过16小时卫星与杰克相遇一次,设地球自转的周期为T0,知T0=24 h,即每T0时间相遇一次,得
·T0=2π(4分)
解得
T=T0=9.6 h(2分)