2 任意角 (教学方式:基本概念课逐点理清式教学)
[课时目标]
1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
2.理解并掌握终边相同角的概念,能写出终边相同角组成的集合.
逐点清(一) 角的概念推广
[多维理解]
1.角的概念
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的 ,射线OB是角α的 .
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 按 方向旋转形成的角
负角 按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 作任何旋转,称它形成了一个零角
3.角的加法
(1)若两角α,β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
(2)设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
(3)把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角,角α的相反角记为-α,α-β=α+(-β).
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)小于90°的角都是锐角. ( )
(2)终边与始边重合的角为零角. ( )
(3)大于90°的角都是钝角. ( )
(4)将时钟拨快20分钟,则分针转过的角度是120°. ( )
2.已知∠α=60°36',则∠α的余角是 ( )
A.29.4° B.29.64°
C.119.4° D.119.64°
3.如图,圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,24 min之后OP从起始位置OA转过的角是 ( )
A.-864° B.432°
C.504° D.864°
4.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为 ( )
A.逆时针,270° B.顺时针,270°
C.逆时针,30° D.顺时针,30°
逐点清(二) 终边相同的角
[多维理解]
1.象限角
在平面直角坐标系中,角的顶点在 ,始边在 .角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的第几象限,就说这个角是 .如果角的终边在 上,这个角就不属于任何象限.
2.象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°+270°<α3.终边相同的角
一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β| },即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
|微|点|助|解|
(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略.
k有三层含义:①特殊性:对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时,逆时针转动;k取负整数时,顺时针转动;k=0时,没有转动.
(2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)终边相同的角的相关结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍.
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
[微点练明]
1.下列选项中,与角α=-30°终边相同的角是 ( )
A.30° B.240°
C.300° D.330°
2.800°是以下哪个象限的角 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知角α=k·180°-2 002°,k∈Z,则符合条件的最大负角为 ( )
A.-22° B.-220°
C.-202° D.-158°
4.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在 ( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
5.在-360°到720°之间,且与-1 050°终边重合的角是 .
逐点清(三) 终边相同角的应用
[典例] (1)如图,终边落在阴影部分的角的集合是 ( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}
(2)已知角α是第三象限角,则角是 ( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
听课记录:
|思|维|建|模|
1.关于角nα或象限的确定
(1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限.
(2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可.
2.表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合.
[针对训练]
1.已知α∈,则角α的终边所在的阴影部分是 ( )
2.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
3.终边在直线y=x上的角α的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
2 任意角
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.始边 终边 2.逆时针 顺时针 没有
[微点练明] 1.(1)× (2)× (3)× (4)× 2.A 3.D 4.B
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.坐标原点 x轴的非负半轴 第几象限角 坐标轴 3.β=α+k·360°,k∈Z
[微点练明] 1.D 2.A 3.A 4.A 5.-330°,30°,390°
[逐点清(三)]
[典例] 解析:(1)阴影部分的角从-45°到90°+30°=120°,再加上360°的整数倍,即k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,
k∈Z.
(2)因为α是第三象限角,所以k·360°+180°<α答案:(1)C (2)D
[针对训练]
1.选B 令k=0,得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意.
2.选C 由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角.
3.选B 易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时,α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合为{α|α= 4 / 5(共47张PPT)
任意角
(基本概念课——逐点理清式教学)
§2
课时目标
1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
2.理解并掌握终边相同角的概念,能写出终边相同角组成的集合.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 角的概念推广
逐点清(二) 终边相同的角
逐点清(三) 终边相同角的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 角的概念推广
01
1.角的概念
平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的 ,射线OB是角α的 .
始边
终边
多维理解
2.角的分类
类型 定义 图示
正角 按 方向旋转形成的角
负角 按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 作任何旋转,称它形成了一个零角
逆时针
顺时针
没有
3.角的加法
(1)若两角α,β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.
(2)设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
(3)把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角,角α的相反角记为-α,α-β=α+(-β).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)小于90°的角都是锐角. ( )
(2)终边与始边重合的角为零角. ( )
(3)大于90°的角都是钝角. ( )
(4)将时钟拨快20分钟,则分针转过的角度是120°. ( )
×
×
×
×
微点练明
2.已知∠α=60°36',则∠α的余角是 ( )
A.29.4° B.29.64°
C.119.4° D.119.64°
解析:∠α的余角为90°-60°36'=29°24'=°=29.4°.
√
3.如图,圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向
旋转,10 min转一圈,24 min之后OP从起始位置OA转
过的角是 ( )
A.-864° B.432°
C.504° D.864°
解析:因为点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,所以点P逆时针方向旋转一分钟转的度数为=36°,设24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24=864°。
√
4.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为 ( )
A.逆时针,270° B.顺时针,270°
C.逆时针,30° D.顺时针,30°
解析:由题意可得∠AOB=120°,设∠BOC=θ,
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,
所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°。
√
逐点清(二) 终边相同的角
02
1.象限角
在平面直角坐标系中,角的顶点在 ,始边在 .角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的第几象限,就说这个角是
.如果角的终边在 上,这个角就不属于任何象限.
坐标原点
x轴的非负半轴
第几象限角
坐标轴
多维理解
2.象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°+270°<α3.终边相同的角
一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β| },即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
β=α+k·360°,k∈Z
|微|点|助|解|
(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略.
k有三层含义:①特殊性:对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角.
②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时,逆时针转动;k取负整数时,顺时针转动;k=0时,没有转动.
(2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)终边相同的角的相关结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍.
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
1.下列选项中,与角α=-30°终边相同的角是 ( )
A.30° B.240°
C.300° D.330°
解析:与角α=-30°终边相同的角表示为θ=-30°+360°·k,k∈Z,
当k=1时,θ=330°,故330°与角α=-30°终边相同.
√
微点练明
2.800°是以下哪个象限的角 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为800°=2×360°+80°,所以800°与80°的终边相同.
而80°是第一象限的角,所以800°是第一象限的角,故选A.
√
3.已知角α=k·180°-2 002°,k∈Z,则符合条件的最大负角为 ( )
A.-22° B.-220°
C.-202° D.-158°
解析:因为α=k·180°-2 002°<0,
所以k<11+.又k∈Z,所以当k=11时,最大负角为-22°,故选A.
√
4.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在 ( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析:当k为偶数时,α与45°角终边相同,此时α为第一象限角;
当k为奇数时,α与225°角终边相同,此时α为第三象限角,故选A.
√
5.在-360°到720°之间,且与-1 050°终边重合的角是 .
解析:与-1 050°终边重合的所有角连同-1 050°在内可表示为k·360°-1 050°，k∈Z，依题意有-360°≤k·360°-1 050°<720°,
解得≤k<,又k∈Z,则k∈{2,3,4},
所求的角对应为-330°,30°,390°.
-330°,30°,390°
逐点清(三) 终边相同角的应用
03
[典例]
(1)如图,终边落在阴影部分的角的集合是( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}
解析:阴影部分的角从-45°到90°+30°=120°,再加上360°的整数倍,即k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z.
√
(2)已知角α是第三象限角,则角是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
解析:因为α是第三象限角,所以k·360°+180°<α所以k·180°+90°<n·360°+90°<当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270°<所以是第四象限角.
√
|思|维|建|模|
1.关于角nα或象限的确定
(1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限.
(2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可.
2.表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α1.已知α∈,则角α的终边所在的阴影部分是( )
解析:令k=0,得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意.
针对训练
√
2.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
解析:由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),
故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.
当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;
当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),
所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角.
√
3.终边在直线y=x上的角α的集合为( )
A.
B.
C.
D.
解析:易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时,
α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,
α=240°+k·360°,k∈Z.
所以角α的集合为.
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课时跟踪检测
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2
1.下列说法正确的是 ( )
A.第二象限角比第一象限角大
B.60°角与600°角是终边相同的角
C.斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D.将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角度为60°
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2
解析:选项A,第二象限角可能为负角,如-240°,第一象限角也有可能为正角,如60°,故A错误;选项B,600°-60°=540°≠k·360°(k∈Z),故60°角与600°角终边不同,故B错误;选项C,斜三角形的内角为锐角或者钝角,故其内角为第一象限角或第二象限角,故C正确;选项D,分针拨快是顺时针旋转,得到的角为负角,故D错误.
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2.已知角α在直角坐标系中,如图所示,其中射线OA与
y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为 ( )
A.-480° B.-240°
C.150° D.480°
解析:由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转,
可知α为正角.又旋转量为480°,∴α=480°.
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3.将-885°化为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是 ( )
A.-165°+(-2)×360° B.195°+(-3)×360°
C.195°+(-2)×360° D.165°+(-3)×360°
解析:由0°≤α<360°知-885°=195°-1 080°=195°+(-3)×360°.
故选B.
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4.(多选)下列四个角为第二象限角的是 ( )
A.-200° B.100°
C.220° D.420°
解析:-200°=-360°+160°,在0°~360°范围内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角,同理100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角.
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5.若角α,β的终边相同,则α-β的终边落在 ( )
A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上
C.x轴上 D.y轴的非负半轴上
解析:因为角α,β的终边相同,故α-β=k·360°,k∈Z.
所以α-β的终边落在x轴的非负半轴上.
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6.(多选)已知α是锐角,则 ( )
A.2α是小于180°的正角 B.180°+α是第三象限角
C.只是锐角 D.2α是第一或第二象限角
解析:依题意知0°<α<90°,所以0°<2α<180°,故A正确;
180°<180°+α<270°,所以180°+α是第三象限角,故B正确;
0°<<45°,所以是锐角,故C正确;0°<2α<180°,当2α=90°时,
不是第一或第二象限角,故D错误.故选A、B、C.
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7.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在 ( )
A.第四象限 B.第一、二象限
C.第一象限 D.第二、四象限
解析:令k=0,α=-60°,在第四象限;
再令k=1,α=-60°+180°=120°,在第二象限.
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8.(多选)如果α是第三象限的角,那么可能是哪个象限的角( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为α是第三象限的角,则k·360°+180°<αk∈Z,所以k·120°+60°<√
√
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9.(多选)如果角α与角γ+60°的终边相同,角β与角γ-60°的终边相同,那么
α-β的可能值为 ( )
A.120° B.360° C.1 200° D.3 600°
解析:∵角α与角γ+60°的终边相同,α=m·360°+γ+60°,m∈Z,
角β与角γ-60°的终边相同,β=n·360°+γ-60°,n∈Z,
∴α-β=m·360°+γ+60°-(n·360°+γ-60°)=(m-n) ·
360°+120°(m,n∈Z).即α-β与120°角终边相同,
选项A、C符合题意.故选A、C.
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10.已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α= .
解析:因为α与120°角终边相同,所以α=k·360°+120°,k∈Z.
又-990°故取k=-3,则α=-3×360°+120°=-960°.
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11.如图所示,终边落在阴影部分的角α的取值集合为 .
解析:终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+30°,
k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ=k·360°+105°,k∈Z},
所以终边落在阴影部分(含射线OA,不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°+30°≤α{α|k·360°+30°≤α1
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12.(17分)已知角α=2 024°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
解:∵2 024=5×360+224,
∴取k=5,β=224°,α=5×360°+224°.
又β=224°是第三象限角,∴α为第三象限角.
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(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
解:与2 024°终边相同的角为k·360°+2 024°(k∈Z).
令-360°≤k·360°+2 024°<720°(k∈Z),
解得-6≤k<-3(k∈Z).∴k=-6,-5,-4.
将k的值代入k·360°+2 024°中,得角θ的值为-136°,224°,584°.
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13.(18分)如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
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解:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,
m∈Z,14β=n·360°,n∈Z.由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°,
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,
∴2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β<180°,即45°<α<β<90°,
∴45°<α=·180°<90°,45°<β=·180°<90°,∴∵α<β,∴m(满分90分,选填小题每题5分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.第二象限角比第一象限角大
B.60°角与600°角是终边相同的角
C.斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D.将表的分针拨快10分钟,则分针转过的角度为60°
2.已知角α在直角坐标系中,如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为 ( )
A.-480° B.-240°
C.150° D.480°
3.将-885°化为α+k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是 ( )
A.-165°+(-2)×360° B.195°+(-3)×360°
C.195°+(-2)×360° D.165°+(-3)×360°
4.(多选)下列四个角为第二象限角的是 ( )
A.-200° B.100°
C.220° D.420°
5.若角α,β的终边相同,则α-β的终边落在 ( )
A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上
C.x轴上 D.y轴的非负半轴上
6.(多选)已知α是锐角,则 ( )
A.2α是小于180°的正角 B.180°+α是第三象限角
C.只是锐角 D.2α是第一或第二象限角
7.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在 ( )
A.第四象限 B.第一、二象限
C.第一象限 D.第二、四象限
8.(多选)如果α是第三象限的角,那么可能是哪个象限的角 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.(多选)如果角α与角γ+60°的终边相同,角β与角γ-60°的终边相同,那么α-β的可能值为 ( )
A.120° B.360°
C.1 200° D.3 600°
10.已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α= .
11.如图所示,终边落在阴影部分的角α的取值集合为 .
12.(17分)已知角α=2 024°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
13.(18分)如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α,β的值.
课时跟踪检测(二)
1.C 2.D 3.B 4.AB 5.A 6.ABC 7.D
8.ACD 9.AC 10.-960°
11.{α|k·360°+30°≤α12.解:(1)∵2 024=5×360+224,
∴取k=5,β=224°,α=5×360°+224°.
又β=224°是第三象限角,∴α为第三象限角.
(2)与2 024°终边相同的角为k·360°+2 024°(k∈Z).
令-360°≤k·360°+2 024°<720°(k∈Z),
解得-6≤k<-3(k∈Z).
∴k=-6,-5,-4.
将k的值代入k·360°+2 024°中,得角θ的值为-136°,224°,584°.
13.解:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z.
由0°<α<β<180°,知0°<2α<2β<360°,
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,
∴2α,2β都是钝角,即90°<2α<2β<180°,
即45°<α<β<90°,
∴45°<α=·180°<90°,45°<β=·180°<90°,
∴∵α<β,∴m又m,n∈Z,
∴m=2,n=3,
∴α=°,β=°.
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