4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标] 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.
2.会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值.
1.利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数
如图,在直角坐标系中,给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),把点P的纵坐标v叫作角α的 ,把点P的横坐标u叫作角α的 .对于α∈R,称v=sin α为任意角α的正弦函数,u= 为任意角α的余弦函数.
2.利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数、余弦函数
设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= ,其中r= .
|微|点|助|解|
(1)对任意一个给定的角α,它只有唯一的一条终边,从而终边与单位圆只有唯一的交点,所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的.
(2)角的三角函数值与点在终边上的位置无关.
(3)由三角函数的定义可知,任意给定角α,有sin2α+cos2α=1.
基础落实训练
1.若α的终边与x轴负半轴重合,则sin α= ,cos α= .
2.已知角α终边经过点P(5,0),则sin α= ,cos α= .
题型(一) 单位圆法求三角函数值
[例1] 在单位圆中,α=.
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;
(3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值.
听课记录:
|思|维|建|模|
单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
[针对训练]
1.已知角α的终边经过点,则sin α= ,cos α= .
2.利用定义求的正弦函数值、余弦函数值.
题型(二) 已知角终边上的一点求值
[例2] (1)已知角θ的终边经过点P(1,-),则cos θ的值为 ( )
A.- B.
C.-
(2)若角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sin α+cos α= .
听课记录:
|思|维|建|模|
已知角的终边上一点求三角函数值的步骤
(1)取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点不重合);
(2)计算r:r=|OP|=;
(3)求值:由sin α=,cos α=求值.
[针对训练]
3.(多选)角α的终边上一点的坐标为P(3,4),则下列结论正确的是 ( )
A.sin α= B.sin α=
C.cos α= D.cos α=
4.已知角θ的终边经过点P(,a),若sin θ=-,则a= ( )
A. B.
C.- D.-
题型(三) 已知角终边所在直线求值
[例3] 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值.
听课记录:
[变式拓展]
1.(变条件)本例中条件“角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y=-x(x≥0)”,求sin α,cos α的值.
2.(变条件)本例中条件“α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“α的终边落在直线y=2x上”,其他条件不变,其结论又如何呢
|思|维|建|模|
在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的正、余弦函数值分别为sin α=,cos α= .
[针对训练]
5.已知角α的终边在直线y=x上,求sin α.
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
课前预知教材
1.正弦值 余弦值 cos α 2.
[基础落实训练]
1.0 -1 2.0 1
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:(1)因为α==2π+,所以角α的终边与角的终边相同.以原点为角的顶点,
以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P,则角α如图所示.
(2)由(1)知,点P在第二象限,且在角的终边上,所以点P的坐标为.
(3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sin=,cos=-.
[针对训练]
1.解析:因为+=1,所以点在单位圆上,由三角函数的定义知sin α=-,cos α=-.
答案:- -
2.解:如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在Rt△OBP中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=,
则P.
所以sin=,cos=-.
[题型(二)]
[例2] 解析:(1)因为角θ的终边经过点P(1,-),所以cos θ==.
(2)r==5|a|.
①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,sin α===,cos α===-.所以2sin α+cos α=-=1.
②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,sin α==-,cos α==.所以2sin α+cos α=-+=-1.
综上所述,2sin α+cos α=1或-1.
答案:(1)D (2)1或-1
[针对训练]
3.选BC 因为点P到坐标原点的距离r==5,所以sin α=,cos α=.
4.选D 因为sin θ<0,所以a<0,sin θ==-,解得a=-或a=(舍去).
[题型(三)]
[例3] 解:设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x,y),
则解得
即P,
所以sin α=y=,cos α=x=.
[变式拓展]
1.解:由得x2+x2=1,即25x2=16,解得x=或x=-.
因为x≥0,所以x=,从而y=-.
所以角α的终边与单位圆的交点坐标为.
所以sin α=y=-,cos α=x=.
2.解:法一 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),
联立解得或即点P坐标为或,
当点P坐标为时,sin α=,cos α=,
当点P坐标为时,sin α=-,cos α=-.
法二 ①若α的终边在第一象限时,设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点,
因为r=|OP|==a,
所以sin α===,cos α===.
②若α的终边在第三象限时,设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点,
因为r=|OP|==-a(a<0),
所以sin α===-,cos α===-.
[针对训练]
5.解:易知角α的终边在第一象限或第三象限,
当角α的终边在第一象限时,角α的终边与单位圆的交点P的坐标为,则sin α=;
当角α的终边在第三象限时,角α的终边与单位圆的交点P'的坐标为,则sin α=-.
综上可知,sin α=或sin α=-.
4 / 4(共45张PPT)
4.1
单位圆与任意角的正弦
函数、余弦函数定义
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.
2.会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数
如图,在直角坐标系中,给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),把点P的纵坐标v叫作角α的 ,把点P的横坐标u叫作角α的 .对于α∈R,称v=sin α为任意角α的正弦函数,u= 为任意角α的余弦函数.
正弦值
余弦值
cos α
2.利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数、余弦函数
设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= ,
其中r= .
|微|点|助|解|
(1)对任意一个给定的角α,它只有唯一的一条终边,从而终边与单位圆只有唯一的交点,所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的.
(2)角的三角函数值与点在终边上的位置无关.
(3)由三角函数的定义可知,任意给定角α,有sin2α+cos2α=1.
1.若α的终边与x轴负半轴重合,则sin α= ,cos α= .
解析:当α的终边与x轴负半轴重合时,角α的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),故sin α=0,cos α=-1.
0
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基础落实训练
2.已知角α终边经过点P(5,0),则sin α= ,cos α= .
解析:∵x=5,y=0,∴r=5.
∴sin α==0,cos α==1.
0
1
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 单位圆法求三角函数值
[例1] 在单位圆中,α=.
(1)画出角α;
解:因为α==2π+,所以角α的终边与角的终边相同.
以原点为角的顶点,以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋
转,与单位圆交于点P,则角α如图所示.
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;
解:由(1)知,点P在第二象限,且在角的终边上,所以点P的坐标为.
(3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值.
解:由(2)及正、余弦函数的定义可得sin=,cos=-.
|思|维|建|模|
单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
针对训练
1.已知角α的终边经过点,则sin α= ,
cos α= .
解析:因为+=1,所以点在单位圆上,由三角函数的定义知sin α=-,cos α=-.
-
-
2.利用定义求的正弦函数值、余弦函数值.
解:如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在Rt△OBP中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=,则P.
所以sin=,cos=-.
题型(二) 已知角终边上的一点求值
[例2] (1)已知角θ的终边经过点P(1,-),则cos θ的值为( )
A.-
C.-
解析:因为角θ的终边经过点P(1,-),所以cos θ==.
√
(2)若角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sin α+cos α= .
解析:r==5|a|.
①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,sin α===,
cos α===-.所以2sin α+cos α=-=1.
②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,sin α==-,
cos α==.所以2sin α+cos α=-+=-1.
综上所述,2sin α+cos α=1或-1.
1或-1
|思|维|建|模|
已知角的终边上一点求三角函数值的步骤
(1)取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点不重合);
(2)计算r:r=|OP|=;
(3)求值:由sin α=,cos α=求值.
针对训练
3.(多选)角α的终边上一点的坐标为P(3,4),则下列结论正确的是 ( )
A.sin α= B.sin α=
C.cos α= D.cos α=
解析:因为点P到坐标原点的距离r==5,所以sin α=,cos α=.
√
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4.已知角θ的终边经过点P(,a),若sin θ=-,则a=( )
A.
C.- D.-
解析:因为sin θ<0,所以a<0,sin θ==-,
解得a=-或a=(舍去).
√
题型(三) 已知角终边所在直线求值
[例3] 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值.
解:设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x,y),
则解得
即P,所以sin α=y=,cos α=x=.
1.(变条件)本例中条件“角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y=-x(x≥0)”,求sin α,cos α的值.
解:由得x2+x2=1,即25x2=16,解得x=或x=-.因为x≥0,
所以x=,从而y=-.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为.
所以sin α=y=-,cos α=x=.
变式拓展
2.(变条件)本例中条件“α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“α的终边落在直线y=2x上”,其他条件不变,其结论又如何呢
解:法一 设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),
联立解得或
即点P坐标为或,
当点P坐标为时,sin α=,cos α=,
当点P坐标为时,sin α=-,cos α=-.
法二 ①若α的终边在第一象限时,设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点,
因为r=|OP|==a,所以sin α===,cos α===.
②若α的终边在第三象限时,设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点,
因为r=|OP|==-a(a<0),
所以sin α===-,cos α===-.
|思|维|建|模|
在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的正、余弦函数值分别为sin α=,cos α= .
针对训练
5.已知角α的终边在直线y=x上,求sin α.
解:易知角α的终边在第一象限或第三象限,
当角α的终边在第一象限时,角α的终边与单位圆的交点P的坐标为,则sin α=;
当角α的终边在第三象限时,角α的终边与单位圆的交点P'的坐标为,则sin α=-.综上可知,sin α=或sin α=-.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.若sin α=,cos α=-,则在角α终边上的点有( )
A.(-4,3) B.(3,-4)
C.(4,-3) D.(-3,4)
解析:由sin α,cos α的定义知,当x=-4,y=3,r=5时,满足题意,故选A.
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2.已知角α的终边经过点P(-2,1),则sin α的值为 ( )
A.
C.- D.-
解析:因为角α的终边经过点P(-2,1),
所以sin α==.
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3.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α等于 ( )
A. B.-
C.- D.-
解析:由题意得P(1,-),它与原点的距离r==2,
∴sin α=-.
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4.已知角α的终边经过点P(4,b),且sin α=-,则b的值为( )
A.3 B.-3
C.±3 D.5
解析:根据三角函数的定义知sin α==-,且b<0,即25b2=9(16+b2),解得b=-3.
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5.(多选)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4|a|),其中a≠0,则下列取值有可能的是 ( )
A.sin α=- B.cos α=-
C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=
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解析:当a>0时,P(3a,4a),则sin α===,
cos α==,则sin α+cos α=,sin α-cos α=,故D正确;
当a<0时,P(3a,-4a),则sin α==,cos α==-,
则sin α+cos α=,sin α-cos α=,故B、C正确.综上,A错误,
B、C、D可能正确.
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6.在单位圆中,cos 0,sin 0.(填“>”或“<”).
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7.若α=-,则sin α= ,cos α= .
解析:因为角-的终边与单位圆交于P,所以sin α=-,cos α=.
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8.已知角α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,则sin α+sin β= .
解析:由题意,知P(3,2),Q(3,-2),从而sin α==,
sin β==-,所以sin α+sin β=0.
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9.(8分)利用定义求sin,cos的值.
解:如图,在平面直角坐标系中画出角的终边.
设角的终边与单位圆的交点为P,则有P.
故sin=-,cos=-.
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10.(8分)已知角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4,求2sin α+cos α的值.
解:∵角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4.∴P(±4a,±3a)(a≠0).
当角α终边在第一象限时,cos α=,sin α=,2sin α+cos α=2;
当角α终边在第二象限时,cos α=-,sin α=,2sin α+cos α=;
当角α终边在第三象限时,cos α=-,sin α=-,2sin α+cos α=-2;
当角α终边在第四象限时,cos α=,sin α=-,2sin α+cos α=-.
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B级——重点培优
11.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|=r,则点P的坐标为( )
A.P(sin α,cos α) B.P(cos α,sin α)
C.P(rsin α,rcos α) D.P(rcos α,rsin α)
解析:设P(x,y),则sin α=,∴y=rsin α.又cos α=,∴x=rcos α.
∴P(rcos α,rsin α),故选D.
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12.设函数f(θ)=sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π. 若点P的坐标为,
则sin θ= ,cos θ= ,f(θ)= .
解析:由点P的坐标为和正(余)弦函数定义得,sin θ=,cos θ=,所以f(θ)=sin θ+cos θ=×+=2.
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13.已知函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角α的终边
上,则sin αcos α= .
解析:因为函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,
令x+1=0,则x=-1,y=2,所以P(-1,2).
于是sin α===,cos α==-,
所以sin αcos α=×=-.
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14.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围为 .
解析:∵cos α≤0,sin α>0,
∴角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上.
∴解得-5
即实数a的取值范围为(-5,0].
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(-5,0]
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15.(10分)已知角α的终边上有一点P,OP=25,且sin α=-,求点P的坐标.
解:设点P的坐标为(x,y),r=OP=25,∵π<α<,∴x<0,y<0.
∵sin α=-,∴sin α===-,解得y=-20.∵r=OP=25,∴=25,
即=25.又x<0,解得x=-15.
故点P的坐标为(-15,-20).
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16.(10分)如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
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解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t秒,则t·+t· =2π.
∴t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒.
设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在·4=的位置,
则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-2.∴C点的坐标为(-2,-2),
P点走过的弧长为·4=,Q点走过的弧长为·4=.
16课时跟踪检测(四) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若sin α=,cos α=-,则在角α终边上的点有 ( )
A.(-4,3) B.(3,-4)
C.(4,-3) D.(-3,4)
2.已知角α的终边经过点P(-2,1),则sin α的值为 ( )
A.
C.- D.-
3.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α等于 ( )
A. B.-
C.- D.-
4.已知角α的终边经过点P(4,b),且sin α=-,则b的值为 ( )
A.3 B.-3
C.±3 D.5
5.(多选)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4|a|),其中a≠0,则下列取值有可能的是 ( )
A.sin α=- B.cos α=-
C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=
6.在单位圆中,cos 0,sin 0.(填“>”或“<”).
7.若α=-,则sin α= ,cos α= .
8.已知角α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,则sin α+sin β= .
9.(8分)利用定义求sin,cos的值.
10.(8分)已知角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4,求2sin α+cos α的值.
B级——重点培优
11.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|=r,则点P的坐标为 ( )
A.P(sin α,cos α) B.P(cos α,sin α)
C.P(rsin α,rcos α) D.P(rcos α,rsin α)
12.设函数f(θ)=sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π. 若点P的坐标为,则sin θ= ,cos θ= ,f(θ)= .
13.已知函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角α的终边上,则sin αcos α= .
14.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围为 .
15.(10分)已知角α的终边上有一点P,OP=25,且sin α=-,求点P的坐标.
16.(10分)如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
课时跟踪检测(四)
1.选A 由sin α,cos α的定义知,当x=-4,y=3,r=5时,满足题意,故选A.
2.选A 因为角α的终边经过点P(-2,1),
所以sin α==.
3.选C 由题意得P(1,-),它与原点的距离r==2,∴sin α=-.
4.选B 根据三角函数的定义知sin α==-,且b<0,
即25b2=9(16+b2),解得b=-3.
5.选BCD 当a>0时,P(3a,4a),则sin α===,
cos α==,则sin α+cos α=,
sin α-cos α=,故D正确;
当a<0时,P(3a,-4a),则sin α==,cos α==-,
则sin α+cos α=,sin α-cos α=,故B、C正确.综上,A错误,B、C、D可能正确.
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7.解析:因为角-的终边与单位圆交于P,所以sin α=-,cos α=.
答案:-
8.解析:由题意,知P(3,2),Q(3,-2),从而sin α==,sin β==-,所以sin α+sin β=0.
答案:0
9.解:如图,在平面直角坐标系中画出角的终边.
设角的终边与单位圆的交点为P,则有P.
故sin=-,cos=-.
10.解:∵角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4.
∴P(±4a,±3a)(a≠0).
当角α终边在第一象限时,cos α=,
sin α=,2sin α+cos α=2;
当角α终边在第二象限时,cos α=-,
sin α=,2sin α+cos α=;
当角α终边在第三象限时,cos α=-,
sin α=-,2sin α+cos α=-2;
当角α终边在第四象限时,cos α=,
sin α=-,2sin α+cos α=-.
11.选D 设P(x,y),则sin α=,
∴y=rsin α.又cos α=,∴x=rcos α.
∴P(rcos α,rsin α),故选D.
12.解析:由点P的坐标为和正(余)弦函数定义得,sin θ=,cos θ=,所以f(θ)=sin θ+cos θ=×+=2.
答案: 2
13.解析:因为函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,
令x+1=0,则x=-1,y=2,
所以P(-1,2).
于是sin α===,
cos α==-,
所以sin αcos α=×=-.
答案:-
14.解析:∵cos α≤0,sin α>0,
∴角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上.
∴解得-5即实数a的取值范围为(-5,0].
答案:(-5,0]
15.解:设点P的坐标为(x,y),r=OP=25,
∵π<α<,∴x<0,y<0.
∵sin α=-,∴sin α===-,解得y=-20.
∵r=OP=25,
∴=25,即=25.又x<0,解得x=-15.
故点P的坐标为(-15,-20).
16.解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t秒,则t·+t·=2π.
∴t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒.
设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在·4=的位置,
则xC=-cos·4=-2,
yC=-sin·4=-2.
∴C点的坐标为(-2,-2),
P点走过的弧长为·4=,
Q点走过的弧长为·4=.
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