4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.借助单位圆,了解正(余)弦函数的定义域、周期性、单调性、最值.
2.能求正弦函数、余弦函数的单调区间、最小正周期、最值等,了解正(余)弦函数值的符号.
逐点清(一) 正弦函数、余弦函数的定义域、最值及值域
[多维理解]
1.定义域:
正弦函数、余弦函数的定义域均是 .
2.最大(小)值和值域:
(1)当α=2kπ+,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最大值 ;当α=2kπ-,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最小值 ;
(2)当α=2kπ,k∈Z时,余弦函数u=cos α取得最大值 ;当α=(2k+1)π,k∈Z时,余弦函数u=cos α取得最小值 .
3.正弦函数、余弦函数的值域均为 .
[微点练明]
1.(多选)函数y=的函数值可以取的值是 ( )
A.- B.-1
C.1 D.2
2.函数f(x)=的定义域为 ( )
A.
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.R
3.函数y=2-sin α取得最大值时α的值为 .
4.函数y=的定义域为 .
逐点清(二) 正弦函数、余弦函数的周期性
[多维理解]
对于任意一个角α,每增加2π的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值均不变,即对任意k∈Z,sin(α+2kπ)= ,cos(α+2kπ)= ,α∈R,所以正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0, 均是它们的周期,最小正周期为 .
|微|点|助|解|
正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值和余弦函数值,却有无穷多个角与之对应.
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对正弦函数f(x)=sin x有f=f,所以是函数f(x)的周期. ( )
(2)若f(x)是定义域为R且周期为2的函数,则f(-1)=f(1). ( )
2.sin 390°的值为 ( )
A. B.
C. D.-
3.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f的值等于 ( )
A.1 B.
C.0 D.-
4.计算:sin= ,cos= .
逐点清(三) 正弦函数、余弦函数的单调性
[多维理解]
1.正弦函数的单调性
正弦函数v=sin α在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
2.余弦函数的单调性
余弦函数u=cos α在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
|微|点|助|解|
对于形如y=asin α+b(y=acos α+b)的函数性质的研究可借助正弦函数v=sin α(余弦函数u=cos α)的性质.要清楚a,b对函数y=asin α+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.
[微点练明]
1.函数v=sin α和u=cos α均单调递减的区间是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
2.下列关于函数y=4sin α,α∈[-π,π]的单调性的叙述正确的是 ( )
A.在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减
B.在上单调递增,在和上单调递减
C.在[0,π]上单调递增,在[-π,0]上单调递减
D.在上单调递增,在上单调递减
3.函数y=2sin α的值域是 .
4.函数y=-2cos α,α∈的值域为 .
逐点清(四) 正、余弦函数值的符号判断及应用
[多维理解]
如图,在平面直角坐标系中,
(1)当点P(u,v)在第一、第二象限或y轴的正半轴时,正弦函数值(v=sin α)为 ;当点P在x轴上时,正弦函数值为 ;当点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时,正弦函数值为 .
(2)当点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时,余弦函数值为 ;当点P在y轴上时,余弦函数值为 ;当点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时,余弦函数值为 .
[微点练明]
1.已知角θ的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,且满足sin θ>0,cos θ<0,则 ( )
A.θ为第一象限角 B.θ为第二象限角
C.θ为第三象限角 D.θ为第四象限角
2.sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为 ( )
A.正 B.0
C.负 D.无法确定
3.如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.若α是第二、三象限角,且cos α=,则实数m的取值范围是 .
4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.R 2.(1)1 -1 (2)1 -1 (3)[-1,1]
[微点练明] 1.BCD 2.C 3.2kπ-(k∈Z) 4.R
[逐点清(二)]
[多维理解] sin α cos α 2kπ 2π
[微点练明] 1.(1)× (2)√ 2.C
3.B 4.
[逐点清(三)]
[多维理解]
1.(k∈Z) (k∈Z) 2.[2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
[微点练明] 1.A 2.B 3.(1,2] 4.[-2,2]
[逐点清(四)]
[多维理解] (1)正 零 负 (2)正 零 负
[微点练明] 1.B 2.C 3.C 4.
1 / 4(共50张PPT)
单位圆与正弦函数、余弦
函数的基本性质
(基本概念课——逐点理清式教学)
4.2
课时目标
1.借助单位圆,了解正(余)弦函数的定义域、周期性、单调性、最值.
2.能求正弦函数、余弦函数的单调区间、最小正周期、最值等,了解正(余)弦函数值的符号.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)
正弦函数、余弦函数的定义域、最值及值域
逐点清(二) 正弦函数、余弦函数的周期性
逐点清(三) 正弦函数、余弦函数的单调性
4
逐点清(四)
正、余弦函数值的符号判断及应用
5
课时跟踪检测
逐点清(一)
正弦函数、余弦函数的定义域、最值及值域
01
1.定义域:
正弦函数、余弦函数的定义域均是 .
2.最大(小)值和值域:
(1)当α=2kπ+,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最大值 ;当α=2kπ-,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最小值 ;
(2)当α=2kπ,k∈Z时,余弦函数u=cos α取得最大值1;当α=(2k+1)π,k∈Z时,余弦函数u=cos α取得最小值 .
3.正弦函数、余弦函数的值域均为 .
R
1
-1
-1
[-1,1]
多维理解
1.(多选)函数y=的函数值可以取的值是( )
A.- B.-1
C.1 D.2
解析:∵-1≤sin α≤1,∴≤-1或≥1,即函数y=的值域为
(-∞,-1]∪[1,+∞),故选B、C、D.
√
√
√
微点练明
2.函数f(x)=的定义域为( )
A.B.,k∈Z
C.,k∈Z D. R
解析:由题得sin x≥,∴+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
√
3.函数y=2-sin α取得最大值时α的值为 .
解析:因为y=2-sin α,所以当sin α=-1时,
ymax=3,此时α=2kπ-(k∈Z).
2kπ-(k∈Z)
4.函数y=的定义域为 .
解析:由2+cos α≠0知cos α≠-2,又由cos α∈[-1,1],故定义域为R.
R
逐点清(二)
正弦函数、余弦 函数的周期性
02
对于任意一个角α,每增加2π的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值均不变,即对任意k∈Z,sin(α+2kπ)= ,cos(α+2kπ)= ,α∈R,
所以正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0, 均是它们的周期,最小正周期为 .
sin α
cos α
2kπ
2π
多维理解
|微|点|助|解|
正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值和余弦函数值,却有无穷多个角与之对应.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对正弦函数f(x)=sin x有f=f,所以是函数f(x)的周期. ( )
(2)若f(x)是定义域为R且周期为2的函数,则f(-1)=f(1). ( )
×
√
微点练明
2.sin 390°的值为 ( )
A.
C. D.-
解析:sin 390°=sin(360°+30°)=sin 30°=.
√
3.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f的值等于( )
A.1 B.
C.0 D.-
解析:由题意得f=f=f=sin=.
√
4.计算:sin= ,cos= .
解析:sin=sin=,
cos=cos=cos=.
逐点清(三)
正弦函数、余弦函数的单调性
03
1.正弦函数的单调性
正弦函数v=sin α在区间 上单调递增,
在区间 上单调递减.
2.余弦函数的单调性
余弦函数u=cos α在区间 上单调递增,在区间
上单调递减.
(k∈Z)
(k∈Z)
[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
多维理解
|微|点|助|解|
对于形如y=asin α+b(y=acos α+b)的函数性质的研究可借助正弦函数v=sin α(余弦函数u=cos α)的性质.要清楚a,b对函数y=asin α+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.
1.函数v=sin α和u=cos α均单调递减的区间是 ( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析:函数v=sin α单调递减,则2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z),函数u=cos α
单调递减,则2kπ≤α≤2kπ+π(k∈Z),所以2kπ+≤α≤2kπ+π(k∈Z),故选A.
√
微点练明
2.下列关于函数y=4sin α,α∈[-π,π]的单调性的叙述正确的是 ( )
A.在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减
B.在上单调递增,在和上单调递减
C.在[0,π]上单调递增,在[-π,0]上单调递减
D.在上单调递增,在上单调递减
√
解析:因为函数y=4sin α的单调递增区间是,k∈Z,
令k=0,得∩[-π,π]=,所以函数在上单调递增.
因为函数y=4sin α的单调递减区间是,k∈Z,
令k=-1,得∩[-π,π]=,令k=0,得∩[-π,π]=,
所以函数在和上单调递减.
3.函数y=2sin α的值域是 .
解析:因为函数y=2sin α在上单调递增,在上单调递减,
所以2sin<2sin α≤2sin,即1<2sin α≤2.
(1,2]
4.函数y=-2cos α,α∈的值域为 .
解析:∵u=cos α在上单调递增,
∴∴-1≤cos α≤1.∵u=cos α在上单调递增,
∴-1≤cos α<-.故-1≤cos α≤1,即-2≤-2cos α≤2.
[-2,2]
逐点清(四)
正、余弦函数值的符号判断及应用
04
如图,在平面直角坐标系中,
多维理解
(1)当点P(u,v)在第一、第二象限或y轴的正半轴时,正弦函数值(v=sin α)为 ;当点P在x轴上时,正弦函数值为 ;当点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时,正弦函数值为 .
(2)当点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时,余弦函数值为 ;当点P在y轴上时,余弦函数值为 ;当点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时,余弦函数值为 .
负
零
正
正
零
负
1.已知角θ的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,且满足sin θ>0,cos θ<0,则 ( )
A.θ为第一象限角 B.θ为第二象限角
C.θ为第三象限角 D.θ为第四象限角
解析:依题意,由sin θ>0,得角θ的终边在x轴上方.由cos θ<0,得角θ的终边在y轴左侧.所以角θ的终边在第二象限,即θ为第二象限角.
√
微点练明
2.sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为 ( )
A.正 B.0
C.负 D.无法确定
解析:由1弧度为第一象限角,2弧度为第二象限角,3弧度为第二象限角,
4弧度为第三象限角,则sin 1>0,sin 2>0,sin 3>0,sin 4<0.
所以sin 1·sin 2·sin 3·sin 4<0.
√
3.如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由于点P位于第二象限,由题意知sin θ+cos θ<0,
且sin θcos θ>0,∴
∴θ为第三象限角.
√
4.若α是第二、三象限角,且cos α=,则实数m的取值范围
是 .
解析:因为α是第二、三象限角,
所以-1即-1<<0,解得-1课时跟踪检测
05
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.(多选)给出下列四个命题,其中是真命题的为 ( )
A.如果α≠β,那么sin α≠sin β
B.如果sin α≠sin β,那么α≠β
C.如果θ是第一或第二象限角,那么sin θ>0
D.如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角
16
√
√
1
3
4
5
6
7
8
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10
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13
14
15
2
解析:对于A,比如α=0,β=2π,但sin α=sin β=0,故错误;
对于B,如果sin α≠sin β,那么α≠β,故正确;
对于C,如果θ是第一或第二象限角,那么sin θ>0,故正确;
对于D,如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角,或者θ的终边在y轴的正半轴,故错误.
16
1
5
6
7
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15
2
3
4
2.函数y=-sin α的值域是( )
A.[-1,1] B.
C.
解析:因为-1≤sin α≤1,所以-≤-sin α≤,即值域为.
16
√
1
5
6
7
8
9
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3
4
2
3.若sin α>0,cos α<0,则角α的终边所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为sin α>0,所以角α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.因为cos α<0,所以角α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上,综上可知,角α的终边在第二象限.
16
√
1
5
6
7
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3
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2
4.已知函数v=sin α在区间M上单调递增,那么区间M可以是 ( )
A.(0,2π) B.(0,π)
C.
解析:由正弦函数的性质, 函数v=sin α的单调递增区间为
,所以区间M可以是.故选D.
16
√
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3
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2
5.若三角形的两个内角α,β满足sin α·cos β<0,则此三角形必为 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
解析:三角形的两个内角α,β的终边一定落在第一、第二象限或y轴正半轴上,sin α·cos β<0,所以sin α>0,cos β<0,所以角β为钝角,此三角形为钝角三角形.
16
√
1
5
6
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3
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2
6.已知函数f(x)=loga(x+5)+3(a>0且a≠1)的图象过定点A,以原点为顶点,x轴的非负半轴为始边的角α的终边过点A,则cos(-6π+α)= ( )
A. C.- D.-
解析:由题意得A(-4,3),由余弦函数的定义知cos α=-,
cos(-6π+α)=cos α=-.
16
√
1
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3
4
2
7.数学家高斯在19岁时,解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题,并认为这是他最得意的作品之一.设α是圆内接正十七边形的一个内角,则 ( )
A.cos α>0 B.sin 2α>0
C.cos 2α>0 D.sin α<0
16
√
1
5
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7
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3
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2
解析:正十七边形内角和为(17-2)·π=15π,故α=.
因为<α<π,所以cos α<0,sin α>0,故A、D错误.
因为<α<π,所以<2α<2π,故sin 2α<0,cos 2α>0,故C正确,B错误.
16
1
5
6
7
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3
4
2
8.函数y=-cos α,α∈(0,2π)的单调性是( )
A.在(0,π)上单调递增,在[π,2π)上单调递减
B.在,上单调递增,在上单调递减
C.在[π,2π)上单调递增,在(0,π)上单调递减
D.在上单调递增,在,上单调递减
解析:y=-cos α在(0,π)上单调递增,在[π,2π)上单调递减.
16
√
1
5
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3
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2
9.在[0,2π]上满足sin α≥的α的取值范围是( )
A.
C.
解析:∵sin=,sin=,且y=sin α在上单调递增,在上单调递减,∴在[0,2π]上满足sin α≥的α的取值范围是.
16
√
1
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3
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10.设α是第三象限角,且=-cos ,则所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为α是第三象限角,所以2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z.
所以kπ+<又因为=-cos ,所以cos <0.所以在第二象限.
16
√
1
5
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2
11.(多选)已知函数y=2sin α的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a的值可能是 ( )
A. B.π C.
解析:因为y=2sin α的定义域为[a,b],值域为[-2,1],所以α∈[a,b]时,
-1≤sin α≤,故sin α能取得最小值-1,最大值只能取到.当a=-,b=时,
b-a最小为;当a=-π,b=时,b-a最大为,即≤b-a≤,即b-a一定取不到.
16
√
√
√
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3
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2
12. 函数y=3cos2α-4cos α+1,α∈的最小值是 ( )
A.-
C.0 D.-
解析:由题意,得y=3-.因为α∈,所以cos α∈. 当cos α=时,y取到最小值,ymin=3×-=-.
16
√
1
5
6
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9
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2
13.sin+cos的值为 .
解析:sin+cos=sin+cos=sin+cos=+=.
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1
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2
14.sin 3 sin 2(填“>”或“<”).
解析:∵<2<3<π,
又v=sin α在上单调递减,
∴sin 2>sin 3.
16
<
1
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3
4
2
15.写出一个满足cos 2αsin=0的锐角α的值: .
解析:由cos 2αsin=0,得cos 2α=0或sin=0.
因为α∈,所以2α∈(0,π),4α-∈.由cos 2α=0,得2α=,即α=.
由sin=0,得4α-=0或4α-=π,
解得α=或α=,所以锐角α的值为或或.
16
1
5
6
7
8
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2
16.函数y=lg+ 的定义域
为 .
解析:由题意知,自变量α应满足不等式组即
∴定义域为.
16课时跟踪检测(五) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
(满分80分,选填小题每题5分)
1.(多选)给出下列四个命题,其中是真命题的为 ( )
A.如果α≠β,那么sin α≠sin β
B.如果sin α≠sin β,那么α≠β
C.如果θ是第一或第二象限角,那么sin θ>0
D.如果sin θ>0,那么θ是第一或第二象限角
2.函数y=-sin α的值域是 ( )
A.[-1,1] B.
C.
3.若sin α>0,cos α<0,则角α的终边所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知函数v=sin α在区间M上单调递增,那么区间M可以是 ( )
A.(0,2π) B.(0,π)
C.
5.若三角形的两个内角α,β满足sin α·cos β<0,则此三角形必为 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
6.已知函数f(x)=loga(x+5)+3(a>0且a≠1)的图象过定点A,以原点为顶点,x轴的非负半轴为始边的角α的终边过点A,则cos(-6π+α)= ( )
A.
C.- D.-
7.数学家高斯在19岁时,解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题,并认为这是他最得意的作品之一.设α是圆内接正十七边形的一个内角,则 ( )
A.cos α>0 B.sin 2α>0
C.cos 2α>0 D.sin α<0
8.函数y=-cos α,α∈(0,2π)的单调性是 ( )
A.在(0,π)上单调递增,在[π,2π)上单调递减
B.在,上单调递增,在上单调递减
C.在[π,2π)上单调递增,在(0,π)上单调递减
D.在上单调递增,在,上单调递减
9.在[0,2π]上满足sin α≥的α的取值范围是 ( )
A.
C.
10.设α是第三象限角,且=-cos ,则所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.(多选)已知函数y=2sin α的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a的值可能是 ( )
A. B.π
C.
12. 函数y=3cos2α-4cos α+1,α∈的最小值是 ( )
A.-
C.0 D.-
13.sin+cos的值为 .
14.sin 3 sin 2(填“>”或“<”).
15.写出一个满足cos 2αsin=0的锐角α的值: .
16.函数y=lg+ 的定义域为 .
课时跟踪检测(五)
1.BC 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.C
8.A 9.C 10.B 11.ABC 12.D
13. 14.< 15. 16.
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