4.3 诱导公式与对称 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.通过单位圆的对称性掌握角α与-α的正弦函数、余弦函数关系.
2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系.
3.能用诱导公式把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的
化简、求值问题.
1.sin α,cos α与sin(-α),cos(-α)的关系
终边关系 图示
点P与P' 关于x轴对称
公式 sin(-α)= ,cos(-α)=
性质 正弦函数v=sin α是 ,余弦函数u=cos α是
2.sin α,cos α与sin(α±π),cos(α±π)的关系
终边关系 图示
点P与P' 关于原点对称
公式 sin(α+π)= ,cos(α+π)= , sin(α-π)= ,cos(α-π)=
3.sin α,cos α与sin(π-α),cos(π-α)的关系
终边关系 图示
点P与P' 关于y轴对称
公式 sin(π-α)= ,cos(π-α)=
|微|点|助|解|
(1)诱导公式中α可以是任意角.
(2)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.
(3)公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.
“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;
“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号,如sin(α+π),若把α看成锐角,则α+π在第三象限,所以取负值,故sin(α+π)=-sin α.
基础落实训练
1.化简:cos(3π-α)= ( )
A.cos α B.-cos α
C.sin α D.-sin α
2.计算:sin 210°= ( )
A. B.-
C. D.-
3.角与角的终边关于 对称.
题型(一) 对称的理解
[例1] 画出下列各角的终边与单位圆的交点,并说出它们的对称关系.
(1),;(2),-;(3)-,;(4)-,.
听课记录:
|思|维|建|模| 判断两角终边位置关系的步骤
建系 画单位圆,以原点为圆心作出单位圆
找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小
判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系
[针对训练]
1.角α的终边与单位圆的交点坐标为,试写出角π-α,α+π,-α,α-π的终边与单位圆交点的坐标.
题型(二) 给角求值
[例2] 计算下列各式的值.
(1)sin 750°.
(2)sin-cos.
(3)cos+cos+cos+cos+cos+cos.
听课记录:
|思|维|建|模| 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[针对训练]
2.计算下列各式的值.
(1)cos(-660°)+sin 390°;
(2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°;
(3)sin+cos+cos.
题型(三) 条件求值
[例3] 已知cos=,求下列各式的值.(1)cos;(2)cos.
听课记录:
[变式拓展]
若本例的条件不变,求cos-sin2的值.
|思|维|建|模| 解决条件求值问题的两个技巧
[提醒] 设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
[针对训练]
3.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于 ( )
A. B.±
C. D.-
4.已知sin(π-x)=,则(n∈Z)= .
4.3 诱导公式与对称
课前预知教材
1.-sin α cos α 奇函数 偶函数
2.-sin α -cos α -sin α -cos α
3.sin α -cos α
[基础落实训练]
1.B 2.D 3.原点
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:如图: (1)如图①,角与的终边与单位圆的交点关于y轴对称.
(2)如图②,角与-的终边与单位圆的交点关于x轴对称.
(3)如图③,角-与的终边与单位圆的交点重合.
(4)如图④,角-与的终边与单位圆的交点关于原点对称.
[针对训练]
1.解:由角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,得角π-α的终边与单位圆的交点坐标为;
由角α与α+π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α+π的终边与单位圆的交点坐标为;
由角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,得角-α的终边与单位圆的交点坐标为;
由角α与α-π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α-π的终边与单位圆的交点坐标为.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=.
(2)原式=-sin-cos
=-sin-cos
=sin+cos=+=1.
(3)原式=cos+cos+cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos-cos-cos-cos=0.
[针对训练]
2.解:(1)cos(-660°)+sin 390°
=cos(-720°+60°)+sin 30°=+=1.
(2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°
=sin(30°-360°)-cos(240°+720°)-cos(1 080°-45°)
=sin 30°-cos 240°-cos(-45°)
=sin 30°+cos 60°-cos 45°=+-=1-.
(3)sin+cos+cos
=sin+cos+cos=-sin+cos+cos
=-sin-cos-cos
=---
=--.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)cos=cos=-cos=-.
(2)cos=cos
=cos=cos=.
[变式拓展]
解:因为cos=cos=-cos=-,sin2=sin2=1-cos2=1-=,
所以cos-sin2=--=-.
[针对训练]
3.选D 由cos(π+α)=-,得cos α=,
∵π<α<2π,∴α=.
故sin(2π+α)=sin α=sin=-sin=-.
4.解析:由sin(π-x)=,得sin x=.
当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,
=
==sin2x=;
当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,
=
==sin2x=.
综上,原式=.
答案:
4 / 5(共46张PPT)
4.3
诱导公式与对称
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.通过单位圆的对称性掌握角α与-α的正弦函数、余弦函数关系.
2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系.
3.能用诱导公式把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的化简、求值问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.sin α,cos α与sin(-α),cos(-α)的关系
终边关系 图示
点P与P'关于x轴对称
公式 sin(-α)= ______,cos(-α)=______ 性质 正弦函数v=sin α是______ ,余弦函数u=cos α是______ -sin α
cos α
偶函数
奇函数
2.sin α,cos α与sin(α±π),cos(α±π)的关系
终边关系 图示
点P与P'关于原点对称
公式 sin(α+π)=_________,cos(α+π)=_________, sin(α-π)=_________,cos(α-π)=_________ -sin α
-cos α
-sin α
-cos α
3.sin α,cos α与sin(π-α),cos(π-α)的关系
终边关系 图示
点P与P'关于y轴对称
公式 sin(π-α)=_______,cos(π-α)=_______ sin α
-cos α
|微|点|助|解|
(1)诱导公式中α可以是任意角.
(2)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.
(3)公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.
“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;
“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号,如sin(α+π),若把α看成锐角,则α+π在第三象限,所以取负值,故sin(α+π)=-sin α.
1.化简:cos(3π-α)= ( )
A.cos α B.-cos α
C.sin α D.-sin α
解析:cos(3π-α)=cos[2π+(π-α)]=cos(π-α)=-cos α.
√
基础落实训练
2.计算:sin 210°= ( )
A. B.-
C. D.-
解析:sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,故选D.
√
3.角与角的终边关于 对称.
原点
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 对称的理解
[例1] 画出下列各角的终边与单位圆的交点,并说出它们的对称关系.
(1),;
解:如图:
(2),-;
解:如图②,角与-的终边与单位圆的交点关于x轴对称.
(3)-,;
解:如图③,角-与的终边与单位圆的交点重合.
(4)-,.
解:如图④,角-与的终边与单位圆的交点关于原点对称.
|思|维|建|模| 判断两角终边位置关系的步骤
建系 画单位圆,以原点为圆心作出单位圆
找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小
判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系
针对训练
1.角α的终边与单位圆的交点坐标为,试写出角π-α,α+π,-α,α-π的终边与单位圆交点的坐标.
解:由角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,得角π-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α+π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α+π的终边与单位圆的交点坐标为;
由角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,得角-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α-π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α-π的终边与单位圆的交点坐标为.
题型(二) 给角求值
[例2] 计算下列各式的值.
(1)sin 750°.
解: sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=.
(2)sin-cos.
解:原式=-sin-cos=-sin-
cos=sin+cos=+=1.
(3)cos+cos+cos+cos+cos+cos.
解:原式=cos+cos+cos+cos+cos+
cos=cos+cos+cos-cos-cos-cos=0.
|思|维|建|模|
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
针对训练
2.计算下列各式的值.
(1)cos(-660°)+sin 390°;
解: cos(-660°)+sin 390°=cos(-720°+60°)+sin 30°=+=1.
(2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°;
解:sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°=sin(30°-360°)-cos(240°+720°)-cos(1 080°-45°)=sin 30°-cos 240°-
cos(-45°)=sin 30°+cos 60°-cos 45°=+-=1-.
(3)sin+cos+cos.
解:sin+cos+cos
=sin+cos+cos
=-sin+cos+cos
=-sin-cos-cos=---=--.
题型(三) 条件求值
[例3] 已知cos=,求下列各式的值.
(1)cos;
解: cos=cos=-cos=-.
(2)cos.
解:cos=cos=cos=cos=.
变式拓展
若本例的条件不变,求cos-sin2的值.
解:因为cos=cos=-cos=-,sin2
=sin2=1-cos2=1-=,
所以cos-sin2=--=-.
|思|维|建|模| 解决条件求值问题的两个技巧
[提醒] 设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
3.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于( )
A. B.±
C. D.-
解析:由cos(π+α)=-,得cos α=,∵π<α<2π,∴α=.
故sin(2π+α)=sin α=sin=-sin=-.
√
针对训练
4.已知sin(π-x)=,则(n∈Z)= .
解析:由sin(π-x)=,得sin x=.当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,
===sin2x=;
当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,
===sin2x=.综上,原式=.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.cos的值是( )
A.-
C.-
解析:cos=cos=cos=cos=
-cos=-.
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2.如果cos(5π+A)=-,那么cos A=( )
A. B.-
C.-
解析:由cos(5π+A)=-,得cos(5π+A)=cos(π+A)=-cos A=-,即cos A=.
故选D.
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3.已知sin(π-α)=,则sin(α-2 025π)的值为( )
A. B.-
C. D.-
解析:由sin(π-α)=sin α,得sin α=.所以sin(α-2 025π)=
sin[(α-π)-2 024π]=sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sin α=-.
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4.sin 2 024°最接近 ( )
A.- B.- C.
解析:sin 2 024°=sin(12×180°-136°)=sin(-136°),其中-136°为第三象限角,且当α为第三象限角时,sin α<0,其中sin(-135°)=-sin 45°=-,
又sin(-120°)=-sin 60°=-,而-135°较-120°离-136°更近,
综上,sin 2 024°最接近-.
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5.(多选)已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin数值相同的是( )
A.sin B.cos
C.sin D.cos
解析:对于A,当n=2k,k∈Z时,sin=sin=sinπ
=sin=-sin,所以A错误;
√
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对于B, cos=cos=sin,所以B正确;
对于C,sin=sin,所以C正确;
对于D, cos=cos=cos=
-cos=-sin,所以D错误.
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6.化简:sin+cos(-2 640°)的值为 .
解析:sin+cos(-2 640°)=-sin+cos 2 640°
=sin+cos(360°×7+120°)=+cos(180°-60°)
=-cos 60°=-=0.
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7.若cos=,则cos的值为 .
解析:因为cos=,
所以cos=-cos
=-cos=-cos=-.
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8.(8分)计算:.
解:原式=
===-1.
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9.(8分)若cos α=,α是第四象限角,
求的值.
解:由cos α=,α是第四象限角,不妨取角α终边上一点为(2,y),易知r=3.
由x2+y2=r2,得y=-=-,得sin α=-.
故==.
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10.(12分)化简下列各式:
(1);
解:原式=====-.
(2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°).
解:原式=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)
+cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin 60°cos 30°+
cos 60°sin 30°=1.
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B级——重点培优
11.(多选)下列化简正确的是( )
A.sin(π+1)=-sin 1 B.=1
C.=tan α D.=-1
√
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解析:由诱导公式可得sin(π+1)=-sin 1,故A正确;==1,
故B正确;==-tan α,故C不正确;
==-1,故D正确.
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12.若角α顶点在原点,始边在x轴正半轴上,终边一点P的坐标为,则角α为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因为sin=sin=sin=-sin=-<0,
cos=cos=-cos=-<0,所以点P在第三象限.
所以角α为第三象限角.故选C.
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13.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一,高斯函数f(x)=[x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域,其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[3.65]=3,[-1.27]=-2.若函数f(k)=(k∈Z),则f(k)的值域为 .
解析:当k为偶数时,sin=sin,所以f(k)==1;
当k为奇数时,sin=-sin,所以f(k)=[0]=0.所以f(k)的值域为{0,1}.
{0,1}
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14.(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为 .
解析:因为α与β的终边关于原点对称,所以β=2kπ+π+α(k∈Z),
所以cos β=cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈,所以cos α∈,
所以cos β∈,故cos β的最大值为-.
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15.(13分)设函数f(x)满足f(x+π)=f(x)+sin x,x∈R.当0≤x<π时,f(x)=0,
求f.
解:∵f(x+π)=f(x)+sin x,∴f=f=f+sin
=f+sin=f+sin+sin=f+sin+sin
=f+sin+sin+sin.
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∵当0≤x<π时,f(x)=0,∴f=0+sin+sin+sin
=sin+sin+sin=sin-sin+sin=sin=.课时跟踪检测(六) 诱导公式与对称
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.cos的值是 ( )
A.-
C.-
2.如果cos(5π+A)=-,那么cos A= ( )
A. B.-
C.-
3.已知sin(π-α)=,则sin(α-2 025π)的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
4.sin 2 024°最接近 ( )
A.- B.-
C.
5.(多选)已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin数值相同的是 ( )
A.sin B.cos
C.sin D.cos
6.化简:sin+cos(-2 640°)的值为 .
7.若cos=,则cos的值为 .
8.(8分)计算:.
9.(8分)若cos α=,α是第四象限角,
求的值.
10.(12分)化简下列各式:
(1);
(2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°).
B级——重点培优
11.(多选)下列化简正确的是 ( )
A.sin(π+1)=-sin 1
B.=1
C.=tan α
D.=-1
12.若角α顶点在原点,始边在x轴正半轴上,终边一点P的坐标为,则角α为 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
13.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一,高斯函数f(x)=[x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域,其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[3.65]=3,[-1.27]=-2.若函数f(k)=(k∈Z),则f(k)的值域为 .
14.(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为 .
15.(13分)设函数f(x)满足f(x+π)=f(x)+sin x,x∈R.当0≤x<π时,f(x)=0,求f.
课时跟踪检测(六)
1.选A cos=cos=cos=cos
=-cos=-.
2.选D 由cos(5π+A)=-,
得cos(5π+A)=cos(π+A)=-cos A
=-,即cos A=.故选D.
3.选D 由sin(π-α)=sin α,得sin α=.所以sin(α-2 025π)=sin[(α-π)-2 024π]=sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sin α=-.
4.选B sin 2 024°=sin(12×180°-136°)=sin(-136°),其中-136°为第三象限角,且当α为第三象限角时,sin α<0,
其中sin(-135°)=-sin 45°=-,
又sin(-120°)=-sin 60°=-,
而-135°较-120°离-136°更近,
综上,sin 2 024°最接近-.
5.选BC 对于A,当n=2k,k∈Z时,
sin=sin
=sinπ=sin=-sin,
所以A错误;
对于B, cos=cos
=sin,所以B正确;
对于C,sin=sin,所以C正确;
对于D, cos=cos=cos=-cos=-sin,所以D错误.
6.解析:sin+cos(-2 640°)
=-sin+cos 2 640°
=sin+cos(360°×7+120°)
=+cos(180°-60°)
=-cos 60°=-=0.
答案:0
7.解析:因为cos=,
所以cos=-cos
=-cos=-cos
=-.
答案:-
8.解:原式=
===-1.
9.解:由cos α=,α是第四象限角,不妨取角α终边上一点为(2,y),易知r=3.
由x2+y2=r2,
得y=-=-,
得sin α=-.
故
==.
10.解:(1)原式=
=
===-.
(2)原式=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)+cos(180°+60°)sin(180°+30°)
=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=1.
11.选ABD 由诱导公式可得sin(π+1)=-sin 1,故A正确;==1,故B正确;==-tan α,故C不正确;==-1,故D正确.
12.选C 因为sin=sin=sin=-sin=-<0,
cos=cos=-cos
=-<0,
所以点P在第三象限.所以角α为第三象限角.故选C.
13.解析:当k为偶数时,sin=sin,所以f(k)==1;
当k为奇数时,sin=-sin,所以f(k)=[0]=0.
所以f(k)的值域为{0,1}.
答案:{0,1}
14.解析:因为α与β的终边关于原点对称,所以β=2kπ+π+α(k∈Z),所以cos β=cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈,所以cos α∈,所以cos β∈,故cos β的最大值为-.
答案:-
15.解:∵f(x+π)=f(x)+sin x,
∴f=f=f+sin=f+sin
=f+sin+sin
=f+sin+sin
=f+sin+sin+sin.
∵当0≤x<π时,f(x)=0,
∴f=0+sin+sin+sin
=sin+sin+sin=sin-sin+sin=sin=.
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