4.4 诱导公式与旋转(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助单位圆的对称性,利用三角函数的定义推导出诱导公式与旋转.
2.掌握诱导公式并能灵活运用,并能进行简单的三角函数式的化简、求值与证明.
1.诱导公式
sin(2kπ+α)= (k∈Z) cos(2kπ+α)= (k∈Z)
sin(-α)= cos(-α)=
sin(2π-α)= cos(2π-α)=
sin(π-α)= cos(π-α)=
sin(π+α)= cos(π+α)=
sin= cos=
sin= cos=
2.诱导公式中角的关系
(1)对任意角α,α的终边与-α的终边关于直线 对称.
(2)对任意角α,+α与-α的终边关于 对称,如图所示.
|微|点|助|解|
1.“k·±α(k∈Z)”的诱导公式的口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.
当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.三角形中的诱导公式
在△ABC中,有以下结论.
(1)sin(A+B)=sin(π-C)=sin C;
(2)cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C;
(3)sin=sin=cos;
(4)cos=cos=sin.
注意在三角形中,若sin A=sin B或cos A=cos B,均有A=B成立.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos=cos α. ( )
(2)sin=-cos α. ( )
(3)若cos 10°=a,则sin 100°=a. ( )
(4)若α为第二象限角,则sin=-cos α. ( )
2.(多选)下列与sin θ的值不相等的是 ( )
A.sin(π+θ) B.sin
C.cos D.cos
3.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°= ( )
A.a B.-a
C.a2 D.
题型(一) 利用诱导公式求值
[例1] (1)sin 95°+cos 175°的值为 ( )
A.sin 5° B.cos 5°
C.0 D.2sin 5°
(2)已知sin=,则cos的值为 .
听课记录:
[变式拓展]
1.本例(2)中条件变为sin=,问题不变,如何求解
2.本例(2)条件不变,求cos的值.
|思|维|建|模|
1.利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解,转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
(2)对式子进行化简或求值时,要注意要求的角与已知角之间的关系,并结合诱导公式进行转化,特别要注意角的范围.
2.常见的特殊角
在条件求值问题中,当已知中的角与结论中的角不同时,要注意这两个角的和或差与,π,,2π之间的关系,若存在关系,可利用诱导公式整体代换.
①与有关的特殊角为与,与,与,与等.
②与π有关的特殊角为与等.
[针对训练]
1.已知cos=,则sin= ( )
A. B. C.- D.-
2.已知sin φ=,则cos+sin(3π-φ)的值为 .
题型(二) 利用诱导公式化简
[例2] 已知f(x)=
.
(1)化简f(x);
(2)求f.
听课记录:
|思|维|建|模|
三角函数式化简的策略
所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,若加整数倍的π,则函数名称不变;若加二分之奇数倍的π,则函数名称改变.
[针对训练]
3.化简:··.
题型(三) 诱导公式的综合应用
[例3] 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到,求5sin β-5cos β的值.
听课记录:
|思|维|建|模| 诱导公式综合应用要“三看”
一看角 化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系
二看函数名称 利用诱导公式化简变形,达到角的统一,以保证三角函数名最少
三看式子结构 通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,平方和差、立方和差公式
[针对训练]
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,钝角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与半径为3的圆相交于点A,过点A作x轴的垂线,垂足为点B,OB=2.
(1)求sin α,cos α的值;
(2)求的值.
4.4 诱导公式与旋转
课前预知教材
1.sin α cos α -sin α cos α -sin α cos α sin α -cos α -sin α -cos α cos α -sin α cos α sin α 2.(1)y=x (2)y轴
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.ABD 3.A
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)原式=cos 5°-cos 5°=0.
(2)cos=cos=sin=.
答案:(1)C (2)
[变式拓展]
1.解:∵+=,
∴cos=cos
=-sin=-.
2.解:cos=cos
=-sin=-.
[针对训练]
1.选D 因为cos=,
所以sin=-sin
=-sin
=-cos=-.
2.解析:∵sin φ=,
∴cos=cos
=cos=cos
=sin φ=,
sin(3π-φ)=sin(2π+π-φ)=sin(π-φ)=sin φ=.
∴cos+sin(3π-φ)=+=.
答案:
[题型(二)]
[例2] 解:(1)f(x)==.
(2)f=
===-.
[针对训练]
3.解:原式=··=··=··=1.
[题型(三)]
[例3] 解:根据题意,
得sin α==,
cos α==.
(1)sin(α+π)=-sin α=-.
(2)根据题意,得β=α-.
∴5sin β-5cos β
=5sin-5cos
=5cos α+5sin α
=5×+5×=.
[针对训练]
4.解:(1)依题意,在Rt△AOB中,OA=3,OB=2,
则AB==,
sin∠AOB==,
cos∠AOB==.
而由题图可知,∠AOB+α=π.
故sin α=sin(π-∠AOB)=sin∠AOB=.
同理cos α=-.
(2)因为sin α=,
cos α=-,
sin=sin
=sin=cos α,
sin(π+α)=-sin α,
cos(α+5π)=cos(α+π)=-cos α,
所以
==-2-.
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4. 4
诱导公式与旋转
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助单位圆的对称性,利用三角函数的定义推导出诱导公式与旋转.
2.掌握诱导公式并能灵活运用,并能进行简单的三角函数式的化简、求值与证明.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.诱导公式
sin(2kπ+α)=______ (k∈Z) cos(2kπ+α)=______ (k∈Z)
sin(-α)=______ cos(-α)=______
sin(2π-α)=______ cos(2π-α)=______
sin(π-α)=______ cos(π-α)=______
sin(π+α)=______ cos(π+α)=______
sin α
cos α
-sin α
cos α
cos α
-cos α
-cos α
sin α
-sin α
-sin α
cos α
cos α
-sin α
sin α
2.诱导公式中角的关系
(1)对任意角α,α的终边与-α的终边关于直线 对称.
(2)对任意角α,+α与-α的终边关于 对称,如图所示.
y=x
y轴
|微|点|助|解|
1.“k·±α(k∈Z)”的诱导公式的口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.
当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.三角形中的诱导公式
在△ABC中,有以下结论.
(1)sin(A+B)=sin(π-C)=sin C;
(2)cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C;
(3)sin=sin=cos;
(4)cos=cos=sin.
注意在三角形中,若sin A=sin B或cos A=cos B,均有A=B成立.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos=cos α. ( )
(2)sin=-cos α. ( )
(3)若cos 10°=a,则sin 100°=a. ( )
(4)若α为第二象限角,则sin=-cos α. ( )
基础落实训练
×
×
√
√
2.(多选)下列与sin θ的值不相等的是 ( )
A.sin(π+θ) B.sin
C.cos D.cos
解析:由诱导公式,得sin(π+θ)=-sin θ,sin=cos θ,
cos=sin θ,cos=-sin θ.
√
√
√
3.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°= ( )
A.a B.-a
C.a2 D.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 利用诱导公式求值
[例1] (1)sin 95°+cos 175°的值为 ( )
A.sin 5° B.cos 5°
C.0 D.2sin 5°
解析:原式=cos 5°-cos 5°=0.
(2)已知sin=,则cos的值为 .
解析: cos=cos=sin=.
√
变式拓展
1.本例(2)中条件变为sin=,问题不变,如何求解
解:∵+=,∴cos=cos=
-sin=-.
2.本例(2)条件不变,求cos的值.
解:cos=cos=-sin=-.
|思|维|建|模|
1.利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解,转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
(2)对式子进行化简或求值时,要注意要求的角与已知角之间的关系,并结合诱导公式进行转化,特别要注意角的范围.
2.常见的特殊角
在条件求值问题中,当已知中的角与结论中的角不同时,要注意这两个角的和或差与,π,,2π之间的关系,若存在关系,可利用诱导公式整体代换.
①与有关的特殊角为与,与,与,与等.
②与π有关的特殊角为与等.
针对训练
1.已知cos=,则sin=( )
A.
C.- D.-
解析:因为cos=,所以sin=-sin
=-sin=-cos=-.
√
2.已知sin φ=,则cos+sin(3π-φ)的值为 .
解析:∵sin φ=,∴cos=cos
=cos=cos=sin φ=,
sin(3π-φ)=sin(2π+π-φ)=sin(π-φ)=sin φ=.
∴cos+sin(3π-φ)=+=.
题型(二) 利用诱导公式化简
[例2] 已知f(x)=.
(1)化简f(x);
解: f(x)==.
(2)求f.
解: f====-.
|思|维|建|模|
三角函数式化简的策略
所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能的简单,也就是项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数的种类尽可能的少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,若加整数倍的π,则函数名称不变;若加二分之奇数倍的π,则函数名称改变.
针对训练
3.化简:··.
解:原式=··
=··=··=1.
题型(三) 诱导公式的综合应用
[例3] 已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
(1)求sin(α+π)的值;
解:根据题意,得sin α==,cos α==.
sin(α+π)=-sin α=-.
(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到,求5sin β-5cos β的值.
解:根据题意,得β=α-.
∴5sin β-5cos β=5sin-5cos=5cos α+5sin α
=5×+5×=.
|思|维|建|模| 诱导公式综合应用要“三看”
一看角 ①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系
二看函数 名称 利用诱导公式化简变形,达到角的统一,以保证三角函数名最少
三看式子 结构 通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形,平方和差、立方和差公式
针对训练
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,钝角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与半径为3的圆相交于点A,过点A作x轴的垂线,垂足为点B,OB=2.
(1)求sin α,cos α的值;
解:依题意,在Rt△AOB中,OA=3,OB=2,
则AB==,sin∠AOB==,cos∠AOB==.
而由题图可知,∠AOB+α=π.
故sin α=sin(π-∠AOB)=sin∠AOB=.
同理cos α=-.
(2)求的值.
解:因为sin α=,cos α=-,sin
=sin=sin=cos α,
sin(π+α)=-sin α,cos(α+5π)=cos(α+π)=-cos α,
所以==-2-.
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1.已知sin α=,则cos等于( )
A. B.
C.- D.-
解析:cos=-sin α=-.
√
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2.已知sin α=,则cos=( )
A. B.-
C. D.-
解析:因为sin α=,
所以cos=cos=cos=-sin α=-.
√
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3.已知f(α)=,则f=( )
A. B.
C. D.-
解析:f(α)===cos α,则f=cos=.
√
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4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是 ( )
A.- B.-
C.
解析:由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,得-sin α-sin α=-a,即sin α=.
cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-.
√
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5.已知cos=,且|φ|<,则cos φ等于( )
A.
C.- D.-
解析:∵cos=-sin φ=,∴sin φ=-<0.∵|φ|<,∴-<φ<0.
∴cos φ==.
√
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6.若sin<0,且cos>0,则角θ是第 象限角.
解析:∵sin=cos θ<0,cos=-sin θ>0,∴sin θ<0.
∴角θ是第三象限角.
三
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7.计算:sin(-36°)+cos 54°+sin 108°+cos 162°的值为 .
解析:原式=-sin 36°+cos(90°-36°)+sin(90°+18°)+
cos(180°-18°)=-sin 36°+sin 36°+cos 18°-cos 18°=0.
0
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8.已知角α的顶点在原点,以x轴非负半轴为始边,若角α的终边经过点P(1,2),则sin= .
解析:由三角函数的定义,得cos α==,由诱导公式,
得sin=-cos α=-.
-
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2
9.(8分)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求的值.
解:∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α).
∴-sin(π-α)=2cos(-α).∴sin α=-2cos α,且cos α≠0.
∴原式====-.
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10.(10分)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=.
(1)求实数m的值;
解:根据三角函数的定义可得cos α==,
解得m=0或m=3或m=-4.
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(2)若m>0,求的值.
解:由(1)知m=0或m=3或m=-4,因为m>0,所以m=3.
所以cos α=,sin α=-.
由诱导公式,得==-=-.
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2
B级——重点培优
11.(多选)下列三角函数值为的是(n∈Z)( )
A.sin B.cos
C.sin D.cos
√
√
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解析: A.当n=2k,k∈Z时,sin=sin=sin=;当n=2k+1,
k∈Z时,sin=sin=sin=-sin=-,故错误;
B.cos=cos=cos=,故正确;
C.sin=sin=sin=,故正确;
D.cos=cos=cos=-sin=-,故错误.
故选B、C.
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12.已知sin=,则sin= , cos= .
解析:sin=sin=-sin=-;
cos=cos=sin=.
-
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13.已知sin=,则cos= ,sin= .
解析:cos=cos=sin=,
sin=sin=sin=.
1
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2
14.(10分)在△ABC中,sin=sin,试判断△ABC的形状.
解:∵A+B+C=π,∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.又sin=sin,
∴sin=sin.
∴sin=sin,即cos C=cos B.
又B,C为△ABC的内角,∴C=B,故△ABC为等腰三角形.
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2
15.(14分)已知f(cos x)=cos 17x.
(1)求证:f(sin x)=sin 17x;
证明:f(sin x)=f=cos=cos
=cos=sin 17x.
1
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2
(2)对于怎样的整数n,能由f(sin x)=sin nx推出f(cos x)=cos nx
解: f(cos x)=f=sin
=sin=k∈Z.
故所求的整数为n=4k+1,k∈Z.课时跟踪检测(七) 诱导公式与旋转
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.已知sin α=,则cos等于 ( )
A.
C.- D.-
2.已知sin α=,则cos= ( )
A. B.-
C. D.-
3.已知f(α)=,则f= ( )
A.
C. D.-
4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是 ( )
A.- B.-
C.
5.已知cos=,且|φ|<,则cos φ等于 ( )
A.
C.- D.-
6.若sin<0,且cos>0,则角θ是第 象限角.
7.计算:sin(-36°)+cos 54°+sin 108°+cos 162°的值为 .
8.已知角α的顶点在原点,以x轴非负半轴为始边,若角α的终边经过点P(1,2),则sin= .
9.(8分)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),
求的值.
10.(10分)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=.
(1)求实数m的值;
(2)若m>0,求的值.
B级——重点培优
11.(多选)下列三角函数值为的是(n∈Z) ( )
A.sin B.cos
C.sin D.cos
12.已知sin=,则sin= , cos= .
13.已知sin=,则cos= ,sin= .
14.(10分)在△ABC中,sin=sin,试判断△ABC的形状.
15.(14分)已知f(cos x)=cos 17x.
(1)求证:f(sin x)=sin 17x;
(2)对于怎样的整数n,能由f(sin x)=sin nx推出f(cos x)=cos nx
课时跟踪检测(七)
1.选C cos=-sin α=-.
2.选B 因为sin α=,
所以cos=cos=cos=-sin α=-.
3.选A f(α)=
==cos α,
则f=cos=.
4.选B 由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,
得-sin α-sin α=-a,即sin α=.
cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-.
5.选A ∵cos=-sin φ=,
∴sin φ=-<0.∵|φ|<,
∴-<φ<0.∴cos φ==.
6.解析:∵sin=cos θ<0,
cos=-sin θ>0,∴sin θ<0.
∴角θ是第三象限角.
答案:三
7.解析:原式=-sin 36°+cos(90°-36°)+sin(90°+18°)+cos(180°-18°)=-sin 36°+sin 36°+cos 18°-cos 18°=0.
答案:0
8.解析:由三角函数的定义,得cos α==,由诱导公式,
得sin=-cos α=-.
答案:-
9.解:∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),
∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α).
∴-sin(π-α)=2cos(-α).
∴sin α=-2cos α,且cos α≠0.
∴原式=
===-.
10.解:(1)根据三角函数的定义可得cos α==,解得m=0或m=3或m=-4.
(2)由(1)知m=0或m=3或m=-4,
因为m>0,所以m=3.
所以cos α=,sin α=-.
由诱导公式,得=
=-=-.
11.选BC A.当n=2k,k∈Z时,
sin=sin
=sin=;
当n=2k+1,k∈Z时,sin=sin=sin=-sin=-,故错误;
B.cos=cos
=cos=,故正确;
C.sin=sin
=sin=,故正确;
D.cos=cos=cos=-sin=-,故错误.故选B、C.
12.解析:sin=sin
=-sin=-;
cos=cos
=sin=.
答案:-
13.解析:cos=cos=sin=,
sin=sin
=sin=.
答案:
14.解:∵A+B+C=π,
∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.
又sin=sin,
∴sin=sin.
∴sin=sin,
即cos C=cos B.
又B,C为△ABC的内角,
∴C=B,故△ABC为等腰三角形.
15.解:(1)证明:f(sin x)=f=cos
=cos
=cos=sin 17x.
(2)f(cos x)=f
=sin=sin
=k∈Z.
故所求的整数为n=4k+1,k∈Z.
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