(共45张PPT)
正弦函数图象与性质再认识
(基本概念课——逐点理清式教学)
5.1.1
课时目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法.
2.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质,并能求正弦函数的性质及利用性质解题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 正弦函数的图象
逐点清(二) 正弦函数性质的再认识
逐点清(三) 五点(画图)法
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 正弦函数的图象
01
正弦函数图象在平面直角坐标系中的作法
(1)作单位圆,把☉O 12等分(当然分得越细,图象越精确);
(2)12等分后得到对应于0,,,,…,2π的角,并作出相应的 ;
正弦值
多维理解
(3)将x轴上从0到2π一段分成12等份;
(4)平移相应角的正弦值;
(5)描点,用 顺次连接,就得到y=sin x在区间[0,2π]上的图象(如图);
光滑曲线
(6)将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象 平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象.正弦函数的图象称作正弦曲线.
向左、右
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)第一象限内的角越大,其正弦曲线越长. ( )
(2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸. ( )
(3)正弦函数是定义域上的增函数. ( )
×
×
√
微点练明
2.下列图象中,y=-sin x在[0,2π]上的图象是 ( )
√
3.函数y=sin|x|的图象是 ( )
解析:y=sin|x|=结合选项可知选B.
√
4.下列函数图象相同的是 ( )
A.y=sin x与y=sin(π+x)
B.y=sin与y=sin
C.y=sin x与y=sin(-x)
D.y=sin(2π+x)与y=sin x
解析:利用诱导公式可知D图象相同.
√
逐点清(二)
正弦函数性质的再认识
02
函数 y=sin x
定义域 ___
最大(小) 值和值域 当x=______,k∈Z时正弦函数取得最大值1;当x=______,
k∈Z时正弦函数取得最小值-1.正弦函数的值域是______
周期性 最小正周期为______
R
2kπ+
[-1,1]
2π
2kπ+
多维理解
续表
单调性 在区间____________________ ,k∈Z上单调递增;
在区间____________________,k∈Z上单调递减
奇偶性 图象关于_________对称,是_________
原点
奇函数
|微|点|助|解|
(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
(2)正弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方程是x=kπ+(k∈Z),对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.
(3)判断正弦函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
1.函数f(x)=xsin x ( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
解析:函数的定义域为R,且满足f(-x)=(-x)·sin(-x)=x·sin x=f(x),
所以f(x)=xsin x是偶函数.
√
微点练明
2.函数y=sin的最小正周期为( )
A. B.2π
C.π D.
解析:∵sin=sin=sin,
∴自变量x只要并且至少要增加到x+,函数y=sin,x∈R的值才能重复出现.∴函数y=sin,x∈R的最小正周期是.
√
3.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 对称.
解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.
原点
4.sin sin(填“>”或“<”).
解析:0<<<,由于函数y=sin x在上单调递增,则sin<
逐点清(三) 五点(画图)法
03
在平面直角坐标系中描出五个关键点 ,
然后再根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这五个点顺次连接起来,就得到正弦函数在[0,2π]上的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.
(0,0),,(π,0),,
(2π,0)
多维理解
|微|点|助|解|
(1)在描点时,光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”的形状,经过位于x轴上的点时要改变“圆弧的圆心位置”.
(2)作图时自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数,在x轴、
y轴上统一单位,作出的图象正规,便于应用.
(3)“五点(画图)法”作图的五个点,不一定是我们列出的那五个点,如x∈[-π,π]时的五点为(-π,0),,(0,0),,(π,0).
[典例] 利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.
解:取值列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
解:描点、连线,如图所示.
|思|维|建|模|
“五点(画图)法”作形如y=asin x+b,x∈[0,2π]的图象时,其步骤
如下:
(1)列表:取x=0,,π,,2π;
(2)描点:将表中所对应的点(x,y)标在坐标平面内;
(3)连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
作出函数y=+sin x,x∈[-π,π]的大致图象并写出使得y<0和y>0的x的取值范围.
解:因为y=+sin x,列表:
x -π 0 π
y
针对训练
描点、连线,函数图象如图所示.
令y=0,即sin x+=0,则sin x=-,
所以x=-+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
因为x∈[-π,π],所以x=-或x=-.
由图可知当-0,当-课时跟踪检测
04
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1.用“五点(画图)法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是 ( )
A.0,,π,,2π B.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
√
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2.y=cos是( )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
解析:因为y=cos=-sin x,所以该函数是周期为2π的奇函数.
√
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3.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象 ( )
A.重合 B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同
解析:根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,
x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.
√
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4.(多选)关于正弦函数y=sin x的图象,下列说法正确的是 ( )
A.关于原点对称 B.有最大值1
C.与y轴有一个交点 D.关于y轴对称
解析:正弦函数y=sin x的图象如图所示.根据y=sin x,x∈R的图象可知A、B、C均正确,D错误.
√
√
√
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5.正弦函数y=sin x,x∈R的图象的一条对称轴是 ( )
A.y轴 B.x轴
C.直线x= D.直线x=π
解析:根据正弦函数图象性质可知,当x=时,y取最大值,则直线x=是一条对称轴.
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6.函数y=-sin x,x∈的简图是( )
√
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解析:因为当x=0时,y=0,即函数图象过原点,排除选项A、C;
又当x∈(0,π)时,sin x>0,则-sin x<0,即函数y=-sin x,x∈(0,π)的图象在x轴下方,排除选项B,选项D符合要求.
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7.如图,曲线对应的函数是 ( )
A.y=|sin x| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|
解析:当x>0时,y=-sin x;当x<0时,y=sin x. 所以y=-sin|x|.
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8.函数y=sin x-|sin x|的值域是 ( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,1] D.[-2,0]
解析:当0≤sin x≤1 时,y=sin x-sin x=0,当-1≤sin x<0时,y=2sin x,
此时-2≤2sin x<0,所以函数的值域为[-2,0].
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9.设函数f(x)=x4sin x+1,若f(a)=11,则f(-a)= .
解析:f(a)=a4sin a+1=11,则a4sin a=10,
f(-a)=(-a)4sin(-a)+1=-a4sin a+1=-10+1=-9.
-9
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10.函数y=3sin x-1的最大值为 ,取得最大值时x的取值范围
为 .
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11.若0<α≤,则y=sin α+的最小值为 .
解析:设t=sin α,∵0<α≤,∴0则y=t+(06
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12.(17分)在同一平面直角坐标系下作出y=sin x和y=sin x-1的大致图象,并说明它们之间的关系.
解:对于y=sin x,列表如下:
x 0 π 2π
y 0 1 0 -1 0
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对于y=sin x-1,列表如下:
描点、连线,可得y=sin x和y=sin x-1的
图象如图所示.其中将y=sin x向下平移
1个单位长度得到y=sin x-1.
x 0 π 2π
y -1 0 -1 -2 -1
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13.(18分)已知函数f(x)=1-2sin x.
(1)用“五点(画图)法”作出函数f(x)在x∈[0,2π]上的简图;
解:五个关键点列表如下:
x 0 π 2π
f(x) 1 -1 1 3 1
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作图:
(2)根据图象求f(x)≥1在[0,2π]上的解集.
解:根据(1)中的图象,可得f(x)≥1在[0,2π]上的解集为{0}∪[π,2π].5.1.1 正弦函数图象与性质再认识 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法.
2.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质,并能求正弦函数的性质及利用性质解题.
逐点清(一) 正弦函数的图象
[多维理解]
正弦函数图象在平面直角坐标系中的作法
(1)作单位圆,把☉O 12等分(当然分得越细,图象越精确);
(2)12等分后得到对应于0,,,,…,2π的角,并作出相应的 ;
(3)将x轴上从0到2π一段分成12等份;
(4)平移相应角的正弦值;
(5)描点,用 顺次连接,就得到y=sin x在区间[0,2π]上的图象(如图);
(6)将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象 平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象.正弦函数的图象称作正弦曲线.
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)第一象限内的角越大,其正弦曲线越长. ( )
(2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸. ( )
(3)正弦函数是定义域上的增函数. ( )
2.下列图象中,y=-sin x在[0,2π]上的图象是 ( )
3.函数y=sin|x|的图象是 ( )
4.下列函数图象相同的是 ( )
A.y=sin x与y=sin(π+x) B.y=sin与y=sin
C.y=sin x与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sin x
逐点清(二) 正弦函数性质的再认识
[多维理解]
函数 y=sin x
定义域
最大(小) 值和值域 当x= ,k∈Z时正弦函数取得最大值1;当x= , k∈Z时正弦函数取得最小值-1.正弦函数的值域是
周期性 最小正周期为
单调性 在区间 ,k∈Z上单调递增;在区间 ,k∈Z上单调递减
奇偶性 图象关于 对称,是
|微|点|助|解|
(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
(2)正弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方程是x=kπ+ (k∈Z),对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.
(3)判断正弦函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
[微点练明]
1.函数f(x)=xsin x ( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
2.函数y=sin的最小正周期为 ( )
A. B.2π
C.π D.
3.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 对称.
4.sin sin(填“>”或“<”).
逐点清(三) 五点(画图)法
[多维理解]
在平面直角坐标系中描出五个关键点 ,然后再根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这五个点顺次连接起来,就得到正弦函数在[0,2π]上的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.
|微|点|助|解|
(1)在描点时,光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”的形状,经过位于x轴上的点时要改变“圆弧的圆心位置”.
(2)作图时自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数,在x轴、y轴上统一单位,作出的图象正规,便于应用.
(3)“五点(画图)法”作图的五个点,不一定是我们列出的那五个点,如x∈[-π,π]时的五点为(-π,0),,(0,0),,(π,0).
[典例] 利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.
听课记录:
|思|维|建|模|
“五点(画图)法”作形如y=asin x+b,x∈[0,2π]的图象时,其步骤如下:
(1)列表:取x=0,,π,,2π;
(2)描点:将表中所对应的点(x,y)标在坐标平面内;
(3)连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
[针对训练]
作出函数y=+sin x,x∈[-π,π]的大致图象并写出使得y<0和y>0的x的取值范围.
正弦函数的图象与性质再认识
[逐点清(一)]
[多维理解] (2)正弦值 (5)光滑曲线 (6)向左、右
[微点练明] 1.(1)× (2)√ (3)×
2.D 3.B 4.D
[逐点清(二)]
[多维理解] R 2kπ+ 2kπ+ [-1,1] 2π 原点 奇函数
[微点练明] 1.B 2.D 3.原点 4.<
[逐点清(三)]
[多维理解] (0,0),,(π,0),,(2π,0)
[典例] 解:(1)取值列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
(2)描点、连线,如图所示.
[针对训练]
解:因为y=+sin x,列表:
x -π - 0 π
y -
描点、连线,函数图象如图所示.
令y=0,即sin x+=0,
则sin x=-,
所以x=-+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
因为x∈[-π,π],所以x=-或x=-.
由图可知当-0,当-2 / 4课时跟踪检测(八) 正弦函数图象与性质再认识
(满分90分,选填小题每题5分)
1.用“五点(画图)法”作函数y=2sin x-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是 ( )
A.0,,π,,2π B.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
2.y=cos是 ( )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
3.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象 ( )
A.重合 B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同
4.(多选)关于正弦函数y=sin x的图象,下列说法正确的是 ( )
A.关于原点对称 B.有最大值1
C.与y轴有一个交点 D.关于y轴对称
5.正弦函数y=sin x,x∈R的图象的一条对称轴是 ( )
A.y轴 B.x轴
C.直线x= D.直线x=π
6.函数y=-sin x,x∈的简图是 ( )
7.如图,曲线对应的函数是 ( )
A.y=|sin x| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|
8.函数y=sin x-|sin x|的值域是 ( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[-1,1] D.[-2,0]
9.设函数f(x)=x4sin x+1,若f(a)=11,则f(-a)= .
10.函数y=3sin x-1的最大值为 ,取得最大值时x的取值范围为 .
11.若0<α≤,则y=sin α+的最小值为 .
12.(17分)在同一平面直角坐标系下作出y=sin x和y=sin x-1的大致图象,并说明它们之间的关系.
13.(18分)已知函数f(x)=1-2sin x.
(1)用“五点(画图)法”作出函数f(x)在x∈[0,2π]上的简图;
(2)根据图象求f(x)≥1在[0,2π]上的解集.
课时跟踪检测(八)
1.A 2.C 3.B 4.ABC 5.C 6.D 7.C
8.D 9.-9 10.2
11.6
12.解:对于y=sin x,列表如下:
x 0 π 2π
y 0 1 0 -1 0
对于y=sin x-1,列表如下:
x 0 π 2π
y -1 0 -1 -2 -1
描点、连线,可得y=sin x和y=sin x-1的图象如图所示.
其中将y=sin x向下平移1个单位长度得到y=sin x-1.
13.解:(1)五个关键点列表如下:
x 0 π 2π
f(x) 1 -1 1 3 1
作图:
(2)根据(1)中的图象,可得f(x)≥1在[0,2π]上的解集为{0}∪[π,2π].
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