(共45张PPT)
正弦函数图象与性质的应用
(拓展融通课——习题讲评式教学)
5.1.2
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 正弦函数图象的应用
题型(二) 正弦函数的单调性及应用
题型(三)
与正弦函数有关的最值、值域问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 正弦函数图象的应用
01
[例1] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为 ( )
A.C.
解析:因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.在同一直角坐标系下,作函数y=sin x,x∈[0,2π]以及直线y=的图象,如图.
由函数的图象知,sin=sin=.
所以sin x≥的解集为.
√
(2)函数y=2+sin x,x∈(0,4π]的图象与直线y=2的交点的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=2+sin x,x∈(0,4π]与直线y=2的图象(如图所示),可得两图象的交点共有4个,故选D.
√
|思|维|建|模|
利用图象解不等式sin x>a的步骤
(1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上sin x=a的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)写出定义域内的解集.
1.函数y=|sin x|的最小正周期为 ( )
A.π B.2π
C.4π D.没有周期性
解析:y=|sin x|的图象如图,
y=|sin x|是由y=sin x位于x轴
上方部分不变,
下方部分沿着x轴翻折后得到,故y=|sin x|的最小正周期为π.
√
针对训练
2. 在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是( )
A.(0,π) B. C.
解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图,如图.
因为sin=,所以sin=-,
sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=.
可知不等式sin x<-的解集是.故选C.
√
题型(二)
正弦函数的单调性及应用
02
[例2] 比较下列各组数的大小.
(1)sin和cos;
解:∵cos=sin,又<<π<+<,
y=sin x在上单调递减,∴sin>sin,
即sin>cos .
(2)sin和sin.
解:∵cos=sin ,
∴0而y=sin x在内单调递增,
∴sin|思|维|建|模|
1.解决函数单调性问题的策略
解决正弦函数的单调性问题时,若求y=Asin 2x的单调区间,先由y=sin x的单调区间确定y=sin 2x的单调区间,再由A的符号确定y=Asin 2x的单调区间.
2.比较大小的解题策略
(1)比较同名三角函数值的大小时,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小.
(2)对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后再比较大小.
3.(多选)函数f(x)=sin 2x的单调递减区间可以是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
√
针对训练
√
解析:由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
∴函数f(x)=sin 2x的单调递减区间是(k∈Z),B正确.
∵函数f(x)的周期是kπ(k≠0),
∴A也正确.故选A、B.
4.比较大小:sin sin.
解析:因为函数y=sin x在上单调递增,且-<-<-<0,
所以sin>sin.
>
题型(三)
与正弦函数有关的最值、值域问题
03
[例3] (1)函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是( )
A.[1,3] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[-1,1]
解析:∵x∈,∴sin x∈[-1,1].∴-2sin x+1∈[-1,3].
√
(2)函数y=sin2x-4sin x的最小值是 .
解析:令sin x=t,当x∈R时,t∈[-1,1],则y=t2-4t,t∈[-1,1].
∵y=t2-4t=(t-2)2-4,∴当t∈[-1,1]时,y=t2-4t单调递减.
∴当t=1时,y=t2-4t取最小值,ymin=12-4×1=-3.
∴当sin x=1,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin2x-4sin x的最小值是-3.
-3
(3)函数y=的值域为 .
解析:由题得函数的定义域为R,
y===2-,设t=sin x,t∈[-1,1],
所以f(t)=2-,t∈[-1,1].由复合函数单调性得函数f(t)在[-1,1]上单调递增,
所以f(t)min=f(-1)=2-=-,f(t)max=f(1)=2-=.
所以函数y=的值域为.
|思|维|建|模|
(1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质.
(2)形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.
(3)形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.
5.函数y=3sin x的值域是 .
解析:因为x∈R,所以sin x∈[-1,1].因为指数函数y=3t在定义域内是单调递增的,所以3sin x∈.所以函数的值域为.
针对训练
6.函数y=sin在x∈上的最大值为 .
解析:由x∈,得x+∈,即x+=时,
函数有最大值,ymax=sin=1.
1
7.设|x|≤,则函数f(x)=1-sin2x+sin x的最小值为 .
解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-+.∵|x|≤,∴-≤sin x≤.
∴当sin x=-时,f(x)min=.
课时跟踪检测
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2
A级——达标评价
1.函数y=3sin x+5的最大值为( )
A.2 B.5
C.8 D.7
解析:∵-≤x≤0,∴-1≤sin x≤0.∴2≤3sin x+5≤5,即2≤y≤5.
∴函数y=3sin x+5的最大值为5.
√
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2.设函数f(x)=sin x,下列结论不成立的是 ( )
A.f>0 B.-1≤f(x)≤1
C.最小正周期是2π D.f>f
解析:对于A,f=sin=>0,故A正确;对于B,-1≤sin x≤1,故B正确;
对于C,f(x)=sin x的最小正周期为2π,故C正确;对于D,由于f(x)=
sin x在上单调递增,则f√
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3.定义在R上的奇函数f(x)的周期是π,当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为( )
A.- C.-
解析:依题意,f(x)是定义在R上的奇函数,且是周期为π的周期函数,
f=f=f=-f=-sin=-.
√
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4.方程sin x=的根的个数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示.
根据图象可知方程有7个根.
√
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5.不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集是( )
A.
C.
解析:如图所示,不等式sin x<-,
x∈[0,2π]的解集为 .
√
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6.比较大小:sin sin.
解析:∵sin=sin,sin=sin,
又0<<<,y=sin x在上是单调递增的,∴sin<
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7.函数y=sin(x+π)在上的单调递增区间为 .
解析:由x∈,得x+π∈.令t=x+π,由函数y=sin t在上的图象,知其单调递增区间为,则≤x+π≤2π,解得≤x≤π.
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8.函数y=sin x+,x∈[0,2π]的图象与直线y=1的交点坐标为 .
解析:因为y=sin x+,令y=1,即sin x+=1,则sin x=,
所以x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
因为x∈[0,2π],所以x=或x=.所以函数y=sin x+,x∈[0,2π]的图象与直线y=1的交点坐标为或.
或
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9. (10分)已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出函数的简图;
解: y=sin x+|sin x|=
函数图象如图所示.
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(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期.
解:由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,则函数的最小正周期是2π.
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10.(12分)比较下列三角函数值的大小.
(1)sin与sin;
解: sin=-sin,sin=-sin=-sin.
∵<<<,且y=sin x在上单调递减,∴sin>sin.
∴-sin<-sin,即sin1
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(2)sin 196°与cos 156°.
解: sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,
cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在0°~90°上单调递增,
∴sin 16°∴-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.
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B级——重点培优
11.(多选)对于函数f(x)=sin 2x,下列选项错误的是( )
A.f(x)在上是单调递增的
B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)的最大值为2
√
√
√
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解析:因为函数y=sin x在上是单调递减的,
所以f(x)=sin 2x在上是单调递减的,故A错误;
因为f(-x)=sin 2(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故B正确;f(x)的最小正周期为π,故C错误;f(x)的最大值为1,
故D错误.
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12.(多选)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列四个结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)的最大值为2
√
√
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解析:∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函数,故A正确.当x∈时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,函数单调递减,故B错误.
当x=0时,f(x)=0,当x∈(0,π]时,f(x)=2sin x,令f(x)=0,得x=π.又∵f(x)是偶函数,∴函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误.
∵sin|x|≤|sin x|,∴f(x)≤2|sin x|≤2.
当x=+2kπ(k≥0,k∈Z)或x=-+2kπ(k≤0,k∈Z)时,f(x)能取得最大值2,故D正确.
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13.已知函数f(x)=-4sin2x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],则实数a的取值
范围为 .
解析:设t=sin x,则y=-4t2+4t=-4+1,∵y∈[0,1],x∈[0,a],
∴t必须取到.∴a≥.又x=π时,t=0,y=0,
∴a≤π.∴≤a≤π.
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14.关于x的不等式 .
解析:作出正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象,
作出直线y=和y=,如图所示.由图可知,
在[0,2π]上当1
5
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15.(14分)设a为常数,且满足a=sin x+1,x∈[-π,π]的x的值只有一个,求实数a的值.
解:因为y=sin x+1,列表:
x -π 0 π
y 1 0 1 2 1
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2
描点、连线,函数图象如图所示.
因为a=sin x+1,且x∈[-π,π]的x的值只有一个,
所以y=a与y=sin x+1的图象在x∈[-π,π]上只有1个交点,
结合图象可知a=0或a=2.5.1.2 正弦函数图象与性质的应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
题型(一) 正弦函数图象的应用
[例1] (1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为 ( )
A. B.
C.
(2)函数y=2+sin x,x∈(0,4π]的图象与直线y=2的交点的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
听课记录:
|思|维|建|模|
利用图象解不等式sin x>a的步骤
(1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上sin x=a的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)写出定义域内的解集.
[针对训练]
1.函数y=|sin x|的最小正周期为 ( )
A.π B.2π
C.4π D.没有周期性
2.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是 ( )
A.(0,π) B.
C.
题型(二) 正弦函数的单调性及应用
[例2] 比较下列各组数的大小.
(1)sin和cos;
(2)sin和sin.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.解决函数单调性问题的策略
解决正弦函数的单调性问题时,若求y=Asin 2x的单调区间,先由y=sin x的单调区间确定y=sin 2x的单调区间,再由A的符号确定y=Asin 2x的单调区间.
2.比较大小的解题策略
(1)比较同名三角函数值的大小时,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小.
(2)对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后再比较大小.
[针对训练]
3.(多选)函数f(x)=sin 2x的单调递减区间可以是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4.比较大小:sin sin.
题型(三) 与正弦函数有关的最值、值域问题
[例3] (1)函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是 ( )
A.[1,3] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[-1,1]
(2)函数y=sin2x-4sin x的最小值是 .
(3)函数y=的值域为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质.
(2)形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.
(3)形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.
[针对训练]
5.函数y=3sin x的值域是 .
6.函数y=sin在x∈上的最大值为 .
7.设|x|≤,则函数f(x)=1-sin2x+sin x的最小值为 .
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.
在同一直角坐标系下,作函数y=sin x,x∈[0,2π]以及直线y=的图象,如图.
由函数的图象知,sin=sin=.
所以sin x≥的解集为.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数y=2+sin x,x∈(0,4π]与直线y=2的图象(如图所示),可得两图象的交点共有4个,故选D.
答案:(1)D (2)D
[针对训练]
1.选A y=|sin x|的图象如图,
y=|sin x|是由y=sin x位于x轴上方部分不变,下方部分沿着x轴翻折后得到,
故y=|sin x|的最小正周期为π.
2.选C 画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图,如图.
因为sin=,所以sin=-,sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=.可知不等式sin x<-的解集是.故选C.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)∵cos=sin,
又<<π<+<,
y=sin x在上单调递减,
∴sin>sin,即sin>cos .
(2)∵cos=sin ,
∴0而y=sin x在内单调递增,
∴sin[针对训练]
3.选AB 由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
∴函数f(x)=sin 2x的单调递减区间是(k∈Z),B正确.
∵函数f(x)的周期是kπ(k≠0),
∴A也正确.故选A、B.
4.解析:因为函数y=sin x在上单调递增,且-<-<-<0,
所以sin>sin.
答案:>
[题型(三)]
[例3] 解析:(1)∵x∈,
∴sin x∈[-1,1].∴-2sin x+1∈[-1,3].
(2)令sin x=t,当x∈R时,t∈[-1,1],
则y=t2-4t,t∈[-1,1].
∵y=t2-4t=(t-2)2-4,
∴当t∈[-1,1]时,y=t2-4t单调递减.
∴当t=1时,y=t2-4t取最小值,ymin=12-4×1=-3.
∴当sin x=1,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin2x-4sin x的最小值是-3.
(3)由题得函数的定义域为R,
y==
=2-,设t=sin x,t∈[-1,1],
所以f(t)=2-,t∈[-1,1].
由复合函数单调性得函数f(t)在[-1,1]上单调递增,所以f(t)min=f(-1)=2-=-,f(t)max=f(1)=2-=.所以函数y=的值域为.
答案:(1)B (2)-3 (3)
[针对训练]
5.解析:因为x∈R,所以sin x∈[-1,1].因为指数函数y=3t在定义域内是单调递增的,
所以3sin x∈.所以函数的值域为.
答案:
6.解析:由x∈,得x+∈,即x+=时,函数有最大值,ymax=sin=1.
答案:1
7.解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-+.∵|x|≤,
∴-≤sin x≤.
∴当sin x=-时,f(x)min=.
答案:
3 / 3课时跟踪检测(九) 正弦函数图象与性质的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数y=3sin x+5的最大值为 ( )
A.2 B.5
C.8 D.7
2.设函数f(x)=sin x,下列结论不成立的是 ( )
A.f>0 B.-1≤f(x)≤1
C.最小正周期是2π D.f>f
3.定义在R上的奇函数f(x)的周期是π,当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为 ( )
A.-
C.-
4.方程sin x=的根的个数是 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
5.不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集是 ( )
A.
C.
6.比较大小:sin sin.
7.函数y=sin(x+π)在上的单调递增区间为 .
8.函数y=sin x+,x∈[0,2π]的图象与直线y=1的交点坐标为 .
9.(10分)已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期.
10.(12分)比较下列三角函数值的大小.
(1)sin与sin;
(2)sin 196°与cos 156°.
B级——重点培优
11.(多选)对于函数f(x)=sin 2x,下列选项错误的是 ( )
A.f(x)在上是单调递增的
B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)的最大值为2
12.(多选)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列四个结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)的最大值为2
13.已知函数f(x)=-4sin2x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],则实数a的取值范围为 .
14.关于x的不等式15.(14分)设a为常数,且满足a=sin x+1,x∈[-π,π]的x的值只有一个,求实数a的值.
课时跟踪检测(九)
1.选B ∵-≤x≤0,∴-1≤sin x≤0.
∴2≤3sin x+5≤5,即2≤y≤5.
∴函数y=3sin x+5的最大值为5.
2.选D 对于A,f=sin=>0,故A正确;
对于B,-1≤sin x≤1,故B正确;
对于C,f(x)=sin x的最小正周期为2π,故C正确;
对于D,由于f(x)=sin x在上单调递增,
则f3.选C 依题意,f(x)是定义在R上的奇函数,且是周期为π的周期函数,
f=f=f=-f=-sin=-.
4.选A 在同一坐标系内画出y=和y=sin x的图象如图所示.
根据图象可知方程有7个根.
5.选A 如图所示,不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集为.
6.解析:∵sin=sin,sin=sin,
又0<<<,y=sin x在上是单调递增的,
∴sin答案:<
7.解析:由x∈,得x+π∈.令t=x+π,由函数y=sin t在上的图象,知其单调递增区间为,则≤x+π≤2π,解得≤x≤π.
答案:
8.解析:因为y=sin x+,令y=1,
即sin x+=1,则sin x=,
所以x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z).
因为x∈[0,2π],所以x=或x=.
所以函数y=sin x+,x∈[0,2π]的图象与直线y=1的交点坐标为或.
答案:或
9.解:(1)y=sin x+|sin x|
=
函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,则函数的最小正周期是2π.
10.解:(1)sin=-sin,
sin=-sin=-sin.
∵<<<,且y=sin x在上单调递减,∴sin>sin.∴-sin<-sin,
即sin(2)sin 196°=sin(180°+16°)
=-sin 16°,cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在0°~90°上单调递增,∴sin 16°∴-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.
11.选ACD 因为函数y=sin x在上是单调递减的,所以f(x)=sin 2x在上是单调递减的,故A错误;因为f(-x)=sin 2(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故B正确;f(x)的最小正周期为π,故C错误;f(x)的最大值为1,故D错误.
12.选AD ∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函数,故A正确.当x∈时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,函数单调递减,故B错误.当x=0时,f(x)=0,
当x∈(0,π]时,f(x)=2sin x,令f(x)=0,得x=π.
又∵f(x)是偶函数,
∴函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误.
∵sin|x|≤|sin x|,∴f(x)≤2|sin x|≤2.
当x=+2kπ(k≥0,k∈Z)或x=-+2kπ(k≤0,k∈Z)时,f(x)能取得最大值2,故D正确.
13.解析:设t=sin x,则y=-4t2+4t=-4+1,
∵y∈[0,1],x∈[0,a],
∴t必须取到.∴a≥.又x=π时,t=0,y=0,
∴a≤π.∴≤a≤π.
答案:
14.解析:作出正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象,作出直线y=和y=,如图所示.
由图可知,在[0,2π]上当.
答案:
15.解:因为y=sin x+1,列表:
x -π - 0 π
y 1 0 1 2 1
描点、连线,函数图象如图所示.
因为a=sin x+1,且x∈[-π,π]的x的值只有一个,
所以y=a与y=sin x+1的图象在x∈[-π,π]上只有1个交点,
结合图象可知a=0或a=2.
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