(共42张PPT)
余弦函数图象与性质再认识
(基本概念课——逐点理清式教学)
5.2.1
课时目标
了解利用单位圆中的余弦线画余弦曲线的方法.掌握“五点(画图)法”画余弦曲线的步骤和方法.理解并掌握余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 余弦函数的图象
逐点清(二) 余弦函数性质的再认识
逐点清(三) 五点(画图)法
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 余弦函数的图象
01
1.余弦函数图象的作法
余弦函数y=cos x(x∈R)的图象称作 .图象如图所示(其作法同正弦函数):
余弦曲线
多维理解
2.正弦函数与余弦函数图象的关系
余弦函数y=cos x的图象可以通过将正弦曲线
y=sin x 得到.
向左平移个单位长度
|微|点|助|解|
由于余弦曲线可以看作由正弦曲线向左平移个单位长度得到的,因此余弦函数的性质和正弦函数的性质非常相似.处理余弦函数的问题时注意类比正弦函数的研究方法.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=cos x的图象与y轴只有一个交点. ( )
(2)将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线. ( )
(3)余弦函数y=cos x,x∈R的图象关于x轴对称. ( )
(4)正、余弦函数y=sin x和y=cos x的图象不超出直线y=-1与y=1所夹的区域. ( )
√
√
×
√
微点练明
2.函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象与y=cos x,x∈[0,2π]的图象 ( )
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称 D.关于y轴对称
解析:在同一平面直角坐标系中作出两函数的简图(图略),
易知A选项正确.
√
3.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为 ( )
解析:y=故选D.
√
4.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是 ( )
A.∪
C.
解析:∵sin x>|cos x|,∴sin x>0.∴x∈(0,π).
在同一平面直角坐标系中画出y=sin x,
x∈(0,π)与y=|cos x|,x∈(0,π)的图象,如图.
观察图象易得x∈.
√
逐点清(二)
余弦函数性质的再认识
02
函数 y=cos x
定义域 ____
最大(小)值 和值域 当x=2kπ,k∈Z时余弦函数取得最大值 ;当x=(2k+1)π,k∈Z时余弦函数取得最小值 .余弦函数的值域是______
周期性 最小正周期______
R
1
-1
[-1,1]
2π
多维理解
续表
单调性 在区间 ,k∈Z上单调递增;
在区间 ,k∈Z上单调递减
奇偶性 图象关于 对称,是偶函数
[(2k-1)π,2kπ]
[2kπ,(2k+1)π]
y轴
1.函数y=sin,在上( )
A.单调递增 B.单调递减
C.是偶函数 D.是奇函数
解析:y=sin=cos x,x∈,为偶函数,不是奇函数,不是单调函数.
√
微点练明
2.函数y=cos x,x∈R的最小正周期是 ( )
A.2π B.3π
C.4π D.5π
解析:由题意可得,函数y=cos x,x∈R的最小正周期是2π.
√
3.函数f(x)=-cos x+3的值域是 ( )
A.[-4,2] B.[2,4]
C.[-4,-2] D.[-2,4]
解析:因为cos x∈[-1,1],所以-cos x+3∈[2,4].
所以f(x)的值域为[2,4].
√
4.比较大小:cos 1 cos 2.
解析:∵函数y=cos x在[0,π]上单调递减,且0<1<2<π,∴cos 1>cos 2.
>
逐点清(三) 五点(画图)法
03
1.余弦曲线上有五个关键点
这五个点是 ,, ,, .
2.“五点(画图)法”作图的步骤
作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的图象时,可由“五点(画图)法”作出,其步骤如下:
(1)列表.取x=0,,π,,2π.
(2)描点.
(3)连线.用光滑的曲线将各点顺次连接成图.
(0,1)
(π,-1)
(2π,1)
多维理解
1.利用“五点(画图)法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
解:取值列表如下:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-1-cos x -2 -1 0 -1 -2
微点练明
解:描点、连线,如图所示.
2.画出函数y=3+2cos x的简图.求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值.
解:按五个关键点列表如下,
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
3+2cos x 5 3 1 3 5
描点画出图象(如图).
当cos x=1,即x∈{x|x=2kπ,k∈Z}时,
ymax=3+2=5,当cos x=-1,即x∈{x|x=2kπ+π,k∈Z}时,ymin=3-2=1.
课时跟踪检测
04
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2
1.对余弦函数y=cos x的图象,有如下描述:
①向左、向右无限延伸;②与y=sin x的图象形状完全一样,只是位置不同;③与x轴有无数多个交点;④关于y轴对称.
其中正确的描述有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
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2.函数y=1-2cos x,x∈R的最大值是 ( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
解析:∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=-1时,函数y=1-2cos x取得最大值,
即ymax=1-2×(-1)=3.
√
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3.从函数y=cos x,x∈[0,4π]的图象来看,对应于cos x=的x有( )
A.1个值 B.2个值
C.3个值 D.4个值
解析:由于函数y=cos x,x∈[0,4π]的图象与直线y=有且只有4个交点,
所以选D.
√
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4.函数y=|cos x|-1的最小正周期是 ( )
A.2kπ(k∈Z) B.3π
C.π D.2π
解析:∵函数y=|cos x|-1的周期同函数y=|cos x|的周期一致,
由函数y=|cos x|的图象知其最小正周期为π,
∴y=|cos x|-1的最小正周期也是π,故选C.
√
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5.下列关于函数f(x)=的说法正确的是( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.是非奇非偶函数
解析:定义域为{x|x≠0,x∈R },且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数.
√
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6.使函数y=cos(2x+φ)为偶函数的φ值可以是 ( )
A. B.π
C.
解析:由于函数y=cos(2x+φ)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z),当k=1时,φ=π.
√
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7.下面结论正确的是 ( )
A.sin 400°>sin 50° B.sin 220°C.cos 130°>cos 200° D.cos(-40°)解析:由cos 130°=cos(180°-50°)=-cos 50°,
cos 200°=cos(180°+20°)=-cos 20°,
又当0°所以-cos 50°>-cos 20°,即cos 130°>cos 200°.
√
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8.函数y=2|cos x|-7的一个单调递增区间是 ( )
A. B.[0,π]
C.
解析:函数y=2|cos x|-7的一个单调递增区间,
即为函数y=|cos x|的一个单调递增区间,
作出y=|cos x|的图象如图所示.由图可知函数
y=|cos x|的一个单调递增区间为.
√
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9.(多选)下列对y=cos x的图象描述正确的是 ( )
A.在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
√
√
√
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解析:对A,由余弦函数的周期T=2π,则区间[0,2π]和[4π,6π]相差4π,故图象形状相同,只是位置不同,A正确;对B,由余弦函数的值域为[-1,1],故其图象介于直线y=1与直线y=-1之间,B正确;由余弦函数的图象可得C错误,D正确.
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10.(多选)函数f(x)=2sin,则以下结论不正确的是( )
A.f(x)在上单调递增
B.x=为f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)在上的值域是(1,)
√
√
√
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解析:因为f(x)=2sin=2cos x,所以函数f(x)在上单调递减,
函数f(x)的图象不关于直线x=对称,函数f(x)的最小正周期为2π,
当0所以A、B、D错误,C正确.
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11.函数y=cos x在区间上的最大值为 ;最小值为 .
解析:因为y=cos x在上单调递增,在上单调递减,所以当x=0时y取最大值为cos 0=1;又因为cos=,cos=,故y的最小值为.
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12.比较大小:cos cos.
解析:∵cos=cos=cos,cos=cos=cos,
而0<<<,又y=cos x在上单调递减,∴cos>cos,
即cos>cos.
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13.函数y=cos x的值域为 .
解析:当x∈时,-≤cos x≤1,所以值域为.
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14.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
解:作出函数f(x)=的图象,如图①所示.
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(2)若f(x)=,求x的值.
解:因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,则由图象知当-π≤x<0时,x=-;当0≤x≤π时,x=或x=.综上,可知x的值为-或或.5.2.1 余弦函数图象与性质再认识(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
了解利用单位圆中的余弦线画余弦曲线的方法.掌握“五点(画图)法”画余弦曲线的步骤和方法.理解并掌握余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质.
逐点清(一) 余弦函数的图象
[多维理解]
1.余弦函数图象的作法
余弦函数y=cos x(x∈R)的图象称作 .图象如图所示(其作法同正弦函数):
2.正弦函数与余弦函数图象的关系
余弦函数y=cos x的图象可以通过将正弦曲线y=sin x 得到.
|微|点|助|解|
由于余弦曲线可以看作由正弦曲线向左平移个单位长度得到的,因此余弦函数的性质和正弦函数的性质非常相似.处理余弦函数的问题时注意类比正弦函数的研究方法.
[微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=cos x的图象与y轴只有一个交点. ( )
(2)将余弦曲线向右平移个单位长度就得到正弦曲线. ( )
(3)余弦函数y=cos x,x∈R的图象关于x轴对称. ( )
(4)正、余弦函数y=sin x和y=cos x的图象不超出直线y=-1与y=1所夹的区域. ( )
2.函数y=-cos x,x∈[0,2π]的图象与y=cos x,x∈[0,2π]的图象 ( )
A.关于x轴对称 B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称 D.关于y轴对称
3.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为 ( )
4.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是 ( )
A. B.∪
C. D.
逐点清(二) 余弦函数性质的再认识
[多维理解]
函数 y=cos x
定义域
最大(小)值 和值域 当x=2kπ,k∈Z时余弦函数取得最大值 ;当x=(2k+1)π,k∈Z时余弦函数取得最小值 .余弦函数的值域是
周期性 最小正周期
单调性 在区间 ,k∈Z上单调递增; 在区间 ,k∈Z上单调递减
奇偶性 图象关于 对称,是偶函数
[微点练明]
1.函数y=sin,在上 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.是偶函数 D.是奇函数
2.函数y=cos x,x∈R的最小正周期是 ( )
A.2π B.3π
C.4π D.5π
3.函数f(x)=-cos x+3的值域是 ( )
A.[-4,2] B.[2,4]
C.[-4,-2] D.[-2,4]
4.比较大小:cos 1 cos 2.
逐点清(三) 五点(画图)法
[多维理解]
1.余弦曲线上有五个关键点
这五个点是 ,, ,, .
2.“五点(画图)法”作图的步骤
作形如y=acos x+b,x∈[0,2π]的图象时,可由“五点(画图)法”作出,其步骤如下:
(1)列表.取x=0,,π,,2π.
(2)描点.
(3)连线.用光滑的曲线将各点顺次连接成图.
[微点练明]
1.利用“五点(画图)法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
2.画出函数y=3+2cos x的简图.求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值.
5.2.1
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.余弦曲线 2.向左平移个单位长度
[微点练明] 1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.A 3.D 4.A
[逐点清(二)]
[多维理解] R 1 -1 [-1,1] 2π [(2k-1)π,2kπ] [2kπ,(2k+1)π] y轴
[微点练明] 1.C 2.A 3.B 4.>
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.(0,1) (π,-1) (2π,1)
[微点练明]
1.解:(1)取值列表如下:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-1-cos x -2 -1 0 -1 -2
(2)描点、连线,如图所示.
2.解:按五个关键点列表如下,
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
3+2cos x 5 3 1 3 5
描点画出图象(如图).
当cos x=1,即x∈{x|x=2kπ,k∈Z}时,ymax=3+2=5,当cos x=-1,即x∈{x|x=2kπ+π,k∈Z}时,ymin=3-2=1.
1 / 4课时跟踪检测(十) 余弦函数图象与性质再认识
(满分80分,选填小题每题5分)
1.对余弦函数y=cos x的图象,有如下描述:
①向左、向右无限延伸;②与y=sin x的图象形状完全一样,只是位置不同;③与x轴有无数多个交点;④关于y轴对称.
其中正确的描述有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.函数y=1-2cos x,x∈R的最大值是 ( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
3.从函数y=cos x,x∈[0,4π]的图象来看,对应于cos x=的x有 ( )
A.1个值 B.2个值
C.3个值 D.4个值
4.函数y=|cos x|-1的最小正周期是 ( )
A.2kπ(k∈Z) B.3π
C.π D.2π
5.下列关于函数f(x)=的说法正确的是 ( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.是非奇非偶函数
6.使函数y=cos(2x+φ)为偶函数的φ值可以是 ( )
A. B.π
C.
7.下面结论正确的是 ( )
A.sin 400°>sin 50° B.sin 220°C.cos 130°>cos 200° D.cos(-40°)8.函数y=2|cos x|-7的一个单调递增区间是 ( )
A. B.[0,π]
C.
9.(多选)下列对y=cos x的图象描述正确的是 ( )
A.在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
10.(多选)函数f(x)=2sin,则以下结论不正确的是 ( )
A.f(x)在上单调递增
B.x=为f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)在上的值域是(1,)
11.函数y=cos x在区间上的最大值为 ;最小值为 .
12.比较大小:cos cos.
13.函数y=cos x的值域为 .
14.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值.
课时跟踪检测(十)
1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C 8.D 9.ABD 10.ABD 11.1
12.> 13.
14.解:(1)作出函数f(x)=的图象,如图①所示.
(2)因为f(x)=,所以在图①基础上再作直线y=,如图②所示,
则由图象知当-π≤x<0时,x=-;
当0≤x≤π时,x=或x=.
综上,可知x的值为-或或.
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