(共44张PPT)
余弦函数图象与性质的应用
(拓展融通课——习题讲评式教学)
5.2.2
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 余弦函数图象的应用
题型(二) 余弦函数的单调性及应用
题型(三)
与余弦函数有关的最值、值域问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 余弦函数图象的应用
01
[例1] 已知函数f(x)=2cos x+1,若f(x)的图象过点,则m= ;
若f(x)<0,则x的取值集合为 .
解析:当x=时,f(x)=2cos+1=1,∴m=1.
f(x)<0,即cos x<-,作出y=cos x在
x∈[0,2π]上的图象,如图所示.由图知x的取
值集合为.
1
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利用图象解不等式cos x>a的步骤
(1)作出相应的余弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上cos x=a的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)写出定义域内的解集.
1.函数y=的定义域是 .
解析:要使函数有意义,只需2cos x-≥0,即cos x≥.由余弦函数图象知(如图),所求函数的定义域为,k∈Z.
针对训练
,k∈Z
2.已知方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
解:作出y=cos x,x∈与y=的大致图象,如图所示.
由图象,可知当≤<1,即-1
题型(二)
余弦函数的单调性及应用
02
[例2] (1)函数y=1-2cos x的单调递增区间是 .
解析:因为y=cos x的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),
所以函数y=1-2cos x的单调递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
(2)比较大小:cos cos.
解析: cos=cos=cos,
cos=cos=cos=cos.
因为y=cos x在[0,π]上是单调递减的,
又<,所以cos>cos,即cos<
|思|维|建|模|
利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小.
3.若函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围为 ( )
A. B.(-π,0]
C. D.(-π,π)
解析:函数y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,在(0,π)上单调递减,
故-π√
针对训练
4.cos 110°与sin 10°,-cos 50°的大小关系是
.
解析:因为sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos 130°.
而y=cos x在[0,π]上单调递减,
所以sin 10°>cos 110°>-cos 50°.
sin 10°>cos 110°>-cos 50°
题型(三)
与余弦函数有关的最值、值域问题
03
[例3] (1)已知函数y=4cos x-1,x∈,此函数的最小值为 ,最大值为 .
解析:∵x∈,∴当x=0时,函数y=4cos x-1取得最大值为4-1=3;
当x=时,函数y=4cos x-1取得最小值为0-1=-1.
-1
3
(2)函数y=cos2x-4cos x+5的值域是 .
解析: y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
当t=-1时,函数取得最大值10;当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].
[2,10]
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求余弦函数的最值、值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
5.函数y=cos2x-3cos x+2的最小值是 ( )
A.2 B.0
C. D.6
解析:设t=cos x,∴y=t2-3t+2=-(-1≤t≤1),
可知当t=1时取得最小值0.
√
针对训练
6.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是( )
A.2 B.3
C. +2 D.2
解析:根据函数y=2cos x的定义域为,故它的值域为[-2,1],再根据它的值域为[a,b],可得b-a=1-(-2)=3,故选B.
√
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A级——达标评价
1.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于( )
A. B.-
C.- D.-2
解析:函数的最大值为M=-1=-,最小值为m=--1=-,所以M+m=-2.
√
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2.已知函数y=cos x在(a,b)上单调递增,则y=cos x在(-b,-a)上 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.单调递增或单调递减 D.以上都不对
解析:∵函数y=cos x为偶函数,∴在关于y轴对称的区间上单调性相反.
√
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3.已知定义在区间[0,2π]上的函数f(x)=则不等式f(x)≤0的解集为( )
A.
C. D.[π,2π]
解析:作出函数图象,如图中实线部分,
由函数图象得不等式f(x)≤0在区间[0,2π]
上的解集为.
√
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4.函数f(x)=sin-|lg x|零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: f(x)的零点个数,即为y=sin=cos x与y=|lg x|图象的交点
个数,在同一直角坐标系下,两函数图象如图所示.
由图可知,两函数共有4个交点,故f(x)有4个零点.
√
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5.满足cos α≥的角的集合为
√
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解析: cos α≥结合余弦函数的性质可得2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z,故满足cos α≥的角的集合为 .
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6.函数y=的值域是 .
解析:∵-1≤cos x≤1,且1-cos x≠0,
∴0<1-cos x≤2,∴y=≥,
即函数y=的值域为.
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7.已知x∈,则函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为 .
解析:因为x∈,所以cos x∈.
又y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4=3cos 2x-4cos x+1=3-,所以当cos x=时,ymin=-,当cos x=-时,ymax=.
故函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为.
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8.比较大小:(1)cos cos;
解析: cos=cos=cos,cos=cos=cos.
∵π<<<<2π,又y=cos x在[π,2π]上单调递增,∴cos即cos<
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(2)sin cos.
解析: sin=sin=cos=cos=cos,cos=cos.
∵0<<<π,
又y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos>cos,即sin<
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9.(8分)已知函数f(x)=2cos x-1.
(1)完成下列表格,并用“五点(画图)法”在下面直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图;
x 0 π 2π
f(x)
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解:表格如下:
用“五点(画图)法”在直角坐标系
中画出f(x)在[0,2π]上的简图如图.
x 0 π 2π
f(x) 1 -1 -3 -1 1
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(2)求不等式f(x)>--1在全体实数上的解集.
解:由已知f(x)=2cos x-1>--1,得 cos x>-,
得-+2kπ即不等式f(x)>--1在全体实数上的解集为,k∈Z.
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10.(10分)已知函数y=a-bcos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin ax的最大值、最小值及最小正周期.
解:因为-1≤cos x≤1,由题意知b≠0,当b>0时,-b≤-bcos x≤b,
所以a-b≤a-bcos x≤a+b.所以解得
所以y=-4bsin ax=-4sinx.
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最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时,b≤-bcos x≤-b,所以a+b≤a-bcos x≤a-b.
所以解得
所以y=-4bsin ax=4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
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B级——重点培优
11.(多选)关于函数f(x)=,下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)是偶函数
C.函数f(x)是周期函数
D.函数f(x)在区间(-π,0)上单调递减
√
√
√
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解析:因为cos π=-1,1+cos π=0,所以f(x)的定义域不是R,A选项错误.
由1+cos x≠0,得cos x≠-1.所以x≠2kπ+π,k∈Z.
所以f(x)的定义域是{x|x≠2kπ+π,k∈Z},f(x)的定义域关于原点对称,
f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数,B选项正确.
因为f(x+2π)===f(x),所以f(x)是周期函数,C选项正确.
当x≠2kπ+π,k∈Z时,1+cos x>0恒成立,因为y=1+cos x在(-π,0)上单调递增,所以f(x)=在区间(-π,0)上单调递减,D选项正确.
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12.若函数y=cos x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的取值范围是( )
A. B.
C.
√
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解析:如图所示为y=cos x的图象,当y=时,x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z),当y=-1时,x=π+2kπ(k∈Z).
结合图象可知b-a的最小值为π-=,b-a的最大值为-==,∴b-a的取值范围是.
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13.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为 .
解析:由题意知sin x-cos x≥0,即cos x≤sin x,在同一平面直角坐标系画出y=sin x,x∈[0,2π]与y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
观察图象知x∈.
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14.(10分)若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.
解:作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知,该阴影部分的面积
等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π,
∴S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π.
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15.(14分)已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f=0,△ABC的内角A满足f(cos A)≤0,求角A的取值范围.
解:∵当00,
又f(cos A)≤0=f,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴cos A≤.∴≤A<.
∵当1
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∴cos A≤-.∴≤A<π.
当A=时,cos A=0,
由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,
即f(cos A)=0,满足题意.
综上所述,角A的取值范围是∪.5.2.2 余弦函数图象与性质的应用(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
题型(一) 余弦函数图象的应用
[例1] 已知函数f(x)=2cos x+1,若f(x)的图象过点,则m= ;若f(x)<0,则x的取值集合为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
利用图象解不等式cos x>a的步骤
(1)作出相应的余弦函数在[0,2π]上的图象.
(2)确定在[0,2π]上cos x=a的x值.
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(4)写出定义域内的解集.
[针对训练]
1.函数y=的定义域是 .
2.已知方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
题型(二) 余弦函数的单调性及应用
[例2] (1)函数y=1-2cos x的单调递增区间是 .
(2)比较大小:cos cos.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小.
[针对训练]
3.若函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围为 ( )
A. B.(-π,0]
C. D.(-π,π)
4.cos 110°与sin 10°,-cos 50°的大小关系是 .
题型(三) 与余弦函数有关的最值、值域问题
[例3] (1)已知函数y=4cos x-1,x∈,此函数的最小值为 ,最大值为 .
(2)函数y=cos2x-4cos x+5的值域是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求余弦函数的最值、值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
[针对训练]
5.函数y=cos2x-3cos x+2的最小值是 ( )
A.2 B.0
C. D.6
6.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是 ( )
A.2 B.3
C. +2 D.2
5.2.2
[题型(一)]
[例1] 解析:当x=时,
f(x)=2cos+1=1,
∴m=1.f(x)<0,即cos x<-,
作出y=cos x在x∈[0,2π]上的图象,如图所示.
由图知x的取值集合为
.
答案:1
[针对训练]
1.解析:要使函数有意义,只需2cos x-≥0,
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图),
所求函数的定义域为,k∈Z.
答案:,k∈Z
2.解:作出y=cos x,x∈与y=的大致图象,如图所示.
由图象,可知当≤<1,即-1y=cos x,x∈的图象与y=的图象有两个交点,
即方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,故实数a的取值范围为.
[题型(二)]
[例2] 解析:(1)因为y=cos x的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),
所以函数y=1-2cos x的单调递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).
(2)cos=cos=cos,
cos=cos
=cos=cos.
因为y=cos x在[0,π]上是单调递减的,
又<,所以cos>cos,
即cos答案:(1)[2kπ,2kπ+π](k∈Z) (2)<
[针对训练]
3.选B 函数y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,在(0,π)上单调递减,故-π4.解析:因为sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos 130°.
而y=cos x在[0,π]上单调递减,
所以sin 10°>cos 110°>-cos 50°.
答案:sin 10°>cos 110°>-cos 50°
[题型(三)]
[例3] 解析:(1)∵x∈,∴当x=0时,函数y=4cos x-1取得最大值为4-1=3;当x=时,函数y=4cos x-1取得最小值为0-1=-1.
(2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1,当t=-1时,函数取得最大值10;当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].
答案:(1)-1 3 (2)[2,10]
[针对训练]
5.选B 设t=cos x,
∴y=t2-3t+2=-(-1≤t≤1),
可知当t=1时取得最小值0.
6.选B 根据函数y=2cos x的定义域为,故它的值域为[-2,1],再根据它的值域为[a,b],可得b-a=1-(-2)=3,故选B.
2 / 3课时跟踪检测(十一) 余弦函数图象与性质的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.设M和m分别表示函数y=cos x-1的最大值和最小值,则M+m等于 ( )
A. B.-
C.- D.-2
2.已知函数y=cos x在(a,b)上单调递增,则y=cos x在(-b,-a)上 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.单调递增或单调递减 D.以上都不对
3.已知定义在区间[0,2π]上的函数f(x)=则不等式f(x)≤0的解集为 ( )
A.
C. D.[π,2π]
4.函数f(x)=sin-|lg x|零点的个数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.满足cos α≥的角的集合为 ( )
6.函数y=的值域是 .
7.已知x∈,则函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为 .
8.比较大小:(1)cos cos;
(2)sin cos.
9.(8分)已知函数f(x)=2cos x-1.
(1)完成下列表格,并用“五点(画图)法”在下面直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图;
x 0 π 2π
f(x)
(2)求不等式f(x)>--1在全体实数上的解集.
10.(10分)已知函数y=a-bcos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin ax的最大值、最小值及最小正周期.
B级——重点培优
11.(多选)关于函数f(x)=,下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)是偶函数
C.函数f(x)是周期函数
D.函数f(x)在区间(-π,0)上单调递减
12.若函数y=cos x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的取值范围是 ( )
A. B.
C.
13.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为 .
14.(10分)若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.
15.(14分)已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f=0,△ABC的内角A满足f(cos A)≤0,求角A的取值范围.
课时跟踪检测(十一)
1.选D 函数的最大值为M=-1=-,最小值为m=--1=-,所以M+m=-2.
2.选B ∵函数y=cos x为偶函数,∴在关于y轴对称的区间上单调性相反.
3.选C 作出函数图象,如图中实线部分,由函数图象得不等式f(x)≤0在区间[0,2π]上的解集为.
4.选C f(x)的零点个数,即为y=sin=cos x与y=|lg x|图象的交点个数,
在同一直角坐标系下,两函数图象如图所示.
由图可知,两函数共有4个交点,故f(x)有4个零点.
5.选C cos α≥结合余弦函数的性质可得2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z,
故满足cos α≥的角的集合为.
6.解析:∵-1≤cos x≤1,且1-cos x≠0,
∴0<1-cos x≤2,∴y=≥,
即函数y=的值域为.
答案:
7.解析:因为x∈,
所以cos x∈.
又y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4=3cos 2x-4cos x+1=3-,
所以当cos x=时,ymin=-,
当cos x=-时,ymax=.
故函数y=-3(1-cos 2x)-4cos x+4的值域为.
答案:
8.解析:(1)cos=cos=cos,cos=cos=cos.
∵π<<<<2π,又y=cos x在[π,2π]上单调递增,∴cos即cos(2)sin=sin=cos=cos=cos,cos=cos.∵0<<<π,又y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos>cos,即sin答案:(1)< (2)<
9.解:(1)表格如下:
x 0 π 2π
f(x) 1 -1 -3 -1 1
用“五点(画图)法”在直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的简图如下.
(2)由已知f(x)=2cos x-1>--1,得 cos x>-,
得-+2kπ即不等式f(x)>--1在全体实数上的解集为,k∈Z.
10.解:因为-1≤cos x≤1,由题意知b≠0,
当b>0时,-b≤-bcos x≤b,所以a-b≤a-bcos x≤a+b.
所以解得
所以y=-4bsin ax=-4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时,b≤-bcos x≤-b,所以a+b≤a-bcos x≤a-b.
所以解得
所以y=-4bsin ax=4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
11.选BCD 因为cos π=-1,1+cos π=0,所以f(x)的定义域不是R,A选项错误.
由1+cos x≠0,得cos x≠-1.所以x≠2kπ+π,k∈Z.
所以f(x)的定义域是{x|x≠2kπ+π,k∈Z},f(x)的定义域关于原点对称,
f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数,B选项正确.
因为f(x+2π)===f(x),所以f(x)是周期函数,C选项正确.
当x≠2kπ+π,k∈Z时,1+cos x>0恒成立,
因为y=1+cos x在(-π,0)上单调递增,所以f(x)=在区间(-π,0)上单调递减,D选项正确.
12.选B 如图所示为y=cos x的图象,当y=时,x=+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z),
当y=-1时,x=π+2kπ(k∈Z).
结合图象可知b-a的最小值为π-=,b-a的最大值为-==,∴b-a的取值范围是.
13.解析:由题意知sin x-cos x≥0,即cos x≤sin x,在同一平面直角坐标系画出y=sin x,x∈[0,2π]与y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
观察图象知x∈.
答案:
14.解:作出函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知,该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π,∴S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π.
15.解:∵当00,
又f(cos A)≤0=f,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴cos A≤.∴≤A<.
∵当又f(cos A)≤0=f,
f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴cos A≤-.∴≤A<π.
当A=时,cos A=0,
由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,
即f(cos A)=0,满足题意.
综上所述,角A的取值范围是
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