(共65张PPT)
y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
(深化学习课——梯度进阶式教学)
6.1
课时目标
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.
2.能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的
影响.
CONTENTS
目录
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课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.ω对y=sin ωx的图象的影响
(1)一般地,对于ω>0,函数y=sin ωx的最小正周期T= .
(2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到
原来的 (当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)得到的.
(3)频率:通常称周期的倒数= 为频率.
2.φ对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
(1)函数y=sin(ωx+φ)与函数y=sin ωx有相同的周期,由ωx+φ=0,得x=-,
即函数y=sin ωx图象上的点(0,0)平移到点 .
(2)函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点
向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度得到的.
(3)φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相, 为相位.
ωx+φ
3.A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)的图象上的每个点的 伸长(当A>1时)或缩短(当0
(2)A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的值域以及函数的 和 ,通常称A为振幅.
纵坐标
A
最大值
最小值
|微|点|助|解|
函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”.
4.三角函数图象变换的方法
从y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的常用方法有两种:
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,能得到函数y=sin的图象. ( )
(2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象. ( )
(3)把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到y=6sin的图象. ( )
基点训练
基础落实训练
×
×
√
2.函数y=sin在区间上的简图是( )
√
3.函数y=2sin的最小正周期、振幅依次是( )
A.4π,-2 B.4π,2
C.π,2 D.π,-2
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 三角函数图象的变换
考向1 平移变换
[例1] (1)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
√
解析:函数y=2sin的周期为T==π,向右平移个周期,即向右平移个单位长度后,得到图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.
(2)要得到y=cos的图象,只要将y=sin 2x的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析: y=sin 2x=cos=cos=cos=
cos.若设f(x)=sin 2x=cos,
则f=cos,∴向左平移个单位长度.
√
|思|维|建|模|
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和平移距离.
考向2 伸缩变换
[例2] (1)为了得到函数y=sin的图象,需将函数y=sin的图象( )
A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变
C.横坐标变为原来的,纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的,横坐标不变
√
解析:只需将函数y=sin的图象横坐标变为原来的,纵坐标不变,便得到函数y=sin的图象,故选C.
(2)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cos ωx,则ω的值为( )
A.2 B.
C.4 D.
解析:由题意可知得到图象的解析式为y=cosx,所以ω=.
√
|思|维|建|模|
三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点:
(1)两种变换中平移的单位长度不同,分别是|φ|和,但平移方向是一致的.
(2)虽然两种平移单位长度不同,但平移时平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的.
针对训练
1.写出由y=sin x的图象变换到y=3sin的图象的不同方法步骤.
解:法一:先平移再伸缩,过程如下:
①把y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin的图象;②把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;③将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.
法二:先伸缩再平移,过程如下:
①把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象;②把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象;③把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.
题型(二) “五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
[例3] 用“五点(画图)法”作函数y=3sin的简图,并指出这个函数的振幅、最小正周期、频率和初相.
解:(1)列表:
x
0 π 2π
y 0 3 0 -3 0
(2)描点:在直角坐标系中描出点,,,,.
(3)连线:将所得五点用光滑的曲线顺次连起来,如图所示.
(4)这样就得到了函数y=3sin在一个周期内的图象,再将这部分图象向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度,得函数y=3sin的图象.此函数振幅为3,最小正周期为4π,频率为,初相为-.
|思|维|建|模|
用“五点(画图)法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
第一步:列表.
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线顺次连接这些点,形成图象.
ωx+φ 0 π 2π
x
y 0 A 0 -A 0
针对训练
2.用“五点(画图)法”作出函数y=2sin的图象,并指出函数的单调区间.
解:(1)列表:
x
0 π 2π
y 0 2 0 -2 0
(2)描点:
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,所得图象如图所示,为该函数在一个周期内的图象,然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象.由图象知在一个周期内,函数在上单调递减,又因为函数的最小正周期为π,所以函数的单调递减
区间为(k∈Z).同理,
单调递增区间(k∈Z).
题型(三) 由函数的图象确定函数的解析式
[例4] 如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件,写出该函数的解析式.
解:法一:(最值点法)由题图可得A=2,ω=,将最高点坐标代入y=2sin,得2sin=2.
所以+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+(k∈Z).
又因为|φ|<π,所以φ=.
所以此函数的解析式为y=2sin.
法二:(起始点法)由题图可得ω=,x0=-,φ=-ωx0=-×=.
又因为A=2,
所以此函数的解析式为y=2sin.
变式拓展
将“例4”中的图象变为如图所示,试求函数的
解析式.
解:法一:根据题意,A=3,T=-=π,
∴ω==2.将点M代入y=3sin(2x+φ)中,
得3=3sin,∴sin=1.∴+φ=,即φ=,
从而所求函数解析式为y=3sin.
法二:由题图知A=3,又图象过M,N,根据“五点(画图)法”的原理(M,N可视为“五点(画图)法”中的第二点和第四点),
有解得
从而所求函数解析式是y=3sin.
|思|维|建|模|
由y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的常用方法
方法一:最值法
(1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|,
|A|=.
(2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T,注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.
(3)φ:以“五点(画图)法”中的最高点作为突破口,即当ωx+φ=+2kπ,k∈Z时,y有最大值,或者由“五点(画图)法”中的第一个点作为突破口,从图象的升降情况找准第一点的位置.
方法二:“五点”对应法
依据“五点(画图)法”的原理,点的序号与式子的关系如下:“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx+φ=;“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=2π.
针对训练
3.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,则函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式为( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=sin
√
解析:由题图可知,=-=,
∴T=π,ω=2.∵2×+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=-.
而f(0)=Asin=-1,A>0,∴A=.∴f(x)=sin.故选A.
4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) 的部分图象如图所
示,则f(x)的函数解析式为 .
f(x)=3cos
解析:由题图可知函数的最值A=3,函数的最小正周期T=4×=4π,则ω==,当x=时,ωx+φ=×+φ=2kπ+π,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,令k=0,得φ=.所以函数的解析式为f(x)=3cos.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin x的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
解析:将函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin的图象.
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2.函数y=sin的图象向左平移个单位长度得到( )
A.y=sin B.y=-sin
C.y=-cos D.y=cos
解析: y=sin的图象向左平移个单位长度得到y=sin=cos.
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3.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,0<φ<π)
在一个周期内的图象如图所示,则 ( )
A.A=4 B.ω=2
C.φ= D.k=1
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解析:由题图知,函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k的最大值为3,最小值为-1,所以A=2,k=1,A错误,D正确.由图象,可得T=2×=π,所以=π.又因为ω>0,所以ω=2,B正确.所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.又f=3,所以2sin+1=3,即sin=1.又因为0<φ<π,所以φ=.
所以f(x)=2sin+1,C错误.
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4.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
解析:因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,
函数y=2sin的最小正周期为T=,
所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin
有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法
画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
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5.用“五点(画图)法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=,则x2+x4等于( )
A. B.π
C. D.2π
解析:由“五点(画图)法”的原理知,x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=,故x1与x5的中点是x3,x2与x4的中点是x3,所以x2+x4=2x3=x1+x5=.
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6.要得到函数y=sin的图象,可把函数y=sin(-x)的图象向
平移 个单位长度.
解析:y=sin=sin,可把y=sin(-x)的图象向右平移个单位长度.
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右
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7.已知函数y=sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位长度得到函数y=sin的图象,则φ的值为 .
解析:由题意,得2φ=,则φ=.
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8.将函数y=sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式
为 .
解析:y=sin x
y=3sin y=3sin=3sin.
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y=3sin
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9.(8分)已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用“五点(画图)法”画出它在一个周期内的闭区间上的简图.
解:(1)列表:
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0 π 2π
x
f(x) 3 6 3 0 3
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(2)描点画图:
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10.(8分)函数y=5sin-3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的
解:先把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得y=sin的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得y=sin的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸
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长到原来的5倍(横坐标不变),得函数y=5sin的图象,最后将所得函数图象向下平移3个单位长度,得函数y=5sin-3的图象(答案不唯一).
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B级——重点培优
11.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A.
C.0 D.-
解析:得到的偶函数解析式为y=sin=sin,
显然φ=.
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12.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= .
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解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知,
ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,∴ω=4,又f=sin=0,
∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件,∴f(π)=sin=-.
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13.将函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin的图象重合,则φ= .
解析:把函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,
得到y=cos(2x-π+φ)的图象,与函数y=sin的图象重合,
则cos(2x-π+φ)=sin,即sin=sin.
所以-+φ=-+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=.
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14.如图,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的
图象与y轴交于点,与x轴交于点,
则ω+φ= .
解析:由题意,得且ω>0,0≤φ<2π,
所以φ=或φ=,且ω+φ=kπ,k∈Z.
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当φ=时,ω=kπ-,k∈Z,故ω=-1,k∈Z,
当φ=时,ω=kπ-,k∈Z,故ω=,k∈Z.
由题图知,T=>>T=,可得<ω<.
综上,当且仅当k=2时,ω=-1=2,满足题意,
此时φ=,故ω+φ=2+.
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15.(10分)某同学用“五点(画图)法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
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x x1 x2
ωx+φ 0 π 2π
sin(ωx+φ) 0 1 0 -1 0
f(x) 0 0 y2 0
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(1)请利用上表中的数据,写出x1,y2的值,并求函数f(x)的解析式;
解:由表格根据五点作图的规律,
可得-=x1-,y2=-,A=,
T=-=4π,得x1=,ω==.
∴×+φ=0,解得φ=.
综上,x1=,y2=-,f(x)=sin.
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(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.
解:将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,
得y=sin=sinx,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得g(x)=sin x.
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16.(10分)已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;
解:因为ω>0,根据题意有
解得0<ω≤.所以ω的取值范围为.
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(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a解:由题意知f(x)=2sin 2x,g(x)=2sin+1=2sin+1.
由g(x)=0,得sin=-,解得x=kπ-或x=kπ-,k∈Z,
即g(x)的零点距离间隔依次为和,故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.
166.1 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标] 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.
2.能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
1.ω对y=sin ωx的图象的影响
(1)一般地,对于ω>0,函数y=sin ωx的最小正周期T= .
(2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)得到的.
(3)频率:通常称周期的倒数= 为频率.
2.φ对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
(1)函数y=sin(ωx+φ)与函数y=sin ωx有相同的周期,由ωx+φ=0,得x=-,即函数y=sin ωx图象上的点(0,0)平移到点 .
(2)函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度得到的.
(3)φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相, 为相位.
3.A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)的图象上的每个点的 伸长(当A>1时)或缩短(当0(2)A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的值域以及函数的 和 ,通常称A为振幅.
|微|点|助|解|
函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”.
4.三角函数图象变换的方法
从y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的常用方法有两种:
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,能得到函数y=sin的图象. ( )
(2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象. ( )
(3)把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到y=6sin的图象. ( )
2.函数y=sin在区间上的简图是 ( )
3.函数y=2sin的最小正周期、振幅依次是 ( )
A.4π,-2 B.4π,2
C.π,2 D.π,-2
题型(一) 三角函数图象的变换
考向1 平移变换
[例1] (1)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 ( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
(2)要得到y=cos的图象,只要将y=sin 2x的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
听课记录:
|思|维|建|模|
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和平移距离.
考向2 伸缩变换
[例2] (1)为了得到函数y=sin的图象,需将函数y=sin的图象 ( )
A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变
C.横坐标变为原来的,纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的,横坐标不变
(2)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cos ωx,则ω的值为 ( )
A.2 B.
C.4 D.
听课记录:
|思|维|建|模|
三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点:
(1)两种变换中平移的单位长度不同,分别是|φ|和,但平移方向是一致的.
(2)虽然两种平移单位长度不同,但平移时平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的.
[针对训练]
写出由y=sin x的图象变换到y=3sin的图象的不同方法步骤.
题型(二) “五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
[例3] 用“五点(画图)法”作函数y=3sin的简图,并指出这个函数的振幅、最小正周期、频率和初相.
听课记录:
|思|维|建|模|
用“五点(画图)法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤.
第一步:列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
y 0 A 0 -A 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线顺次连接这些点,形成图象.
[针对训练]
用“五点(画图)法”作出函数y=2sin的图象,并指出函数的单调区间.
题型(三) 由函数的图象确定函数的解析式
[例4] 如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件,写出该函数的解析式.
听课记录:
[变式拓展]
将“例4”中的图象变为如图所示,试求函数的解析式.
|思|维|建|模|
由y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的常用方法
方法一:最值法
(1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|,|A|=.
(2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T,注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T.
(3)φ:以“五点(画图)法”中的最高点作为突破口,即当ωx+φ=+2kπ,k∈Z时,y有最大值,或者由“五点(画图)法”中的第一个点作为突破口,从图象的升降情况找准第一点的位置.
方法二:“五点”对应法
依据“五点(画图)法”的原理,点的序号与式子的关系如下:“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx+φ=;“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=2π.
[针对训练]
3.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,则函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式为 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=sin
4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则f(x)的函数解析式为 .
6.1
课前预知教材
1.(1) (2) (3)
2.(1) (2) (3)ωx+φ 3.(1)纵坐标 A (2)最大值 最小值
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)√
2.A 3.B
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)函数y=2sin的周期为T==π,向右平移个周期,即向右平移个单位长度后,得到图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.
(2)y=sin 2x=cos
=cos=cos
=cos.
若设f(x)=sin 2x=cos,
则f=cos,
∴向左平移个单位长度.
答案:(1)D (2)A
[例2] 解析:(1)只需将函数y=sin的图象横坐标变为原来的,纵坐标不变,便得到函数y=sin的图象,故选C.
(2)由题意可知得到图象的解析式为y=cosx,所以ω=.
答案:(1)C (2)B
[针对训练]
1.解:法一:先平移再伸缩,过程如下:
①把y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,
得到y=sin的图象;
②把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;
③将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.
法二:先伸缩再平移,过程如下:
①把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象;
②把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象;
③把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象.
[题型(二)]
[例3] 解:(1)列表:
x
x- 0 π 2π
y 0 3 0 -3 0
(2)描点:在直角坐标系中描出点,,,,.
(3)连线:将所得五点用光滑的曲线顺次连起来,如图所示.
(4)这样就得到了函数y=3sin在一个周期内的图象,再将这部分图象向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度,得函数y=3sin的图象.
此函数振幅为3,最小正周期为4π,频率为,初相为-.
[针对训练]
2.解:(1)列表:
x -
2x+ 0 π 2π
y 0 2 0 -2 0
(2)描点:
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,所得图象如图所示,为该函数在一个周期内的图象,然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象.
由图象知在一个周期内,函数在上单调递减,又因为函数的最小正周期为π,所以函数的单调递减区间为(k∈Z).同理,单调递增区间为(k∈Z).
[题型(三)]
[例4] 解:法一:(最值点法)由题图可得A=2,ω=,将最高点坐标代入y=2sin,
得2sin=2.
所以+φ=2kπ+,k∈Z,
即φ=2kπ+(k∈Z).
又因为|φ|<π,所以φ=.
所以此函数的解析式为
y=2sin.
法二:(起始点法)由题图可得ω=,x0=-,φ=-ωx0=-×=.
又因为A=2,所以此函数的解析式为
y=2sin.
[变式拓展]
解:法一:根据题意,A=3,T=-=π,
∴ω==2.将点M代入y=3sin(2x+φ)中,得3=3sin,
∴sin=1.∴+φ=,即φ=,
从而所求函数解析式为y=3sin.
法二:由题图知A=3,又图象过M,N,根据“五点(画图)法”的原理(M,N可视为“五点(画图)法”中的第二点和第四点),有解得
从而所求函数解析式是y=3sin.
[针对训练]
3.选A 由题图可知,=-=,
∴T=π,ω=2.∵2×+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=-.
而f(0)=Asin=-1,A>0,
∴A=.
∴f(x)=sin.故选A.
4.解析:由题图可知函数的最值A=3,函数的最小正周期T=4×=4π,则ω==,当x=时,ωx+φ=×+φ=2kπ+π,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,令k=0,得φ=.
所以函数的解析式为f(x)=3cos.
答案:f(x)=3cos
7 / 7课时跟踪检测(十二) y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin x的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.函数y=sin的图象向左平移个单位长度得到 ( )
A.y=sin B.y=-sin
C.y=-cos D.y=cos
3. (多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则 ( )
A.A=4 B.ω=2
C.φ= D.k=1
4.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 ( )
A.3 B.4
C.6 D.8
5.用“五点(画图)法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=,则x2+x4等于 ( )
A. B.π
C. D.2π
6.要得到函数y=sin的图象,可把函数y=sin(-x)的图象向 平移 个单位长度.
7.已知函数y=sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位长度得到函数y=sin的图象,则φ的值为 .
8.将函数y=sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为 .
9.(8分)已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用“五点(画图)法”画出它在一个周期内的闭区间上的简图.
10.(8分)函数y=5sin-3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的
B级——重点培优
11.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为 ( )
A.
C.0 D.-
12.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= .
13.将函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin的图象重合,则φ= .
14.如图,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的图象与y轴交于点,与x轴交于点,则ω+φ= .
15.(10分)某同学用“五点(画图)法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
x - x1 x2
ωx+φ 0 π 2π
sin(ωx+φ) 0 1 0 -1 0
f(x) 0 0 y2 0
(1)请利用上表中的数据,写出x1,y2的值,并求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,
纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.
16.(10分)已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a课时跟踪检测(十二)
1.选A 将函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin的图象.
2.选D y=sin的图象向左平移个单位长度得到y=sin=cos.
3.选BD 由题图知,函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k的最大值为3,最小值为-1,
所以A=2,k=1,A错误,D正确.
由图象,可得T=2×=π,
所以=π.又因为ω>0,所以ω=2,B正确.
所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.
又f=3,
所以2sin+1=3,
即sin=1.又因为0<φ<π,
所以φ=.所以f(x)=2sin+1,C错误.
4.选C 因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,
所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
5.选C 由“五点(画图)法”的原理知,x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=,故x1与x5的中点是x3,x2与x4的中点是x3,所以x2+x4=2x3=x1+x5=.
6.解析:y=sin=sin,可把y=sin(-x)的图象向右平移个单位长度.
答案:右
7.解析:由题意,得2φ=,则φ=.
答案:
8.解析:y=sin xy=3siny=3sin=3sin.
答案:y=3sin
9.解:(1)列表:
+ 0 π 2π
x -
f(x) 3 6 3 0 3
(2)描点画图:
10.解:先把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得y=sin的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得y=sin的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),得函数y=5sin的图象,最后将所得函数图象向下平移3个单位长度,得函数y=5sin-3的图象(答案不唯一).
11.选B 得到的偶函数解析式为
y=sin
=sin,显然φ=.
12.解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知,
ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,∴ω=4,又f=sin=0,
∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件,
∴f(π)=sin=-.
答案:-
13.解析:把函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,得到y=cos(2x-π+φ)的图象,与函数y=sin的图象重合,则cos(2x-π+φ)=sin,
即sin=sin.所以-+φ=-+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=.
答案:
14.解析:由题意,得且ω>0,0≤φ<2π,
所以φ=或φ=,且ω+φ=kπ,k∈Z.当φ=时,ω=kπ-,k∈Z,
故ω=-1,k∈Z,
当φ=时,ω=kπ-,k∈Z,
故ω=,k∈Z.
由题图知,T=>>T=,可得<ω<.
综上,当且仅当k=2时,ω=-1=2,满足题意,此时φ=,故ω+φ=2+.
答案:2+
15.解:(1)由表格根据五点作图的规律,
可得-=x1-,
y2=-,A=,
T=-=4π,
得x1=,ω==.
∴×+φ=0,解得φ=.
综上,x1=,y2=-,
f(x)=sin.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得y=sin=sinx,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得g(x)=sin x.
16.解:(1)因为ω>0,根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围为.
(2)由题意知f(x)=2sin 2x,
g(x)=2sin+1
=2sin+1.
由g(x)=0,得sin=-,
解得x=kπ-或x=kπ-,k∈Z,
即g(x)的零点距离间隔依次为和,
故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.
3 / 4