7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标] 借助单位圆理解正切函数的定义并能画出其图象.借助单位圆的对称性,利用定义推导出正切函数的诱导公式.
逐点清(一) 正切函数的定义
[多维理解]
1.正切函数的定义
根据函数的定义,比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为 .
2.用角的终边上的点的坐标表示正切函数
若角α的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0),则tan α= .
3.正切函数值的符号
由正切函数的定义知,当角α的终边在第一和第三象限时,正切值为 ;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为 .
|微|点|助|解|
若一个角的某一个正切函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解.
[微点练明]
1.已知角α的终边与单位圆的交点为P,则tan α= ( )
A. B.-
C. D.-
2.已知角α的终边在直线y=2x上,则tan α的值为 ( )
A.2 B.±2
C. D.±
3.若角θ的终边经过点A,且tan θ=,则m= .
4.请补充完整下表.
α 0 π
tan α 0 1 不存在 - -1 0
α 2π
tan α - -1 0
逐点清(二) 正切函数的诱导公式
[多维理解]
正切函数的诱导公式
角x 函数y=tan x 记忆口诀
kπ+x(k∈Z) tan x 函数名不变, 符号看象限
-x -tan x
π-x -tan x
+x
-x
|微|点|助|解|
(1)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
(2)诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.
[微点练明]
1.公式tan(π-x)=-tan x成立的条件是 ( )
A.x为锐角 B.x为不等于的任意角
C.x为任意角 D.x≠kπ+(k∈Z)
2.tan的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
3.(多选)给出下列各函数值,其中符号为正的是 ( )
A.sin(-1 000°) B.cos(-2 200°)
C.tan(-10) D.
4.tan(-870°)·tan 930°+tan(-1 380°)·tan(-690°)= .
5.tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°tan 60°tan 70°tan 80°= .
逐点清(三) 利用诱导公式化简、证明
减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α的分式问题,常采用分子分母同时除以cosnα(n∈N+),将被求式化为关于tan α的式子.
[典例] (1)已知tan=,则tan·tan= .
(2)化简:.
听课记录:
|思|维|建|模|
1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为锐角α的三角函数.
(2)一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
2.三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.
定义法,化弦法,拆项折角法,公式变形法.
[针对训练]
1.已知tan α=-,则= .
2.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
[逐点清(一)]
[多维理解]
1. 2. 3.正 负
[微点练明] 1.B 2.A 3.- 4. - 1 不存在 -
[逐点清(二)]
[多维理解] -
[微点练明] 1.D 2.D 3.ABD 4. 5.1
[逐点清(三)]
[典例] 解析:(1)tan·tan=tan·tan
=-tan·
=tan
=·=×3=1.
答案:1
(2)
=
=
=-cos α.
[针对训练]
1.解析:原式===tan 2α=.
答案:
2.证明:∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+,k∈Z.
∴α=2kπ+-β,k∈Z.
∴tan(2α+β)+tan β
=tan+tan β
=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β
=tan(-β)+tan β=-tan β+tan β=0.
4 / 4(共43张PPT)
正切函数的定义
7.1
正切函数的诱导公式
(基本概念课——逐点理清式教学)
7.2
课时目标
借助单位圆理解正切函数的定义并能画出其图象.借助单位圆的对称性,利用定义推导出正切函数的诱导公式.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 正切函数的定义
逐点清(二) 正切函数的诱导公式
逐点清(三)
利用诱导公式化简、 证明
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 正切函数的定义
01
1.正切函数的定义
根据函数的定义,比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,
其中定义域为 .
2.用角的终边上的点的坐标表示正切函数
若角α的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0),则tan α= .
多维理解
3.正切函数值的符号
由正切函数的定义知,当角α的终边在第一和第三象限时,正切值为 ;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为 .
正
负
|微|点|助|解|
若一个角的某一个正切函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解.
1.已知角α的终边与单位圆的交点为P,则tan α=( )
A. B.-
C. D.-
√
微点练明
2.已知角α的终边在直线y=2x上,则tan α的值为 ( )
A.2 B.±2
C. D.±
解析:在角α的终边上任取一点(k,2k)(k≠0),则tan α==2.
√
3.若角θ的终边经过点A,且tan θ=,则m= .
解析:由tan θ===,解得m=-.
-
4.请补充完整下表.
α 0 π
tan α 0 ____ 1 ____ 不存在 -1 ____ 0
α 2π
tan α ____ _______ -1 ____ 0
-
不存在
-
逐点清(二)
正切函数的诱导公式
02
正切函数的诱导公式
角x 函数y=tan x 记忆口诀
kπ+x(k∈Z) tan x 函数名不变,
符号看象限
-x -tan x π-x -tan x _______ 函数名改变,
符号看象限
_______ -
多维理解
|微|点|助|解|
(1)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
(2)诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.
1.公式tan(π-x)=-tan x成立的条件是 ( )
A.x为锐角 B.x为不等于的任意角
C.x为任意角 D.x≠kπ+(k∈Z)
2.tan的值为( )
A. B.-
C. D.-
√
√
微点练明
3.(多选)给出下列各函数值,其中符号为正的是 ( )
A.sin(-1 000°) B.cos(-2 200°)
C.tan(-10) D.
解析:sin(-1 000°)=sin(-3×360°+80°)=sin 80°>0;
cos(-2 200°)=cos 2 200°=cos(6×360°+40°)=cos 40°>0;
tan(-10)=-tan 10<0;sin>0,cos π=-1<0,tan=tan<0,故>0.
√
√
√
4.tan(-870°)·tan 930°+tan(-1 380°) ·tan(-690°)= .
解析:原式=-tan 870°·tan 930°+tan 1 380°·tan 690°=
-tan(4×180°+150°) ·tan(5×180°+30°)+tan(7×180°+120°)·
tan(3×180°+150°)=-tan 150°·tan 30°+tan 120°·tan 150°
=-×+(-)×=+1=.
5.tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°tan 60°tan 70°tan 80°= .
解析:原式=(tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°)·
=·tan 45°=tan 45°=1.
1
逐点清(三)
利用诱导公式化简、证明
03
减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α的分式问题,常采用分子分母同时除以cosnα(n∈N+),将被求式化为关于tan α
的式子.
[典例] (1)已知tan=,则tan·tan= .
解析: tan·tan=tan·tan
=-tan·=tan=·=×3=1.
1
(2)化简:.
解析: =
==-cos α.
|思|维|建|模|
1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为锐角α的三角函数.
(2)一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
2.三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.
定义法,化弦法,拆项折角法,公式变形法.
1.已知tan α=-,则= .
解析:原式===tan 2α=.
针对训练
2.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.
证明:∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+,k∈Z.∴α=2kπ+-β,k∈Z.
∴tan(2α+β)+tan β=tan+tan β=
tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(-β)+tan β=-tan β+tan β=0.
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.tan 2 130°= ( )
A. B.-
C. D.-
解析: tan 2 130°=tan(-30°+180°×12)=tan(-30°)=-tan 30°=-.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.若tan α=4,则tan(π-α)= ( )
A.π-4 B.4π
C.-4 D.4-π
解析: tan(π-α)=-tan α=-4,故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.α=2kπ+β(k∈Z)是tan α=tan β的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
解析:由于α=,β=满足tan α=tan β,但推不出α=2kπ+β(k∈Z),故必要性不满足;由于α=,β=满足α=2kπ+β(k∈Z),但正切值不存在,所以充分性不满足.所以α=2kπ+β(k∈Z)是tan α=tan β的既不充分也不必要条件.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α等于( )
A.-
C. D.-
解析:因为cos α==,所以=5.所以y2=16.因为y<0,
所以y=-4.所以tan α=-.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=x上,则tan θ=( )
A.-B.-
C.
解析:因为角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=x上,所以tan θ==.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.(多选)下列各三角函数值的符号为负的是 ( )
A.sin 186° B.tan 505°
C.tan D.cos
解析:由诱导公式得sin 186°=sin(180°+6°)=-sin 6°<0,A正确;
tan 505°=tan(360°+145°)=tan 145°=tan(180°-35°)=
-tan 35°<0,B正确;tan=tan=tan>0,C错误;
cos=cos=cos=cos=-sin<0,D正确.
故选A、B、D.
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知tan(-80°)=k,那么tan 100°的值是 ( )
A.-k B.k
C.
解析: tan(-80°)=-tan 80°=k,则tan 80°=-k,
tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°=k.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.已知tan=,则tan等于( )
A. B.-
C. D.-
解析: tan=tan=-tan=-.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.化简tan(27°-α) ·tan(49°-β) ·tan(63°+α) ·tan(139°-β)的结果为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:原式=tan[90°-(63°+α)] ·tan(49°-β) ·tan(63°+α) ·
tan(90°+49°-β)=·tan(63°+α) ·tan(49°-β) ·=-1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.正角的正弦值是正的,负角的余弦值是负的,零角的正切值是零
B.若tan α≥0,则kπ≤α≤+kπ(k∈Z)
C.tan(-945°)=-1
D.对任意角α,都有=|tan α|+
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负,故A错误;
若tan α≥0,则kπ≤α<+kπ(k∈Z),故B错误;tan(-945°)=-tan 945°=
-tan(225°+2×360°)=-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1,
故C正确;因为tan α,的符号相同,所以=|tan α|+,故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
11.已知600°角的终边上有一点P(a,-3),则a的值为 .
解析:tan 600°=tan(360°+240°)=tan(180°+60°)=tan 60°=-=,即a=-.
-
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.已知f(θ)=.若f=,则f的值为 .
解析:由题意,得f(θ)===cos θ.
由f=,可得cos=.
故f=cos=cos=-cos=-.
-
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.设tan=a,则的值为 .
解析:因为tan=tan=tan=a,
所以原式===.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.(17分)已知角α的终边经过点P(4,-3).
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
解:因为r==5,所以sin α==-,cos α==,tan α==-.
(2)求·的值.
解: ·=·=-=-=-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(18分)求证:当k=2或k=3时,
=.
证明:当k=2时,左边===
==右边.当k=3时,左边===
==右边.故当k=2或k=3时,原等式成立.课时跟踪检测(十五) 正切函数的定义 正切函数的诱导公式
(满分100分,选填小题每题5分)
1.tan 2 130°= ( )
A. B.-
C. D.-
2.若tan α=4,则tan(π-α)= ( )
A.π-4 B.4π
C.-4 D.4-π
3.α=2kπ+β(k∈Z)是tan α=tan β的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
4.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α等于 ( )
A.-
C. D.-
5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=x上,则tan θ= ( )
A.- B.-
C.
6.(多选)下列各三角函数值的符号为负的是 ( )
A.sin 186° B.tan 505°
C.tan D.cos
7.已知tan(-80°)=k,那么tan 100°的值是 ( )
A.-k B.k
C.
8.已知tan=,则tan等于 ( )
A. B.-
C. D.-
9.化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)的结果为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
10.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.正角的正弦值是正的,负角的余弦值是负的,零角的正切值是零
B.若tan α≥0,则kπ≤α≤+kπ(k∈Z)
C.tan(-945°)=-1
D.对任意角α,都有=|tan α|+
11.已知600°角的终边上有一点P(a,-3),则a的值为 .
12.已知f(θ)=.若f=,则f的值为 .
13.设tan=a,则的值为 .
14.(17分)已知角α的终边经过点P(4,-3).
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)求·的值.
15.(18分)求证:当k=2或k=3时,
=.
课时跟踪检测(十五)
1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.ABD
7.B 8.B 9.B 10.CD 11.-
12.- 13.
14.解:(1)因为r==5,所以sin α==-,cos α==,tan α==-.
(2)·
=·
=-=-=-.
15.证明:当k=2时,
左边=
==
==右边.
当k=3时,
左边=
=
===右边.
故当k=2或k=3时,原等式成立.
2 / 2
