8 三角函数的简单应用 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标]
1.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
2.能够利用三角函数模型的图象和性质解决简单的实际问题.
题型(一) 已知三角函数图象解决应用问题
[例1] 某市某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是该天不同时间的气温预报数据:
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
根据上述数据描出的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象.
(1)根据以上数据,试求函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)的表达式;
(2)大数据统计显示,某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润,但对室外温度的要求是气温不能低于23 ℃,根据(1)中所得模型,一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售 (忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
听课记录:
|思|维|建|模|
已知三角函数图象解决应用问题,首先由图象确定三角函数的解析式,其关键是确定参数A,ω,φ,同时在解题中注意各个参数的取值范围.
[针对训练]
1.某用电器电流I(mA)随时间t(s)变化的关系式为I(t)=Asin(ωt+φ),如图是其部分图象.
(1)求I(t)=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)若该用电器核心部件有效工作的电流|I|必须大于150 mA,则在1个周期内,该用电器核心部件的有效工作时间是多少 (电流的正负表示电流的正反方向)
题型(二) 已知三角函数解析式解决应用问题
[例2] 已知某地某天从6时到22时的温度变化曲线近似地满足函数y=10sin+20.
(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差;
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以存活,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)已知函数模型y=Asin(ωx+φ)+b,观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数,从而确定函数解析式,其中,利用最大(小)值求A,b,利用周期求ω,利用特殊点求φ.
(2)解决此类问题的关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
[针对训练]
2.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足P(t)=115+25sin(160πt),其中P(t)为血压(mmHg),t为时间(min).
(1)求此人每分钟心跳的次数;
(2)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
题型(三) 三角函数模型的建立及应用
[例3] 如图所示,天津之眼,全称天津永乐桥摩天轮,是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一.永乐桥分上下两层,上层桥面预留了一个长方形开口,供摩天轮轮盘穿过,摩天轮的直径为110米,外挂装48个透明座舱,在电力的驱动下逆时针匀速旋转,转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点P,当点P到达最高点时,距离下层桥面的高度为113米,点P在最低点处开始计时.
(1)试确定在时刻t(单位:分钟)时点P距离下层桥面的高度H(单位:米);
(2)若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运动时间大约为5分钟,问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米 (结果保留两位小数)
听课记录:
|思|维|建|模|
建立三角函数模型解决实际问题的步骤
[针对训练]
3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象称为潮汐.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头,卸货后,在落潮时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报,我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y与时间x之间的关系,该函数的表达式为 .已知一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙(船底与海底的距离),则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为 小时(保留整数).
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:18 2.5 18:36 5.0
3:06 7.5 12:24 5.0 21:42 2.5
6:12 5.0 15:30 7.5 24:00 4.0
8 三角函数的简单应用
[题型(一)]
[例1] 解:(1)由函数图象,可得解得b=20,A=6.
又由=15-3=12,解得T=24,所以ω==.
因为t=3时,可得y=14,
即6sin+20=14,
解得sin=-1,
即+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z.
又因为|φ|<π,所以φ=-.
所以y=6sin+20,t∈[0,24].
(2)令y≥23,即6sin+20≥23,可得sin≥,
则+2kπ≤t-≤+2kπ,k∈Z,解得11+24k≤t≤19+24k,k∈Z.
又因为t∈[0,24],所以当k=0 时,可得11≤t≤19.
所以一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在t∈[11,19]时间段将该种商品放在室外销售.
[针对训练]
1.解:(1)∵周期T=2×=,
∴ω==150π.
又A=300,∴I(t)=300sin(150πt+φ).
将点代入上式,
得sin=0.
又|φ|<,∴φ-=0,即φ=.
∴I(t)=300sin.
(2)当t∈时,
此时150πt+∈.
令|I(t)|=>150,
则sin>或
sin<-,
即<150πt+<或<150πt+<,
解得0由-0=,-=,
得在1个周期内,该用电器核心部件的有效工作时间是+= s.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)由x∈[6,22],有x-∈.
当x-=-或x-=,即x=6或x=22时,y有最小值10,此时得到最低温度10 ℃;
当x-=,即x=14时,y有最大值30,此时得到最高温度30 ℃.
故该地这一天该时间段内温度的最大温差为30-10=20 ℃.
(2)由15≤10sin+20≤25,
得-≤sin≤.
由x-∈,有-≤x-≤或≤x-≤,
解得≤x≤或≤x≤,-=,-=,故该细菌能存活的最长时间为小时.
[针对训练]
2.解:(1)函数P(t)=115+25sin(160πt)的最小正周期T==,根据题意可知,在一个周期内,心脏跳动一次,所以此人每分钟心跳的次数为=80.
(2)由题意得,P(t)max=115+25=140,P(t)min=115-25=90,所以此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,与标准值120/80 mmHg相比较,此人血压偏高.
[题型(三)]
[例3] 解: (1)如图所示,
建立平面直角坐标系.由题意可知OP在t分钟内所转过的角为×t=t,因为点P在最低点处开始计时,所以以Ox为始边,OP为终边的角为t-,所以点P的纵坐标为55sin,则H=55sin+=58-55cost(t≥0),在t分钟时点P距离下层桥面的高度为米.
(2)根据对称性,上层桥面距离下层桥面的高度为点P在t=分钟时距离下层桥面的高度.由(1)可知,当t=时,H=58-55cost=58-55cos=58-≈10.37(米).所以上层桥面距离下层桥面的高度约为10.37米.
[针对训练]
3.解析:设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),
则从表中数据可以得到A=4,ω===,又由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-,
则y=4sin,即y=-4cost.
答案:y=-4cost
4.解析:观察表中数据可知,水深与时间近似为正弦型函数.
设该函数表达式为
y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b,
由表中数据可知,一个周期为12小时24分,即744分钟,
∴ω==,
A===2.5,
b=f(x)max-A=7.5-2.5=5.
∵f(186)=2.5sin+5=7.5,
∴φ=0.
则该函数的表达式为
y=f(x)=2.5sin+5.
由题可知,水深为4+2.25=6.25米以上时安全,
令f(x)≥6.25,解得62≤x≤310,
即安全时间为310-62=248分钟,约4小时.
答案:y=2.5sin+5 4
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三角函数的简单应用
(拓展融通课——习题讲评式教学)
§8
课时目标
1.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
2.能够利用三角函数模型的图象和性质解决简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)
已知三角函数图象解决应用问题
题型(二)
已知三角函数解析式解决应用问题
题型(三)
三角函数模型的建立及应用
4
课时跟踪检测
题型(一)
已知三角函数图象解决应用问题
01
[例1] 某市某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是该天不同时间的气温预报数据:
根据上述数据描出的曲线如图所示,
经拟合,该曲线可近似地看成函数
y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象.
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/℃ 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
(1)根据以上数据,试求函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)的表达式;
解:由函数图象,可得解得b=20,A=6.又由=15-3=12,
解得T=24,所以ω==.因为t=3时,可得y=14,即6sin+20=14,
解得sin=-1,即+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z.
又因为|φ|<π,所以φ=-.所以y=6sin+20,t∈[0,24].
(2)大数据统计显示,某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润,但对室外温度的要求是气温不能低于23 ℃,根据(1)中所得模型,一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售 (忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
解:令y≥23,即6sin+20≥23,可得sin≥,
则+2kπ≤t-≤+2kπ,k∈Z,解得11+24k≤t≤19+24k,k∈Z.
又因为t∈[0,24],所以当k=0 时,可得11≤t≤19.所以一个24小时营业的商家想获得最大利润,应在t∈[11,19]时间段将该种商品放在室外销售.
|思|维|建|模|
已知三角函数图象解决应用问题,首先由图象确定三角函数的解析式,其关键是确定参数A,ω,φ,同时在解题中注意各个参数的取值范围.
1.某用电器电流I(mA)随时间t(s)变化的关系式为I(t)=Asin(ωt+φ),如图是其部分图象.
针对训练
(1)求I(t)=Asin(ωt+φ)的解析式;
解:∵周期T=2×=,∴ω==150π.
又A=300,∴I(t)=300sin(150πt+φ).
将点代入上式,得sin=0.
又|φ|<,∴φ-=0,即φ=.∴I(t)=300sin.
(2)若该用电器核心部件有效工作的电流|I|必须大于150 mA,则在1个周期内,该用电器核心部件的有效工作时间是多少 (电流的正负表示电流的正反方向)
解:当t∈时,此时150πt+∈.令|I(t)|=
>150,则sin>或sin<-,即<150πt+<或<150πt+<,解得0题型(二)
已知三角函数解析式解决应用问题
02
[例2] 已知某地某天从6时到22时的温度变化曲线近似地满足函数y=10sin+20.
(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差;
解:由x∈[6,22],有x-∈.当x-=-或x-=,即x=6或x=22时,y有最小值10,此时得到最低温度10 ℃;当x-=,即x=14时,y有最大值30,此时得到最高温度30 ℃.故该地这一天该时间段内温度的最大温差为30-10=20 ℃.
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以存活,则在这段时间内,该细菌最多能存活多长时间
解:由15≤10sin+20≤25,得-≤sin≤.
由x-∈,有-≤x-≤或≤x-≤,
解得≤x≤或≤x≤,-=,-=,
故该细菌能存活的最长时间为小时.
|思|维|建|模|
(1)已知函数模型y=Asin(ωx+φ)+b,观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数,从而确定函数解析式,其中,利用最大(小)值求A,b,利用周期求ω,利用特殊点求φ.
(2)解决此类问题的关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
2.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足P(t)=115+25sin(160πt),其中P(t)为血压(mmHg),
t为时间(min).
(1)求此人每分钟心跳的次数;
解:函数P(t)=115+25sin(160πt)的最小正周期T==,根据题意可知,在一个周期内,心脏跳动一次,所以此人每分钟心跳的次数为=80.
针对训练
(2)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
解:由题意得,P(t)max=115+25=140,P(t)min=115-25=90,所以此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,与标准值120/80 mmHg相比较,此人血压偏高.
题型(三)
三角函数模型的建立及应用
03
[例3] 如图所示,天津之眼,全称天津永乐桥摩天轮,是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一.永乐桥分上下两层,上层桥面预留了一个长方形开口,供摩天轮轮盘穿过,摩天轮的直径为110米,外挂装48个透明座舱,在电力的驱动下逆时针匀速旋转,转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点P,当点P到达最高点时,距离下层桥面的高度为113米,点P在最低点处开始计时.
(1)试确定在时刻t(单位:分钟)时点P距离下层桥面的高度H(单位:米);
解:如图所示,建立平面直角坐标系.由题意可知OP在t分钟内所转过的角为×t=t,因为点P在最低点处开始计时,所以以Ox为始边,OP为终边的角为t-,所以点P的纵坐标为55sin,
则H=55sin+=
58-55cost(t≥0),在t分钟时点P距离
下层桥面的高度为米.
(2)若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运动时间大约为5分钟,问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米 (结果保留两位小数)
解:根据对称性,上层桥面距离下层桥面的高度为点P在t=分钟时距离下层桥面的高度.由(1)可知,当t=时,H=58-55cost=58-55cos=
58-≈10.37(米).所以上层桥面距离下层桥面的高度约为10.37米.
|思|维|建|模|
建立三角函数模型解决实际问题的步骤
3.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一
个三角函数式为 .
针对训练
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
y=-4cost
解析:设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),
则从表中数据可以得到A=4,ω===,
又由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-,
则y=4sin,即y=-4cost.
4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象称为潮汐.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头,卸货后,在落潮时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报,我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y与时间x之间的关系,
该函数的表达式为 .已知一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙(船底与海底的距离),则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为
小时(保留整数).
y=2.5sin+5
4
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:18 2.5 18:36 5.0
3:06 7.5 12:24 5.0 21:42 2.5
6:12 5.0 15:30 7.5 24:00 4.0
解析:观察表中数据可知,水深与时间近似为正弦型函数.
设该函数表达式为y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b,由表中数据可知,
一个周期为12小时24分,即744分钟,∴ω==,
A===2.5,b=f(x)max-A=7.5-2.5=5.
∵f(186)=2.5sin+5=7.5,∴φ=0.则该函数的表达式为y=f(x)=2.5sin+5.由题可知,水深为4+2.25=6.25米以上时安全,
令f(x)≥6.25,解得62≤x≤310,即安全时间为310-62=248分钟,约4小时.
课时跟踪检测
04
1
3
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2
A级——达标评价
1.某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图),已知噪音的声波曲线
y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为,则用来降噪的声波曲线的解析式是( )
A.y=sin πx
B.y=cos πx
C.y=-sin πx
D.y=-cos πx
√
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2
解析:由题意,A=1,φ=且T==2,则ω=π,所以y=sin=cos πx,
则用来降噪的声波曲线为y=-cos πx.
1
5
6
7
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9
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2
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4
2.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)
+B的模型波动(x为份,1≤x≤12
且x∈N+).已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin+7 B.f(x)=9sin
C.f(x)=2sinx+7 D.f(x)=2sin+7
√
1
5
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9
10
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2
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4
解析:由题意得解得又最小正周期为2×(7-3)=8,
所以ω==.所以f(x)=2sin+7.将(3,9)代入,
得2sin+7=9,则+φ=+2kπ,k∈Z.因为|φ|<,
所以当k=0时,φ=-符合题意.综上,f(x)=2sin+7.
1
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3
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2
3. (多选)如图,弹簧挂着的小球上下振动,时间t(s)与
小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间
的关系式是h=2sin,t∈,下列说法正
确的是( )
A.小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处
B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm
C.往复振动一次需2π s
D.π s时小球达到最低点
√
√
√
1
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3
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2
解析:令t=0,得h=,即小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处,A正确;由h=2sin,知h的最大值为2,最小值为-2,则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2,B正确;函数的周期T=2π,即往复振动一次需2π s,
C正确;当t=π时,h=2sin=2×=-≠-2,D错误.
1
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2
4. (多选)2024年夏天,某市连续出现45度的极端高温天气,打破了历史最高气温纪录.根据《高温酷暑工作规定》:当日高温达到40度以上,停止当日户外露天作业.如图,8月某一天从6时~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),则下列判断正确的是 ( )
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一个对称中心为(10,0)
C.φ=
D.根据该函数模型进行模拟估计,当天的6时~
20时,按照规定将停止户外露天工作个小时
√
√
√
1
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6
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2
解析:由题图可知,A==10,b==35.==14-6=8,所以ω=.x=14是函数的一条对称轴,所以×14+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z.因为0<φ<π,所以φ=.所以函数f(x)=10sin+35.周期为T=16,故A正确.对称中心为(10,35)而不是(10,0),故B错误.由函数解析式可知,φ=,故C正确.令f(x)≥40,可得sin≥,则2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,解得16k-≤x≤16k+,k∈Z.因为61
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3
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2
5.在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单
位:s)之间的函数关系式为 .
x=3cost
1
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3
4
2
解析:设位移x关于时间t的函数为x=f=Asin,
根据题中条件,可得A=3,周期T==3,故ω==.由题意可知当
t=0时,f取得最大值3,故3sin φ=3,则φ=+2kπ.
所以x=3sin=3sin=3cost.
1
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12
3
4
2
6.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,
其工作示意图如图所示,设水车的半径为4 m,其
中心O到水面的距离为2 m,水车逆时针匀速旋转,
旋转一周的时间为120 s,当水车上的一个水筒A
从水中(A0处)浮现时开始计时,经过t s后水筒A距
离水面的高度为f(t)(单位:m,在水面下时,高度为负数),则当0f(t)= .
4sin+2
1
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6
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11
12
3
4
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解析:由题设,水车的角速度为 rad/s= rad/s.又水车的半径为4 m,中心O到水面的距离为2 m,设经过t s后水筒A距离水面的高度为f(t)=
Asin(ωt+φ)+2,由题意可知A=4,ω=,由于t=0时,水筒A在A0处,即f(0)=4sin φ+2=0,即sin φ=-,由于|φ|<,故取φ=-,故t s后水筒
A距离水面的高度可表示为f(t)=4sin+2.
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7.在一次气象调查中,发现某城市的温度y(单位:℃)的波动近似地遵循规律y=25+6sint,其中t(单位:h)是从某日9:00开始计算(即9:00时,t=0),且t≤24.现给出下列结论:
①15:00时,出现最高温度,且最高温度为31 ℃;
②凌晨3:00时,出现最低温度,且最低温度为19 ℃;
③温度为28 ℃时的时刻为11:00;
④温度为22 ℃时的时刻为上午7:00.
其中所有正确结论的序号是 .
①②
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解析:由t=,得t=6,即15:00时,ymax=31(℃),则①正确;由t=,得t=18,即凌晨3:00时,ymin=19(℃),则②正确;由25+6sint=28,得sint=,则t=或t=,解得t=2或t=10,即对应的时刻为11:00和19:00,则③错误;
由25+6sint=22,得sint=-,则t=或t=,解得t=14或t=22,即对应的时刻为23:00和7:00,则④错误.
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8.(15分)如图为一个公路隧道,隧道口截面为正弦
曲线,已知隧道跨径为8.4 m,最高点离地面4.5 m.
(1)若设正弦曲线的左端为原点O,试求出该正弦
曲线的函数解析式;
解:根据题意,设该正弦曲线的解析式为y=Asin ωx(ω>0),
则A=4.5,T=2×8.4=,∴ω=.
故该正弦曲线的解析式为y=4.5sinx.
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(2)如果路面宽度为4.2 m,试求出公路边缘距隧道顶端的高度.
解:根据题意,将x==2.1代入函数解析式得y=4.5sin=
4.5sin=,即公路边缘距隧道顶端的高度为 m.
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9.(15分)某大桥是交通要塞,每天担负着巨大的车流量.已知其车流量y(单位:千辆)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记为y=f(t),下表是某日桥上的车流量的数据:
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看作函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(其中A>0,ω>0,b>0,-π≤φ≤0)的图象.
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/千辆 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
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(1)根据以上数据,画出散点图,
并求函数y=f(t)的近似解析式;
解:散点图,如图:
依题意,A===2,b===3,T=12=,解得ω=.当t=9时,
y取最大值,则9×+φ=2nπ+,n∈Z,而-π≤φ≤0,于是n=0,φ=-π.所以函数y=f(t)的近似解析式为f(t)=
2sin+3.
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(2)为了缓解交通压力,有关交通部门规定:若车流量超过4千辆时,核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行,试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行
解:若车流量超过4千辆时,即y=2sin+3≥4,则sin≥,
解得2kπ+≤t-π≤2kπ+,k∈Z,即12k+7≤t≤12k+11,k∈Z,而0≤t≤24,
因此7≤t≤11和19≤t≤23满足条件,(11-7)+(23-19)=8,
所以一天中有8小时不允许这种货车通行.
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B级——重点培优
10.如图,在海岸线TO一侧有一休闲游乐场,游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS,该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈[-4,0]的图象,图象的最高点为B(-1,2),则曲线段TDBS对应的函数解析式为
.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米,现准备从入口D修一条笔直的景观路到O,则景观路DO的长为 千米.
y=2sin,x∈[-4,0]
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解析:由题中图象知,A=2,=-1-(-4)=3 T==12 ω=.当x= -1时,
y=2sin=2,所以-+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,
所以φ=.则曲线段TDBS对应的函数解析式为y=2sin,x∈[-4,0].
因为D到海岸线TO的距离为千米,设D(xD,),显然-4所以2sin=,即sin=.
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所以xD+=+2kπ,k∈Z或xD+=+2kπ,k∈Z,解得xD=-2+12k,k∈Z或xD=12k,k∈Z.又-41
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11.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC与地面所成的角为θ,矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ),则f(θ)的值域为 .
[1,2]
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解析:观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为,如图,连接BD,已知AB=1,BC=,则∠DBC=,过D作地面的垂线,垂足为E,在Rt△BED中,
∠DBE=θ+,DB=2,所以f(θ)=2sin.
所以≤θ+≤.所以≤sin≤1,
即f(θ)的值域为[1,2].
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12.(13分)某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该
摩天轮的半径为30米,轮上最低点与地面的距离
为2米,沿逆时针方向匀速旋转,旋转一周所需时
间为T=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱,标号
分别为1~12(可视为点),在旋转过程中,座舱与地面
的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型,现从图示位置,即1号座舱位于圆周最右端时开始计时,旋转时间为t分钟.
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(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h(t)的解析式;
解:设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0),则A=30,b=32,
∴h(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0,t≥0).
依题意T=24 min,∴ω==(rad/min).
当t=0时,h(t)=32,∴φ=0.
∴h(t)=30sint+32(t≥0).
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(2)在前24分钟内,求1号座舱与地面的距离为17米时t的值;
解:令h(t)=17,即30sint+32=17,∴sint=-.
∵0≤t≤24,∴0≤t≤2π.∴t=或t=,
解得t=14或t=22.∴t=14或t=22时,1号座舱与地面的距离为17米.
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(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米,求当H取得最大值时t的值.
解:根据对称性可知,在一个周期内,当t=0,4,12,16,24时,H=15;
当t=2,14时,H=0;当t=6,10,18,22时,H=45;当t=8,20时,H=30.
故当t=8+12k(k∈N)时,H取得最大值.课时跟踪检测(十七) 三角函数的简单应用
(满分90分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图),已知噪音的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为,则用来降噪的声波曲线的解析式是 ( )
A.y=sin πx B.y=cos πx
C.y=-sin πx D.y=-cos πx
2.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份,1≤x≤12且x∈N+).已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=2sin+7
B.f(x)=9sin
C.f(x)=2sinx+7
D.f(x)=2sin+7
3. (多选)如图,弹簧挂着的小球上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间的关系式是h=2sin,t∈,下列说法正确的是 ( )
A.小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处
B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm
C.往复振动一次需2π s
D.π s时小球达到最低点
4. (多选)2024年夏天,某市连续出现45度的极端高温天气,打破了历史最高气温纪录.根据《高温酷暑工作规定》:当日高温达到40度以上,停止当日户外露天作业.如图,8月某一天从6时~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),则下列判断正确的是 ( )
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一个对称中心为(10,0)
C.φ=
D.根据该函数模型进行模拟估计,当天的6时~20时,按照规定将停止户外露天工作个小时
5.在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为 .
6.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,其工作示意图如图所示,设水车的半径为4 m,其中心O到水面的距离为2 m,水车逆时针匀速旋转,旋转一周的时间为120 s,当水车上的一个水筒A从水中(A0处)浮现时开始计时,经过t s后水筒A距离水面的高度为f(t)(单位:m,在水面下时,高度为负数),则当07.在一次气象调查中,发现某城市的温度y(单位:℃)的波动近似地遵循规律y=25+6sint,其中t(单位:h)是从某日9:00开始计算(即9:00时,t=0),且t≤24.现给出下列结论:
①15:00时,出现最高温度,且最高温度为31 ℃;
②凌晨3:00时,出现最低温度,且最低温度为19 ℃;
③温度为28 ℃时的时刻为11:00;
④温度为22 ℃时的时刻为上午7:00.
其中所有正确结论的序号是 .
8.(15分)如图为一个公路隧道,隧道口截面为正弦曲线,已知隧道跨径为8.4 m,最高点离地面4.5 m.
(1)若设正弦曲线的左端为原点O,试求出该正弦曲线的函数解析式;
(2)如果路面宽度为4.2 m,试求出公路边缘距隧道顶端的高度.
9.(15分)某大桥是交通要塞,每天担负着巨大的车流量.已知其车流量y(单位:千辆)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记为y=f(t),下表是某日桥上的车流量的数据:
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/千辆 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看作函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(其中A>0,ω>0,b>0,-π≤φ≤0)的图象.
(1)根据以上数据,画出散点图,并求函数y=f(t)的近似解析式;
(2)为了缓解交通压力,有关交通部门规定:若车流量超过4千辆时,核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行,试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行
B级——重点培优
10.如图,在海岸线TO一侧有一休闲游乐场,游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS,该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈[-4,0]的图象,图象的最高点为B(-1,2),则曲线段TDBS对应的函数解析式为 .若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米,现准备从入口D修一条笔直的景观路到O,则景观路DO的长为 千米.
11.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC与地面所成的角为θ,矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ),则f(θ)的值域为 .
12.(13分)某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米,轮上最低点与地面的距离为2米,沿逆时针方向匀速旋转,旋转一周所需时间为T=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱,标号分别为1~12(可视为点),在旋转过程中,座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型,现从图示位置,即1号座舱位于圆周最右端时开始计时,旋转时间为t分钟.
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h(t)的解析式;
(2)在前24分钟内,求1号座舱与地面的距离为17米时t的值;
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米,求当H取得最大值时t的值.
课时跟踪检测(十七)
1.选D 由题意,A=1,φ=且T==2,则ω=π,所以y=sin=cos πx,则用来降噪的声波曲线为y=-cos πx.
2.选D 由题意得解得又最小正周期为2×(7-3)=8,所以ω==.
所以f(x)=2sin+7.将(3,9)代入,得2sin+7=9,则+φ=+2kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以当k=0时,φ=-符合题意.
综上,f(x)=2sin+7.
3.选ABC 令t=0,得h=,即小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处,A正确;由h=2sin,知h的最大值为2,最小值为-2,则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2,B正确;函数的周期T=2π,即往复振动一次需2π s,C正确;当t=π时,h=2sin=2×=-≠-2,D错误.
4.选ACD 由题图可知,A==10,b==35.==14-6=8,所以ω=.x=14是函数的一条对称轴,
所以×14+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z.
因为0<φ<π,所以φ=.
所以函数f(x)=10sin+35.
周期为T=16,故A正确.
对称中心为(10,35)而不是(10,0),故B错误.
由函数解析式可知,φ=,故C正确.
令f(x)≥40,可得sin≥,则2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,解得16k-≤x≤16k+,k∈Z.因为6所以按照规定将停止户外露天工作-=小时,故D正确.
5.解析:设位移x关于时间t的函数为x=f=Asin,根据题中条件,可得A=3,周期T==3,故ω==.
由题意可知当t=0时,f取得最大值3,故3sin φ=3,则φ=+2kπ.
所以x=3sin
=3sin=3cost.
答案:x=3cost
6.解析:由题设,水车的角速度为 rad/s= rad/s.
又水车的半径为4 m,中心O到水面的距离为2 m,
设经过t s后水筒A距离水面的高度为f(t)=Asin(ωt+φ)+2,
由题意可知A=4,ω=,由于t=0时,水筒A在A0处,即f(0)=4sin φ+2=0,
即sin φ=-,由于|φ|<,故取φ=-,
故t s后水筒A距离水面的高度可表示为f(t)=4sin+2.
答案:4sin+2
7.解析:由t=,得t=6,即15:00时,ymax=31(℃),则①正确;由t=,得t=18,即凌晨3:00时,ymin=19(℃),则②正确;由25+6sint=28,得sint=,则t=或t=,解得t=2或t=10,即对应的时刻为11:00和19:00,则③错误;
由25+6sint=22,得sint=-,则t=或t=,解得t=14或t=22,即对应的时刻为23:00和7:00,则④错误.
答案:①②
8.解:(1)根据题意,设该正弦曲线的解析式为y=Asin ωx(ω>0),
则A=4.5,T=2×8.4=,∴ω=.
故该正弦曲线的解析式为y=4.5sinx.
(2)根据题意,将x==2.1代入函数解析式得y=4.5sin=4.5sin=,
即公路边缘距隧道顶端的高度为 m.
9.解:(1)散点图,如图:
依题意,A===2,b===3,
T=12=,解得ω=.当t=9时,y取最大值,则9×+φ=2nπ+,n∈Z,
而-π≤φ≤0,于是n=0,φ=-π.
所以函数y=f(t)的近似解析式为f(t)=2sin+3.
(2)若车流量超过4千辆时,即y=2sin+3≥4,
则sin≥,
解得2kπ+≤t-π≤2kπ+,k∈Z,即12k+7≤t≤12k+11,k∈Z,而0≤t≤24,
因此7≤t≤11和19≤t≤23满足条件,(11-7)+(23-19)=8,
所以一天中有8小时不允许这种货车通行.
10.解析:由题中图象知,A=2,=-1-(-4)=3 T==12 ω=.
当x= -1时,y=2sin=2,
所以-+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,
所以φ=.则曲线段TDBS对应的函数解析式为y=2sin,x∈[-4,0].
因为D到海岸线TO的距离为千米,设D(xD,),显然-4所以2sin=,
即sin=.
所以xD+=+2kπ,k∈Z或xD+=+2kπ,k∈Z,解得xD=-2+12k,k∈Z或xD=12k,k∈Z.
又-4所以DO==.
答案:y=2sin,x∈[-4,0]
11.解析:观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为,
如图,连接BD,已知AB=1,BC=,则∠DBC=,过D作地面的垂线,垂足为E,在Rt△BED中,∠DBE=θ+,DB=2,所以f(θ)=2sin.
所以≤θ+≤.所以≤sin≤1,
即f(θ)的值域为[1,2].
答案:[1,2]
12.解:(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0),则A=30,b=32,
∴h(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0,t≥0).
依题意T=24 min,
∴ω==(rad/min).
当t=0时,h(t)=32,∴φ=0.
∴h(t)=30sint+32(t≥0).
(2)令h(t)=17,即30sint+32=17,
∴sint=-.
∵0≤t≤24,∴0≤t≤2π.
∴t=或t=,
解得t=14或t=22.
∴t=14或t=22时,1号座舱与地面的距离为17米.
(3)根据对称性可知,在一个周期内,
当t=0,4,12,16,24时,H=15;
当t=2,14时,H=0;
当t=6,10,18,22时,H=45;
当t=8,20时,H=30.
故当t=8+12k(k∈N)时,H取得最大值.
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