板块综合 三角函数图象与性质的综合(阶段小结课——习题讲评式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1.浸润的核心素养
经历求解三角函数解析式的过程,掌握三角函数的图象与性质知识,提升解题能力,灵活掌握三角函数平移变换,培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养.
2.渗透的数学思想
(1)作三角函数的图象、解三角不等式、研究三角函数的性质,都是数形结合思想的应用.
(2)在解决较复杂的三角函数问题时,一般总是将复杂的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为易解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.证明三角恒等式及条件求值问题中,常常是化繁为简、化异为同,有时逆用公式,这些都体现了转化与化归思想.
题型(一) 利用正、余弦函数的性质求参数
[例1] (1)函数y=2sin(3x+φ)图象的一条对称轴为直线x=,则φ= .
(2)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,则ω的取值范围是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤
首先,明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的包含关系求解;另外,若是选择题,利用特值验证排除法求解更为简捷.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上单调递减,
则实数ω的取值范围为 ( )
A. B.(1,2] C.(0,1] D.
2.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T,若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
题型(二) 与三角函数零点有关的问题
[例2] 已知f(x)=2sin(2x+φ),φ∈(-π,0),一条对称轴为x=,若关于x的方程f(x)=,在有两个不同的实数根,则m的取值范围为 ( )
A.(-4,-2] B.[-4,-2]
C.[2,4) D.[2,4]
听课记录:
|思|维|建|模|
与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象,利用图象特征求解,或转化为两个函数图象的交点问题.
[针对训练]
3.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)= ( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
题型(三) 正、余弦函数图象与性质的综合
[例3] (2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若
A.1 B.
C. D.3
听课记录:
|思|维|建|模|
研究三角函数的几个方面
整体研究三角函数的性质,我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑.
[针对训练]
5.若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)≤f恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递增区间.
板块综合 三角函数图象与性质的综合
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)由y=2sin(3x+φ)图象的一条对称轴为x=,可知3×+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以取k=0,则φ=.
(2)由0,得+<ωx+<ωπ+.
又y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈.
答案:(1) (2)
[针对训练]
1.选A 由题意有T=≥π,可得0<ω≤2,又由<+≤,必有+≤π,可得0<ω≤.
2.解析:因为f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=,
因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,又0<φ<π,所以φ=.
即f(x)=cos.又x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ,k∈Z.解得ω=3+9k,k∈Z.因为ω>0,
所以当k=0时ωmin=3.
答案:3
[题型(二)]
[例2] 选A 因为x=是函数f(x)=2sin(2x+φ)的一条对称轴,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.
又φ∈(-π,0),所以φ=-.所以f(x)=2sin.
又f(x)=,x∈,
即sin=,x∈,
设t=2x-,则t∈,
所以sin t=在t∈上有两个零点,
即y=sin t与y=在t∈上有两个交点,如图所示.
因为当t=-时,sin t=-,
所以-1<≤-,即-4[针对训练]
3.选B 由T==π,得ω=2.
∴f(x)=2sin.作出函数f(x)在x∈上的图象如图所示.
由图可知x1+x2=,
∴f(x1+x2)=2sin=2×=1.
4.解析:函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根.因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ].令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],如图,结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).
答案:[2,3)
[题型(三)]
[例3] 选A 因为因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且sin+b=2,
即sin=0,
所以ω+=kπ(k∈Z),
又2<ω<3,所以<ω+<,
所以ω+=4π,解得ω=,
所以f(x)=sin+2,
所以f=sin+2
=sin+2=1.故选A.
[针对训练]
5.选A 逐一验证,由函数f(x)的周期为π,故排除B;又因为cos=cos=0,所以y=cos的图象不关于直线x=对称,故排除C;
令-≤2x-≤,
得-≤x≤,
所以函数y=sin在上单调递增.
6.解:(1)因为f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π.而ω>0,解得ω=2.
因为f(x)=2sin(2x+φ),且f(x)≤f,
所以f为最大值f=2sin=2,
则2×+φ=2kπ+,k∈Z,
所以φ=2kπ+,k∈Z.
因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
因为x∈[-π,π],
所以f(x)在[-π,π]上的单调递增区间是,,.
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板块综合 三角函数图象与性质的综合
(阶段小结课——习题讲评式教学)
建构知识体系
1.浸润的核心素养
经历求解三角函数解析式的过程,掌握三角函数的图象与性质知识,提升解题能力,灵活掌握三角函数平移变换,培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养.
融通学科素养
2.渗透的数学思想
(1)作三角函数的图象、解三角不等式、研究三角函数的性质,都是数形结合思想的应用.
(2)在解决较复杂的三角函数问题时,一般总是将复杂的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为易解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.证明三角恒等式及条件求值问题中,常常是化繁为简、化异为同,有时逆用公式,这些都体现了转化与化归思想.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)
利用正、余弦函数的性质求参数
题型(二)
与三角函数零点有关的问题
题型(三)
正、余弦函数图象与性质的综合
4
课时跟踪检测
题型(一)
利用正、余弦函数的性质求参数
01
[例1] (1)函数y=2sin(3x+φ)图象的一条对称轴为直线x=,
则φ= .
解析:由y=2sin(3x+φ)图象的一条对称轴为x=,可知3×+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以取k=0,则φ=.
(2)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,则ω的取值范围
是 .
解析:由0,得+<ωx+<ωπ+.又y=sin x的单调递减区间
为,k∈Z,所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,
得k=0,所以ω∈.
|思|维|建|模|
已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤
首先,明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的包含关系求解;另外,若是选择题,利用特值验证排除法求解更为简捷.
1.已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上
单调递减,则实数ω的取值范围为( )
A. B.(1,2]
C.(0,1] D.
解析:由题意有T=≥π,可得0<ω≤2,又由<+≤,必有+≤π,可得0<ω≤.
√
针对训练
2.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T,若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
解析:因为f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π),所以最小正周期T=,
因为f(T)=cos=cos(2π+φ)=cos φ=,又0<φ<π,所以φ=.
即f(x)=cos.又x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ,k∈Z.
解得ω=3+9k,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时ωmin=3.
3
题型(二)
与三角函数零点有关的问题
02
[例2] 已知f(x)=2sin(2x+φ),φ∈(-π,0),一条对称轴为x=,若关于x的方程f(x)=,在有两个不同的实数根,则m的取值范围为( )
A.(-4,-2] B.[-4,-2]
C.[2,4) D.[2,4]
解析:因为x=是函数f(x)=2sin(2x+φ)的一条对称轴,
所以2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z.又φ∈(-π,0),
所以φ=-.所以f(x)=2sin.
√
又f(x)=,x∈,即sin=,x∈,设t=2x-,则t∈,
所以sin t=在t∈上有两个零点,即y=sin t与y=在t∈上有两个交点,如图所示.因为当t=-时,sin t=-,所以-1<≤-,
即-4|思|维|建|模|
与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象,利用图象特征求解,或转化为两个函数图象的交点问题.
3.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
解析:由T==π,得ω=2.∴f(x)=2sin.
作出函数f(x)在x∈上的图象如图所示.
由图可知x1+x2=,∴f(x1+x2)=2sin=2×=1.
√
针对训练
4.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
解析:函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,即cos ωx=1在区间[0,2π]有且仅有3个根.因为ω>0,x∈[0,2π],所以ωx∈[0,2ωπ].令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],如图,结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3,即ω的取值范围是[2,3).
[2,3)
题型(三)
正、余弦函数图象与性质的综合
03
[例3] (2022·新课标Ⅰ卷)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
√
解析:因为因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,
且sin+b=2,即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),
又2<ω<3,所以<ω+<,所以ω+=4π,解得ω=,
所以f(x)=sin+2,所以f=sin+2=sin+2=1.故选A.
|思|维|建|模|
研究三角函数的几个方面
整体研究三角函数的性质,我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑.
5.若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
√
针对训练
解析:逐一验证,由函数f(x)的周期为π,故排除B;
又因为cos=cos=0,
所以y=cos的图象不关于直线x=对称,故排除C;
令-≤2x-≤,得-≤x≤,所以函数y=sin在上单调递增.
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)≤f恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
解:因为f(x)=2sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π.而ω>0,解得ω=2.因为f(x)=2sin(2x+φ),且f(x)≤f,
所以f为最大值f=2sin=2,则2×+φ=2kπ+,k∈Z,
所以φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递增区间.
解:令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递增区间是,,.
课时跟踪检测
04
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2
A级——达标评价
1.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=-
解析:函数f(x)=cos,令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),
当k=1时,x=,故选B.
√
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2.若点(a,0)是函数y=sin图象的一个对称中心,则a的值可以是( )
A.
C.- D.-
解析:依题意可得a+=kπ,k∈Z,所以a=kπ-,k∈Z.当k=0时,a=-.
√
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3.已知函数f(x)=cos2x+sin x-的定义域为[0,m],值域为,则实数m的最大值为( )
A.π B.
C.
√
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2
解析: f(x)=cos2x+sin x-=-sin2x+sin x+,令t=sin x,
则g(t)=-t2+t+=-+1,因为g(t)的值域为,
根据二次函数的图象性质,可得t∈[0,1],所以sin x∈[0,1],且x∈[0,m].
因为t=sin x,根据三角函数的图象性质,有≤m≤π,则实数m的最大值为π.
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4.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
√
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解析:把函数y=cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=cos=cos=-sin 2x的图象.作出函数f(x)的
部分图象和直线y=x-如图所示.观察图象知,共有3个交点.故选C.
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5.若f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为( )
A.
C. D.π
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2
解析:易知将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)=cos的图象,则函数f(x)=cos的增区间为(k∈Z),而函数又在[-a,a]上单调递增,所以 a≤,于是01
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6.写出一个以x=为对称轴的奇函数 .
解析:易知y=sin ωx(ω≠0)是奇函数,ω=kπ+(k∈Z),ω=2kπ+π(k∈Z),取k=0得ω=π,从而函数式为y=sin πx.
y=sin πx(答案不唯一)
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7.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f=f,则f= .
解析:由题意,函数f(x)对任意实数x都有f=f,可得x=是函数f(x)=3sin(ωx+φ)的一条对称轴,根据三角函数的图象与性质,可得f=±3.
±3
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8.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,
则ω的最小值为 .
解析:∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,
∴当x=时,f(x)取得最大值.即f=cos=1.
∴ω-=2kπ,k∈Z,∴ω=8k+,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值.
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9.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
解:依题意T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).∵f(x)的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ,k∈Z.得φ=+kπ,k∈Z.又|φ|≤,
∴φ=.∴f(x)=sin.
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(2)求f(x)的单调递增区间.
解:令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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10.(12分)已知函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)单调递增区间;
解:因为函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π,所以T==π.
由于ω<0,所以ω=-2.所以f(x)=2sin=-2sin,所以要求函数f(x)的单调递增区间,只需求函数y=2sin的单调递减区间,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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(2)若函数g(x)=f(x)-m在上有零点,求实数m的取值范围.
解:因为函数g(x)=f(x)-m在上有零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.因为x∈,2x-∈,故函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].所以当m∈[-2,1]时,函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.所以当m∈[-2,1]时,函数g(x)=f(x)-m在上有零点.故实数m的取值范围为[-2,1].
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B级——重点培优
11.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且f=f,
则ω=( )
A. C.D.1
解析:当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,
∴ω+≤,解得ω≤1,即0<ω≤1.∴<ω+≤,<ω+≤,则由f=f得+=π,解得ω=.故选C.
√
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12.关于函数f(x)=sin x+,下列说法正确的是( )
A.f(x)的一个周期是π
B.f(x)的最小值为2
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=对称
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解析:对于A,f(x+π)=sin(x+π)+=-sin x-≠f(x),即π不是f(x)的一个周期,A错误;对于B,取x=-,则f=sin+=-2,即f(x)的最小值不是2,B错误;对于C,当x∈时,令sin x=t,t∈(0,1),函数y=t+在(0,1)上单调递减,而t=sin x在上单调递增,因此f(x)=sin x+在上单调递减,C错误;对于D,f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),即函数f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.
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2
13.(12分)已知f(x)=sin,ω>0.
(1)设ω=1,求y=f,x∈的值域;
解:因为ω=1,所以f=sin.因为x∈,令t=x+,
则t∈.由正弦函数性质得y=g=sin t在上单调递增,
在上单调递减,所以g=1,g=-,g=,故y∈.
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(2)已知a>π(a∈R),f(x)的最小正周期为π,若在x∈上恰有3个零点,求a的取值范围.
解:由题意得T==π,所以ω=2,可得f=sin,当f=0时,
2x+=kπ,k∈Z,即x=-+,k∈Z.当k=2时,x=<π,不符合题意;当k=3时,
x=>π,符合题意;当k=4时,x=>π,符合题意;当k=5时,x=>π,符合题意,所以+T≤a<+T,即≤a<,故a∈.
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14.(14分)已知函数f(x)=2sin+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
解:令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴y=f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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(2)若f(x)=0,x∈,求x的值;
解:由f(x)=0,得2sin+1=0,
∴sin=-.又∵x∈,
∴2x-∈,
∴2x-=-或2x-=-或2x-=,解得x=0或x=-或x=.
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(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象.若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在的值域.
解:将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1.再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),
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得到函数g(x)=2cos x+1的图象.
又∵曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,
∴h(x)=g=2cos+1=2sin x+1.∵x∈,
∴sin x∈,∴2sin x+1∈(0,3].
∴函数h(x)在上的值域为(0,3].课时跟踪检测(十四) 三角函数图象与性质的综合
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=-
2.若点(a,0)是函数y=sin图象的一个对称中心,则a的值可以是 ( )
A.
C.- D.-
3.已知函数f(x)=cos2x+sin x-的定义域为[0,m],值域为,则实数m的最大值为 ( )
A.π B.
C.
4.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.若f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为 ( )
A.
C. D.π
6.写出一个以x=为对称轴的奇函数 .
7.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f=f,则f= .
8.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为 .
9.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
(2)求f(x)的单调递增区间.
10.(12分)已知函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在上有零点,求实数m的取值范围.
B级——重点培优
11.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且f=f,则ω= ( )
A.
C. D.1
12.关于函数f(x)=sin x+,下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的一个周期是π
B.f(x)的最小值为2
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的图象关于直线x=对称
13.(12分)已知f(x)=sin,ω>0.
(1)设ω=1,求y=f,x∈的值域;
(2)已知a>π(a∈R),f(x)的最小正周期为π,若在x∈上恰有3个零点,求a的取值范围.
14.(14分)已知函数f(x)=2sin+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)=0,x∈,求x的值;
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象.若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在的值域.
课时跟踪检测(十四)
1.选B 函数f(x)=cos,令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),当k=1时,x=,故选B.
2.选C 依题意可得a+=kπ,k∈Z,所以a=kπ-,k∈Z.当k=0时,a=-.
3.选A f(x)=cos2x+sin x-=-sin2x+sin x+,令t=sin x,则g(t)=-t2+t+=-+1,因为g(t)的值域为,根据二次函数的图象性质,可得t∈[0,1],所以sin x∈[0,1],且x∈[0,m].因为t=sin x,根据三角函数的图象性质,有≤m≤π,则实数m的最大值为π.
4.选C 把函数y=cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=cos=cos=-sin 2x的图象.作出函数f(x)的部分图象和直线y=x-如图所示.观察图象知,共有3个交点.故选C.
5.选A 易知将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)=cos的图象,则函数f(x)=cos的增区间为(k∈Z),而函数又在[-a,a]上单调递增,所以 a≤,于是06.解析:易知y=sin ωx(ω≠0)是奇函数,ω=kπ+(k∈Z),ω=2kπ+π(k∈Z),取k=0得ω=π,从而函数式为y=sin πx.
答案:y=sin πx(答案不唯一)
7.解析:由题意,函数f(x)对任意实数x都有f=f,可得x=是函数f(x)=3sin(ωx+φ)的一条对称轴,根据三角函数的图象与性质,可得f=±3.
答案:±3
8.解析:∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,
∴当x=时,f(x)取得最大值.
即f=cos=1.∴ω-=2kπ,k∈Z,∴ω=8k+,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值.
答案:
9.解:(1)依题意T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).∵f(x)的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ,k∈Z.得φ=+kπ,k∈Z.又|φ|≤,
∴φ=.∴f(x)=sin.
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
10.解:(1)因为函数f(x)=2sin(ω<0)的最小正周期为π,所以T==π.由于ω<0,所以ω=-2.所以f(x)=2sin=-2sin,所以要求函数f(x)的单调递增区间,只需求函数y=2sin的单调递减区间,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为函数g(x)=f(x)-m在上有零点,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.因为x∈,2x-∈,故函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].所以当m∈[-2,1]时,函数y=f(x)的图象与直线y=m在上有交点.所以当m∈[-2,1]时,函数g(x)=f(x)-m在上有零点.故实数m的取值范围为[-2,1].
11.选C 当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,∴ω+≤,解得ω≤1,即0<ω≤1.∴<ω+≤,<ω+≤,则由f=f得+=π,解得ω=.故选C.
12.选D 对于A,f(x+π)=sin(x+π)+=-sin x-≠f(x),即π不是f(x)的一个周期,A错误;对于B,取x=-,则f=sin+=-2,即f(x)的最小值不是2,B错误;对于C,当x∈时,令sin x=t,t∈(0,1),函数y=t+在(0,1)上单调递减,而t=sin x在上单调递增,因此f(x)=sin x+在上单调递减,C错误;对于D,f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),即函数f(x)的图象关于直线x=对称,D正确.
13.解:(1)因为ω=1,所以f=sin.
因为x∈,令t=x+,
则t∈.
由正弦函数性质得y=g=sin t在上单调递增,在上单调递减,
所以g=1,g=-,g=,故y∈.
(2)由题意得T==π,所以ω=2,
可得f=sin,
当f=0时,2x+=kπ,k∈Z,即x=-+,k∈Z.当k=2时,x=<π,不符合题意;当k=3时,x=>π,符合题意;当k=4时,x=>π,符合题意;当k=5时,x=>π,符合题意,所以+T≤a<+T,
即≤a<,故a∈.
14.解:(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴y=f(x)的单调递增区间为
,k∈Z.
(2)由f(x)=0,得2sin+1=0,
∴sin=-.
又∵x∈,
∴2x-∈,
∴2x-=-或2x-=-或2x-=,
解得x=0或x=-或x=.
(3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,
可得函数图象的解析式为
y=2sin+1
=2sin+1=2cos 2x+1.
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cos x+1的图象.又∵曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,∴h(x)=g=2cos+1=2sin x+1.∵x∈,
∴sin x∈,
∴2sin x+1∈(0,3].
∴函数h(x)在上的值域为(0,3].
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