1 从位移、速度、力到向量 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景.
2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量、夹角的概念及向量的表示.
逐点清(一) 向量的概念与表示
[多维理解]
1.向量的概念
既有 又有 的量统称为向量.
2.向量的表示
(1)有向线段:具有 和 的线段称为有向线段(如图).以A为起点,B为终点的有向线段,记作 .线段AB的长度称为有向线段的长度,记作 .
(2)向量的几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
(3)向量的符号表示:向量可以用黑斜体小写字母如 ,…或 ,…(书写)来表示.
(4)向量的模:向量a的大小,记作 ,又称作向量的模.
3.两个特殊向量
名称 定义 表示方法
零向量 的向量称为零向量 0或
单位向量 模等于 的向量称为单位向量
|微|点|助|解|
(1)书写向量时带箭头.
(2)有向线段与向量不是同一个概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量,每一个向量对应无数个有向线段.
(3)注意 0 与 0 的区别及联系, 0 是一个实数, 0是一个向量,且|0|=0.零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量.
(4)单位向量有无数多个,它们的大小相等,但方向不一定相同.
(5)向量不能比较大小,它的模可以比较大小.
[微点练明]
1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是 ( )
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 ( )
A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
3.下列命题正确的是 ( )
A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量
B.向量的模是一个非负实数
C.|a|>|b|,则a>b
D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量
4.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°;
(2),使=4,点B在点A正东;
(3),使=6,点C在点B北偏东30°.
逐点清(二) 相等向量与共线向量
[多维理解]
1.相等向量
长度 且方向 的向量叫作相等向量.向量a与b相等,记作 .
2.共线向量
共线 (平行) 向量 若两个非零向量a,b的方向 或 ,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作
相反 向量 若两个向量的长度 、方向 ,则称它们互为相反向量.向量a的相反向量记作
规定 零向量与任一向量 ,即对于任意的向量a,都有 .零向量的相反向量仍是
|微|点|助|解|
(1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.
(2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.
[微点练明]
1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 ( )
A.0 B.a
C.b D.不存在这样的向量
2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
3.设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是 ( )
A.相同的向量 B.模相等的向量
C.共起点的向量 D.共线向量
4.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,写出图中给出的长度为的所有向量中,
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量共线的向量;
(3)与向量平行的向量.
逐点清(三) 向量的夹角
[多维理解]
(1)向量的夹角的定义:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=
(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.
(2)夹角θ的大小与向量共线、垂直的关系:
θ=
(3)规定:零向量与任一向量 ,即对于任意的向量a,都有 .
|微|点|助|解|
按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC不是向量与向量的夹角,∠BAD才是向量与向量的夹角.
[微点练明]
1.在△ABC中,向量与向量的夹角为α,向量与向量的夹角为β,向量与向量的夹角为γ,则α+β+γ= ( )
A.0° B.180°
C.270° D.360°
2.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,则与的夹角为 .
3.如图,在正五边形ABCDE中,O为正五边形的中心,指出下列各组向量的夹角.
(1)与;
(2)与;
(3)与.
1 从位移、速度、力到向量
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.大小 方向 2.(1)方向 长度 (3)a,b,c ,,
(4)|a| 3.长度为0 1个单位长度
[微点练明] 1.D 2.D 3.B
4.解:(1)因为点A在点O北偏东45°方向上,且=4,所以在坐标纸上点A距离O的横向小方格数与纵向小方格数相等,都为4,如图所示.
(2)因为点B在点A正东方向,且=4,所以在坐标纸上点B距离A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上,且=6,由勾股定理知,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,如图所示.
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.相等 相同 a=b
2.相同 相反 a∥b 相等 相反 -a 共线 0∥a 零向量
[微点练明] 1.A 2.C 3.B
4.解:(1)与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有,;
(2)与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,;
(3)与向量平行的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,.
[逐点清(三)]
[多维理解] (1)∠AOB (2)同向 反向 a⊥b (3)垂直 0⊥a
[微点练明] 1.D 2.120°
3.解:由正五边形知识知,正五边形的内角为108°,中心O与各顶点连线构成五个全等的顶角为72°,底角为54°的等腰三角形,所以得∠BOD=144°,故与夹角为144°.
与所成角为∠BOD的补角,故与夹角为180°-144°=36°.
∠OBA为与所成角,故与夹角为54°.
综上可得,(1)与夹角为36°,(2)与夹角为144°,(3)与夹角为54°
2 / 5(共55张PPT)
从位移、速度、力到向量
(基本概念课——逐点理清式教学)
§1
课时目标
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景.
2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量、夹角的概念及向量的表示.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 向量的概念与表示
逐点清(二) 相等向量与共线向量
逐点清(三) 向量的夹角
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 向量的概念与表示
01
1.向量的概念
既有 又有 的量统称为向量.
2.向量的表示
(1)有向线段:具有 和 的线段称为有
向线段(如图).以A为起点,B为终点的有向线段,
记作 .线段AB的长度称为有向线段的
长度,记作 .
大小
方向
方向
长度
多维理解
(2)向量的几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
(3)向量的符号表示:向量可以用黑斜体小写字母如 ,…或 ,
…(书写)来表示.
(4)向量的模:向量a的大小,记作 ,又称作向量的模.
a,b,c
|a|
3.两个特殊向量
名称 定义 表示方法
零向量 的向量称为零向量 0或
单位向量 模等于 的向量称为单位向量
长度为0
1个单位长度
|微|点|助|解|
(1)书写向量时带箭头.
(2)有向线段与向量不是同一个概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量,每一个向量对应无数个有向线段.
(3)注意 0 与 0 的区别及联系, 0 是一个实数, 0是一个向量,且|0|=0.零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量.
(4)单位向量有无数多个,它们的大小相等,但方向不一定相同.
(5)向量不能比较大小,它的模可以比较大小.
1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是 ( )
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
解析:密度、温度、质量、功只有大小,没有方向,是数量;速度、位移既有大小又有方向,是向量.
√
微点练明
2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 ( )
A.也可以用表示 B.方向是由M指向N
C.起点是M D.终点是M
解析:终点是N而不是M.
√
3.下列命题正确的是 ( )
A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量
B.向量的模是一个非负实数
C.|a|>|b|,则a>b
D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量
√
解析:温度虽有大小却无方向,故不是向量,A错误;易知B正确;向量的长度可以比较大小,但向量不能比较大小,C错误;单位向量只要求长度等于1个单位长度,但方向未确定,D错误.
4.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°;
解:因为点A在点O北偏东45°方向上,且=4,所以在坐标纸上点A距离O的横向小方格数与纵向小方格数相等,都为4,如图所示.
(2),使=4,点B在点A正东;
解:因为点B在点A正东方向,且=4,所以在坐标纸上点B距离A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,如图所示.
(3),使=6,点C在点B北偏东30°.
解:由于点C在点B北偏东30°方向上,且=6,由勾股定理知,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,如图所示.
逐点清(二)
相等向量与共线向量
02
1.相等向量
长度 且方向 的向量叫作相等向量.向量a与b相等,
记作 .
相等
相同
a= b
多维理解
2.共线向量
共线 (平行) 向量 若两个非零向量a,b的方向 或 ,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作______
相反 向量 若两个向量的长度 、方向 ,则称它们互为相反向量.向量a的相反向量记作______
规定 零向量与任一向量 ,即对于任意的向量a,都有 .零向量的相反向量仍是________
相同
相反
a∥b
相等
相反
-a
共线
0∥a
零向量
|微|点|助|解|
(1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.
(2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.
1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 ( )
A.0 B.a
C.b D.不存在这样的向量
解析:零向量与任一向量是共线向量,故c=0满足条件.若c≠0,则a∥c且b∥c,得到a∥b,这与条件矛盾,排除.综上所述,c=0,故选A.
√
微点练明
2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是( )
A.与
与
C.与
与
解析:由=,可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量,A错误;与互为相反向量,B错误;与满足相等向量的定义,C正确;与方向不同不满足相等向量的定义,D错误.故选C.
√
3.设点O是正三角形ABC的中心,则向量是( )
A.相同的向量 B.模相等的向量
C.共起点的向量 D.共线向量
解析:如图,因为O是正△ABC的中心,
所以||=||=||=R(R为△ABC外
接圆的半径).所以向量是
模相等的向量,但方向不同.故选B.
√
4.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交
的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,写出图中
给出的长度为的所有向量中,
(1)与向量相等的向量;
解:与向量相等的向量,即与向量大小相等,
方向相同的向量,有;
(2)与向量共线的向量;
解:与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,
有;
(3)与向量平行的向量.
解:与向量平行的向量,即与向量方向相同或相反的向量,
有.
逐点清(三) 向量的夹角
03
(1)向量的夹角的定义:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ= (0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.
(2)夹角θ的大小与向量共线、垂直的关系:θ=
(3)规定:零向量与任一向量 ,即对于任意的向量a,都有 .
∠AOB
同向
反向
垂直
0⊥a
多维理解
|微|点|助|解|
按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC不是向量与向量的夹角,∠BAD才是向量与向量的夹角.
1.在△ABC中,向量与向量的夹角为α,向量与向量的夹角为β,向量与向量的夹角为γ,则α+β+γ=( )
A.0° B.180°
C.270° D.360°
解析:因为α,β,γ为△ABC的外角,所以α+β+γ=360°.
√
微点练明
2.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,则与的夹角为 .
解析:如图,△ABC中,AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°.
而AB=,BC=1,AC=2,所以A=30°,C=60°.D是AC的
中点,则AD=DC=BD,∠ADB=120°,所以与的
夹角为120°.
120°
3.如图,在正五边形ABCDE中,O为正五边形的中心,指出下列各组向量的夹角.
(1)与;
解:由正五边形知识知,正五边形的内角为108°,中心O与各顶点连线构成五个全等的顶角为72°,底角为54°的等腰三角形,所以得∠BOD=144°,
故与夹角为144°.与所成角为∠BOD的补角,故与夹角为180°-144°=36°.∠OBA为与所成角,故与夹角为54°.
综上可得, 与夹角为36°,
(2)与;
解:与夹角为144°,
(3)与.
解: 与夹角为54°.
课时跟踪检测
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1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 ( )
A.汽车的速度大于摩托车的速度
B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程
D.以上都不对
解析:速度、位移是向量,既有大小,又有方向,不能比较大小,路程可以比较大小.
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2.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量的方向是任意的 D.单位向量的模都相等
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3.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 ( )
A.60° B.120°
C.30° D.150°
解析:平移向量a,b,使它们的起点重合,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.
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4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 ( )
A.不共线 B.长度不相等
C.不都是单位向量 D.不都是零向量
解析:若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量.所以A、B、C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量.故选D.
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5.下列结论正确的是 ( )
A.2 025 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量
C.方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
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解析:一个单位长度取2 025 cm时,2 025 cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A错误;根据单位向量的知识可知,B正确;方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,所以两向量为共线向量,故C错误;根据位移的定义可知,向量表示这个人从A点到B点的位移,所以D错误.
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6.在△ABC中,=13,=5,||=12,则与的夹角的余弦值是( )
A.
C.- D.-
解析:在△ABC中,与的夹角是角B的补角,由△ABC三边的长可知△ABC是直角三角形,cos B=,所以与的夹角的余弦值为-.
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7.(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 ( )
A.a=b B.|a|=|b|
C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0
解析:因为a与b为相等向量,所以a∥b,即A能够使a∥b成立;由于|a|=|b|并没有确定a与b的方向,即B不能够使a∥b成立;因为a与b方向相反时,a∥b,即C能够使a∥b成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0或|b|=0时,a∥b能够成立.故使a∥b成立的条件是A、C、D.
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8. (多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 ( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模为模的倍
D.与不共线
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解析: A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;
B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有
9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D错误.
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9.(多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 ( )
A.向量的模相等
B.=
C.向量共线
D.||+||=10
√
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解析:==,||==2,
A错误;||==,B正确;向量共线,
C正确;||+||=2+3=5,D错误.
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10.(多选)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系正确的是 ( )
A.||=|| B.∥
C.∥∥
√
√
√
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解析:∵四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,∴AB=EF,
即||=||,A正确.∵AB∥CD∥HG,∴AB∥FH.又与反向,
∴∥,B正确.若∥,则BD∥EH,∴∠BDC=∠DEH.若四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的正方形,
如图所示,此时tan∠BDC=1,tan∠DEH=,
即∠BDC≠∠DEH,C错误.∵D,C,E三点共线,
方向相反,∴∥,D正确.
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11.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为 ;与向量的夹角为120°的向量为 .(填图中所画出的向量)
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解析:∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为;与的夹角为120°的向量为.
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12.窗,古时亦称为牖,它伴随着建筑的起源而出现,
在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅
力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设
计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌
一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,
DE的中点,则与相等的向量为 ,
的相反向量为 .
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解析:因为四边形EFGH为正方形,所以EF=FG=GH=HE,且EF∥HG.又E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有.的相反向量有.
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13.(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量
解:当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点,模长为||时,有2个,为 模长为||时,
有2个,为 模长为||时,有2个,为
模长为||时,有2个,为,总共有8个.
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(2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.
解:由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个.
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14.(15分)如图所示,在平行四边形ABCD中,
E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量;
解:因为在平行四边形ABCD中,
E,F分别是CD,AB的中点,所以CE∥AF,CE=AF.所以四边形AFCE为平行四边形.所以CF∥AE.所以与向量共线的向量为.
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(2)求证:=.
解:证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
因为E,F分别是DC,AB的中点,所以ED∥BF且ED=BF.
所以四边形BFDE是平行四边形.
所以BE=FD,BE∥FD.故=.课时跟踪检测(十八) 从位移、速度、力到向量
(满分90分,选填小题每题5分)
1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 ( )
A.汽车的速度大于摩托车的速度
B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程
D.以上都不对
2.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度为0
C.零向量的方向是任意的
D.单位向量的模都相等
3.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 ( )
A.60° B.120°
C.30° D.150°
4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 ( )
A.不共线 B.长度不相等
C.不都是单位向量 D.不都是零向量
5.下列结论正确的是 ( )
A.2 025 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得,是单位向量
C.方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
6.在△ABC中,=13,=5,||=12,则与的夹角的余弦值是 ( )
A.
C.- D.-
7.(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 ( )
A.a=b B.|a|=|b|
C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0
8. (多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 ( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模为模的倍
D.与不共线
9. (多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 ( )
A.向量,的模相等
B.=
C.向量,共线
D.||+||=10
10. (多选)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系正确的是 ( )
A.||=||
B.∥
C.∥
D.∥
11.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为 ;与向量的夹角为120°的向量为 .(填图中所画出的向量)
12.窗,古时亦称为牖,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,则与相等的向量为 ,的相反向量为 .
13.(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量
(2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.
14.(15分)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
课时跟踪检测(十八)
1.C 2.BCD 3.A 4.D 5.B 6.C
7.ACD 8.ABC 9.BC 10.ABD
11.解析:∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为,;与的夹角为120°的向量为,,.
答案:, ,,
12.解析:因为四边形EFGH为正方形,所以EF=FG=GH=HE,且EF∥HG.又E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有,,.的相反向量有,,,.
答案:,, ,,,
13.解:(1)当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点,
模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个,为,,
模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个,为,,总共有8个.
(2)由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个.
14.解:(1)因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,所以CE∥AF,CE=AF.
所以四边形AFCE为平行四边形.所以CF∥AE.所以与向量共线的向量为,,.
(2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
因为E,F分别是DC,AB的中点,
所以ED∥BF且ED=BF.
所以四边形BFDE是平行四边形.
所以BE=FD,BE∥FD.
故=.
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