2.1 向量的加法(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则.
2.理解平面向量加法的几何意义,会用向量的三角形法则和平行四边形法则作
两个向量的和向量.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算.
1.向量加法的定义
求 的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的两种法则
已知两个不共线的向量a,b,在平面内任取一点A,作有向线段=a, =b,以有向线段和为邻边作 ABCD,则有向线段 表示的向量即为向量a与b的和,记作 .这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则
作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b, 连接A,C得到有向线段,也可以表示 .这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则
|微|点|助|解|
平行四边形法则与三角形法则的区别与联系
区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和
联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定
3.向量加法的运算律
结合律 (a+b)+c=
交换律 a+b =
|微|点|助|解|
(1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立.
(2)因为向量的加法满足交换律和结合律,所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量. ( )
(2)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量. ( )
(3)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同. ( )
2.在△ABC中,必有++等于 ( )
A.0 B.0
C.任一向量 D.与三角形形状有关
3.在正方形ABCD中,||=1,则|+|= .
题型(一) 向量加法法则的应用
[例1] (1)如图甲所示,求作向量a+b;
(2)如图乙所示,试用三角形法则作向量a+b+c.
听课记录:
[变式拓展]
本例(2)条件不变,试用平行四边形法则作a+b+c.
|思|维|建|模|
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.
[针对训练]
1.已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c.
题型(二) 向量加法及其运算律
[例2] 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,化简下列各式:
(1)+;(2)+;(3)++.
听课记录:
[变式拓展]
1.在本例条件下,求+.
2.在本例图形中求作向量++.
|思|维|建|模|
向量加法运算的注意点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活运用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
[针对训练]
2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,则++= ( )
A.
C.
3.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++= .
题型(三) 向量加法的实际应用
[例3] 在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少
|思|维|建|模|
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
表示 用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题
运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题
还原 根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题
[针对训练]
4.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地东偏北30°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离.
2.1 向量的加法
课前预知教材
1.两个向量和 2. a+b 向量a与b的和 3.a+(b+c) b+a
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)× 2.B 3.
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解: (1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图所示.
(2)如图所示,
首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c.
[变式拓展]
解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c.
[针对训练]
1.解:在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,如图,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,=a+b+c.
[题型(二)]
[例2] 解:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知:
(1)+=+=.
(2)+=+=.
(3)++=++=.
[变式拓展]
1.解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以+=.
2.解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G,则+=,作=,连接DH,则=++,如图所示.
[针对训练]
2.选B 由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=.
3.解析:++=++=.
答案:
[题型(三)]
[例3] 解:作出图形,如图.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形,
在Rt△ACD中,
||=||=v水=10 m/min,
||=|v船|=20 m/min,
∴cos α===.
∴α=60°,从而船与水流方向成120°角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
[变式拓展]
解:由题意可知||=||,
即v实际=v船=×20=10(m/min)
=(km/h),
则经过3小时,该船的实际航程是3×=(km).
[针对训练]
4.解:如图所示,=+,∠BAC=90°,||=||=300 km,所以||=300 km.
又因为∠ABC=45°,且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处.
故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.
5 / 6(共46张PPT)
2.1
向量的加法
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则.
2.理解平面向量加法的几何意义,会用向量的三角形法则和平行四边形
法则作两个向量的和向量.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.向量加法的定义
求 的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的两种法则
已知两个不共线的向量a,b,在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段和为邻边作 ABCD,则有向线段 表示的向量即为向量a与b的和,记作 .这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则
两个向量和
a+ b
续表
作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,连接A,C得到有向线段,也可以表示 .这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则
向量a与b的和
|微|点|助|解|
平行四边形法则与三角形法则的区别与联系
区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调
“共起点”.
(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则
仅适用于不共线的两个向量求和
联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量
和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定
3.向量加法的运算律
结合律 (a+b)+c=__________
交换律 a+b=_____
a+(b+c)
b+a
|微|点|助|解|
(1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立.
(2)因为向量的加法满足交换律和结合律,所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d),
a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量. ( )
(2)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量. ( )
(3)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同. ( )
基础落实训练
√
×
×
2.在△ABC中,必有++等于( )
A.0 B.0
C.任一向量 D.与三角形形状有关
3.在正方形ABCD中,||=1,则|+|= .
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 向量加法法则的应用
[例1] (1)如图甲所示,求作向量a+b;
解:首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+ b.如图所示.
(2)如图乙所示,试用三角形法则作向量a+b+c.
解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,
则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c.
本例(2)条件不变,试用平行四边形法则作a+b+c.
解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,则=+=a+ b.再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,则=+=a+b+c.
变式拓展
|思|维|建|模|
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.
针对训练
1.已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c.
解:在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,
如图,则由向量加法的三角形法则,得=a+b,
=a+b+c.
题型(二) 向量加法及其运算律
[例2] 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,化简下列各式:
(1)+;
解:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知:+=+=.
(2)+;
解:+=+=.
(3)++.
解:++=++=.
1.在本例条件下,求+.
解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,所以+=.
2.在本例图形中求作向量++.
解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G,
则+=,作=,连接DH,
则=++,如图所示.
变式拓展
|思|维|建|模|
向量加法运算的注意点
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活运用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
针对训练
2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点,
则++=( )
A.
C.
解析:由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=.
√
3.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则++= .
解析:++=++=.
题型(三) 向量加法的实际应用
[例3] 在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
解:作出图形,如图.
船速v船与岸的方向成α角,
由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,
四边形ABCD为平行四边形,
在Rt△ACD中,||=||=v水=10 m/min,
||=|v船|=20 m/min,
∴cos α===.
∴α=60°,从而船与水流方向成120°角.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少
解:由题意可知||=||,
即v实际=v船=×20=10(m/min)=(km/h),
则经过3小时,该船的实际航程是3×=(km).
变式拓展
|思|维|建|模|
应用向量解决平面几何问题的基本步骤
表示 用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题
运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题
还原 根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题
针对训练
4.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知
C地在A地东偏北30°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C间的距离.
解:如图所示,=+,∠BAC=90°,
||=||=300 km,所以||=300 km.
又因为∠ABC=45°,
且A地在B地的东偏南60°的方向处,可知C地在B地的东偏南15°的方向处.故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.某人先向东走3 km,位移记为a,接着再向北走3 km,位移记为b,则a+b表示( )
A.向东南走3 km B.向东北走3 km
C.向东南走3 km D.向东北走3 km
解析:由题意和向量的加法,得a+b表示先向东走3 km,再向北走3 km,
即向东北走3 km.故选B.
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2.(多选)对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为的是( )
A.++++
C.++++
解析:在A中,++=+=;在B中, ++=
+=;在C中,++=+=;在D中,+
+=+=+=.
√
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3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,
则+=( )
A.
C.
解析:由题图易知,+=.故选C.
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4.若非零不共线向量a,b满足|a+b|=|b|,则 ( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
解析:|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|.由于a,b是非零不共线向量,
所以a+b与b不共线,故等号不成立.
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5.(多选)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
解析:因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0,
又b是一个非零向量,所以a∥b成立,A正确.a+b=0+b=b,B不正确,
C正确.由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,D不正确.故选A、C.
√
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6.化简(+)+(+)+= .
解析:原式=(+)+(+)+
=++=+=.
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7.在矩形ABCD中,| |=4,||=2,则向量++的长度为 .
解析:因为+=,
所以++的长度为的模的2倍.
又||==2,
所以向量++的长度为4.
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8.已知点G是△ABC的重心,则++= .
解析:如图所示,连接AG并延长交BC于点E,
则点E为BC的中点,延长AE到点D,使ED=GE,
连接BD,CD,则+=.又+=0,
∴++=0.
(此题可作为结论直接应用)
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9.(12分)如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,
作出下列向量:
(1)+;
解:由图知,四边形OABC为平行四边形,∴+=.
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(2)+;
解:由图知===,
∴+=+=.
(3)+.
解:∵=,∴+=+=0.
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10. (14分)如图,在平行四边形ABCD中,
点E,F在对角线AC上,且AE=CF.
求证:四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵=+=+,又E,F是对角线AC上的两点,
且AE=CF,∴=.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴=,∴=,∴DE∥FB,DE=FB,
∴四边形EBFD是平行四边形.
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B级——重点培优
11.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,
即|a|2+|b|2=|a+b|2,||2+||2=||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
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12.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论正确的是( )
A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部
解析:+=,根据向量加法的平行
四边形法则,如图,则点P在△ABC的外部.
故选D.
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13.作用在同一物体上的两个力|F1|=60 N,|F2|=60 N,当它们的夹角为120°时,则这两个力的合力大小为 ( )
A.30 N B.60 N
C.90 N D.120 N
解析:选B 如图,=F1,=F2,∠BAD=120°,
作平行四边形ABCD,则=F1+F2,因为=,
所以四边形ABCD是菱形.又∠BAD=120°,
所以△ABC是等边三角形,==60 N.
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14.(16分)如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d.
解:在平面内任取一点O,
作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
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(2)设|a|=2,e为单位向量,试探索|a+e|的最大值.
解:由向量三角不等式知|a+e|≤|a|+|e|=3,当且仅当a,e同向时等号成立,
故|a+e|的最大值为3.课时跟踪检测(十九) 向量的加法
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.某人先向东走3 km,位移记为a,接着再向北走3 km,位移记为b,则a+b表示 ( )
A.向东南走3 km B.向东北走3 km
C.向东南走3 km D.向东北走3 km
2.(多选)对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为的是 ( )
A.++++
C.++++
3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= ( )
A.
C.
4.若非零不共线向量a,b满足|a+b|=|b|,则 ( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
5.(多选)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的是 ( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
6.化简(+)+(+)+= .
7.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为 .
8.已知点G是△ABC的重心,则++= .
9.(12分)如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1)+;(2)+;
(3)+.
10. (14分)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:四边形EBFD是平行四边形.
B级——重点培优
11.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是 ( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
12.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论正确的是 ( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
13.作用在同一物体上的两个力|F1|=60 N,|F2|=60 N,当它们的夹角为120°时,则这两个力的合力大小为 ( )
A.30 N B.60 N
C.90 N D.120 N
14.(16分)如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d.
(2)设|a|=2,e为单位向量,试探索|a+e|的最大值.
课时跟踪检测(十九)
1.选B 由题意和向量的加法,得a+b表示先向东走3 km,再向北走3 km,即向东北走3 km.故选B.
2.选ABD 在A中,++=+=;在B中,++=+=;在C中,++=+=;在D中,++=+=+=.
3.选C 由题图易知,+=.故选C.
4.选C |a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|.由于a,b是非零不共线向量,所以a+b与b不共线,故等号不成立.
5.选AC 因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0,又b是一个非零向量,所以a∥b成立,A正确.a+b=0+b=b,B不正确,C正确.由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,D不正确.故选A、C.
6.解析:原式=(+)+(+)+=++=+=.
答案:
7.解析:因为+=,
所以++的长度为的模的2倍.
又||==2,
所以向量++的长度为4.
答案:4
8.解析:如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使ED=GE,
连接BD,CD,则+=.又+=0,
∴++=0.(此题可作为结论直接应用)
答案:0
9.解:(1)由图知,四边形OABC为
平行四边形,∴+=.
(2)由图知===,
∴+=+=.
(3)∵=,∴+=+=0.
10.证明:∵=+,=+,又E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,∴=.∵四边形ABCD为平行四边形,∴=,∴=,∴DE∥FB,DE=FB,∴四边形EBFD是平行四边形.
11.选D 因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,即|a|2+|b|2=|a+b|2,||2+||2=||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
12.选D +=,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC的外部.故选D.
13.选B 如图,=F1,=F2,∠BAD=120°,作平行四边形ABCD,则=F1+F2,因为=,所以四边形ABCD是菱形.又∠BAD=120°,所以△ABC是等边三角形,==60 N.
14.解:(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
(2)由向量三角不等式知|a+e|≤|a|+|e|=3,当且仅当a,e同向时等号成立,
故|a+e|的最大值为3.
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