2.2 向量的减法(教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算.
2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则.
3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算.
1.向量减法的定义及几何意义
定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的 ,即
几何意义 如图,给定向量a与b,作有向线段=a,=b,故-b=,则a-b=a+(-b) =+=+= ,即如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是
2.向量减法的性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-0=0.
(2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0.
(3)若a+b=0,则a=-b,b=-a.
|微|点|助|解|
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法.
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(3)向量减法满足三角形法则.如图,在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量. ( )
(2)=-. ( )
(3)a-b的相反向量是b-a. ( )
(4)|a-b|<|a+b|. ( )
2.在△ABC中,=a,=b,则= ( )
A.|a+b| B.a-b
C.b-a D.-a-b
3.在平行四边形ABCD中,-+= ( )
A.
C.
题型(一) 向量减法法则的应用
[例1] (1)如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a-b.
[针对训练]
1.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量a-b+c.
题型(二) 向量的加、减运算
[例2] 化简下列各式:
(1)(+)+(--);
(2)--;
(3)(-)-(-).
听课记录:
|思|维|建|模|
化简向量的和差的方法
(1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号.
(2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简.
(3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点.
提醒:利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
[针对训练]
2.在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不正确的是 ( )
A.a+b=c B.a-b=d
C.b-a=d D.c-a=b
3.化简:(1)--++;
(2)(++)-(--).
题型(三) 用已知向量表示未知向量
[例3] 如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示.
听课记录:
|思|维|建|模|
用已知向量表示未知向量的基本步骤
第一步:观察各向量的位置;
第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形;
第三步:运用法则找关系;
第四步:化简结果.
[针对训练]
4.如图所示,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,-,++.
题型(四) 向量加减法的几何应用
[例4] 如图所示,在 ABCD中,=a,=b,用向量a,b表示,,并回答下面几个问题.
(1)当a,b满足什么条件时,AC⊥BD
(2)当 ABCD满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
听课记录:
[变式拓展]
若将例题中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状.
|思|维|建|模|
(1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a.
(2)在 OACB中,=a,=b.
①若|a|=|b|,则 OACB为菱形.
②若|a+b|=|a-b|,则 OACB为矩形.
③若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则 OACB为正方形.
[针对训练]
5.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.
2.2 向量的减法
课前预知教材
1.相反向量 a-b=a+(-b) a-b
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2.C 3.A
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解: (1)如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则a-b=,c-d=.
(2)法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二:如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
[针对训练]
1.解:如图,连接BD,
则=a-b,
作向量=c,
连接DE,
则=+=a-b+c.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)法一:原式=+++=(+)+(+)=+=.
法二:原式=+++=+(+)+=++=+0=.
(2)法一:原式=-=.
法二:原式=-(+)=-=.
(3)法一:(-)-(-)=(+)-(+)=-=0.
法二:(-)-(-)=(-)-(-)=-=0.
法三:在平面内任取一点O,则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)]=--+-++-=0.
[针对训练]
2.选B a+b=+==c,故A正确;a-b=-=+==-d,故B错误;b-a=-==d,故C正确;c-a=-===b,故D正确.
3.解:(1)--++=++++=+=.
(2)(++)-(--)=++-++=(+)+(-)+(+)=++0=0.
[题型(三)]
[例3] 解:=+=++=+-=c+b-a.
[针对训练]
4.解:=-=c-a,=-=d-a,-==-=d-b,+=-+-=b-a+f-c,-==-=f-d,++=0.
[题型(四)]
[例4] 解:∵=a,=b,∴=a+b,=a-b.
(1)当|a|=|b|时, ABCD为菱形,因为菱形的对角线互相垂直,所以AC⊥BD.
(2)当 ABCD为长方形时,因为长方形的对角线相等,所以|a+b|=|a-b|.
[变式拓展]
解:由a+c=b+d,得a-b=d-c,
即-=-.
∴=.于是ABCD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又|a-b|=|a-d|,
从而|-|=|-|,
∴||=||.∴四边形ABCD为菱形.
[针对训练]
5.解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b.由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB.所以 OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4.
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2.2
向量的减法
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算.
2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则.
3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.向量减法的定义及几何意义
定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的 ,即_____________
几何 意义 如图,给定向量a与b,作有向线段=a,=b,故-b=,则a-b=
a+(-b)=+=+= ,即如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是________
相反向量
a-b=a+(-b)
a-b
2.向量减法的性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-0=0.
(2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0.
(3)若a+b=0,则a=-b,b=-a.
|微|点|助|解|
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,
-=,就可以把减法转化为加法.
(2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点.
(3)向量减法满足三角形法则.如图,
在用三角形法则作向量减法时,要注
意“共起点,连终点,指向被减”.解题
时要结合图形,准确判断,防止混淆.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量. ( )
(2)=-. ( )
(3)a-b的相反向量是b-a. ( )
(4)|a-b|<|a+b|. ( )
基础落实训练
√
√
√
×
2.在△ABC中,=a,=b,则=( )
A.|a+b| B.a-b
C.b-a D.-a-b
3.在平行四边形ABCD中,-+=( )
A.
C.
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 向量减法法则的应用
[例1] (1)如图,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
解:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,
=b,=c,=d,则a-b=,c-d=.
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
解:法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二:如图②所示,在平面内任取一点O,
作=a,=b,则=a+b,再作=c,
连接OC,则=a+b-c.
|思|维|建|模|
利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a- b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a- b.
针对训练
1.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,
=a,=b,=c,试作向量a-b+c.
解:如图,连接BD,则=a-b,
作向量=c,连接DE,
则=+=a-b+c.
题型(二) 向量的加、减运算
[例2] 化简下列各式:
(1)(+)+(--);
解:法一:原式=+++=(+)+(+)=+=.
法二:原式=+++=+(+)+=++=
+0=.
(2)--;
解:法一:原式=-=.
法二:原式=-(+)=-=.
(3)(-)-(-).
解:法一:(-)-(-)=(+)-(+)=-=0.
法二:(-)-(-)=(-)-(-)=-=0.
法三:在平面内任取一点O,则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)]=--+-++-=0.
|思|维|建|模|
化简向量的和差的方法
(1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号.
(2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简.
(3)化简向量的差时注意共起点,由减数向量的终点指向被减数向量的终点.
提醒:利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.
针对训练
2.在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不正确的是( )
A.a+b=c B.a-b=d
C.b-a=d D.c-a=b
解析:a+b=+==c,故A正确;a-b=-=+==-d,
故B错误;b-a=-==d,故C正确;c-a=-===b,故D正确.
√
3.化简:(1)--++;
解: --++=++++=+=.
(2)(++)-(--).
解: (++)-(--)=++-++=(+)+(-)+(+)=++0=0.
题型(三) 用已知向量表示未知向量
[例3] 如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,
设=a,=b,=c,用a,b,c表示.
解:=+=++=+-=c+b-a.
|思|维|建|模|
用已知向量表示未知向量的基本步骤
第一步:观察各向量的位置;
第二步:寻找(或作)相应的平行四边形或三角形;
第三步:运用法则找关系;
第四步:化简结果.
4.如图所示,已知=a,=b,=c,=d,
=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示
-+-++.
解:=-=c-a,=-=d-a,
-==-=d-b,+=-+-=b-a+f-c,
-==-=f-d,++=0.
针对训练
题型(四) 向量加减法的几何应用
如图所示,在 ABCD中,=a,=b,
用向量a,b表示,并回答下面几个
问题.
(1)当a,b满足什么条件时,AC⊥BD
解:∵=a,=b,∴=a+b,=a- b.
当|a|=|b|时, ABCD为菱形,因为菱形的对角线互相垂直,所以AC⊥BD.
(2)当 ABCD满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
解:当 ABCD为长方形时,因为长方形的对角线相等,
所以|a+b|=|a-b|.
变式拓展
若将例题中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状.
解:由a+c=b+d,得a-b=d-c,
即-=-.
∴=.于是AB CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又|a-b|=|a-d|,从而|-|=|-|,
∴||=||.∴四边形ABCD为菱形.
|思|维|建|模|
(1)以向量=a,=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为=a+b,=b-a.
(2)在 OACB中,=a,= b.
①若|a|=|b|,则 OACB为菱形.
②若|a+b|=|a-b|,则 OACB为矩形.
③若|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则 OACB为正方形.
针对训练
5.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.
解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA,
OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+ b.
由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=.
所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB.
所以 OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.化简+=( )
A.
C.
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2.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
解析:=++=-+=a-b+c.
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3.如图所示,单位圆上有动点A,B,当|-|取得
最大值时,|-|等于( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
解析:因为|-|=||,A,B是单位圆上的动点,所以|-|的最大值为2,此时与反向.故选D.
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4.(多选)下列结果为零向量的是 ( )
A.-(+) B.-+-
C.-+++-
解析:-(+)=-=2;-+-=+=0;
-+=+=0;++-=+=0.故选B、C、D.
√
√
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5.设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为 ( )
A.向东南走6 km B.向东南走3 km
C.向西南走6 km D.向西南走3 km
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解析:如图,分别作出=a,=2b,则利用向量加法的交换律可得b-a
+b=2b-a,故=2b-a.易知△OAB为等腰直角三角形,故∠OAB=45°,
且||=6,所以b-a+b所表示的意义为向西南走6 km.
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6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--++= .
解析:由题图知--++=-+=.
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7.如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则
-+= .
解析:-+=++=+.因为+=0,
所以-+=0.
0
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8.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
解析:如图,设=a,=b,利用平行四边形法则得=a+ b.
∵|a|=|b|=|a+b|=1,∴△OAC为正三角形.∴=|a-b|=2××|a|=.
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9. (10分)如图,在正五边形ABCDE中,
若=a,=b,=c,
=d,=e,求作向量a-c+b-d-e.
解:a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e)=
(+)-(++)=-=+.如图,连接AC,
并延长至点F,使CF=AC,则=,所以=+,
即为所求作的向量a-c+b-d-e.
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10.(12分)已知平行四边形ABCD的两条
对角线AC与BD交于点E,O是任意一点,
求证:+++=4.
解:因为+++-4=(-)+(-)+(-)+
(-)=+++,又ABCD为平行四边形,则E为AC,BD的中点,可得=-=-,所以+++-4=
+++=(+)+(+)=0,+++=4.
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B级——重点培优
11.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
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解析:如图,作平行四边形ABCD,则+=-=-=.
因为|m|=|n|,所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,故选C.
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12.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且=2,设=x,=y,若|-|=,则x+y的最大值为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
解析:∵|-|===2,∴x2+y2=4.
∴(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号.∴x+y≤2,
即x+y的最大值为2,故选C.
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13.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有 ( )
A.|+|=|-|
B.|-|=|-|
C.|-|=|-|
D.|-|2>|-|2+|-|2
√
√
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解析:由条件可知||=||,且⊥,以为邻边的平行四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|+|=|-|,
故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|,故B正确;
|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以|-|=|-|,故C正确;===,
由条件可知||2=+,即|-|2=|-|2+|-|2,
故D错误.
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14.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角为 .
解析:如图,设=a,=b,则a-b=.因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||.所以△OAB是等边三角形,∠BOA=60°,四边形OACB为菱形.因为=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以a与a+b所在直线的夹角为30°.
30°
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15.(14分)如图,设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示.
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解:由题意可知四边形OADB为平行四边形,所以=+=a+b.
所以=-=c-a- b.又四边形ODHC为平行四边形,
所以=+=c+a+ b.所以=-=c+a+b-b=a+c.课时跟踪检测(二十) 向量的减法
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.化简+= ( )
A. B.
C.
2.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则= ( )
A.a-b+c B.b-(a+c)
C.a+b+c D.b-a+c
3.如图所示,单位圆上有动点A,B,当|-|取得最大值时,|-|等于 ( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
4.(多选)下列结果为零向量的是 ( )
A.-(+) B.-+-
C.-+++-
5.设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为 ( )
A.向东南走6 km B.向东南走3 km
C.向西南走6 km D.向西南走3 km
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--++= .
7.如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+= .
8.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
9.(10分)如图,在正五边形ABCDE中,若=a,=b,=c,=d,=e,求作向量a-c+b-d-e.
10.(12分)已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E,O是任意一点,求证:+++=4.
B级——重点培优
11.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有 ( )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
12.已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上运动,且=2,设=x,=y,若|-|=,则x+y的最大值为 ( )
A.2 B.4
C.2 D.4
13.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有 ( )
A.|+|=|-|
B.|-|=|-|
C.|-|=|-|
D.|-|2>|-|2+|-|2
14.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角为 .
15.(14分)如图,设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示,,.
课时跟踪检测(二十)
1.C
2.选A =++=-+=a-b+c.
3.选D 因为|-|=||,A,B是单位圆上的动点,所以|-|的最大值为2,此时与反向.故选D.
4.选BCD -(+)=-=2;-+-=+=0;-+=+=0;++-=+=0.故选B、C、D.
5.选C 如图,分别作出=a,=2b,
则利用向量加法的交换律可得b-a+b=2b-a,故=2b-a.
易知△OAB为等腰直角三角形,故∠OAB=45°,且||=6,
所以b-a+b所表示的意义为向西南走6 km.
6.解析:由题图知--++=-+=.
答案:
7.解析:-+=++=+.因为+=0,所以-+=0.
答案:0
8.解析:如图,设=a,=b,利用平行四边形法则得=a+b.∵|a|=|b|=|a+b|=1,∴△OAC为正三角形.∴=|a-b|=2××|a|=.
答案:
9.解:a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e)
=(+)-(++)=-=+.
如图,连接AC,并延长至点F,
使CF=AC,则=,
所以=+,
即为所求作的向量a-c+b-d-e.
10.解:因为+++-4=(-)+(-)+(-)+(-)=+++,
又ABCD为平行四边形,则E为AC,BD的中点,可得=-,=-,
所以+++-4=+++=(+)+(+)=0,
即+++=4.
11.选C 如图,作平行四边形ABCD,则+=,-=-=.
因为|m|=|n|,所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,故选C.
12.选C ∵|-|===2,∴x2+y2=4.∴(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号.∴x+y≤2,即x+y的最大值为2,故选C.
13.选ABC 由条件可知||=||,且⊥,以,为邻边的平行四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|+|=|-|,故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|,故B正确;|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以|-|=|-|,故C正确;=,=,=,由条件可知||2=+,即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误.
14.解析:如图,设=a,=b,则a-b=.因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||.所以△OAB是等边三角形,∠BOA=60°,四边形OACB为菱形.因为=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以a与a+b所在直线的夹角为30°.
答案:30°
15.解:由题意可知四边形OADB为平行四边形,所以=+=a+b.所以=-=c-a-b.又四边形ODHC为平行四边形,所以=+=c+a+b.所以=-=c+a+b-b=a+c.
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