3.2 向量的数乘与向量共线的关系(教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标] 1.掌握共线(平行)向量基本定理及简单应用.
2.会应用共线(平行)向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题.
1.共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 .
2.直线的向量表示
通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中 称为直线l的方向向量.
|微|点|助|解|
(1)对任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ),使λa+μb=0,则a与b共线.证明如下:若a,b中至少有一个为零向量,显然成立.若a,b均为非零向量,不妨设μ≠0,则b=-a,说明a与b共线.
但若向量a,b不共线,当λa+μb=0时,一定有λ=μ=0.
(2)一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=λa(a≠0),化成关于e1,e2的方程Φ(λ)e1+φ(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则解方程组即可.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa. ( )
(2)若=3,则与共线. ( )
(3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. ( )
(4)若点P是AB的中点,点O为直线AB外一点,则=(+). ( )
2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a= b.
题型(一) 向量共线的判定
[例1] (多选)已知e1,e2为两个不共线的向量,则下列说法正确的是 ( )
A.若a=2e1,b=3e2,则a∥b
B.若a=2e1+e2,b=-2e1-e2,则a∥b
C.若a=2e1-3e2,b=-2e1-3e2,则a∥b
D.若a=-2e1,b=3e1,则a∥b
听课记录:
|思|维|建|模|
向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
[针对训练]
1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 ( )
A.a∥b B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b| D.b=-3a
2.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是 ( )
A.与与
C.与与
题型(二) 三点共线的判定与证明
[例2] (1)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,则 ( )
A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线
C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线
(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为 ( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
听课记录:
|思|维|建|模|
证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.
(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点 存在实数x,y,使=x+y且x+y=1.
[针对训练]
3.P是△ABC所在平面内一点,=λ+,则P点必在 ( )
A.△ABC内部 B.直线AC上
C.直线AB上 D.直线BC上
4.已知a,b是不共线的两非零向量,=2a-b,=3a+b,=a-3b,证明A,B,C三点共线.
题型(三) 利用向量共线求参数
[例3] (1)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ= ( )
A.
C.- D.-
(2)已知非零向量e1,e2不共线,欲使-e1+ke2和-2e1+e2共线,则k的值为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
[针对训练]
5.设e1,e2是两个不共线的单位向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为 .
6.设e1,e2是两个不共线向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则实数k= .
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
课前预知教材
1.a=λb 2.
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.A
3.-
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选BD 对于A,因为e1,e2不共线,所以a与b不共线,A错误;对于B,由式子可知a=-b,所以a∥b,B正确;对于C,因为a,b两向量没有倍数关系,所以a,b不共线,C错误;对于D,因为a=-b,所以a∥b成立,D正确.
[针对训练]
1.选ABD 因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确;-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误.
2.选B 因为++=,所以+++=0,即-2=.所以与共线.故选B.
[题型(二)]
[例2] 解析:(1)因为=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,所以=+=e1+5e2=.所以A,B,D三点共线.因为与没有倍数关系,所以A,B,C三点不共线.因为与没有倍数关系,所以B,C,D三点不共线.因为=+=-e1+13e2,与没有倍数关系,所以A,C,D三点不共线.故选C.
(2)由A,B,C三点共线可得,∥,
∴存在m∈R,使=m,∴λa+b=ma+mμb,即(λ-m)a=(mμ-1)b.∵a,b不共线,∴故可得λμ=1.反之,若λμ=1,则μ=.∴=a+b=(λa+b)=,∴∥,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.故选D.
答案:(1)C (2)D
[针对训练]
3.选B ∵=-,=λ+,∴-=λ+.∴-=λ.∴∥,即与共线.∴P点一定在AC边所在直线上.故选B.
4.证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与有公共点,∴A,B,C三点共线.
[题型(三)]
[例3] 解析:(1)由=2,得-=2(-),即=+,所以λ=.
(2)因为-e1+ke2与-2e1+e2共线,
所以存在实数λ,使-e1+ke2=λ(-2e1+e2),
则(2λ-1)e1=(λ-k)e2.
又e1与e2为不共线的非零向量,
所以解得k=.
答案:(1)A (2)
[针对训练]
5.解析:因为A,C,D三点共线,设=m,且=+=2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2,所以5e1+2e2=m(e1+ke2),即5e1+2e2=me1+mke2,因此解得
答案:
6.解析:由题意知,ke1+2e2与8e1+ke2共线,∴存在实数λ,使ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+kλe2.∵e1,e2不共线,
∴解得或
∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,
∴λ=-,k=-4.
答案:-4
3 / 4(共51张PPT)
3.2
向量的数乘与向量共线的关系
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握共线(平行)向量基本定理及简单应用.
2.会应用共线(平行)向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 .
2.直线的向量表示
通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中 称为直线l的方向向量.
a=λb
|微|点|助|解|
(1)对任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ),使λa+μb=0,则a与b共线.证明如下:若a,b中至少有一个为零向量,显然成立.若a,b均为非零向量,不妨设μ≠0,则b=-a,说明a与b共线.
但若向量a,b不共线,当λa+μb=0时,一定有λ=μ=0.
(2)一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=λa(a≠0),化成关于e1,e2的方程Φ(λ)e1+φ(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则解方程组即可.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a∥b,则存在λ∈R,使得b=λa. ( )
(2)若=3,则与共线. ( )
(3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l. ( )
(4)若点P是AB的中点,点O为直线AB外一点,则=(+). ( )
基础落实训练
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√
√
√
2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a= b.
解析:因为|a|=5,|b|=7,所以 =.又因为b与a的方向相反,所以a=-b.
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课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 向量共线的判定
[例1] (多选)已知e1,e2为两个不共线的向量,则下列说法正确的是 ( )
A.若a=2e1,b=3e2,则a∥b
B.若a=2e1+e2,b=-2e1-e2,则a∥b
C.若a=2e1-3e2,b=-2e1-3e2,则a∥b
D.若a=-2e1,b=3e1,则a∥b
√
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解析:对于A,因为e1,e2不共线,所以a与b不共线,A错误;对于B,由式子可知a=-b,所以a∥b,B正确;对于C,因为a,b两向量没有倍数关系,所以a,b不共线,C错误;对于D,因为a=-b,所以a∥b成立,D正确.
|思|维|建|模|
向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
针对训练
1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 ( )
A.a∥b B.向量a,b方向相反
C.|a|=3|b| D.b=-3a
解析:因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确;
-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误.
√
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2.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列向量一定共线的是( )
A.与与
C.与与
解析:因为++=,所以+++=0,即-2=.
所以与共线.故选B.
√
题型(二) 三点共线的判定与证明
[例2] (1)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,则( )
A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线
C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线
√
解析:因为=e1+5e2,=-2e1+8e2,=3e1-3e2,所以=+=
e1+5e2=.所以A,B,D三点共线.因为与没有倍数关系,所以A,B,C三点不共线.因为与没有倍数关系,所以B,C,D三点不共线.因为=+=-e1+13e2,与没有倍数关系,所以A,C,D三点不共线.故选C.
(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
√
解析:由A,B,C三点共线可得,∥,∴存在m∈R,使=m,
∴λa+b=ma+mμ b,即(λ-m)a=(mμ-1) b.∵a,b不共线,∴故可得λμ=1.反之,若λμ=1,则μ=.∴=a+b=(λa+b)=,∴∥,又与有公共点A,∴A,B,C三点共线.故选D.
|思|维|建|模|
证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可.
(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点 存在实数x,y,使=x+y且x+y=1.
针对训练
3.P是△ABC所在平面内一点,=λ+,则P点必在( )
A.△ABC内部 B.直线AC上
C.直线AB上 D.直线BC上
解析:∵=-=λ+,∴-=λ+.∴-=λ.
∴∥,即与共线.∴P点一定在AC边所在直线上.故选B.
√
4.已知a,b是不共线的两非零向量,=2a-b,=3a+b,=a-3b,证明A,B,C三点共线.
证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-=
(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与
有公共点,∴A,B,C三点共线.
题型(三) 利用向量共线求参数
[例3] (1)在△ABC中,已知D是AB边上一点,=2=+λ,
则λ=( )
A.
C.- D.-
解析:由=2,得-=2(-),即=+,所以λ=.
√
(2)已知非零向量e1,e2不共线,欲使-e1+ke2和-2e1+e2共线,则k的值
为 .
解析:因为-e1+ke2与-2e1+e2共线,所以存在实数λ,使-e1+ke2=λ(-2e1+e2),
则(2λ-1)e1=(λ-k)e2.又e1与e2为不共线的非零向量,所以
解得k=.
|思|维|建|模|
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
针对训练
5.设e1,e2是两个不共线的单位向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,
=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为 .
解析:因为A,C,D三点共线,设=m,且=+=
2e1-e2+3e1+3e2=5e1+2e2,所以5e1+2e2=m(e1+ke2),
即5e1+2e2=me1+mke2,因此解得
6.设e1,e2是两个不共线向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则实数k= .
解析:由题意知,ke1+2e2与8e1+ke2共线,∴存在实数λ,
使ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+kλe2.∵e1,e2不共线,
∴解得或
∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,∴λ=-,k=-4.
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.设a,b都是非零向量,下列四个条件,使 成立的充要条件是( )
A.a=b B.a=2b
C.a∥b且|a|=|b| D.a∥b且方向相同
解析: 表示a方向的单位向量,因此 的充要条件是a与b同
向即可,故选D.
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2.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 ( )
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)
D.已知梯形ABCD,其中=a,=b
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解析:由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0 λa=μb,
故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;
梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以.
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3.已知平面向量a,b,c,下列结论正确的是 ( )
A.若a∥b,则a=b
B.若|a+b|=|a|+|b|,则a∥b
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若|a|=|b|,则a=b
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解析:若a,b为非零向量,a∥b,但|a|不一定等于|b|,故a=b不成立,A错误;由|a+b|=|a|+|b|可知a,b同向,于是可知a,b共线,即a∥b,B正确;若b为零向量,a∥b,b∥c不一定能推出a∥c,C错误;|a|=|b|,但是两个向量方向不一定相同,故不可以推出a=b,D错误.故选B.
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4.(多选)已知4-3=,则下列结论正确的是( )
A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线
C.||=|| D.||=3||
解析:因为4-3=,所以3-3=-.所以3=.
因为有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||.
B、D正确,A错误.由4-3=,得=3-3+=3+.
所以||≠||,C错误.故选B、D.
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5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为( )
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
解析:由于A,B,C三点共线,故可设=k(k∈R).因为=λa+2b,
=a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k,2=k(λ-1),
解得λ=-1或λ=2.
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6.点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ= .
解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上,
所以=-.
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7.设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ= .
解析:因为向量2λa+8b与a+λb反向共线,所以存在t(t<0,t∈R),
使得2λa+8b=t(a+λb),即(2λ-t)a=(tλ-8) b.又向量a和b不平行,
所以解得t=-4,λ=-2.
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8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y= .
解析:∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ.
∴-=λ(-).∴=(1-λ)+λ.
∴x=1-λ,y=λ.∴x+y=1.
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9.(8分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否共线;
解:若a与b共线,由题知a为非零向量,
则有b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n),
∴得到λ=2且λ=-2,
∴λ不存在,即a与b不共线.
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(2)若a∥c,求x的值.
解:∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra,
即m+xn=3rm+2rn,
即解得x=.
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10.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠A=90°,E,F分别是线段AB,AC上的点,且=λ=μ,其中λ,μ∈(0,1),M,N分别是线段EF,BC的中点.求证:=(+).
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证明:由已知一方面=++,另一方面=++,
因为M,N分别是EF,BC的中点,
所以+=0,+=0,
所以2=+++++=+,
所以=(+).
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B级——重点培优
11.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.以上都不对
解析:由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.
又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.
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12.(多选)下列命题是真命题的是 ( )
A.若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量
B.若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量
C.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
D.若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上
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解析: A项为真命题,A,B,C,D在一条直线上,则向量的方向相同或相反,因此与是共线向量;B项为假命题,A,B,C,D不在一条直线上,则的方向不确定,不能判断与是否共线;C项为假命题,因为两个向量所在的直线可能没有公共点,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;D项为真命题,因为两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,所以A,B,C三点共线.故选A、D.
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13.如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,
若=m+,则实数m的值为( )
A.
C.
解析:由题意可得=5,则=m+×5=m+.
因为B,N,P三点共线,所以m+=1,即m=.
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14.(10分)如图,在△ABC中,==.
设=a,= b.
(1)用a,b表示;
解:由题图,=-=b-a,
=-=+=(b-a)+a=b+a.
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(2)若P为△ABC内部一点,且=a+ b.求证:M,P,N三点共线.
解:证明:由+=++=+-=a+b-
(b-a)=a+b,又=a+b,所以=+,故M,P,N三点共线.
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15.(14分)设平面上不在一条直线上的三个点为O,A,B,当实数p,q满足+=1时,连接p,q两个向量终点的直线是否通过一个定点 并证明你的结论.
解:连接p,q两个向量终点的直线过定点.证明如下:
设=+,则C为定点.
设M是连接p,q两个向量终点的直线上任意一点,
则-p=t(q-p),其中t为参数.
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∵+=1,∴q=.
∴=p+t
=p+(+-p),
当t=时,=+=,
故连接p,q两个向量终点的直线过定点C.课时跟踪检测(二十二) 向量的数乘与向量共线的关系
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.设a,b都是非零向量,下列四个条件,使= 成立的充要条件是 ( )
A.a=b B.a=2b
C.a∥b且|a|=|b| D.a∥b且方向相同
2.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 ( )
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)
D.已知梯形ABCD,其中=a,=b
3.已知平面向量a,b,c,下列结论正确的是 ( )
A.若a∥b,则a=b
B.若|a+b|=|a|+|b|,则a∥b
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若|a|=|b|,则a=b
4.(多选)已知4-3=,则下列结论正确的是 ( )
A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线
C.||=|| D.||=3||
5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为 ( )
A.-1 B.2
C.-2或1 D.-1或2
6.点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ= .
7.设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ= .
8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y= .
9.(8分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.
(1)判断a,b是否共线;
(2)若a∥c,求x的值.
10.(10分)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠A=90°,E,F分别是线段AB,AC上的点,且=λ,=μ,其中λ,μ∈(0,1),M,N分别是线段EF,BC的中点.求证:=(+).
B级——重点培优
11.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 ( )
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.以上都不对
12.(多选)下列命题是真命题的是 ( )
A.若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量
B.若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量
C.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
D.若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上
13.如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为 ( )
A.
C.
14.(10分)如图,在△ABC中,=,=.设=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)若P为△ABC内部一点,且=a+b.求证:M,P,N三点共线.
15.(14分)设平面上不在一条直线上的三个点为O,A,B,当实数p,q满足+=1时,连接p,q两个向量终点的直线是否通过一个定点 并证明你的结论.
课时跟踪检测(二十二)
1.选D 表示a方向的单位向量,因此=的充要条件是a与b同向即可,故选D.
2.选AB 由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0 λa=μb,故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以.
3.选B 若a,b为非零向量,a∥b,但|a|不一定等于|b|,故a=b不成立,A错误;由|a+b|=|a|+|b|可知a,b同向,于是可知a,b共线,即a∥b,B正确;若b为零向量,a∥b,b∥c不一定能推出a∥c,C错误;|a|=|b|,但是两个向量方向不一定相同,故不可以推出a=b,D错误.故选B.
4.选BD 因为4-3=,所以3-3=-.所以3=.因为,有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||.B、D正确,A错误.由4-3=,得=3-3+=3+.所以||≠||,C错误.故选B、D.
5.选D 由于A,B,C三点共线,故可设=k(k∈R).因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k,2=k(λ-1),解得λ=-1或λ=2.
6.解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上,所以=-.
答案:-
7.解析:因为向量2λa+8b与a+λb反向共线,所以存在t(t<0,t∈R),使得2λa+8b=t(a+λb),即(2λ-t)a=(tλ-8)b.又向量a和b不平行,所以解得t=-4,λ=-2.
答案:-2
8.解析:∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ.∴-=λ(-).
∴=(1-λ)+λ.∴x=1-λ,y=λ.∴x+y=1.
答案:1
9.解:(1)若a与b共线,由题知a为非零向量,
则有b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n),
∴得到λ=2且λ=-2,
∴λ不存在,即a与b不共线.
(2)∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra,
即m+xn=3rm+2rn,
即解得x=.
10.证明:由已知一方面=++,另一方面=++,
因为M,N分别是EF,BC的中点,
所以+=0,+=0,
所以2=+++++=+,
所以=(+).
11.选C 由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.
12.选AD A项为真命题,A,B,C,D在一条直线上,则向量,的方向相同或相反,因此与是共线向量;B项为假命题,A,B,C,D不在一条直线上,则,的方向不确定,不能判断与是否共线;C项为假命题,因为,两个向量所在的直线可能没有公共点,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;D项为真命题,因为,两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,所以A,B,C三点共线.故选A、D.
13.选D 由题意可得=5,则=m+×5=m+.因为B,N,P三点共线,所以m+=1,即m=.
14.解:(1)由题图,=-=b-a,=-=+=(b-a)+a=b+a.
(2)证明:由+=++=+-=a+b-(b-a)=a+b,又=a+b,所以=+,故M,P,N三点共线.
15.解:连接p,q两个向量终点的直线过定点.证明如下:设=+,则C为定点.
设M是连接p,q两个向量终点的直线上任意一点,
则-p=t(q-p),其中t为参数.
∵+=1,∴q=.
∴=p+t
=p+(+-p),
当t=时,=+=,
故连接p,q两个向量终点的直线过定点C.
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