6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标] 1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法.
2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法.
题型(一) 向量在平面几何证明中的应用
[例1]
如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.求证:AF⊥DE.
听课记录:
|思|维|建|模|
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
[针对训练]
1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
题型(二) 利用平面向量求几何中的长度问题
[例2] 已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为AB的中点,求证:CD=AB;
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).
听课记录:
|思|维|建|模|
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=.
[针对训练]
2.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
题型(三) 平面向量在物理中的应用
[例3] (1)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物,太阳光直射地面,鹰在地面上影子的速度为60 m/s,则鹰的飞行速率为 ( )
A.20 m/s B.40 m/s
C.60 m/s D.30 m/s
(2)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示.
①求F3的大小;
②求F2与F3的夹角.
听课记录:
|思|维|建|模| 向量方法解决物理问题的步骤
[针对训练]
3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感受到风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米时,感受到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向.
4.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|= 6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
[题型(一)]
[例1] 证明:法一:设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).
因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.
[针对训练]
1.证明:∵⊥,⊥,∴∥.
设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.
于是=-=λ(-)=λ,
∴∥,即HG∥EF.
[题型(二)]
[例2] 解: (1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).
∵D为AB的中点,
∴D.∴||=.
∵||=,
∴||=||,即CD=AB.
(2)∵E为CD的中点,∴E.
设F(x,0),则=,
=(x,-m).
∵A,E,F三点共线,∴设=λ.
即(x,-m)=λ,
则
解得λ=,x=.∴F.
∴||=,即AF=.
[针对训练]
2.解:设=a,=b,则=a-b,=a+b.
∵||=|a-b|=
===2,
∴5-2a·b=4,∴a·b=.
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,
∴||=,即AC=.
[题型(三)]
[例3] 解析:(1)选B 如图,=v1表示鹰在地面上的影子的速度,=v2表示鹰的飞行速度,由题意知,||=|v1|=60 m/s,且A=30°,
所以||=|v2|==40 m/s.故选B.
(2)①由题意|F3|=|F1+F2|,
因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,所以|F3|=|F1+F2|
==.
②设F2与F3的夹角为θ,因为F1=-(F2+F3),两边平方得1=4+3+2×2×cos θ,
所以cos θ=-.所以θ=π.
[针对训练]
3.解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感受到风速为-a,设实际风速为v,那么此时人感受到的风速为v-a,
设=-a,=-2a,=v,因为+=,
所以=v-a,这就是感受到由正北方向吹来的风速.
因为+=,所以=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时,感受到由东北方向吹来的风速就是.
由题意∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而,△POB为等腰直角三角形,
所以PO=PB=a,即|v|=a.所以实际风速是每小时a千米的西北风.
4.解:以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),
所以F=F1+F2+F3
=(2-2,2+4).
又位移s=(4,4),
故合力F所做的功为
W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J).即合力F所做的功为24 J.
3 / 4(共45张PPT)
平面向量在几何、物理中
的应用举例
(拓展融通课——习题讲评式教学)
6.2
课时目标
1.掌握用向量法解决平面几何问题的方法.
2.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)
向量在平面几何证明中的应用
题型(二)
利用平面向量求几何中的长度问题
题型(三) 平面向量在物理中的应用
4
课时跟踪检测
题型(一)
向量在平面几何证明中的应用
01
[例1] 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是
AB,BC的中点.求证:AF⊥DE.
[证明] 法一:设=a,=b,
则|a|=|b|,a·b=0.
又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=
·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.
故⊥,即AF⊥DE.
法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,
则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).
因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.
|思|维|建|模|
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法
①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.
求证:HG∥EF.
证明:∵⊥,⊥,∴∥.设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.于是=-=λ(-)=λ,∴∥,即HG∥EF.
针对训练
题型(二)
利用平面向量求几何中的长度问题
02
[例2] 已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为AB的中点,求证:CD=AB;
解:证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).
∵D为AB的中点,∴D.∴||= .
∵||=,∴||=||,即CD=AB.
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).
解:∵E为CD的中点,∴E.设F(x,0),则=,=(x,-m).
∵A,E,F三点共线,∴设=λ.即(x,-m)=λ,
则解得λ=,x=.∴F.∴||= ,
即AF= .
|思|维|建|模|
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=.
2.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:设=a,=b,则=a-b,=a+ b.
∵||=|a-b|=
===2,
∴5-2a·b=4,∴a·b=.
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=.
针对训练
题型(三)
平面向量在物理中的应用
03
[例3] (1)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物,太阳光直射地面,鹰在地面上影子的速度为60 m/s,则鹰的飞行速率为 ( )
A.20 m/s B.40 m/s
C.60 m/s D.30 m/s
解析:如图,=v1表示鹰在地面上的影子的速度,
=v2表示鹰的飞行速度,由题意知,||=|v1|=
60 m/s,且A=30°,所以||=|v2|==40 m/s.
故选B.
√
(2)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示.
①求F3的大小;
②求F2与F3的夹角.
解析:①由题意|F3|=|F1+F2|,
因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,所以|F3|=|F1+F2|==.
②设F2与F3的夹角为θ,因为F1=-(F2+F3),两边平方得1=4+3+2×2×cos θ,所以cos θ=-.所以θ=π.
|思|维|建|模|
向量方法解决物理问题的步骤
3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感受
到风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米
时,感受到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向.
解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感受到风速为-a,设实际风速为v,那么此时人感受到的风速为v -a,
设=-a,=-2a,= v,因为+=,
针对训练
所以= v -a,这就是感受到由正北方向吹来的风速.
因为+=,所以= v -2a.于是当此人的速度是原来的2倍时,感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意∠PBO=45°,PA⊥BO,
BA=AO,从而,△POB为等腰直角三角形,所以PO=PB=a,即| v |=a.所以实际风速是每小时a千米的西北风.
4.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|= 6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
解:以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,
则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),
所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).
又位移s=(4,4),
故合力F所做的功为
W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J).
即合力F所做的功为24 J.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.某人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
解析:由向量加法法则可知,人骑自行车逆风行驶的速度为v1+v2.
√
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2.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是 ( )
解析:因为f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,则由平行四边形法则可知,只有D项满足.故选D.
√
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3.共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 ( )
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
解析:因为F1+F2=(1,2lg 2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=
2lg 5+2lg 2=2.
√
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4.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
解析:由题可知∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形.
又⊥,故四边形为菱形.
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5.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·的值是( )
A.- B.-
C.- D.-
解析:因为=+,=+,且=-,所以·=(+)·(+)=-=-1=-.
√
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6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为 .
解析:由题意得,速度的大小为|v|==,
又||==3,故所用时间t==3.
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7.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD= .
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设AD=a,
则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以
·=-1+a2=0,解得a=1(负值舍去).
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8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,
点F在边CD上,若·=2,则·的值是 .
解析:建立如图所示的坐标系,设DF=x,由图可得A(0,0),
B(2,0),E(2,),F(x,2),·=(2,0)·(x,2)=2x=2,
即有x=1.即F(1,2),=(-1,2),
则·=(2,)·(-1,2)=2×
(-1)+×2=-2+4=2.
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9.(8分)已知两个力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求:
(1)F1,F2分别对质点所做的功;
解:根据题意,F1=5i+3j=(5,3),F2=-2i+j=(-2,1),=(12,15),
故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J);
F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J).
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(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.
解:根据题意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4),
故F1,F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J).
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10.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD.
证明:法一:因为=+,=-,所以·=(+)·
(-)=||2-||2=0.所以⊥,即AC⊥BD.
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法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),
设A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,得a2+b2=c2.
因为=-=(c,0)-(a,b)=(c-a,-b),=+=(a,b)+(c,0)=(c+a,b),所以·=c2-a2-b2=0.所以⊥,即AC⊥BD.
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B级——重点培优
11.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是( )
A. B.4
C. D.6
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解析:如图所示,以B为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系.则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)(0≤p≤2d),所以=(2d-p,0),=(d-p,2).所以+3=(5d-4p,6).所以|+3|=
≥6(当且仅当5d=4p时等号成立).所以|+3|的最小值是6.故选D.
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12.若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为( )
A.三边均不等的三角形
B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形
D.等边三角形
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解析:∵·=0,∴∠A的角平分线与BC垂直.
∴AB=AC.∵cos A=·=,∴∠A=30°,
则△ABC是顶角为30°的等腰三角形,故选C.
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13.已知=a+b,=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为,则三角形ABC的
BC边上中线的长为 .
解析:设D为BC的中点,则2=+,所以(2)2=(+)2.
所以4=(2a-b)2.
所以||===.
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14.(10分)(1)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为
4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进 实际前进的速度为多少
解:如图1,设此人在静水中游泳的速度为,
水流的速度为,以OA,OB为邻边作平行四
边形OACB,则此人的实际速度为+=.
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由题意,⊥且||=4,||=4,所以||==8.
在Rt△OAC中,tan∠AOC==,所以∠AOC=60°.故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h.
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(2)在 ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:如图2,取{,}为基底,设=a,=b,则|a|=2,|b|=1,
从而=a-b,所以=(a-b)2=a2-2a·b+b2,即4=5-2a·b.
所以a·b=.又=a+b,所以=(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+1=6.
所以||=,即对角线AC的长为.
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15. (14分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
证明:设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,可设=λ(0≤λ≤1).则=-=-λ=-λ(+)=
(1-λ)-λ.又因为=-=(1-λ)-λ,所以·=
[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ]=(1-λ)2·-(1-λ)λ·-
λ(1-λ)··+λ2·=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0.因此⊥,
故PA⊥EF.课时跟踪检测(三十一) 平面向量在几何、物理中的应用举例
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.某人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 ( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
2.已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是 ( )
3.共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 ( )
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
4.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
5.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·的值是 ( )
A.- B.-
C.- D.-
6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为 .
7.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD= .
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=2,则·的值是 .
9.(8分)已知两个力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求:
(1)F1,F2分别对质点所做的功;
(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.
10.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD.
B级——重点培优
11.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是 ( )
A. B.4
C. D.6
12.若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为 ( )
A.三边均不等的三角形
B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形
D.等边三角形
13.已知=a+b,=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为,则三角形ABC的BC边上中线的长为 .
14.(10分)(1)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进 实际前进的速度为多少
(2)在 ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
15.(14分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
课时跟踪检测(三十一)
1.选B 由向量加法法则可知,人骑自行车逆风行驶的速度为v1+v2.
2.选D 因为f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,则由平行四边形法则可知,只有D项满足.故选D.
3.选D 因为F1+F2=(1,2lg 2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.
4.选D 由题可知∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形.又⊥,故四边形为菱形.
5.选B 因为=+,=+,且=-,所以·=(+)·(+)=-=-1=-.
6.解析:由题意得,速度的大小为|v|==,
又||==3,故所用时间t==3.
答案:3
7.解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以·=-1+a2=0,解得a=1(负值舍去).
答案:1
8.解析:建立如图所示的坐标系,设DF=x,由图可得A(0,0),B(2,0),E(2,),F(x,2),·=(2,0)·(x,2)=2x=2,
即有x=1.即F(1,2),=(-1,2),则·=(2,)·(-1,2)=2×(-1)+×2=-2+4=2.
答案:2
9.解:(1)根据题意,F1=5i+3j=(5,3),F2=-2i+j=(-2,1),=(12,15),
故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J);
F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J).
(2)根据题意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4),
故F1,F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J).
10.证明:法一:因为=+,=-,所以·=(+)·(-)=||2-||2=0.所以⊥,即AC⊥BD.
法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),设A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,得a2+b2=c2.因为=-=(c,0)-(a,b)=(c-a,-b),=+=(a,b)+(c,0)=(c+a,b),所以·=c2-a2-b2=0.所以⊥,即AC⊥BD.
11.选D 如图所示,以B为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系.
则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)(0≤p≤2d),所以=(2d-p,0),=(d-p,2).所以+3=(5d-4p,6).所以|+3|=≥6(当且仅当5d=4p时等号成立).所以|+3|的最小值是6.故选D.
12.选C ∵·=0,
∴∠A的角平分线与BC垂直.∴AB=AC.∵cos A=·=,
∴∠A=30°,则△ABC是顶角为30°的等腰三角形,故选C.
13.解析:设D为BC的中点,则2=+,所以(2)2=(+)2.所以4=(2a-b)2.
所以||===.
答案:
14.解: (1)如图1,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=.
由题意,⊥且||=4,||=4,所以||==8.
在Rt△OAC中,tan∠AOC==,所以∠AOC=60°.
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h.
(2)如图2,取{,}为基底,设=a,=b,则|a|=2,|b|=1,
从而=a-b,所以=(a-b)2=a2-2a·b+b2,即4=5-2a·b.
所以a·b=.又=a+b,所以=(a+b)2=a2+2a·b+b2=5+1=6.
所以||=,即对角线AC的长为.
15.证明:设正方形边长为a,
由于P是对角线BD上的一点,
可设=λ(0≤λ≤1).
则=-
=-λ=-λ(+)
=(1-λ)-λ.
又因为=-=(1-λ)-λ,所以·=[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ]
=(1-λ)2·-(1-λ)λ·-λ(1-λ)·+λ2·
=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0.
因此⊥,故PA⊥EF.
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