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人教新课标A版数学必修5第一章1.1正弦定理与余弦定理同步检测
一．选择题（共12小题）
1．（2014 湖南省衡阳八中高二模拟考试）在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )21教育网
A．1 B． C． D．2
2．锐角三角形中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是 （ ） 21cnjy.com
A. B. C. D.
3.锐角中，角所对的边长分别为.若
A. B. C. D.
4．在 EMBED Equation.DSMT4 中，已知，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．2或1 D．４
5．如图所示，在△中，在线段上，=3，==2，=,则边的长为（ ）
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A. B. C. D.
6．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
7．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角的对边分别是，已知，则的外接圆半径是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，内角的对边分别为，若，则这样的三角形有（ ）
A．个 B．两个 C．一个 D．至多一个
10．在中，内角所对的边分别是，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )．21·cn·jy·com
A. B．－ C．± D.
12．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
二．填空题（共4小题）
13．设在的内角的对边分别为且满足，则
.
14． 中，，则此三角形有
15．在中，角所对的边分别为，若，，，则角的大小为 ．
16．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．
三．解答题（共5小题）
17．在中，分别为角的对边，.
(1)求的度数；
(2)若,求与的值.
18．在中，已知内角，边.设内角,面积为.
(1)若，求边的长；
(2)求的最大值.
19．已知向量记.
（1）若，求的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.
20．在中，角的对边分别为，向量，，且；
（1）求的值；
（2）若，，求角的大小及向量在方向上的投影值.
21．如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.21世纪教育网版权所有
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（1）若点A的坐标为，求的值；
（2）用表示，并求的取值范围.
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人教新课标A版数学必修5第一章1.1正弦定理与余弦定理同步检测
一．选择题（共12小题）
1．（2014 湖南省衡阳八中高二模拟考试）在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )www.21-cn-jy.com
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由正弦定理得，
即.故选A．
【分析】根据正弦定理代入公式即可.
2．锐角三角形中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是 （ ） 2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
【解答】解:因为
,所以.故选B.
【分析】根据正弦定理,把边转化为角，根据角的关系化简即可.
3.锐角中，角所对的边长分别为.若
A. B. C. D.
【解答】解：根据正弦定理，由题意，得，∴．又为锐角三角形，∴，故选C．
【分析】根据正弦定理代入公式即可.
4．在 EMBED Equation.DSMT4 中，已知，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．2或1 D．４
【解答】解：由余弦定理可得：,即,解得或，故选C.
【分析】根据余弦定理代入公式即可.
5．如图所示，在△中，在线段上，=3，==2，=,则边的长为（ ）
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A. B. C. D.
【解答】解：由余弦定理得，===,
∴=，由正弦定理得，，∴===，
故选D.
【分析】利用正、余弦定理解三角形，注意运算求解即可.
6．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解答】解：由正弦定理得：,故选B.
【分析】根据正弦定理把边转化成角的形式，再根据两角和的正弦公式化简即可.
7．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为所以，根据余弦定理得又，所以，故选B.
【分析】先化简，再根据余弦定理化简化简求解即可.
8．在中，角的对边分别是，已知，则的外接圆半径是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由余弦定理可得，所以，由正弦定理得，所以，故选C．
【分析】先根据余弦定理求出c，再根据正弦定理与外接圆的半径关系即可求出半径.
9．在中，内角的对边分别为，若，则这样的三角形有（ ）
A．个 B．两个 C．一个 D．至多一个
【解答】解：因为在中，，由正弦定理，所以，所以，所以的度数有两解，所以这样的三角形有两个，故选B.【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况；21·世纪*教育网
10．在中，内角所对的边分别是，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【解答】解：将利用正弦定理化简得，即，变形可得，因为是三角形的内角，所以，即，所以为等腰三角形，故选A.
【分析】在三角形内求值、证明或判断三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．www-2-1-cnjy-com
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )．2-1-c-n-j-y
A. B．－ C．± D.
【解答】解：由8b＝5c，C＝2B及正弦定理，
得8sin B＝5sin C＝10sin Bcos B，
∴cos B＝.则cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
【分析】根据正弦定理把边转化成角的形式，再根据两角和的余弦公式化简即可.
12．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
【解答】解：因为的三个内角的正弦值大于，所以的三个内角的余弦值也均大于，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，解得，又，这与三角形内角和为是矛盾的；若是直角三角形，不妨设，则，所以在范围内无值，所以是钝角三角形，故选D. 21*cnjy*com
【分析】根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，求出 是锐角三角形；再假设是锐角三角形，根据由cosα=sin（-α）推导出矛盾；再假设是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出是钝角三角形的结论．【来源：21cnj*y.co*m】
二．填空题（共4小题）
13．设在的内角的对边分别为且满足，则
.
【解答】解：由正弦定理可得,即.故答案为：4.
【分析】在三角形内求值时，要用正、 ( http: / / www.21cnjy.com )余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．【出处：21教育名师】
14． 中，，则此三角形有
【解答】解：本试题相当于，知道及的值，判断三角形的个数问题，由可知，所以角必为锐角，当满足条件时，如下图，定角及，，以点为圆心，长为半径作圆，该圆与射线一定会有两个交点，从而，
这样的三角形有两个，故答案为：两解.
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【分析】已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况.【版权所有：21教育】
15．在中，角所对的边分别为，若，，，则角的大小为 ．
【解答】解：因为，所以，，所以，，根据正弦定理得，则，又，所以，所以.故答案为：.21教育名师原创作品
【分析】根据辅助角公式化简可得求出B,根据正弦定理即可求出.
16．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．
【解答】解：因为△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，
所以,即
又AC2＋BC2＝AB2＋2AC·BC·cosC，
∴＝
＝2cosC＋＝2cosC＋＝2cosC＋2sinC＝2sin，
∴当C＝时，最大值为2.
【分析】根据三角形的面积公式，化简为C的三角函数，根据辅助角公式化简函数为或的形式，求出表达式的最大值.
三．解答题（共5小题）
17．在中，分别为角的对边，.
(1)求的度数；
(2)若,求与的值.
【解答】解：（1）由条件得
∴即，也就是
∴，∵，∴
(2)由余弦定理得，即，也就是
所以，又因为，所以
联立方程，解得或.
【分析】(1)将已知的条件，利用倍角进行降幂，得到关于角的三角方程，从中求解方程即可；(2)由余弦定理得，将代入，化简得，最后联立方程，求解方程即可得到的值.21教育网
18．在中，已知内角，边.设内角,面积为.
(1)若，求边的长；
(2)求的最大值.
【解答】解：（1）由正弦定理得：. 6分
（2）由的内角和 ， ，
由 8分
=
10分
因为 ，
当即时，取得最大值. 14分
【分析】（1）由正弦定理即可得到.
（2）由的内角和 ，及正弦定理得到，将 化简为 根据角的范围得到
时，取得最大值.
19．已知向量记.
（1）若，求的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.
【解答】解：
（1） 由已知得，于是，
∴
（2） 根据正弦定理知：
∵
∴ 或或 而，
所以，因此ABC为等边三角形.
【分析】
（I）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为
，由已知可求得，进一步即得的值；
（2）根据正弦定理及两角和的正弦公式，求得
在利用求得，得出结论：ABC为等边三角形.
20．在中，角的对边分别为，向量，，且；
（1）求的值；
（2）若，，求角的大小及向量在方向上的投影值.
【解答】解：（1）由，得，得；
又，所以；
（2）由正弦定理得，得，得；
由余弦定理得，即，
解得或（舍去）；
在方向上的投影值为.
【分析】
（1）由，进行数量积的坐标运算，化简易得，从而可得；（2）由正弦定理求出，可得B.再由余弦定理求出c的值，所以在方向上的投影值为，可求.21世纪教育网版权所有
21．如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.21cnjy.com
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（1）若点A的坐标为，求的值；
（2）用表示，并求的取值范围.
【解答】解：（1）由已知，
=.
（2）
，，
【分析】（1）已知单位圆上点的坐标为，根据三角函数的定义有，这样我们很快可求得，也即求出的值；（2）在中，此三角形的两边长为1，而，因此只要应用余弦定理就能求得的长，，要求其范围，首先求得的范围，根据已知，此时可得，那么必有，的范围随之而得， ．21·cn·jy·com
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