本资料来自于资源２１世纪教育网www.21cnjy.com
人教新课标A版数学必修5第一章1.1正弦定理与余弦定理同步检测
一．选择题（共12小题）
1．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（ ）
A.5 B. C.1或 D.1
【解答】解：由条件可知，若，则，此时得与条件矛盾；所以，并由此解得，故选B.
【分析】根据三角形的面积公式求出sinB，求出B得度数，再求出AC.
2．在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【解答】解：由的面积可得，即，代入余弦定理中，得，所以，当时，取得最大值，故选C．
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式、余弦定理及三角函数的图象与性质等知识的综合应用，其中由的面积，得，代入余弦定理，得出，即是解答本题的关键.
3. 中，已知,的平分线把三角形分成面积为的两部分，则等于 ( )
A. B. C. D.21·cn·jy·com
【解答】解：因为的平分线把三角形分成面积为的两部分，即，又，所以，由正弦定理得，所以,故选A.【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据三角形内角平分线性质定理求出再根据正弦定理和二倍角公式即可求出.
4.在ABC中，内角A、B、C的对边分别是，若，ABC的面积为，则C=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
，,
故选A.
【分析】结合余弦定理和面积公式即可求出C.
5．在中，分别是内角的对边，若，，，则（ ）
A．14 B．6 C． D．
【解答】解：由题意得，，
∴，故选D．
【分析】结合正弦定理将转化求出c,再根据余弦定理求出b即可.
6．在中，已知，，，则的面积是（ ）
A. B. C. D. 或
【解答】解：由正弦定理及已知得，又，或，当时，，当时，．故选Ｄ．
【分析】根据正弦定理求出,再根据面积公式即可求出.
7．中，若，则（ ）
A．
B．
C．是直角三角形
D．或
【解答】解： ，因为,代入整理得，解得或，故或，选D.
【分析】将化简求出或.
8．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：
，三角形为钝角三角形,故选C.
【分析】根据正弦定理将转化为边的形式，再根据余弦定理即可解三角形.
9．甲船在岛的正南处，，甲船以的速度向正北航行，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
【解答】解：根题意可作出如下所示的示意图，设两船航行小时后，甲船位于点，乙船位于点，如下图.则,此时两船间的距离最近，根据余弦定理得，所以当时，取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是，故选A.21教育名师原创作品
【分析】(1)选定或确定要创建的三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
10．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱 ( http: / / www.21cnjy.com )，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100米到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）
A．50米 B．60米 C．80米 D．100米
【解答】解：如图所示，
设水柱CD的高度为h．
在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．
∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BC=．
在△ABC中，由余弦定理可得：BC=AC+AB﹣2ACABcos60°．
∴（）=h+100﹣，
化为h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2ACABcos60°．代入即可得出．
11．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，且与互补，则的长为（ ）． 21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．7 B．8 C．9 D．6
【解答】解：在中，由余弦定理，得，即－＝．在中，由余弦定理，得，即．因为与互补，所以，所以，解得，故选A．
【分析】(1)选定或确定要创建的三角形，要 ( http: / / www.21cnjy.com )首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；www.21-cn-jy.com
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
12．如图，在中：，若，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【解答】解：因为，所以，又因为，所以，，从而，因而，所以，故选C．
【分析】解题时一定要分析哪两条线段平行，找到线段的比例关系，注意利用不变的作为桥梁，得到的比值，从而利用比例关系解决线段的长，是平行线中常见的解题思路．在这一解题过程中，要注意观察有哪些线段平行，那条是公共边，以便利用其搭桥．
二．填空题（共4小题）
13．（2015·高考湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：依题意，，，在中，由，
所以，因为，由正弦定理可得，即m，
在中，因为，，所以，所以m.故答案为。
【分析】解三角形可以利用正余弦定理及三角恒等变换来求解，在求解的过程中，要注意俯角的概念，即视线与水平面的夹角；【来源：21·世纪·教育·网】
14．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，已测得隧道两端的两点A，B到某一点C的距离分别为2千米，2千米及∠ACB=150°，则A，B两点间的距离为 千米．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC BCcosC=4+12﹣8cos150°=28，
∴AB=2．故答案为2．
【分析】根据余弦定理求出AB的长即可.
15.某缉私船发现在它的正东方向有一艘走私船，正以海里/时的速度向北偏东的方向逃离，若缉私船马上以海里/时的速度追赶，要在最短时间内追上走私船，则缉私船应沿北偏东 的 21*cnjy*com
方向航行.
【解答】解：由题意，如图所示,由正弦定理可得，所以，所以，所以求援船沿北偏东的方向航行.
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据题意作出如图所示的图形，得到，在中利用正弦定理，即可求解.
16．已知在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午 时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的处，到时分又测得该船在岛北偏西，俯角为的处．小船沿BC行驶一段时间后，船到达海岛的正西方向的 处，此时船距岛有 千米.【版权所有：21教育】
【解答】解：由已知可求得,所以,在中，,由正弦定理可求得.
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：三角恒等变换，正弦定理.
【分析】解三角形可以利用正余弦定理及三角恒等变换来求解，在求解的过程中，要注意俯角的概念，即视线与水平面的夹角；21*cnjy*com
三．解答题（共5小题）
17．某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向 匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的
大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【解答】解：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，
则
故当时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
设小艇与轮船在处相遇.
则，
故
∵，
∴，即，解得
又时，，
故时，取得最小值，且最小值等于
此时，在中，有，
故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时
考点：函数模型的选择与应用．
【分析】
（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则，解得，再解得相应角．21世纪教育网版权所有
18. (2016年四川高考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【解答】解：（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．
则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．
代入+=中，有
+=，变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，
所以sin Asin B=sin C．
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
cos A==．
所以sin A==．
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，
所以sin B=cos B+sin B，
故．
【分析】（1）根据条件式中有边有角，利用正弦定理，将角进行转化（本题将边转化成角），利用诱导公式进行证明；www-2-1-cnjy-com
（2）从已知式可以看出首先利用余弦定理求出,再根据平方关系求出sinA，代入（1）中等式sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,求出tanB的值.【来源：21cnj*y.co*m】
19.（2016·天津高考）在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若，求sinC的值.
【解答】解：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由得，所以，得；
（Ⅱ）解：由得，则，所以
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，
（Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解
20.(2016·高考北京)在ABC中，.
（1）求 的大小；
（2）求 的最大值.
【解答】解：（1）由余弦定理及题设得，
又∵，∴；（2）由（1）知，
，因为，所以当时，取得最大值.
【分析】（1）根据余弦定理公式求出的值，进而根据的取值范围求的大小；
（2）由辅助角公式对进行化简变形，进而根据的取值范围求其最大值.
21.（2016·浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知b+c=2a cos B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小..
【解答】解：（I）由正弦定理得，
故，
于是．
又，，故，所以
或，
因此（舍去）或，
所以，．
（II）由△ABC的面积得，
则
又因为所以,
因为B,C，所以
当时，,
当时，
综上所诉，或.
【分析】（I）先由正弦定理可得，进而由两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先由三角形的面积公式可得，进而由二倍角公式可得，再利用三角形的内角和可得角的大小．2-1-c-n-j-y
A
B
C
D
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源２１世纪教育网www.21cnjy.com
人教新课标A版数学必修5第一章1.1正弦定理与余弦定理同步检测
一．选择题（共12小题）
1．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（ ）
A.5 B. C.1或 D.1
2．在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
3. 中，已知,的平分线把三角形分成面积为的两部分，则等于 ( )
A. B. C. D.21教育网
4.在ABC中，内角A、B、C的对边分别是，若，ABC的面积为，则C=（ ）
A． B． C． D．
5．在中，分别是内角的对边，若，，，则（ ）
A．14 B．6 C． D．
6．在中，已知，，，则的面积是（ ）
A. B. C. D. 或
7．中，若，则（ ）
A．
B．
C．是直角三角形
D．或
8．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
9．甲船在岛的正南处，，甲船以的速度向正北航行，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是（ ）21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
10．一个大型喷水池的中央有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100米到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）21cnjy.com
A．50米 B．60米 C．80米 D．100米
11．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，且与互补，则的长为（ ）． 21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．7 B．8 C．9 D．6
12．如图，在中：，若，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．4 C．4.5 D．5
二．填空题（共4小题）
13．（2015·高考湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
14．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，已测得隧道两端的两点A，B到某一点C的距离分别为2千米，2千米及∠ACB=150°，则A，B两点间的距离为 千米．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
15.某缉私船发现在它的正东方向有一艘走私船，正以海里/时的速度向北偏东的方向逃离，若缉私船马上以海里/时的速度追赶，要在最短时间内追上走私船，则缉私船应沿北偏东 的【来源：21·世纪·教育·网】
方向航行.
16．已知在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午 时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的处，到时分又测得该船在岛北偏西，俯角为的处．小船沿BC行驶一段时间后，船到达海岛的正西方向的 处，此时船距岛有 千米.21·世纪*教育网
三．解答题（共5小题）
17．某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向 匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．www-2-1-cnjy-com
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的
大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
18. (2016年四川高考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
19.（2016·天津高考）在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若，求sinC的值.
20.(2016·高考北京)在ABC中，.
（1）求 的大小；
（2）求 的最大值.
21.（2016·浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知b+c=2a cos B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小..
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
