2.1数列的概念与简单表示法同步检测
一．选择题（共12小题）
1．在数列1,1,2,3,5,8，x，21,34,55，中,=（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
2．已知数列{an}其通项公式为，则此数列中最小项为第（ ）项．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
4．设，已知，猜想等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2015秋?钦州校级期末）若数列则是这个数列的第（ ）项．
A．6 B．7 C．8 D．8
6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……的第50项（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
8．数列{an}满足且对于任意的n∈N*都有an+1＞an，则实数a的取值范围是（ ）
A、（，3） B、[，3） C、（1，3） D、（2，3）
9.已知数列{}，，则=（ ）21世纪教育网
A、 B、5 C、 D、21世纪教育网
10.给数列{}加括号如下：（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），…则第50个括号里各数之和为（ ）
A、1 B、4
C、9 D、16
11．在实数数列{an}中，已知a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1|，…，|an|=|an﹣1﹣1|，则a1+a2+a3+a4的最大值为( ) .21世纪教育网版权所有
A、0 B、1 C、2 D、4
12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．则（ ）.21教育网
A.58 B.60 C.61 D.59
二．填空题（共4小题）
13.数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是 。
14.（2016·上海 ）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.21cnjy.com
15. 已知数列中,,,,则= .
16．如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块．（用含n的代数式表示）
三．解答题（共5小题）
17．下列各组元素能构成数列吗？如果能,构成的数列是有穷数列,还是无穷数列？并说明理由.
(1)－3,－1,1,x,5,7,y,11.
(2)无理数.
(3)正有理数.
18.已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
19．已知函数,设an＝f(n).(n∈N*).
(1)求证：an＜1.
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
20．在数列{an}中,已知a1=6,a2=11,a3=18,其通项为关于n(n∈N*)的二次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)66是否为数列{an}中的项?若是,应是第几项;若不是,请说明理由.
21、已知奇函数有最大值，且，其中实数x＞0，p、q是正整数．．
（1）求的解析式；
（2）令，证明＞（n是正整数）．
2.1数列的概念与简单表示法同步检测
一．选择题（共12小题）
1．在数列1,1,2,3,5,8，x，21,34,55，中,=（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
【解答】解：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之和，因此.故选C.21cnjy.com
【分析】通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之和
2．已知数列{an}其通项公式为，则此数列中最小项为第（ ）项．
A．2 B．3 C．4 D．5www-2-1-cnjy-com
【解答】解：由题意得，，则此数列中最小项为第项，故选C．
【分析】本题的解答中，由数列的通项公式，利用配方得即可得到数列中的第项最小．
3．数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设此数列为，其符号为其绝对值为，可得通项公式．故选B
【分析】数列为，其符号由，决定，再求出通项公式即可
4．设，已知，猜想等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得,,
,
,
猜想.故选B.
【分析】掌握余弦二倍角公式是解此题的关键.
5．（2015秋?钦州校级期末）若数列则是这个数列的第（ ）项．
A．6 B．7 C．8 D．8
【解答】解：根号里边的数2，5，8，…是首项为2，每一项之间相差为3，
∵2，5，8，…，所以设为{an}，则an=3n﹣1，
由3n﹣1=20得：n=7；可排除A，C，D．故选B．
【分析】根号里边的数2，5，8，…是首项为2，每项之间相差2，从而可以由其通项公式再求出项数．
6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……的第50项（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：由题意，，
当时，，当时，，
∴数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第50项是10,故选C.
【分析】根据每个数的项数确定第n个数的个数即可.
7．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
【解答】解： ＝＝1－，随着n的增大而增大．故选A．
【分析】
数列的分类,按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列.
8．数列{an}满足且对于任意的n∈N*都有an+1＞an，则实数a的取值范围是（ ）
A、（，3） B、[，3） C、（1，3） D、（2，3）
【解答】解：数列{an}满足且对于任意的n∈N*都有an+1＞an;可得数列为递增数列，则满足在n≤7，及n＞7时数列均递增，且a8＞a7，
故3﹣a＞0，且a＞1，且a2＞7（3﹣a）﹣3
解得2＜a＜3,即实数a的取值范围是（2，3）.故选D
【分析】由已知可得此数列为递增数列，故满足在n≤7，及n＞7时数列均递增，且a8＞a7，构造不等式组，解不等式组即可。【来源：21·世纪·教育·网】
9.已知数列{}，，则=（ ）21世纪教育网
A、 B、5 C、 D、21世纪教育网
【解答】解：由题意，，∴数列{an}是以3为周期的周期数列，∴，故选A．
【分析】先计算出前4项，发现规律：数列{}是以3为周期的周期数列，从而使问题得解．
10.给数列{}加括号如下：（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），…则第50个括号里各数之和为（ ）
A、1 B、4
C、9 D、16
【解答】解：由题意可得数列{}：（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），是循环出现（1）（2，2）（3，3，3）（4，4，4，4），则第50个括号内的数应是（2，2），各数之和为2+2=4.故选B. 21*cnjy*com
【分析】由题意可得数列{}：（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），（2，2），（3，3，3），（4，4，4，4），（1），是循环出现（1）（2，2）（3，3，3）（4，4，4，4），则第50个括号内的数应是（2，2），从而可求
11．在实数数列{an}中，已知a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1|，…，|an|=|an﹣1﹣1|，则a1+a2+a3+a4的最大值为( ) .【来源：21cnj*y.co*m】
A、0 B、1 C、2 D、4
【解答】解：枚举出a1、a2、a3、a4所有可能：21cnjy
0，1，0，1；
0，1，0，﹣121njy；
0，﹣1，2，1
0，﹣1，2，﹣121*
0，﹣1，﹣2，3
0，﹣1，﹣2，﹣321
所以最大是2
故选2.
【分析】根据a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1|，|a4|=|a3﹣1|枚举出所求可能，即可求出a1+a2+a3+a4的最大值．21·世纪*教育网
12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．则（ ）.【出处：21教育名师】
A.58 B.60 C.61 D.59
【解答】根据前面四个发现规律：（2）-（1）=4×1，（3）-（2）=4×2，
（4）-（3）=4×3，…（n）-（n-1）=4（n-1）这n-1个式子相加可得：
当n=6时，（6）=61．故选C.
【分析】根据前面四个发现规律,可得f（n）-f（n-1）=4（n-1），将n-1个式子相加即可求出.【版权所有：21教育】
二．填空题（共4小题）
13.数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是 。
【解答】解：an＝－n2＋11n＝－2＋，
∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，an取最大值30，故答案为30.
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，通过配方法即可求出最大值，注意n只能为正整数。
14.（2016·上海 ）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.21教育名师原创作品
【解答】解：当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是.从而存在，当时，.其中数列 ：满足条件，所以.21*cnjy*com
【分析】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”的不同和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.
15. 已知数列中,,,,则= .
【解答】解：，，∴，
所以=,故答案为1306.
【分析】由，，求出.
16．如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_______块．（用含n的代数式表示）
【解答】解：根据题目给出的图，我们可以看出：
1图中有黑色瓷砖12块，我们把12可以改写为3×4；
2图中有黑色瓷砖16块，我们把16可以改写为4×4；
3图中有黑色瓷砖20块，我们把20可以改写为5×4；
从具体中，我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系，就需要对3、4、5这几个数字进行进一步的变形，用序列号1、2、3来表示，这样12，我们又可以写为12=（1+2）×4，16又可以写为16=（2+2）×4，20我们又可以写为20=（3+2）×4，注意到1、2、3恰好是图形的序列号，而2、4在图中都是确定的，因此，我们可以从图中概括出第n个图有（n+2）×4，也就是，有4n+8块黑色的瓷砖, 故答案为4n+8.21世纪教育网版权所有
【分析】根据题目给出的图，我们可以看出：
1图中有黑色瓷砖12块，我们把12可以改写为3×4；
2图中有黑色瓷砖16块，我们把16可以改写为4×4；
3图中有黑色瓷砖20块，我们把20可以改写为5×4；
从具体中，我们要抽象出瓷砖的块数与图形的个数之间的关系即可.
三．解答题（共5小题）
17．下列各组元素能构成数列吗？如果能,构成的数列是有穷数列,还是无穷数列？并说明理由.
(1)－3,－1,1,x,5,7,y,11.
(2)无理数.
(3)正有理数.
【解答】解：(1)当x,y代表数时为数列,此时是有穷数列；当x,y中有一个不是数时,便不是数列,这是因为数列必须是由一列数,按一定的顺序排列所组成的.
(2)不是数列,因为我们无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.
(3)是数列,且是无穷数列.如我们可将有理数按下面顺序排列起来：
1，，2，,3，，，4，，，，
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可
18.已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【解答】解:(1)根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.21·cn·jy·com
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝ (舍)．
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
∴n＝－2或n＝.
∵－2?N＋，?N＋，∴68不是该数列的项．
【分析】(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．2·1·c·n·j·y
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．2-1-c-n-j-y
19．已知函数,设an＝f(n).(n∈N*).
(1)求证：an＜1.
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
【解答】解:(1)因为,又n∈N*,所以,即,因此an＜1.
(2)递增数列.因为,所以,即,所以{an}是递增数列.
【分析】根据数列的分类：
按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列.
即：当an＋1－an＞0时，{an}为递增数列；
当an＋1－an＜0时，{an}为递减数列；
当an＋1－an＝0时，{an}为常数列；
当an＋1－an的符号不确定时，{an}为摆动数列．
20．在数列{an}中,已知a1=6,a2=11,a3=18,其通项为关于n(n∈N*)的二次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)66是否为数列{an}中的项?若是,应是第几项;若不是,请说明理由.
【解答】解：(1)由于数列{an}的通项是关于n(n∈N*)的二次函数,
故设an=an2+bn+c(a≠0).
由于a1=6,a2=11,a3=18,所以,解得,所以an=n2+2n+3.
(2)令an=66,即n2+2n+3=66,
所以n2+2n-63=0,故n=7(n=-9舍去),
即66为数列{an}的第7项.
【分析】本题将数列和函数联系起来,利用待定系数法求出数列{an}的通项公式.在判断某个数是否为数列中的项时,只有解出的项数n的值为正整数时,该数才是数列中的项.www.21-cn-jy.com
24、已知奇函数有最大值，且，其中实数x＞0，p、q是正整数．．
（1）求的解析式；
（2）令，证明＞（n是正整数）．
【解答】解：（1）由奇函数可得r=0，
x＞0时，由①
以及②
可得到2q2﹣5q+2＜0，只有q=1=p，
；
（2）由，
则由（n是正整数），
因为 n是正整数，所以，故＞。
【分析】（1）由奇函数的定义知恒成立，求出r，利用基本不等式求出函数的最大值，以及且，其中p、q是正整数，即得函数的解析式．21教育网
（2）根据（1），求出，作差或作除，即可证明结论，此题考查了分析问题解决问题的能力和运算能力
