2.4 积化和差与和差化积公式(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明积化和差与和差化积公式的过程.
2.会用积化和差与和差化积公式解决简单的化简、求值.
1.三角函数的积化和差
(1)sin αcos β= ;
(2)cos αsin β= ;
(3)cos αcos β= ;
(4)sin αsin β= .
2.三角函数的和差化积
(1)sin α+sin β= ;
(2)sin α-sin β= ;
(3)cos α+cos β= ;
(4)cos α-cos β= .
基础落实训练
1.把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为 ( )
A.sin 18°-sin 2° B.sin 18°+cos 2°
C.sin 18°+sin 2° D.cos 18°+cos 2°
2.把sin 15°+sin 5°化成积的形式为 ( )
A.sin 5°sin 15° B.2cos 10°cos 5°
C.2sin 10°sin 5° D.2sin 10°cos 5°
题型(一) 积化和差公式的应用
[例1] 求下列各式的值.
(1)sin 37.5°cos 7.5°;
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
听课记录:
|思|维|建|模|
在运用积化和差公式时,如果形式为混合函数积时,化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积时,化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差.
[针对训练]
1.求下列各式的值.
(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°;
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°;
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°.
题型(二) 和差化积公式的应用
[例2] (1)cos 20°-cos 50°= ( )
A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15°
C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35°
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为 ( )
A.0 B.
C. D.1
(3)计算:= ( )
A. B.-
C. D.-
(4)cos+cos+cos= .
听课记录:
|思|维|建|模|
在运用和差化积公式时,如果形式为混合函数和时,化得的结果应为sin α与sin β的和或差;或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差.
[针对训练]
2.利用和差化积公式,求下列各式的值:
(1)sin 15°+sin 105°;
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
题型(三) 公式的化简与证明
[例3] 求证:=.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
[针对训练]
3.求证:·tan 25°=.
2.4 积化和差与和差化积公式
课前预知教材
1.(1)[sin(α+β)+sin(α-β)]
(2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
(3)[cos(α+β)+cos(α-β)]
(4)-[cos(α+β)-cos(α-β)]
2.(1)2sincos
(2)2cossin
(3)2coscos
(4)-2sinsin
[基础落实训练]
1.C 2.D
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:(1)sin 37.5°cos 7.5°
=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]
=(sin 45°+sin 30°)=×
=.
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
[针对训练]
1.解:(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°
=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20°
=cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°
=-.
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°
=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°=.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°=-×[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°=-cos 60°=-.
[题型(二)]
[例2] 解析:(1)cos 20°-cos 50°
=cos(35°-15°)-cos(35°+15°)
=2sin 15°sin 35°.故选C.
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°
=2sincos-sin 80°
=2sin 30°cos 10°-sin 80°
=2×cos 10°-sin(90°-10°)
=cos 10°-cos 10°=0.
(3)原式=
=-=-=-.故选D.
(4)原式=
==
===.
答案:(1)C (2)A (3)D (4)
[针对训练]
2.解:(1)sin 15°+sin 105°=2sin·cos=2sin 60°cos(-45°)=2××=.
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°=(cos 40°+cos 80°)+-cos 20°=2cos 60°cos 20°+-cos 20°=cos 20°+-cos 20°=.
[题型(三)]
[例3] 证明:
左边=
=
===右边.
所以原等式成立.
[针对训练]
3.证明:左边=·
=
=
=
=
=
==
===右边.
所以原等式成立.
4 / 4(共43张PPT)
2.4
积化和差与和差化积公式
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明积化和差与和差化积公式的过程.
2.会用积化和差与和差化积公式解决简单的化简、求值.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.三角函数的积化和差
(1)sin αcos β= ;
(2)cos αsin β= ;
(3)cos αcos β= ;
(4)sin αsin β= .
[sin(α+β)+sin(α-β)]
[sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]
-[cos(α+β)-cos(α-β)]
2.三角函数的和差化积
(1)sin α+sin β= ;
(2)sin α-sin β= ;
(3)cos α+cos β= ;
(4)cos α-cos β= .
2sincos
2cossin
2coscos
-2sinsin
1.把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为 ( )
A.sin 18°-sin 2° B.sin 18°+cos 2°
C.sin 18°+sin 2° D.cos 18°+cos 2°
解析:2sin 10°cos 8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°)=sin 18°+sin 2°.
√
基础落实训练
2.把sin 15°+sin 5°化成积的形式为 ( )
A.sin 5°sin 15° B.2cos 10°cos 5°
C.2sin 10°sin 5° D.2sin 10°cos 5°
解析:sin 15°+sin 5°=2sincos=2sin 10°cos 5°.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 积化和差公式的应用
[例1] 求下列各式的值.
(1)sin 37.5°cos 7.5°;
解:sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=
(sin 45°+sin 30°)=×=.
(2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
解: sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=(sin 90°-sin 50°)
-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°+cos 40°=-sin 50°+sin 50°=.
|思|维|建|模|
在运用积化和差公式时,如果形式为混合函数积时,化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积时,化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差.
1.求下列各式的值.
(1)2cos 50°cos 70°-cos 20°;
解: 2cos 50°cos 70°-cos 20°=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)
-cos 20°=cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-.
针对训练
(2)sin 80°cos 40°-sin 40°;
解:sin 80°cos 40°-sin 40°=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-sin 40°=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°=.
(3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°.
解:sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°=-cos 60°=-.
题型(二) 和差化积公式的应用
[例2] (1)cos 20°-cos 50°= ( )
A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15°
C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35°
解析: cos 20°-cos 50°=cos(35°-15°)-cos(35°+15°)=
2sin 15°sin 35°.故选C.
√
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为 ( )
A.0 B.
C. D.1
解析:sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sincos-sin 80°
=2sin 30°cos 10°-sin 80°=2×cos 10°-sin(90°-10°)
=cos 10°-cos 10°=0.
√
(3)计算:=( )
A. B.-
C. D.-
解析:原式==-=-=-.故选D.
√
(4)cos+cos+cos= .
解析:原式=
=
====.
|思|维|建|模|
在运用和差化积公式时,如果形式为混合函数和时,化得的结果应为sin α与sin β的和或差;或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差.
针对训练
2.利用和差化积公式,求下列各式的值:
(1)sin 15°+sin 105°;
解:sin 15°+sin 105°=2sincos=
2sin 60°cos(-45°)=2××=.
(2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°.
解: cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°=(cos 40°+cos 80°)+
-cos 20°=2cos 60°cos 20°+-cos 20°=cos 20°+-cos 20°=.
题型(三) 公式的化简与证明
[例3] 求证:=.
[证明] 左边==
===右边.所以原等式成立.
|思|维|建|模|
利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
3.求证:·tan 25°=.
证明:左边=·=
======
===右边.所以原等式成立.
针对训练
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(多选)下列等式错误的是( )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ
√
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解析: sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ;
cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ)=2sin 4θsin θ;
sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θsin θ;
cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ.故选A、B、C.
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2.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= ( )
A.2cos 3·cos B.2sin 3·sin
C.-2sin 3·sin D.-2sin 3·sin
解析:原式=-2sin·sin+2cos·
sin=-2sin x·sin 3+2cos x·sin 3=-2sin 3· (sin x-cos x)=
-2sin 3·sin.故选D.
√
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3.2cossin=( )
A.+cos 4x B.-sin 4x
C.+cos 4x D.-+sin 4x
解析:2cossin=sin-sin=sin 4x-sin=sin 4x-,故选D.
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4.若A+B=120°,则sin A+sin B的最大值是 ( )
A.1 B.
C.
解析:∵sin A+sin B=2sincos=cos,∴sin A+sin B的最大值为.
√
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5.函数f(x)=的最小正周期是( )
A.
C.π D.2π
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解析: f(x)====tan 2x.由
得x≠kπ+,k∈Z,且x≠kπ+,k∈Z,可得函数f(x)的最小正周期T=.但是,
当x=0时,f(0)=0,f无意义,所以T≠.又f(x+π)=f(x),且对定义域内的任意自变量x,x+π也在定义域内,所以函数f(x)的最小正周期T=π.故选C.
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6.cos 2α-cos 3α化为积的形式为 .
解析:cos 2α-cos 3α=-2sinsin=-2sinsin=2sinsin.
2sinsin
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7.sin·cos化为和差的结果是 .
解析:原式==cos(α+β)+sin(α-β).
cos(α+β)+sin(α-β)
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8.= .
解析:原式===2.
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9.(10分)求下列各式的值:
(1)sin 54°-sin 18°;
解:sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=
2·====.
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(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
解: cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°
=2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°)
=2××cos 26°++cos 26°=-cos 26°++cos 26°=-.
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10.(10分)在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若cos B+cos C=sin B+sin C,试判断△ABC的形状.
解:在△ABC中,-π由cos B+cos C=sin B+sin C,得2coscos=2sincos.
两边同除以2cos,得sin=cos,即tan=1.
∵0∴△ABC为直角三角形.
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B级——重点培优
11.对任意x,y∈R,恒有sin x+cos y=2sincos,
则sincos等于( )
A.
C.
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解析:由方程组解得∴sincos===.故选B.
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12.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于 .
解析:∵α,β∈(0,π),∴sin α+sin β>0.∴cos β-cos α>0,cos β>cos α.
又在(0,π)上,y=cos x单调递减,∴β<α.∴0<α-β<π.
由题意可知2sin·cos=,
∴tan=.∴=.∴α-β=.
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13.(12分)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+cos 3x+cos 5x=b,求tan 3x.(结果用a,b表示)
解:由和差化积公式得sin 5x+sin x=2sin·cos=2sin 3xcos 2x,
cos 5x+cos x=2coscos=2cos 3xcos 2x,
则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1),
cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1),
故==tan 3x,故tan 3x=.
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14.(16分)已知α,β为锐角,且α-β=,求sin αsin β的取值范围.
解:∵sin αsin β=-,又α-β=,
∴sin αsin β=-=-.
∵α,β为锐角,且α-β=,∴0<+β<,即0<β<.
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∴<2β+<.∴-∴0<-<.
∴sin αsin β的取值范围为.课时跟踪检测(三十六) 积化和差与和差化积公式
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)下列等式错误的是 ( )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ
2.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= ( )
A.2cos 3·cos
B.2sin 3·sin
C.-2sin 3·sin
D.-2sin 3·sin
3.2cossin= ( )
A.+cos 4x B.-sin 4x
C.+cos 4x D.-+sin 4x
4.若A+B=120°,则sin A+sin B的最大值是 ( )
A.1 B.
C.
5.函数f(x)=的最小正周期是 ( )
A.
C.π D.2π
6.cos 2α-cos 3α化为积的形式为 .
7.sin·cos化为和差的结果是 .
8.= .
9.(10分)求下列各式的值:
(1)sin 54°-sin 18°;
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
10.(10分)在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若cos B+cos C=sin B+sin C,试判断△ABC的形状.
B级——重点培优
11.对任意x,y∈R,恒有sin x+cos y=2sin·cos,则sincos等于 ( )
A.
C.
12.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于 .
13.(12分)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+cos 3x+cos 5x=b,求tan 3x.(结果用a,b表示)
14.(16分)已知α,β为锐角,且α-β=,求sin αsin β的取值范围.
课时跟踪检测(三十六)
1.选ABC sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ;
cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ)
=2sin 4θsin θ;
sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θsin θ;
cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ.故选A、B、C.
2.选D 原式=-2sin·sin+2cos·
sin=-2sin x·sin 3+2cos x·sin 3=-2sin 3·(sin x-cos x)=-2sin 3·sin.故选D.
3.选D 2cossin
=sin-
sin
=sin 4x-sin=sin 4x-,故选D.
4.选C ∵sin A+sin B=2sincos=cos≤,∴sin A+sin B的最大值为.
5.选C f(x)=
==
=tan 2x.
由得x≠kπ+,k∈Z,且x≠kπ+,k∈Z,可得函数f(x)的最小正周期T=.
但是,当x=0时,f(0)=0,
f无意义,所以T≠.
又f(x+π)=f(x),且对定义域内的任意自变量x,x+π也在定义域内,
所以函数f(x)的最小正周期T=π.故选C.
6.解析:cos 2α-cos 3α
=-2sinsin
=-2sinsin=2sinsin.
答案:2sinsin
7.解析:原式=
=cos(α+β)+sin(α-β).
答案:cos(α+β)+sin(α-β)
8.解析:原式=
==2.
答案:2
9.解:(1)sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=2·
====.
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°
=2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°)
=2××cos 26°++cos 26°
=-cos 26°++cos 26°=-.
10.解:在△ABC中,-π即-<<,
故cos的值不为0.
由cos B+cos C=sin B+sin C,
得2coscos
=2sincos.
两边同除以2cos,
得sin=cos,
即tan=1.
∵0∴=.∴B+C=.
∴A=.
∴△ABC为直角三角形.
11.选B 由方程组解得∴sincos===.故选B.
12.解析:∵α,β∈(0,π),∴sin α+sin β>0.
∴cos β-cos α>0,cos β>cos α.
又在(0,π)上,y=cos x单调递减,∴β<α.
∴0<α-β<π.
由题意可知2sin·cos
=,
∴tan=.
∴=.∴α-β=.
答案:
13.解:由和差化积公式得sin 5x+sin x=2sincos=2sin 3xcos 2x,
cos 5x+cos x=2coscos
=2cos 3xcos 2x,
则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1),
cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1),
故
==tan 3x,
故tan 3x=.
14.解:∵sin αsin β
=-,
又α-β=,
∴sin αsin β=-
=-.
∵α,β为锐角,且α-β=,
∴0<+β<,即0<β<.
∴<2β+<.
∴-∴0<-<.
∴sin αsin β的取值范围为.
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