1.2 复数的几何意义(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念,并会计算复数的模、共轭复数.
1.复平面
通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为 ,y轴称为 .显然,实轴上的点都表示实数;除了 外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点 .
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量 .
|微|点|助|解|
1.理解复数与复平面内的点一一对应的注意点
(1)复数的实质是有序实数对.
(2)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.
(3)当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.
(4)复数z=a+bi中的z,书写时应小写;复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.
2.如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点,则
(1)当a>0,b>0时,点Z位于第一象限;
当a<0,b>0时,点Z位于第二象限;
当a<0,b<0时,点Z位于第三象限;
当a>0,b<0时,点Z位于第四象限.
(2)当a=0时,点Z在虚轴上;
当b=0时,点Z在实轴上.
3.复数的模
向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|= .
复数模的几何意义:|z|=||,即点Z(a,b)到原点O的距离.
4.共轭复数
(1)定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为 ,则称这两个复数互为共轭复数.
(2)表示:复数z的共轭复数用表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,= .
(3)常用结论:|z|=||;z=a+bi(a,b∈R)的虚部b=0 z=.
|微|点|助|解|
(1)由共轭复数的定义可知,=z,|z|=||.
(2)实数的共轭复数是它本身,即z= z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数.
(3)若z≠0且z=-,则z为纯虚数,利用这个性质可证明一个复数为纯虚数.
基础落实训练
1.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.若z是实数,则z=
B.若z=,则z是实数
C.若=-z,则z是纯虚数
D.若z是纯虚数,则=-z
2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
3.若复数z=2+i,其中i是虚数单位,则|z|= ( )
A. B.1
C.3 D.2
4.设z=3+2i,则在复平面内对应的点位于第 象限.
题型(一) 复数与复平面内点的关系
[例1] (1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(多选)设复数z满足z=-1-2i,则下列命题正确的是 ( )
A.|z|=
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
听课记录:
|思|维|建|模|
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立关于复数的实部与虚部应满足的条件的方程,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
[针对训练]
1.当实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i在复平面内对应的点位于:
(1)x轴正半轴上;
(2)y轴负半轴上;
(3)第四象限的平分线上.
题型(二) 复数与复平面内向量的对应关系
[例2] 在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求向量,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
听课记录:
|思|维|建|模|
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
[针对训练]
2.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是 ( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
3.复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是 .
题型(三) 复数的模的计算及其应用
[例3] 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的集合是什么图形
听课记录:
|思|维|建|模|
解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.
[针对训练]
4.已知i为虚数单位,x+xi=2+yi,其中x,y∈R,则|x+yi|= ( )
A.2 B.2
C.4 D.
5.(多选)已知z1,z2是复数,以下结论正确的是 ( )
A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0
B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0
C.若|z1|=|z2|,则向量和重合
D.若|z1-z2|=0,则=
1.2 复数的几何意义
课前预知教材
1.实轴 虚轴 原点 2.(1)Z(a,b)
(2) 3. 4.(1)相反数 (2)a-bi
[基础落实训练]
1.ABD 2.A 3.A 4.四
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2,1),位于第二象限.故选B.
(2)|z|==,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),不在直线y=-2x上,D不正确.故选A、C.
答案:(1)B (2)AC
[针对训练]
1.解:∵k为实数,∴k2-3k-4,k2-5k-6都是实数.
∴复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i在复平面内对应的点的坐标为(k2-3k-4,k2-5k-6).
(1)若复数z在复平面内对应的点位于x轴正半轴上,则解得∴k=6.
(2)若复数z在复平面内对应的点位于y轴负半轴上,则解得∴k=4.
(3)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限的平分线上,
则
解得
∴k=5.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)由复数的几何意义知
=(1,0),=(2,1),=(-1,2),
∴=-=(1,1),
=-=(-2,2),
=-=(-3,1).
∴,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
(2)∵||=,||=2,||=,
∴||2+||2=||2.
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
[针对训练]
2.选C 因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4).所以+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0).所以+对应的复数是0.故选C.
3.解析:因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,所以=(4,3),=(-2,-5).又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.
答案:-6-8i
[题型(三)]
[例3] 解:(1)因为|z1|=|+i|
= =2,|z2|=
= =1,
所以|z1|>|z2|.
(2)法一:设z=x+yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y).
由|z|=|z1|=2,得 =2,
即x2+y2=4.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
法二:由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),
所以Z到原点的距离为2.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
[针对训练]
4.选A 根据复数相等的充要条件可知则x=y=2.故|x+yi|=|2+2i|==2.故选A.
5.选BD z1+z2=0只能说明z1=-z2,A错误;|z1|+|z2|=0说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0,B正确;|z1|=|z2|说明||=||,但与方向不一定相同,C错误;|z1-z2|=0,则z1=z2,故=,D正确.故选B、D.
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1.2
复数的几何意义
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念,并会计算复数的模、共轭复数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.复平面
通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为
,y轴称为 .显然,实轴上的点都表示实数;除了 外,虚轴上的点都表示纯虚数.
实轴
虚轴
原点
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点 .
(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 .
Z(a,b)
|微|点|助|解|
1.理解复数与复平面内的点一一对应的注意点
(1)复数的实质是有序实数对.
(2)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.
(3)当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.
(4)复数z=a+bi中的z,书写时应小写;复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.
2.如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点,则
(1)当a>0,b>0时,点Z位于第一象限;
当a<0,b>0时,点Z位于第二象限;
当a<0,b<0时,点Z位于第三象限;
当a>0,b<0时,点Z位于第四象限.
(2)当a=0时,点Z在虚轴上;
当b=0时,点Z在实轴上.
3.复数的模
向量的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.由向量模
的定义可知,|z|=|a+bi|= .
复数模的几何意义:|z|=||,即点Z(a,b)到原点O的距离.
4.共轭复数
(1)定义:若两个复数的实部相等,而虚部互为 ,则称这两个复数互为共轭复数.
(2)表示:复数z的共轭复数用表示.当z=a+bi(a,b∈R)时,= .
(3)常用结论:|z|=||;z=a+bi(a,b∈R)的虚部b=0 z=.
相反数
a-bi
|微|点|助|解|
(1)由共轭复数的定义可知,=z,|z|=||.
(2)实数的共轭复数是它本身,即z= z∈R,利用这个性质可证明一个复数为实数.
(3)若z≠0且z=-,则z为纯虚数,利用这个性质可证明一个复数为纯虚数.
1.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.若z是实数,则z=
B.若z=,则z是实数
C.若=-z,则z是纯虚数
D.若z是纯虚数,则=-z
√
基础落实训练
√
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2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
解析:复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为
(0,-1).故选A.
√
3.若复数z=2+i,其中i是虚数单位,则|z|= ( )
A. B.1
C.3 D.2
4.设z=3+2i,则在复平面内对应的点位于第 象限.
√
四
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 复数与复平面内点的关系
[例1] (1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:实部为-2,虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2,1),
位于第二象限.故选B.
√
(2)(多选)设复数z满足z=-1-2i,则下列命题正确的是 ( )
A.|z|=
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
解析: |z|==,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),不在直线y=-2x上,D不正确.故选A、C.
√
√
|思|维|建|模|
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立关于复数的实部与虚部应满足的条件的方程,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
针对训练
1.当实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i在复平面内对应的点
位于:
(1)x轴正半轴上;
解:∵k为实数,∴k2-3k-4,k2-5k-6都是实数.
∴复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i在复平面内对应的点的坐标为(k2-3k-4,
k2-5k-6).若复数z在复平面内对应的点位于x轴正半轴上,
则解得∴k=6.
(2)y轴负半轴上;
解:若复数z在复平面内对应的点位于y轴负半轴上,
则解得∴k=4.
(3)第四象限的平分线上.
解:若复数z在复平面内对应的点位于第四象限的平分线上,
则解得
∴k=5.
题型(二) 复数与复平面内向量的对应关系
[例2] 在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求向量,,对应的复数;
解:由复数的几何意义知=(1,0),=(2,1),
=(-1,2),∴=-=(1,1),
=-=(-2,2),=-=(-3,1).
∴,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
(2)判断△ABC的形状.
解:∵||=,||=2,||=,
∴||2+||2=||2.
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
|思|维|建|模|
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
针对训练
2.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则 +
对应的复数是 ( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
解析:选C 因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是
-5+4i,所以=(5,-4), =(-5,4).所以+=(5,-4)+(-5,4)=
(0,0).所以+对应的复数是0.故选C.
√
3.复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是 .
解析:因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,所以=(4,3),
=(-2,-5).又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表
示的复数是-6-8i.
-6-8i
题型(三) 复数的模的计算及其应用
[例3] 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
解:因为|z1|=|+i|==2,
|z2|== =1,所以|z1|>|z2|.
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的集合是什么图形
解:法一:设z=x+yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y).
由|z|=|z1|=2,得 =2,即x2+y2=4.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
法二:由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),
所以Z到原点的距离为2.
所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
|思|维|建|模|
解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.
针对训练
4.已知i为虚数单位,x+xi=2+yi,其中x,y∈R,则|x+yi|= ( )
A.2 B.2
C.4 D.
解析:根据复数相等的充要条件可知则x=y=2.
故|x+yi|=|2+2i|==2.故选A.
√
5.(多选)已知z1,z2是复数,以下结论正确的是 ( )
A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0
B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0
C.若|z1|=|z2|,则向量和重合
D.若|z1-z2|=0,则=
√
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解析: z1+z2=0只能说明z1=-z2,A错误;|z1|+|z2|=0说明|z1|=|z2|=0,
即z1=z2=0,B正确;|z1|=|z2|说明= ,但与方向不一定相同,C错误;|z1-z2|=0,则z1=z2,故=,D正确.故选B、D.
课时跟踪检测
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1.向量=(2,-3)对应的复数为( )
A.2-3i B.2+3i
C.3+2i D.-3-2i
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2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1
C. D.2
解析:由z=-1-i,得|z|==.
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3.在复平面内,复数1+i的共轭复数所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵复数1+i的共轭复数为1-i,∴其对应的点(1,-1)位于第四象限.
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4.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.复数和其共轭复数都是成对出现的
B.实数不存在共轭复数
C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D.复数和其共轭复数的模相等
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5.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为5+3i,与关于虚轴对称,则点B对应的复数是( )
A.5-3i B.-5-3i
C.5+3i D.-5+3i
解析:设向量对应的复数为a+bi,则对应复平面的坐标为.因为向量对应的复数为5+3i,所以对应复平面的坐标为.因为与关于虚轴对称,所以a=-5,b=3,即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点,所以点B对应的复数是-5+3i.故选D.
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6.已知复数z的实部和虚部均为整数,且z≠0,则满足|z-1|≤1的复数z的个数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:设z=a+bi(a,b∈Z),则|z-1|=,所以(a-1)2+b2≤1.因为(a-1)2≥0,所以b2≤1,即-1≤b≤1.当b=±1时,a-1=0,即a=1,有两组满足条件或当b=0时,a-1=0或a-1=±1,所以或或但a=0,b=0时,z=0,不符合题意.综上,满足要求的z的个数为4.
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7.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 ( )
A.5 B.-2
C.-5 D.
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解析:设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点),则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).∵A,B,C三点共线,∴=t,即-=t(-).∴(-2,4)=t(-3,a+1).∴解得故实数a的值为5.故选A.
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8.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则满足条件的点Z的集合是 ( )
A.直线 B.线段
C.圆 D.单位圆以及圆内的部分
解析:∵|z|≤1,∴a2+b2≤1,∴点Z的集合是以原点为圆心,1为半径的圆及其内部.
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9.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M,则“a>”是“点M在第四象限”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:当a>时,a+2>>0,1-2a<0,所以点M在第四象限;若点M在第四象限,则解得a>.所以“a>”是“点M在第四象限”的充要条件.
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10.(多选)复数z=+i,i是虚数单位,则下列结论正确的是( )
A.z的实部是
B.z的共轭复数为+i
C.z的实部与虚部之和为2
D.z在复平面内的对应点位于第一象限
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解析:由复数z=+i,可得复数的实部为,虚部为,A正确;又由共轭复数的概念,可得=-i,B错误;复数的实部与虚部之和为+=2,C正确;复数z=+i在复平面内对应的点位于第一象限,D正确.故选A、C、D.
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11.若复数z的共轭复数是2+3i,则|z|= .
解析:易得复数z=2-3i,则|z|= =.
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12.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x 上,则实数m的值为 .
解析:∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9.
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13.已知复数z满足|z|-z=1-3i,则|z|= .
解析:设z=a+bi,a,b∈R,则|z|=.因为|z|-z=1-3i,
所以-a-bi=1-3i.所以解得
即z=4+3i.所以|z|==5.
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14.(17分)设复数1+2i,-2+i,-1-2i在复平面上所对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
解析:由题意知A,B,C(-1,-2),故=
=,==,=
=2,则+=,即△ABC为直角三角形,故△ABC的面积为××=5.
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15.(18分)设复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x取何实数时:
(1)复数z为纯虚数;
解:由z为纯虚数,则 该组条件无解,所以复数z不可能为纯虚数.
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(2)在复平面上表示z的点位于第三象限;
解:由表示z的点位于第三象限,
则
解得x∈.
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(3)表示z的点在函数y=x+的图象上.
解:由表示z的点在函数y=x+的图象上,则log2-2log2+1=0,所以 ,
解得x=.课时跟踪检测(四十) 复数的几何意义
(满分100分,选填小题每题5分)
1.向量=(2,-3)对应的复数为 ( )
A.2-3i B.2+3i
C.3+2i D.-3-2i
2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1
C. D.2
3.在复平面内,复数1+i的共轭复数所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.复数和其共轭复数都是成对出现的
B.实数不存在共轭复数
C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D.复数和其共轭复数的模相等
5.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为5+3i,与关于虚轴对称,则点B对应的复数是 ( )
A.5-3i B.-5-3i
C.5+3i D.-5+3i
6.已知复数z的实部和虚部均为整数,且z≠0,则满足|z-1|≤1的复数z的个数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
7.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 ( )
A.5 B.-2
C.-5 D.
8.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则满足条件的点Z的集合是 ( )
A.直线 B.线段
C.圆 D.单位圆以及圆内的部分
9.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M,则“a>”是“点M在第四象限”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.(多选)复数z=+i,i是虚数单位,则下列结论正确的是 ( )
A.z的实部是
B.z的共轭复数为+i
C.z的实部与虚部之和为2
D.z在复平面内的对应点位于第一象限
11.若复数z的共轭复数是2+3i,则|z|= .
12.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x 上,则实数m的值为 .
13.已知复数z满足|z|-z=1-3i,则|z|= .
14.(17分)设复数1+2i,-2+i,-1-2i在复平面上所对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
15.(18分)设复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x取何实数时:
(1)复数z为纯虚数;
(2)在复平面上表示z的点位于第三象限;
(3)表示z的点在函数y=x+的图象上.
课时跟踪检测(四十)
1.A
2.选C 由z=-1-i,得|z|==.
3.选D ∵复数1+i的共轭复数为1-i,
∴其对应的点(1,-1)位于第四象限.
4.AD
5.选D 设向量对应的复数为a+bi,则对应复平面的坐标为.因为向量对应的复数为5+3i,所以对应复平面的坐标为.因为与关于虚轴对称,所以a=-5,b=3,即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点,所以点B对应的复数是-5+3i.故选D.
6.选C 设z=a+bi(a,b∈Z),则|z-1|=,所以(a-1)2+b2≤1.因为(a-1)2≥0,所以b2≤1,即-1≤b≤1.当b=±1时,a-1=0,即a=1,有两组满足条件或当b=0时,a-1=0或a-1=±1,所以或或但a=0,b=0时,z=0,不符合题意.综上,满足要求的z的个数为4.
7.选A 设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点),则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).∵A,B,C三点共线,∴=t,即-=t(-).∴(-2,4)=t(-3,a+1).∴解得故实数a的值为5.故选A.
8.选D ∵|z|≤1,∴a2+b2≤1,∴点Z的集合是以原点为圆心,1为半径的圆及其内部.
9.选C 当a>时,a+2>>0,1-2a<0,所以点M在第四象限;若点M在第四象限,则解得a>.所以“a>”是“点M在第四象限”的充要条件.
10.选ACD 由复数z=+i,可得复数的实部为,虚部为,A正确;又由共轭复数的概念,可得=-i,B错误;复数的实部与虚部之和为+=2,C正确;复数z=+i在复平面内对应的点位于第一象限,D正确.故选A、C、D.
11.解析:易得复数z=2-3i,则|z|= =.
答案:
12.解析:∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9.
答案:9
13.解析:设z=a+bi,a,b∈R,则|z|=.因为|z|-z=1-3i,所以-a-bi=1-3i.所以解得即z=4+3i.所以|z|==5.
答案:5
14.解析:由题意知A,B,C(-1,-2),故==,==,==2,则+=,即△ABC为直角三角形,故△ABC的面积为××=5.
答案:5
15.解:(1)由z为纯虚数,则 该组条件无解,所以复数z不可能为纯虚数.
(2)由表示z的点位于第三象限,则
解得x∈.
(3)由表示z的点在函数y=x+的图象上,则log2-2log2+1=0,所以 ,解得x=.
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