2.2 复数的乘法与除法(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标] 掌握复数代数形式的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
逐点清(一) 复数的乘法
[多维理解]
1.复数乘法的定义
对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R),类比多项式乘法,并利用i2=-1,定义复数的乘法如下:(a+bi)(c+di)= .
2.乘法的运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1·z2=
结合律 (z1·z2)·z3=
乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)=
3.乘方的运算性质
zm·zn= ,(zm)n= ,(z1·z2)n= (其中m,n∈N+).
4.虚数单位i的幂的周期性
i4n= ,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3= (其中n∈N).
5.常用公式
(1)(a±bi)2=a2±2abi-b2 (a,b∈R);
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
6.共轭复数的性质
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数) .即若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2=||2=a2+b2.
[微点练明]
1.计算:(1-i)2-(2-3i)(2+3i)= ( )
A.2-13i B.13+2i
C.13-13i D.-13-2i
2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
4.(1+i)20-(1-i)20的值是 ( )
A.-1 024 B.1 024
C.0 D.512
5.已知复数z满足|z|=,且(1-2i)z是实数,则= .
逐点清(二) 复数的除法
[多维理解]
1.复数的倒数
给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z=1,则称z是z2的倒数,记作z= .
2.复数的除法
对任意的复数 z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复数的除法:=z1·,即= .
|微|点|助|解|
(1)复数的除法与根式的除法类似:根式的除法是分子、分母都乘以分母的“有理化因式”.从而使分母“有理化”;复数的除法是分子、分母都乘以分母的共轭复数,从而使分母“实数化”.
(2)复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的,因此,定义本身提供了求两个复数的商的另外一种方法——待定系数法,即设(a+bi)÷(c+di)=x+yi,则a+bi=(c+di)(x+yi),由此依据复数相等的充要条件求出x,y即可.
(3)常用公式
①=-i;②=i;③=-i;④=(z2≠0);⑤=(≠0).
[微点练明]
1.= ( )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z= ( )
A.3+5i B.3-5i
C.-3+5i D.-3-5i
3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-= ( )
A.-i B.i
C.0 D.1
4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则 ( )
A.a-5b=0 B.3a-5b=0
C.a+5b=0 D.3a+5b=0
5.已知i是虚数单位,则复数(1-i)2--4i2 025= .
逐点清(三) 复数范围内方程根问题
[典例] (1)若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)在复数范围内方程x2-2x+5=0的两根为α,β,则|α|+|β|等于 ( )
A.2 B.2
C. D.5
听课记录:
|思|维|建|模|
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法:
(1)求根公式法
①当Δ≥0时,x=.
②当Δ<0时,x=.
(2)利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.
[针对训练]
1.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为 .
2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断1-i是否是方程的根.
2.2 复数的乘法与除法
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.(ac-bd)+(ad+bc)i
2.z2·z1 z1·(z2·z3) z1·z2+z1·z3
3.zm+n zmn · 4.1 -i
6.模的平方
[微点练明] 1.D 2.A 3.B 4.C
5.±(1-2i)
[逐点清(二)]
[多维理解] 1. 2.-i
[微点练明] 1.D 2.A 3.A 4.D 5.-8i
[逐点清(三)]
[典例] 解析:(1)因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,即2m+n+3+(4+m)i=0.由复数相等的充要条件可得所以m+n=1.
(2)因为方程x2-2x+5=0,所以Δ=(-2)2-4×5=-16<0.所以x==1±2i.若令α=1+2i,β=1-2i,则|α|+
|β|=|1+2i|+|1-2i|=+=2.
答案:(1)B (2)B
[针对训练]
1.解析:因为Δ=32-4×2×4=-23<0,
所以方程2x2+3x+4=0的根为
x==.
答案:
2.解:(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,
∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.∴
解得
(2)由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根.
3 / 4(共45张PPT)
复数的乘法与除法
(基本概念课——逐点理清式教学)
2.2
课时目标
掌握复数代数形式的乘法和除法运算.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 复数的乘法
逐点清(二) 复数的除法
逐点清(三) 复数范围内方程根问题
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 复数的乘法
01
1.复数乘法的定义
对任意两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R),类比多项式乘法,并利用i2=-1,定义复数的乘法如下:(a+bi)(c+di)= .
2.乘法的运算律
对任意z1,z2,z3∈C,有
多维理解
(ac-bd)+(ad+bc)i
交换律 z1·z2= _________
结合律 (z1·z2)·z3= _________
乘法对加法的分配律 z1·(z2+z3)= _________
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1·z2+z1·z3
3.乘方的运算性质
zm·zn= ,(zm)n= ,(z1·z2)n= (其中m,n∈N+).
4.虚数单位i的幂的周期性
i4n= ,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3= (其中n∈N).
5.常用公式
(1)(a±bi)2=a2±2abi-b2 (a,b∈R);
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
6.共轭复数的性质
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数)
.即若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2=||2=a2+b2.
zm+n
zmn
·
1
-i
模的平方
1.计算:(1-i)2-(2-3i)(2+3i)= ( )
A.2-13i B.13+2i
C.13-13i D.-13-2i
解析: (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=-13-2i.
√
微点练明
2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
√
3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
解析:因为z=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a).又此点在第二象限,所以解得a<-1.
√
4.(1+i)20-(1-i)20的值是 ( )
A.-1 024 B.1 024
C.0 D.512
解析: (1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=
(2i)10-(2i)10=0.
√
5.已知复数z满足|z|=,且(1-2i)z是实数,则= .
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)·(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i.又(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a.又|z|=,所以a2+b2=5,解得或所以当z=1+2i时,=1-2i,当z=-1-2i时,=-1+2i,
即=±(1-2i).
±(1-2i)
逐点清(二) 复数的除法
02
1.复数的倒数
给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z=1,则称z是z2的倒数,记作z= .
2.复数的除法
对任意的复数 z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复
数的除法:=z1·,即= .
多维理解
-i
|微|点|助|解|
(1)复数的除法与根式的除法类似:根式的除法是分子、分母都乘以分母的“有理化因式”.从而使分母“有理化”;复数的除法是分子、分母都乘以分母的共轭复数,从而使分母“实数化”.
(2)复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的,因此,定义本身提供了求两个复数的商的另外一种方法——待定系数法,即设(a+bi)÷
(c+di)=x+yi,则a+bi=(c+di)(x+yi),由此依据复数相等的充要条件求出x,y即可.
(3)常用公式
①=-i;②=i;③=-i;④=(z2≠0);⑤=(≠0).
1.=( )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
解析:===2-i.
√
微点练明
2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z= ( )
A.3+5i B.3-5i
C.-3+5i D.-3-5i
解析:∵z(2-i)=11+7i,∴z====3+5i.
√
3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-=( )
A.-i B.i
C.0 D.1
解析:因为z===-,所以=,所以z-=--=-i,故选A.
√
4.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则( )
A.a-5b=0 B.3a-5b=0
C.a+5b=0 D.3a+5b=0
解析:z=+bi=+bi=+i.由题意知,=--b,
则3a+5b=0.
√
5.已知i是虚数单位,则复数(1-i)2--4i2 025= .
解析:原式=-2i--4i=-2i--4i=-2i-2i-4i=-8i.
-8i
逐点清(三)
复数范围内方程根问题
03
[典例] (1)若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,即2m+n+3+(4+m)i=0.由复数相等的充要条件可得所以m+n=1.
多维理解
√
(2)在复数范围内方程x2-2x+5=0的两根为α,β,则|α|+|β|等于 ( )
A.2 B.2
C. D.5
解析:因为方程x2-2x+5=0,所以Δ=(-2)2-4×5=-16<0.
所以x==1±2i.若令α=1+2i,β=1-2i,
则|α|+|β|=|1+2i|+|1-2i|=+=2.
√
|思|维|建|模|
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法:
(1)求根公式法
①当Δ≥0时,x=.
②当Δ<0时,x=.
(2)利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.
1.在复数范围内方程2x2+3x+4=0的解为 .
解析:因为Δ=32-4×2×4=-23<0,
所以方程2x2+3x+4=0的根为x==.
针对训练
2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
解:∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0.∴解得
(2)试判断1-i是否是方程的根.
解:由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得x2-2x+2=
(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根.
课时跟踪检测
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2
1.(2022·新课标Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i
C.6+2i D.6-2i
解析: (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.
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2.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
解析:因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C.
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3.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:+(1+i)2=i++1-3+2i=-+i,故复数对应的点在第二象限.
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4.复数z=,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
解析:因为z2==-1,所以ω=-1+1-1+1-1=-1.
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5.(多选)已知复数z=,其中i是虚数单位,则以下说法正确的是( )
A.复数z的实部为3
B.复数z的虚部为2i
C.复数z的模为
D.复数z的共轭复数=-3+2i
解析:∵z====3+2i,∴复数z的实部为3,虚部为2,
|z|==,=3-2i,故选A、C.
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6.已知在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为(2,5),(-3,-7),
则=( )
A.-29-29i B.29-29i
C.29+29i D.-29+29i
解析:因为在复平面内复数z1,z2所对应的点分别为(2,5),(-3,-7),
所以z1=2+5i,z2=-3-7i.所以===
===-29-29i.故选A.
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7.设复数z1=1+ai(a∈R),z2=,且|z1|≤|z2|,则a的最大值为( )
A.1 B.2
C.2 D.3
解析:因为复数z2===3+2i,又z1=1+ai(a∈R),且|z1|≤|z2|,所以a2+1≤32+22,解得-2≤a≤2.所以a的最大值为2.故选C.
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8.已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0的一个解,所以方程的另一解为2-i.由根与系数的关系可得解得所以复数z=a+bi在复平面内对应的点为(4,-5),在第四象限.故选D.
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9. (多选)关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则 ( )
A.z1·z2=-4
B.z1与z2互为共轭复数
C.若z1=2i,则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D.若|z|=1,则|z-z1·z2|的最小值是3
√
√
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解析:因为(±2i)2=-4,所以不妨令方程x2=-4的复数解z1=2i,z2=
-2i.z1·z2=2i·(-2i)=4,A错误;z1与z2互为共轭复数,B正确;z1=2i,
由z·z1=2+i,得z====-i,则复数z在复平面内对应的点在第四象限,C错误;设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1,得x2+y2=1,
显然有-1≤x≤1,由选项A知z1·z2=4,因此|z-z1·z2|=|(x-4)+yi|=
=≥3,当且仅当x=1,即z=1时取等号,D正确.
故选B、D.
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10.(多选)已知复平面内复数z1对应向量=(1,-),复数z2满足|z2|=2,是z1的共轭复数,则( )
A.|z1|=|| B.=
C.=4 D.|z1z2|=4
解析:依题意,z1=1-i,则|z1|=||=2,故A正确;=1+i,
=-2+2i,=-2-2i,=-2+2i,即=,故B正确;
设z2=a+bi(a,b∈R),由|z2|=2,得a2+b2=4,
√
√
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则===,==
====1,
故C错误;z1z2=(a+bi)·(1-i)=(a+b)+i,
|z1z2|=|(a+b)+(b-a)i|==
===4,故D正确.故选A、B、D.
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11.(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)= .
解析:(+i)(-2i)=()2-2i+i-2i2=7-i.
7-i
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12.在复平面中,点O为坐标原点,记,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i,记z为所表示的复数,则z·= .
解析:因为,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i,
所以=(2,1),=(-1,2),=(1,-2).
所以=-=(-1,2)-(2,1)=,
则=-=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3),
那么z=-4+3i.所以z·=25.
25
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13.(2024·上海高考)已知虚数z,其实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为 .
解析:法一 设z=1+bi(b∈R且b≠0),
则z+=1+bi+=1+bi+=1++i.因为m∈R,
所以b-=0,得b2=1,所以m=1+=2.
法二 由z+=m得z2-mz+2=0,解得z=,依题意得=1,解得m=2.
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14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为 ,
z1·z2= .
解析:====.
∵为纯虚数,∴解得a=.
∴z1·z2=(3-4i)=8-i+6i+8=16-i.
16-i
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15.(10分)已知关于x的实系数一元二次方程x2+mx+9=0.
(1)若复数z是该方程的一个虚根,且|z|+=4-2i,求m的值;
解:因为|z|2=z·=9,所以|z|=3.因为|z|+=4-2i,所以=1-2i.
所以z=1+2i.由根与系数的关系可得-m=z+=2,所以m=-2.
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(2)记方程的两根为x1和x2,若|x1-x2|=2,求m的值.
解:若方程的两根为实数根,则|x1-x2|==
=2,解得m=±4.若方程的两根为虚数根,
则设x1=a+bi,x2=a-bi,a,b∈R,可得|x1-x2|=|2b|=2,
则x1=a+i,x2=a-i,x1x2=a2+3=9,所以a2=6,即a=±.
由根与系数的关系可得-m=x1+x2=±2,所以m=±2.
此时Δ=m2-36<0,满足题意.综上,m=±2或±4.课时跟踪检测(四十二) 复数的乘法与除法
(满分80分,选填小题每题5分)
1.(2022·新课标Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i
C.6+2i D.6-2i
2.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
3.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.复数z=,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为 ( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
5.(多选)已知复数z=,其中i是虚数单位,则以下说法正确的是 ( )
A.复数z的实部为3
B.复数z的虚部为2i
C.复数z的模为
D.复数z的共轭复数=-3+2i
6.已知在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为(2,5),(-3,-7),则= ( )
A.-29-29i B.29-29i
C.29+29i D.-29+29i
7.设复数z1=1+ai(a∈R),z2=,且|z1|≤|z2|,则a的最大值为 ( )
A.1 B.2
C.2 D.3
8.已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9. (多选)关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则 ( )
A.z1·z2=-4
B.z1与z2互为共轭复数
C.若z1=2i,则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D.若|z|=1,则|z-z1·z2|的最小值是3
10.(多选)已知复平面内复数z1对应向量=(1,-),复数z2满足|z2|=2,是z1的共轭复数,则 ( )
A.|z1|=|| B.=
C.=4 D.|z1z2|=4
11.(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)= .
12.在复平面中,点O为坐标原点,记,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i,记z为所表示的复数,则z·= .
13.(2024·上海高考)已知虚数z,其实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为 .
14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为 ,z1·z2= .
15.(10分)已知关于x的实系数一元二次方程x2+mx+9=0.
(1)若复数z是该方程的一个虚根,且|z|+=4-2i,求m的值;
(2)记方程的两根为x1和x2,若|x1-x2|=2,求m的值.
课时跟踪检测(四十二)
1.D 2.C 3.B 4.B 5.AC 6.A 7.C
8.D 9.BD 10.ABD 11.7-i 12.25
13.2 14. 16-i
15.解:(1)因为|z|2=z·=9,所以|z|=3.因为|z|+=4-2i,所以=1-2i.
所以z=1+2i.由根与系数的关系可得-m=z+=2,所以m=-2.
(2)若方程的两根为实数根,则|x1-x2|===2,
解得m=±4.
若方程的两根为虚数根,则设x1=a+bi,x2=a-bi,a,b∈R,可得|x1-x2|=|2b|=2,
则x1=a+i,x2=a-i,x1x2=a2+3=9,所以a2=6,即a=±.
由根与系数的关系可得-m=x1+x2=±2,
所以m=±2.
此时Δ=m2-36<0,满足题意.
综上,m=±2或±4.
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