阶段质量评价(四)　复数（含解析）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

阶段质量评价(四)　复　数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设复数z=-1-i(i为虚数单位),则2-z的模等于 (　　)
A. B.5
C. D.10
2.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·= (　　)
A.-2 B.
C.- D.2
3.已知z=(2+i)i,其中i为虚数单位,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知z是纯虚数,是实数,那么z= (　　)
A.2i B.i
C.-i D.-2i
5.如图,正方形OABC中,点A对应的复数是3+5i,则顶点B对应的复数是 (　　)
A.-2+8i B.2-8i
C.-1+7i D.-2+7i
6.已知z=-,则1+z50+z100= (　　)
A.3 B.1
C.2+i D.i
7.若1-i(i是虚数单位)是关于x的方程x2+2px+q=0(p,q∈R)的一个解,则p+q= (　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
8.欧拉公式eix=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,则 (　　)
A.eπi=0
B.为实数
C.=
D.复数e2i对应的点位于第三象限
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知复数z=,则下列说法正确的是 (　　)
A.|z|=13
B.z的虚部为-2
C.z在复平面内对应的点在第四象限
D.z的共轭复数为-3-2i
10.已知i为虚数单位,则下列说法正确的是 (　　)
A.i+i2+i3+i4=0
B.复数-2-i的虚部为-i
C.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2
D.|z1z2|=|z1||z2|
11.已知复数z1,z2,则下列结论正确的是 (　　)
A.|z1|+|z2|≥|+|
B.若|z1|>|z2|,则z1>z2
C.若z1z2=0,则z1,z2中至少有1个是0
D.若z1≠0且z2=,则z1=z2
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.复数z=的共轭复数为,则=　　　　.
13.-=　　　　.
14.已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知复数z1=a2+2ai(a∈R),复数z2在复平面内对应的向量为=(-1,2).
(1)若z1+z2为纯虚数,求a的值;
(2)若z1i-z2在复平面内对应的点在第四象限,求a的取值范围.
16.(15分)(1)求+的值;
(2)若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是1+i,其中m,n∈R,i是虚数单位,求m-n的值.
17.(15分)设z1是虚数,z2=z1+是实数且-≤z2≤.
(1)求|z1|的值以及z1实部的取值范围;
(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.
18.(17分)已知关于x的实系数一元二次方程2x2-4(m-1)x+m2+1=0.
(1)若方程的一个根为a+i,a∈R,求实数m的值;
(2)若方程的两根为x1,x2,且|x1|+|x2|=2,求实数m的值.
19.(17分)已知复数z=a+bi,其中a,b为实数且a≠0.
(1)若z(z+)=2+4i,求z;
(2)若ω=z-为纯虚数,且1≤|ω|≤2,求|b|的取值范围.
阶段质量评价(四)
1.选C　因为z=-1-i,所以2-z=3+i.
所以|2-z|=|3+i|==.故选C.
2.选D　因为z=i,所以=-i,z·=2,故选D.
3.选C　因为z=2i+i2=-1+2i,所以=-1-2i.所以对应的点(-1,-2)位于第三象限.故选C.
4.选A　因为z是纯虚数,故可设z=bi(b≠0),
所以===.
因为是实数,所以2-b=0,即b=2.
所以z=2i.故选A.
5.选A　由题意得=(3,5),不妨设C点对应的复数为a+bi(a<0,b>0),则=(a,b).
由⊥,||=||,
得
即C点对应的复数为-5+3i.
由=+,得B点对应的复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.故选A.
6.选D　由题意得z2==i,i2=-1,i4=1,故1+z50+z100=1+z2×25+z2×50=1+i25+i50=1+i-1=i,故选D.
7.选C　依题意得(1-i)2+2p(1-i)+q=(2p+q)-2(p+1)i=0, 即解得所以p+q=1,故选C.
8.选C　eπi=cos π+isin π=-1,故A错误.
=cos+isin=i,所以为纯虚数,故B错误.
====,故C正确.
e2i=cos 2+isin 2,则复数e2i在复平面内对应的点为(cos 2,sin 2).
因为<2<π,所以cos 2<0,sin 2>0.所以点(cos 2,sin 2)位于第二象限,
即复数e2i对应的点位于第二象限,故D错误.故选C.
9.选BC　z====3-2i,|z|==,故A错误;
z的虚部为-2,故B正确;
z=3-2i在复平面内对应的点(3,-2)在第四象限,故C正确;
z=3-2i的共轭复数为=3+2i,故D错误.
故选B、C.
10.选AD　i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,A正确;
复数-2-i的虚部为-1,B不正确;
若z=i,则z2=-1,|z|2=1,C不正确;
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),所以z1z2=ac-bd+(ad+bc)i,
|z1z2|=
=
=·=|z1||z2|,D正确.故选A、D.
11.选ACD　设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R).
因为+=(a1-b1i)+(a2-b2i)=(a1+a2)-(b1+b2)i,
所以-
=-[+]=2-2(a1a2+b1b2).
因为(+)(+)-=(+++)-(+2a1a2b1b2+)=-2a1a2b1b2+=≥0,
则-
=2-2(a1a2+b1b2)≥0,所以|z1|+|z2|≥|+|,A正确.
若z1,z2中至少有一个为虚数,则z1,z2不能比较大小,B错误.
若z1z2=0,假设z1,z2均不为零,
则|z1|≠0,|z2|≠0,
则存在θ1,θ2∈R,使得z1=|z1|(cos θ1+isin θ1),z2=|z2|(cos θ2+isin θ2),
则z1z2=|z1|·|z2|·[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
因为cos 2(θ1+θ2)+sin 2(θ1+θ2)=1,则cos (θ1+θ2),sin(θ1+θ2)不可能同时为零,
所以z1z2=|z1|·|z2|·[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]≠0,故假设不成立.所以z1,z2中至少有一个为零,C正确.
z2==z1,则·(z1-z2)=0.
因为z1≠0,所以≠0.由C选项可知,z1-z2=0,即z1=z2,D正确.故选A、C、D.
12.解析:因为z====-i,所以=i.
答案:i
13.解析:∵===-i,==i,
∴-
=-i10
=(1+i)2-i10
=1+2i.
答案:1+2i
14.解析:设z=x+yi(x,y∈R),
则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2.
又==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i为实数,∴x=4,∴z=4-2i.
又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限,∴解得2答案:(2,6)
15.解:(1)由题意知z2=-1+2i,则z1+z2=(a2-1)+(2a+2)i.
由z1+z2为纯虚数,得解得a=1.
(2)因为z1i-z2=(1-2a)+(a2-2)i在复平面内对应的点在第四象限,
所以即
解得-故a的取值范围为.
16.解:(1)因为==i,
i2=-1,
=
==i=i,
所以+=i6+i=-1+i.
(2)因为1+i为方程x2+mx+n=0的一根,
所以+m(1+i)+n=0,即(n+m-1)+(2+m)i=0.
所以n+m-1=0且2+m=0,解得m=-2,n=3.所以m-n=-5.
17.解:(1)设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0),
则z2=a+bi+
=a+bi+
=+i.
∵z2是实数,b≠0,∴b-=0,得a2+b2=1,即|z1|=1,
则z2=2a.又∵-≤z2≤,
∴-≤2a≤,即-≤a≤.
∴|z1|=1,z1的实部的取值范围为.
(2)证明:ω=======i,
∵b≠0,-≤a≤,∴ω为纯虚数.
18.解:(1)由题意得,方程的另一根为a-i,根据根与系数的关系,知2a=2(m-1),a2+1=,解得m=3或m=1.
(2)对于方程2x2-4(m-1)x+m2+1=0,
当Δ≥0,即m∈(-∞,2- ]∪[2+,+∞)时,
由x1x2=>0,可知两根同号,
从而|x1|+|x2|=|x1+x2|=2,
得2(m-1)=±2,解得m=0或m=2(舍去).
当Δ<0,即m∈(2-,2+)时,
方程有两个共轭复数根,故|x1|=|x2|,
且由|x1|+|x2|=2可得|x1|=1,
所以1=|x1|2=x1x2=,
解得m=1或m=-1(舍去).
综上所述,m=0或m=1.
19.解:(1)∵z=a+bi,∴=a-bi.
∵z(z+)=2a(a+bi)
=2a2+2abi=2+4i,
∴解得或
∴z=1+2i或-1-2i.
(2)∵ω=a+bi-=a+bi-=a+bi-=+i为纯虚数,∴
又a≠0,∴a2+b2=2,则2b≠0,即b≠0.
∴ω=2bi.∴|ω|=2|b|∈[1,2],
解得≤|b|≤1,即|b|的取值范围为.
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