(共60张PPT)
空间中两条直线的位置关系
(深化学习课——梯度进阶式教学)
3.2
课时目标
1.了解基本事实4及空间中的等角定理,并会应用它们解决一些简单问题.
2.掌握异面直线的夹角的概念及异面垂直,能求出一些较特殊的异面直线的夹角.
CONTENTS
目录
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课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.基本事实4
这一基本事实表述的性质通常称为空间平行线的 .
名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相_____ 判断空间两条直线平
行的依据
平行
a∥c
传递性
2.空间两条直线的位置关系
3.定理
文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角_____或_____
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
相等
互补
4.异面直线的夹角
定义 前提 两条异面直线a,b
作法 过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b
结论 我们把a'与b'所成的_________________称为异面直线a,b的夹角
范围 记异面直线a与b的夹角为θ,则θ的取值范围是___________
特殊 情况 当θ=90°时,a与b互相垂直,记作_____
不大于90°的角
0°<θ≤90°
a⊥b
5.空间四边形
四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.
|微|点|助|解|
(1)研究异面直线的夹角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题.
(2)异面直线夹角的大小不可以为0°,原因是若两直线的夹角为0°,则这两直线重合或平行,不可能异面.异面直线夹角的大小可以为90°,两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
(3)两异面直线的夹角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线的夹角,也可能等于其补角.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线. ( )
(2)两条直线垂直,则一定相交. ( )
(3)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行. ( )
(4)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行. ( )
(5)两条直线无公共点,则这两条直线平行. ( )
(6)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线. ( )
(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. ( )
基础落实训练
×
×
×
√
×
×
×
2.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
√
3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR= ( )
A.30° B.30°或150°
C.150° D.30°或120°
√
4.在正方体ABCD-EFGH中,
(1)AH与FG的夹角是 ;
(2)AE与GH的夹角是 .
45°
90°
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 空间中直线与直线的位置关系的判定
[例1] 空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 ( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
√
解析:根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况均有可能,如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种情况,故选D.
|思|维|建|模|
(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4判断.
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面.
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
④直线AB与直线B1C的位置关系是 .
针对训练
平行
异面
相交
异面
解析:根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以①应该填“平行”.点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
题型(二) 基本事实4及等角定理的应用
[例2] 如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形.
证明:如图,连接AC,在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,∴MN是△ACD的中位线.∴MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质得AC∥A1C1,
AC=A1C1,∴MN∥A1C1,且MN=A1C1.∴MN≠A1C1.易知NA1与MC1不平行,∴四边形MNA1C1是梯形.
若本例条件不变,试证明∠DNM=∠D1A1C1.
证明:由例题可知MN∥A1C1.
又ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
又∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
变式拓展
|思|维|建|模|
(1)空间两条直线平行的证明
一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;
二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质;
三是利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
(2)求证角相等
一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.
针对训练
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.
求证:∠NMP=∠BA1D.
证明:如图,连接CB1,CD1,∵CD A1B1,∴四边形A1B1CD是平行四边形.
∴A1D∥B1C.∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.
∵BC A1D1,∴四边形A1BCD1是平行四边形.∴A1B∥CD1.
∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.∴∠NMP=∠BA1D.
题型(三) 异面直线夹角的计算
[例3] 如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC夹角的大小.
解:如图,取AC中点F,连接DF,EF,在△PAC中,∵D是PC中点,F是AC中点,∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE为异面直线PA与BC的夹角(或其补角).在△DEF中,DE=3,又DF=PA=2,EF=BC=,
∴DE2=DF2+EF2.∴∠DFE=90°,即异面直线PA与BC的夹角为90°.
|思|维|建|模|
求异面直线夹角的一般步骤
(1)找角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角;
(2)证明:证明找出的角就是异面直线的夹角;
(3)求角:求角度,一般常利用解三角形得出;
(4)定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线的夹角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线的夹角.
针对训练
3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 ( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1的夹角为60°
√
解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;因为AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=5,E为B1C1的中点,则异面直线BD与CE夹角的余弦值为 ( )
A.
C.
√
解析:取C1D1的中点F,连接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1∥BD,所以∠CEF为异面直线BD与CE的夹角或其补角.因为EF=B1D1=,
CE=CF===,所以由余弦定理得cos∠CEF====.
故选C.
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A级——达标评价
1.(多选)下列命题错误的结论是( )
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
√
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解析:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故A错误;由等角定理可知B正确;如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在正方体中,∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但是∠A1D1C1=,
∠A1BC1=,二者不相等也不互补.故C错误;如
果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两
条直线平行,故D正确.故选A、C.
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2. (多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.直线AM与BN是平行直线
D.直线AM与DD1是异面直线
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解析:∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;取DD1的中点E,连接AE(图略),易知AE∥BN,而AE与AM相交,故AM与BN不是平行直线,选项C说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确.
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3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是 ( )
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c的夹角相等
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
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解析:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线的夹角的定义知C正确.
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4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH的夹角等于 ( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
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解析:取A1B1中点I,连接IG,IH,则EF∥IG.易知IG,IH,HG相等,则△HGI为等边三角形,所以IG与GH的夹角为60°,即EF与GH的夹角为60°.故选B.
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5.(多选)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 ( )
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解析:对于A,如图1连接GM,∵G,M为中点,∴GM∥AB.又AB∥HN,
∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故A错误.对于B,已知HN和GM是异面直线,故GH,MN是异面直线,故B正确.对于C,如图2,连接GM,∵G,M为中点,∴GM∥AB.又AB∥HN,∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故C错误.
对于D,直线GH,MN既不平行又不相交,故直线GH,MN是异面直线,故D正确.故选B、D.
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6.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系是 .
解析:如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
平行
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7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF夹角的大小为 .
解析:如图所示,连接BD,B1D1,D1C.
∵EF∥DB,DB∥D1B1,
∴EF∥D1B1.
∴异面直线B1C与EF的夹角为∠D1B1C.
∵D1B1=B1C=D1C,即△B1CD1为等边三角形,
∴∠D1B1C=60°.
60°
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8.已知a,b,c是空间中的三条直线,下列说法错误的是 .(写出所有满足条件的说法序号)
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a,b分别在两个相交平面上,则这两条直线可能平行、相交或异面;
③若a与c相交,b与c异面,则a与b异面.
③
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解析:对于①,根据基本事实4可得①正确.
对于②,如图1,可得②正确.
对于③,如图2,把直线a看成AB,直线b看成AC,直线c看成BC1,所以直线a,b相交,故③错误.
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9. (10分)如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,
E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
解:证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与
BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,
所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在
平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.
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(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角的大小.
解:如图,取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD.
所以相交直线EF与EG所成的角即为异面
直线EF与BD所成的角.又因为AC⊥BD,
则FG⊥EG,在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,
得∠FEG=45°,即异面直线
EF与BD所成的角为45°.
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10.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G
分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:
(1)GB∥D1F;
证明:因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,F,G分别是
棱BB1,DD1的中点,
所以D1G=BF,且D1G∥BF.
所以四边形D1GBF是平行四边形.
所以GB∥D1F.
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(2)∠BGC=∠FD1E.
证明:因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点,
所以D1G=CE,D1G∥CE.
所以四边形D1GCE是平行四边形.
所以GC∥ED1.
由(1)知GB∥D1F,
由图形可知∠BGC,∠FD1E均为锐角,
所以∠BGC=∠FD1E.
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B级——重点培优
11.(多选)如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中( )
A.AB与CD平行
B.CD与GH是异面直线
C.EF与GH的夹角为60°
D.CD与EF平行
√
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解析:该正方体的直观图如图所示.
AB与CD是异面直线,故A错误;CD与GH相交,故B错误;因为该几何体为正方体,所以EF∥CD,三角形GHD为正三角形,直线GH与直线GD的夹角为60°,则EF与GH的夹角为60°,故C、D正确.故选C、D.
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12.如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线
BD1与AA1夹角的正弦值为 ,异面直线BD1与AD夹角的正弦值是 .
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解析:∵AA1∥DD1,∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1的夹角.连接BD,
在Rt△D1DB中,sin∠DD1B===.∵AD∥BC,
∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD的夹角.连接D1C,在△D1BC中,
∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,
∴D1B=2,BC=2,D1C=2,D1B2=BC2+D1C2.
∴∠D1CB=90°.∴sin∠D1BC===.
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13.(12分)如图,四边形ABEF和四边形ABCD都
是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,
BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
解:证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH∥AD,GH=AD.
又BC∥AD,BC=AD,所以GH∥BC,GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形.
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(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
解: C,D,F,E四点共面.理由如下:
连接CE(图略),由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点,知BE∥FG,BE=FG,
所以四边形BEFG为平行四边形.所以EF∥BG,EF=BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH,所以EF∥CH,EF=CH.所以四边形EFHC是
平行四边形.所以CE与HF共面.又D∈直线FH,所以C,D,F,E四点共面.
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14. (14分)如图,在等腰直角三角形ABC中,
∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,
若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE
与CD的夹角的余弦值.
解:取AC的中点F,连接EF和BF.在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,∴EF∥CD,∠FEB即为异面直线BE与CD的夹角.
在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中,AB=1,
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AE=AD=,∴BE=.在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,
∴EF=.在Rt△ABF中,AB=1,AF=,∴BF=.
在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,故异面直线BE与CD的夹角的余弦值为.3.2 空间中两条直线的位置关系(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标] 1.了解基本事实4及空间中的等角定理,并会应用它们解决一些简单问题.
2.掌握异面直线的夹角的概念及异面垂直,能求出一些较特殊的异面直线的夹角.
1.基本事实4
名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相 判断空间两条直线平 行的依据
这一基本事实表述的性质通常称为空间平行线的 .
2.空间两条直线的位置关系
3.定理
文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 或
图形 语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
4.异面直线的夹角
定义 前提 两条异面直线a,b
作法 过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b
结论 我们把a'与b'所成的 称为异面直线a,b的夹角
范围 记异面直线a与b的夹角为θ,则θ的取值范围是
特殊 情况 当θ=90°时,a与b互相垂直,记作
5.空间四边形
四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.
|微|点|助|解|
(1)研究异面直线的夹角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题.
(2)异面直线夹角的大小不可以为0°,原因是若两直线的夹角为0°,则这两直线重合或平行,不可能异面.异面直线夹角的大小可以为90°,两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
(3)两异面直线的夹角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线的夹角,也可能等于其补角.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线. ( )
(2)两条直线垂直,则一定相交. ( )
(3)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行. ( )
(4)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行. ( )
(5)两条直线无公共点,则这两条直线平行. ( )
(6)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线. ( )
(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. ( )
2.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR= ( )
A.30° B.30°或150°
C.150° D.30°或120°
4.在正方体ABCD-EFGH中,
(1)AH与FG的夹角是 ;
(2)AE与GH的夹角是 .
题型(一) 空间中直线与直线的位置关系的判定
[例1] 空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 ( )
A.平行 B.异面
C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4判断.
(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面.
[针对训练]
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
④直线AB与直线B1C的位置关系是 .
题型(二) 基本事实4及等角定理的应用
[例2] 如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形.
听课记录:
[变式拓展]
若本例条件不变,试证明∠DNM=∠D1A1C1.
|思|维|建|模|
(1)空间两条直线平行的证明
一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;
二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质;
三是利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
(2)求证角相等
一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.
[针对训练]
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.
求证:∠NMP=∠BA1D.
题型(三) 异面直线夹角的计算
[例3] 如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC夹角的大小.
听课记录:
|思|维|建|模|
求异面直线夹角的一般步骤
(1)找角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角;
(2)证明:证明找出的角就是异面直线的夹角;
(3)求角:求角度,一般常利用解三角形得出;
(4)定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线的夹角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线的夹角.
[针对训练]
3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 ( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1的夹角为60°
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=5,E为B1C1的中点,则异面直线BD与CE夹角的余弦值为 ( )
A.
C.
3.2
课前预知教材
1.平行 a∥c 传递性 2.一个 没有 任何一个平面 3.相等 互补 4.不大于90°的角 0°<θ≤90° a⊥b
[基础落实训练]
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× 2.A 3.B 4.(1)45° (2)90°
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选D 根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况均有可能,
如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种情况,故选D.
[针对训练]
1.解析:根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以①应该填“平行”.点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
答案:①平行 ②异面 ③相交 ④异面
[题型(二)]
[例2] 证明:如图,连接AC,在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线.
∴MN∥AC,
MN=AC.
由正方体的性质得
AC∥A1C1,AC=A1C1,
∴MN∥A1C1,且MN=A1C1.
∴MN≠A1C1.
易知NA1与MC1不平行,
∴四边形MNA1C1是梯形.
[变式拓展]
证明:由例题可知MN∥A1C1.又ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
又∠DNM与∠D1A1C1均为锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
[针对训练]
2.证明:如图,连接CB1,CD1,
∵CDA1B1,
∴四边形A1B1CD是平行四边形.
∴A1D∥B1C.
∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,
∴MN∥B1C.
∴MN∥A1D.
∵BCA1D1,
∴四边形A1BCD1是平行四边形.
∴A1B∥CD1.
∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,
∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.∴∠NMP=∠BA1D.
[题型(三)]
[例3] 解:如图,
取AC中点F,连接
DF,EF,在△PAC中,
∵D是PC中点,F是AC中点,∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE为异面直线PA与BC的夹角(或其补角).
在△DEF中,DE=3,
又DF=PA=2,EF=BC=,
∴DE2=DF2+EF2.
∴∠DFE=90°,即异面直线PA与BC的夹角为90°.
[针对训练]
3.选C 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;因为AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.
4.选C 取C1D1的中点F,连接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1∥BD,所以∠CEF为异面直线BD与CE的夹角或其补角.因为EF=B1D1=,CE=CF===,
所以由余弦定理得cos∠CEF=
=
==.故选C.
7 / 7课时跟踪检测(四十七) 空间中两条直线的位置关系
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)下列命题错误的结论是 ( )
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
2. (多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.直线AM与BN是平行直线
D.直线AM与DD1是异面直线
3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是 ( )
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c的夹角相等
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH的夹角等于 ( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
5.(多选)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 ( )
6.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系是 .
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF夹角的大小为 .
8.已知a,b,c是空间中的三条直线,下列说法错误的是 .(写出所有满足条件的说法序号)
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a,b分别在两个相交平面上,则这两条直线可能平行、相交或异面;
③若a与c相交,b与c异面,则a与b异面.
9.(10分)如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角的大小.
10.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:
(1)GB∥D1F;
(2)∠BGC=∠FD1E.
B级——重点培优
11.(多选)如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中
( )
A.AB与CD平行
B.CD与GH是异面直线
C.EF与GH的夹角为60°
D.CD与EF平行
12.如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AA1夹角的正弦值为 ,异面直线BD1与AD夹角的正弦值是 .
13.(12分)如图,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
14.(14分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD的夹角的余弦值.
课时跟踪检测(四十七)
1.选AC 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故A错误;
由等角定理可知B正确;
如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在正方体中,∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但是∠A1D1C1=,∠A1BC1=,二者不相等也不互补.故C错误;
如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故D正确.故选A、C.
2.选BD ∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;取DD1的中点E,连接AE(图略),易知AE∥BN,而AE与AM相交,故AM与BN不是平行直线,选项C说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确.
3.选C 若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线的夹角的定义知C正确.
4.选B 取A1B1中点I,连接IG,IH,则EF∥IG.易知IG,IH,HG相等,则△HGI为等边三角形,所以IG与GH的夹角为60°,即EF与GH的夹角为60°.故选B.
5.选BD 对于A,如图1连接GM,
∵G,M为中点,∴GM∥AB.又AB∥HN,
∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故A错误.
对于B,已知HN和GM是异面直线,故GH,MN是异面直线,故B正确.
对于C,如图2,
连接GM,∵G,M为中点,
∴GM∥AB.又AB∥HN,∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故C错误.
对于D,直线GH,MN既不平行又不相交,故直线GH,MN是异面直线,故D正确.故选B、D.
6.解析:如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
答案:平行
7.解析:如图所示,连接BD,B1D1,D1C.
∵EF∥DB,
DB∥D1B1,
∴EF∥D1B1.
∴异面直线B1C与EF的夹角为∠D1B1C.
∵D1B1=B1C=D1C,即△B1CD1为等边三角形,
∴∠D1B1C=60°.
答案:60°
8.解析:对于①,根据基本事实4可得①正确.
对于②,如图1,可得②正确.
对于③,如图2,把直线a看成AB,
直线b看成AC,直线c看成BC1,
所以直线a,b相交,故③错误.
答案:③
9.解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.
(2)如图,取CD的中点G,连接EG,FG,
则AC∥FG,EG∥BD.
所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,则FG⊥EG,
在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
10.证明:(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,F,G分别是棱BB1,DD1的中点,
所以D1G=BF,且D1G∥BF.
所以四边形D1GBF是平行四边形.
所以GB∥D1F.
(2)因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点,
所以D1G=CE,D1G∥CE.
所以四边形D1GCE是平行四边形.
所以GC∥ED1.
由(1)知GB∥D1F,
由图形可知∠BGC,∠FD1E均为锐角,
所以∠BGC=∠FD1E.
11.选CD 该正方体的直观图如图所示.
AB与CD是异面直线,故A错误;CD与GH相交,故B错误;因为该几何体为正方体,所以EF∥CD,三角形GHD为正三角形,直线GH与直线GD的夹角为60°,则EF与GH的夹角为60°,故C、D正确.故选C、D.
12.解析:∵AA1∥DD1,∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1的夹角.连接BD,
在Rt△D1DB中,
sin∠DD1B=
==.
∵AD∥BC,∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD的夹角.
连接D1C,在△D1BC中,∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,
∴D1B=2,BC=2,D1C=2,D1B2=BC2+D1C2.
∴∠D1CB=90°.∴sin∠D1BC===.
答案:
13.解:(1)证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH∥AD,GH=AD.又BC∥AD,BC=AD,所以GH∥BC,GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:
连接CE(图略),由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点,知BE∥FG,BE=FG,
所以四边形BEFG为平行四边形.
所以EF∥BG,EF=BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH,所以EF∥CH,EF=CH.所以四边形EFHC是平行四边形.所以CE与HF共面.又D∈直线FH,所以C,D,F,E四点共面.
14.解:取AC的中点F,连接EF和BF.在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,
∴EF∥CD,∠FEB即为异面直线BE与CD的夹角.
在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,∴AB=AC=1.
在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,∴BE=.
在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,
∴EF=.
在Rt△ABF中,AB=1,AF=,∴BF=.
在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,故异面直线BE与CD的夹角的余弦值为.
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