4.2 平面与平面平行(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.从定义与基本事实出发,借助长方体,了解空间中平面与平面的平行关系.
2.归纳出平面与平面平行的判定定理与性质定理,并能判定空间中平面与平面的平行关系.
1.平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线
图形语言
符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b
作用 证明两条直线
|微|点|助|解|
(1)面面平行的性质定理可简记为“若面面平行,则线线平行”.
(2)面面平行的性质定理中有三个条件:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.这三个条件缺一不可.
(3)已知两个平面平行,虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可能是相交直线.
2.面面平行的其他性质
(1)在两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面.即“面面平行,则线面平行”.这可以作为证明线面平行的一种方法.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等.
(3)如果两个平面都与第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
(5)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
3.平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的两条 直线与另一个平面 ,那么这两个平面平行
图形 语言
符号 语言 a α,b α, ,a∥β,b∥β α∥β
作用 证明两个平面
4.平面与平面平行的判定定理的推论
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,那么这两个平面平行 a α,b α,a∩b=P,c β,d β,c∩d=P',a∥d,b∥c α∥β
|微|点|助|解|
(1)面面平行的判定定理可简述为“若线面平行,则面面平行”.该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.
(2)面面平行的判定定理包含三个条件:①平面α内有两条直线a,b,②直线a,b相交,③直线a,b都平行于平面β.三个条件缺一不可.
(3)“一个平面内有两条(或无数条)直线平行于另一个平面,则这两个平面平行”是不正确的,因为两个平面相交时,也可在一个平面内找到无数条与另一平面平行的直线.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α. ( )
(2)若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线. ( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
2.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
3.平面α∥平面β,直线a α,直线b β,下面四种情形:①a∥b;②a⊥b;③a与b异面;④a与b相交,其中可能出现的情形有 ( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
题型(一) 平面与平面平行的性质定理及其应用
[例1] 如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,D是BC的中点,D'是B'C'的中点,设平面A'D'B∩平面ABC=a,平面ADC'∩平面A'B'C'=b,判断直线a,b的位置关系,并证明.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤
(1)先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条;
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出);
(3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面内;
(4)由定理得出结论.
[针对训练]
1.已知平面α∥平面β,P α,P β,过点P的两直线分别交α,β于A,B和C,D四点,A,C∈α,B,D∈β,且PA=6,AB=2,BD=12,则AC的长为 ( )
A.10或18 B.9
C.18或9 D.6
2.如图,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在 A'B'C'D'所确定的平面α外,且AA',BB',CC',DD'互相平行.求证:四边形ABCD是平行四边形.
题型(二) 平面与平面平行的判定定理及其应用
[例2] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1C1,A1B1的中点,求证:
(1)B1C1∥平面A1EF;
(2)平面A1EF∥平面BCGH.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)定义法:两个平面没有公共点;
(2)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,
则α∥β;
(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ;
(4)判定定理:用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
[针对训练]
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.
求证:(1)E,F,B,D四点共面;
(2)平面MAN∥平面EFDB.
题型(三) 平行关系的综合问题
[例3] 如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且=.
求证:EF∥β.
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)在遇到线面平行问题时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
(2)线线平行、线面平行和面面平行可以相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.利用转化思想是解决这类问题最有效的方法.
[针对训练]
4.如图甲,在四边形PBCD中,PD∥BC,BC=PA=AD.现将△ABP沿AB折起得图乙,点M是PD的中点,点N是BC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)在图乙中,过直线MN作一平面,与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F,注明E,F的位置,并证明.
4.2 平面与平面平行
课前预知教材
1.平行 a∥b 平行
3.相交 平行 a∩b=A 平行
[基础落实训练]
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.A 3.C
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:直线a,b的位置关系是平行.证明如下:
连接DD'(图略).
∵平面ABC∥平面A'B'C',平面A'D'B∩平面ABC=a,平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D',
∴A'D'∥a.同理可证AD∥b.
又D是BC的中点,D'是B'C'的中点,
∴DD'BB'.
又BB'AA',∴DD'AA'.
∴四边形AA'D'D为平行四边形.
∴A'D'∥AD.∴a∥b.
[针对训练]
1.选C 由PA=6,AB=2知,P点不可能在α与β之间,∴点P在两平行平面所夹空间外面,∴=或=,解得AC=9或AC=18.
2.证明:在 A'B'C'D'中,A'B'∥C'D',
∵A'B' 平面C'D'DC,C'D' 平面C'D'DC,
∴A'B'∥平面C'D'DC.
同理可得A'A∥平面C'D'DC.
又A'A∩A'B'=A',A'A 平面A'B'BA,
A'B' 平面A'B'BA,
∴平面A'B'BA∥平面C'D'DC.
∵平面ABCD∩平面A'B'BA=AB,
平面ABCD∩平面C'D'DC=CD,
∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
[题型(二)]
[例2] 证明:(1)∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,
∴B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF,EF 平面A1EF,
∴B1C1∥平面A1EF.
(2)由(1)知EF∥BC,EF 平面BCGH,BC 平面BCGH,∴EF∥平面BCGH.
又F,G分别为AC,A1C1的中点,
∴FC=AC,A1G=A1C1.
又AC∥A1C1,AC=A1C1,
∴FC∥A1G,FC=A1G.
∴四边形FCGA1为平行四边形.
∴A1F∥GC.
又A1F 平面BCGH,GC 平面BCGH,
∴A1F∥平面BCGH.
又A1F∩EF=F,A1F,EF 平面A1EF,
∴平面A1EF∥平面BCGH.
[针对训练]
3.证明:(1)连接B1D1,∵E,F分别是边B1C1,C1D1的中点,
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1,
∴BD∥EF.
∴E,F,B,D四点共面.
(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB,BD 平面EFDB,
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点,
∴MF∥A1D1,MF=A1D1.
∴MF∥AD,MF=AD.
∴四边形ADFM是平行四边形.
∴AM∥DF.
又AM 平面BDFE,DF 平面BDFE,
∴AM∥平面BDFE.
又AM∩MN=M,AM,MN 平面MAN,
∴平面MAN∥平面EFDB.
[题型(三)]
[例3] 证明:分AB,CD共面和异面两种情况.
①当AB,CD共面时,
因为α∥β,且平面ABDC∩平面α=AC,
平面ABDC∩平面β=BD,所以AC∥BD.
所以四边形ABDC是梯形或平行四边形.
由=,得EF∥BD.
又BD β,EF β,所以EF∥β.
②当AB,CD异面时,作AH∥CD交β于点H,连接BH,如图所示.
因为α∥β,且平面AHDC与平面α,β的交线分别为AC,HD,所以AC∥HD.
所以四边形AHDC为平行四边形.
作FG∥DH交AH于点G,连接EG,
于是=.
因为=,所以=,
从而EG∥BH.
又BH β,EG β,所以EG∥β.
因为FG∥DH,DH β,FG β,所以FG∥β.
又EG∩FG=G,EG 平面EFG,FG 平面EFG,
所以平面EFG∥β.又EF 平面EFG,EF β,所以EF∥β.
[针对训练]
4.解:(1)证明:取AD的中点F,分别连接NF,MF,
因为M,F分别为PD,AD的中点,
所以MF∥PA.
又因为MF 平面PAB,PA 平面PAB,所以MF∥平面PAB.
因为F,N分别为AD,BC的中点,所以NF∥AB.
又因为NF 平面PAB,AB 平面PAB,
所以NF∥平面PAB.
又因为MF∩NF=F,且MF,NF 平面MNF,所以平面MNF∥平面PAB.
又因为MN 平面MNF,所以MN∥平面PAB.
(2)当E,F分别为PC,AD的中点时,此时平面EMFN∥平面PAB.
证明如下:取PC的中点E,分别连接ME,NE,
在△PCD中,因为M,E为PD,PC的中点,所以ME∥CD.
又因为F,N分别为AD,BC的中点,所以NF∥AB.
所以ME∥NF.所以点E,M,F,N四点共面.
即过直线MN作一平面,与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F,
此时E,F分别为PC和AD的中点.
4 / 7(共61张PPT)
4.2
平面与平面平行
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.从定义与基本事实出发,借助长方体,了解空间中平面与平面的平行关系.
2.归纳出平面与平面平行的判定定理与性质定理,并能判定空间中平面与平面的平行关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线_____
图形语言
符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b _____
作用 证明两条直线_____
平行
a∥b
平行
|微|点|助|解|
(1)面面平行的性质定理可简记为“若面面平行,则线线平行”.
(2)面面平行的性质定理中有三个条件:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.这三个条件缺一不可.
(3)已知两个平面平行,虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可能是相交直线.
2.面面平行的其他性质
(1)在两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面.即“面面平行,则线面平行”.这可以作为证明线面平行的一种方法.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等.
(3)如果两个平面都与第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
(5)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
3.平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条_____直线与另一个平面_____,那么这两个平面平行
图形语言
符号语言 a α,b α, __________,a∥β,b∥β α∥β
作用 证明两个平面_____
相交
平行
a∩b=A
平行
4.平面与平面平行的判定定理的推论
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,那么这两个平面平行 a α,b α,a∩b=P,c β,d β,c∩d=P',a∥d,b∥c α∥β
|微|点|助|解|
(1)面面平行的判定定理可简述为“若线面平行,则面面平行”.该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.
(2)面面平行的判定定理包含三个条件:①平面α内有两条直线a,b,②直线a,b相交,③直线a,b都平行于平面β.三个条件缺一不可.
(3)“一个平面内有两条(或无数条)直线平行于另一个平面,则这两个平面平行”是不正确的,因为两个平面相交时,也可在一个平面内找到无数条与另一平面平行的直线.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α. ( )
(2)若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线. ( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
基础落实训练
×
√
×
√
2.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析:因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.
√
3.平面α∥平面β,直线a α,直线b β,下面四种情形:①a∥b;②a⊥b;③a与b异面;④a与b相交,其中可能出现的情形有 ( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
解析:因为平面α∥平面β,直线a α,直线b β,所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时,a∥b;
当直线a与直线b异面时,a与b的夹角大小可以是90°.
综上知,①②③都有可能出现,共有3种情形.故选C.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 平面与平面平行的性质定理及其应用
[例1] 如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,D是BC的中点,D'是B'C'的中点,设平面A'D'B∩平面ABC=a,平面ADC'∩平面A'B'C'=b,判断直线a,b的位置关系,并证明.
解:直线a,b的位置关系是平行.证明如下:
连接DD'(图略).
∵平面ABC∥平面A'B'C',平面A'D'B∩平面ABC=a,平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D',∴A'D'∥a.同理可证AD∥b.
又D是BC的中点,D'是B'C'的中点,∴DD' BB'.
又BB' AA',∴DD' AA'.
∴四边形AA'D'D为平行四边形.
∴A'D'∥AD.∴a∥b.
|思|维|建|模|
利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤
(1)先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条;
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出);
(3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面内;
(4)由定理得出结论.
针对训练
1.已知平面α∥平面β,P α,P β,过点P的两直线分别交α,β于A,B和C,D四点,A,C∈α,B,D∈β,且PA=6,AB=2,BD=12,则AC的长为 ( )
A.10或18 B.9
C.18或9 D.6
解析:由PA=6,AB=2知,P点不可能在α与β之间,∴点P在两平行平面所夹空间外面,∴=或=,解得AC=9或AC=18.
√
2.如图,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在
A'B'C'D'所确定的平面α外,且AA',BB',CC',DD'互
相平行.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:在 A'B'C'D'中,A'B'∥C'D',
∵A'B' 平面C'D'DC,C'D' 平面C'D'DC,
∴A'B'∥平面C'D'DC.
同理可得A'A∥平面C'D'DC.
又A'A∩A'B'=A',A'A 平面A'B'BA,
A'B' 平面A'B'BA,
∴平面A'B'BA∥平面C'D'DC.
∵平面ABCD∩平面A'B'BA=AB,
平面ABCD∩平面C'D'DC=CD,
∴AB∥CD.同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
题型(二) 平面与平面平行的判定定理及其应用
[例2] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别
是AB,AC,A1C1,A1B1的中点,求证:
(1)B1C1∥平面A1EF;
[证明] ∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,∴B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF,EF 平面A1EF,∴B1C1∥平面A1EF.
(2)平面A1EF∥平面BCGH.
[证明] 由(1)知EF∥BC,EF 平面BCGH,BC 平面BCGH,
∴EF∥平面BCGH.又F,G分别为AC,A1C1的中点,∴FC=AC,
A1G=A1C1.又AC∥A1C1,AC=A1C1,∴FC∥A1G,FC=A1G.
∴四边形FCGA1为平行四边形.∴A1F∥GC.又A1F 平面BCGH,
GC 平面BCGH,∴A1F∥平面BCGH.又A1F∩EF=F,A1F,
EF 平面A1EF,∴平面A1EF∥平面BCGH.
|思|维|建|模|
(1)定义法:两个平面没有公共点;
(2)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β;
(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ;
(4)判定定理:用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
针对训练
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,
B1C1,C1D1,D1A1的中点.
求证:(1)E,F,B,D四点共面;
证明:连接B1D1,∵E,F分别是边B1C1,C1D1的中点,
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1,∴BD∥EF.
∴E,F,B,D四点共面.
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明:易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB,BD 平面EFDB,∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点,∴MF∥A1D1,MF=A1D1.
∴MF∥AD,MF=AD.∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.
又AM 平面BDFE,DF 平面BDFE,∴AM∥平面BDFE.
又AM∩MN=M,AM,MN 平面MAN,∴平面MAN∥平面EFDB.
题型(三) 平行关系的综合问题
[例3] 如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别
在线段AB,CD上,且=.求证:EF∥β.
[证明] 分AB,CD共面和异面两种情况.
①当AB,CD共面时,因为α∥β,且平面ABDC∩平面α=AC,
平面ABDC∩平面β=BD,所以AC∥BD.
所以四边形ABDC是梯形或平行四边形.
由=,得EF∥BD.又BD β,EF β,所以EF∥β.
②当AB,CD异面时,作AH∥CD交β于点H,连接BH,如图所示.
因为α∥β,且平面AHDC与平面α,β的交线分别为AC,HD,
所以AC∥HD.所以四边形AHDC为平行四边形.
作FG∥DH交AH于点G,连接EG,于是=.
因为=,所以=,从而EG∥BH.
又BH β,EG β,所以EG∥β.因为FG∥DH,DH β,FG β,所以FG∥β.
又EG∩FG=G,EG 平面EFG,FG 平面EFG,
所以平面EFG∥β.又EF 平面EFG,EF β,所以EF∥β.
|思|维|建|模|
(1)在遇到线面平行问题时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
(2)线线平行、线面平行和面面平行可以相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化.利用转化思想是解决这类问题最有效的方法.
针对训练
4.如图甲,在四边形PBCD中,PD∥BC,BC=PA=AD.现将△ABP沿AB折起得图乙,点M是PD的中点,点N是BC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB;
解:证明:取AD的中点F,分别连接NF,MF,
因为M,F分别为PD,AD的中点,所以MF∥PA.
又因为MF 平面PAB,PA 平面PAB,所以MF∥平面PAB.
因为F,N分别为AD,BC的中点,所以NF∥AB.
又因为NF 平面PAB,AB 平面PAB,所以NF∥平面PAB.
又因为MF∩NF=F,且MF,NF 平面MNF,所以平面MNF∥平面PAB.
又因为MN 平面MNF,所以MN∥平面PAB.
(2)在图乙中,过直线MN作一平面,与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F,注明E,F的位置,并证明.
解:当E,F分别为PC,AD的中点时,此时平面EMFN∥平面PAB.
证明如下:取PC的中点E,分别连接ME,NE,
在△PCD中,因为M,E为PD,PC的中点,
所以ME∥CD.又因为F,N分别为AD,BC的
中点,所以NF∥AB.所以ME∥NF.
所以点E,M,F,N四点共面.即过直线MN作一平面,与平面PAB平行,且分别交PC,AD于点E,F,此时E,F分别为PC和AD的中点.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
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11
12
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2
A级——达标评价
1.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
√
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
2
解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1=
BB1且AA1∥BB1,A1D=A1B且A1D∩A1B=A1,AD1=A1B且AD1与A1B是异面直线.
1
5
6
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8
9
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11
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13
14
15
2
3
4
2.若三条直线a,b,c满足a∥b∥c,且a α,b β,c β,则两个平面α,β的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
解析:由题意可知b,c在平面β内,但不相交,因为a∥b∥c,所以a所在的平面α与平面β有可能平行,也有可能相交.
√
1
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9
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12
13
14
15
3
4
2
3.设α,β是两个不重合的平面,下列选项中,是“α∥β”的充要条件的是 ( )
A.α内存在无数条直线与β平行
B.存在直线l与α,β的夹角相等
C.存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β
D.α内存在不共线的三个点到β的距离相等
√
1
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6
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8
9
10
11
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14
15
3
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2
解析:对于A,如果α∩β=l,在α内与l平行的直线有无数条,但此时α不平行于β,A错误;对于B,如果α∩β=m,在空间必存在直线l与m平行,此时l也与两个平面平行,即直线l与α,β的夹角都等于0°,故B错误;对于C,如果α∥β,则一定存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β;若γ∥α且γ∥β,则也一定有α∥β,则“α∥β”的充要条件是存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β,C正确;
对于D,当α∥β时,α内必存在不共线的三个点到β的距离相等,但当α∩β时,同样可以在α内找到不共线的三点到β的距离相等,D错误.故选C.
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4.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的有 ( )
A.直线A1B B.直线BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
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解析:如图,对于A,由于A1B∥D1C,且A1B 平面ACD1,可得直线A1B∥平面ACD1;对于B,由于B1B∥D1D,且D1D∩平面ACD1=D1,可得直线B1B与平面ACD1不平行;对于C,由于A1D与AD1相交,A1D 平面A1DC1,可得平面A1DC1与平面ACD1不平行;对于D,由于A1B∥D1C,C1B∥D1A,A1B 平面A1BC1,C1B 平面A1BC1,且A1B∩C1B=B,
可得平面A1BC1∥平面ACD1.
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5. (多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,M,N分别为所在棱上的中点,下列判断不正确的是 ( )
A.直线AD∥平面MNE
B.直线FC1∥平面MNE
C.平面A1BC∥平面MNE
D.平面AB1D1∥平面MNE
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解析:过点M,N,E的截面如图所示(H,I,J均为所在棱上的中点),所以直线AD与截面MNE交于点H,故A错误.直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1必定相交,故B错误.直线A1B与直线EI相交,故平面A1BC与平面MNE不平行,故C错误.因为E,I分别为AB,BB1的中点,所以AB1∥EI.因为AB1 平面MNE,EI 平面MNE,所以AB1∥平面MNE.同理可证B1D1∥平面MNE.因为AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1 平面AB1D1,
所以平面AB1D1∥平面MNE,故D正确.
故选A、B、C.
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6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与平面ABCD的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .
解析:因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,且平面A1C1B∩平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1C1B∩平面ABCD=l,所以l∥A1C1.
平行
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7.如图,已知平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'共点于O,O在α,β之间.若AB=2,AC=1,∠BAC=60°,
OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为 .
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解析:∵α∥β,且AA',BB',CC'共点于O,
∴BC∥B'C',AB∥A'B',AC∥A'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
由==知相似比为,
又由AB=2,AC=1,∠BAC=60°,
知S△ABC=AB·AC·sin 60°=,
∴S△A'B'C'=.
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8.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
其中,正确命题的序号是 .
①②③④
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解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为AN 平面DE,BM 平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确.如图(3)所示,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
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9. (8分)如图所示,四边形ABCD所在的平面与
平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行
投影A1B1C1D1是一个平行四边形,求证:四边形
ABCD是平行四边形.
证明:因为平面ABCD∥平面α,平面ABCD∩平面AA1B1B=AB,平面AA1B1B∩平面α=A1B1,所以AB∥A1B1.同理,CD∥C1D1.因为四边形A1B1C1D1是平行四边形,所以A1B1∥C1D1.所以AB∥CD.同理可证BC∥AD,所以四边形ABCD是平行四边形.
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10. (10分)如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别
是线段AC,DF的中点.
(1)求证:GH∥BF;
证明:连接BD,
∵四边形ABCD为平行四边形,由题意可得G是线段BD的中点,
∴G,H分别是线段BD,DF的中点,故GH∥BF.
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(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF,若存在,指出P的具体位置并证明;若不存在,请说明理由.
解:存在,P是线段CD的中点,理由如下:
由(1)可知GH∥BF,GH 平面GHP,BF 平面GHP,∴BF∥平面GHP.
连接PG,PH,∵P,H分别是线段CD,DF的中点,
则HP∥CF,HP 平面GHP,CF 平面GHP,∴CF∥平面GHP,
又BF∩CF=F,BF,CF 平面BCF,故平面GHP∥平面BCF.
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B级——重点培优
11.(多选)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为线段AB,A1B1,AA1的中点,下列说法正确的是( )
A.平面AC1F∥平面B1CE
B.直线FG∥平面B1CE
C.直线CG与BF异面
D.直线C1F∥平面CGE
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解析:对于A,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为线段AB,A1B1,AA1的中点,所以B1E∥AF,CE∥C1F,易得B1E∥平面AC1F,CE∥平面AC1F,又B1E 平面B1CE,CE 平面B1CE,B1E∩CE=E,所以平面AC1F∥平面B1CE,所以A正确;对于B,因为F,G分别是线段A1B1,AA1的中点,所以FG∥AB1,AB1∩B1E=B1,所以FG与B1E相交,所以直线FG与平面B1CE相交,所以B错误;对于C,因为CG∩平面ABB1A1=G,BF 平面ABB1A1,且点G BF,所以CG与BF是异面直线,所以C正确;对于D,因为CE∥C1F,CE 平面CGE,C1F 平面CGE,所以直线C1F∥平面CGE,所以D正确.
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12.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C1CA.则动点M的轨迹是 ( )
A.平面 B.直线
C.线段,但只含1个端点 D.圆
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解析:因为平面BDM∥平面A1C1CA,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C1CA∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE∥A1C1交B1C1于E,则点M的轨迹是线段DE(不包括点D).故选C.
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13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,
DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足
时,有MN∥平面B1BDD1.
M∈FH
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解析:连接FH,HN,NF(图略).
易证HN∥BD,FH∥D1D,又HN∩FH=H,BD∩D1D=D,
HN 平面FHN,FH 平面FHN,BD 平面BDD1B1,DD1 平面BDD1B1,
∴平面FHN∥平面BDD1B1.又点M在四边形EFGH及其内部运动,
FH 平面EFGH,∴当M∈FH时,MN∥平面B1BDD1.
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14.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试找出
体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,
并证明:A1E=EF=FC.
解:如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1 平面AB1D1,所以点E在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点;同理,连接AC交BD于点O,连接C1O与A1C交
于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面
证明A1E=EF=FC.
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因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.
又因为C1D 平面C1BD,AB1 平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1=B1,AB1 平面AB1D1,B1D1 平面AB1D1,
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
又因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证F是CE的中点,即FC=EF,所以A1E=EF=FC.
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15. (14分)如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,
AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证:当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FAD.
解:证明:在平面图形中,
连接MN,设MN与AB交于点G.∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形,
AD=AF,∴AD∥BE且AD=BE.∴四边形ADBE是平行四边形.
∴AE∥DB.又AM=DN,∴四边形ADNM是平行四边形.
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∴AE∥DB.
又AM=DN,∴四边形ADNM是平行四边形.∴MN∥AD.
当点F,A,D不共线时,如图,
MG∥AF,NG∥AD.又MG∩NG=G,AF∩AD=A,
∴平面GNM∥平面ADF.
又MN 平面GNM,∴MN∥平面ADF.
故当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FAD.
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(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗 如果正确,请证明;如果不正确,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由.
解:这个结论不正确.要使所给结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点.理由如下.当点F,A,D共线时,如题图,易证得MN∥FD.当点F,A,D不共线时,由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使MN∥FD总成立,根据面面平行的性质定理,只要FD与MN共面即可.若要使FD与MN共面,连接FM,只要FM与DN相交即可.∵FM 平面ABEF,DN 平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,此时只
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有M,N分别为AE,DB的中点才满足.由FM∩DN=B,可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面.∵平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA=FD,平面MNG∥平面FDA,∴MN∥FD.课时跟踪检测(四十九) 平面与平面平行
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
2.若三条直线a,b,c满足a∥b∥c,且a α,b β,c β,则两个平面α,β的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
3.设α,β是两个不重合的平面,下列选项中,是“α∥β”的充要条件的是 ( )
A.α内存在无数条直线与β平行
B.存在直线l与α,β的夹角相等
C.存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β
D.α内存在不共线的三个点到β的距离相等
4.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的有 ( )
A.直线A1B B.直线BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
5. (多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,M,N分别为所在棱上的中点,下列判断不正确的是 ( )
A.直线AD∥平面MNE
B.直线FC1∥平面MNE
C.平面A1BC∥平面MNE
D.平面AB1D1∥平面MNE
6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与平面ABCD的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .
7.如图,已知平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'共点于O,O在α,β之间.若AB=2,AC=1,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为 .
8.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
其中,正确命题的序号是 .
9.(8分)如图所示,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,求证:四边形ABCD是平行四边形.
10.(10分)如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点.
(1)求证:GH∥BF;
(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF,若存在,指出P的具体位置并证明;若不存在,请说明理由.
B级——重点培优
11.(多选)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为线段AB,A1B1,AA1的中点,下列说法正确的是 ( )
A.平面AC1F∥平面B1CE
B.直线FG∥平面B1CE
C.直线CG与BF异面
D.直线C1F∥平面CGE
12.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C1CA.则动点M的轨迹是 ( )
A.平面
B.直线
C.线段,但只含1个端点
D.圆
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足 时,有MN∥平面B1BDD1.
14.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC.
15.(14分)如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证:当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FAD.
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗 如果正确,请证明;如果不正确,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由.
课时跟踪检测(四十九)
1.选D 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1=BB1且AA1∥BB1,A1D=A1B且A1D∩A1B=A1,AD1=A1B且AD1与A1B是异面直线.
2.选C 由题意可知b,c在平面β内,但不相交,因为a∥b∥c,所以a所在的平面α与平面β有可能平行,也有可能相交.
3.选C 对于A,如果α∩β=l,在α内与l平行的直线有无数条,但此时α不平行于β,A错误;
对于B,如果α∩β=m,在空间必存在直线l与m平行,此时l也与两个平面平行,即直线l与α,β的夹角都等于0°,故B错误;
对于C,如果α∥β,则一定存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β;若γ∥α且γ∥β,则也一定有α∥β,则“α∥β”的充要条件是存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β,C正确;
对于D,当α∥β时,α内必存在不共线的三个点到β的距离相等,但当α∩β时,同样可以在α内找到不共线的三点到β的距离相等,D错误.故选C.
4.选AD 如图,对于A,由于A1B∥D1C,且A1B 平面ACD1,可得直线A1B∥平面ACD1;对于B,由于B1B∥D1D,且D1D∩平面ACD1=D1,可得直线B1B与平面ACD1不平行;对于C,由于A1D与AD1相交,A1D 平面A1DC1,可得平面A1DC1与平面ACD1不平行;对于D,由于A1B∥D1C,C1B∥D1A,A1B 平面A1BC1,C1B 平面A1BC1,且A1B∩C1B=B,可得平面A1BC1∥平面ACD1.
5.选ABC 过点M,N,E的截面如图所示(H,I,J均为所在棱上的中点),所以直线AD与截面MNE交于点H,故A错误.直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1必定相交,故B错误.直线A1B与直线EI相交,故平面A1BC与平面MNE不平行,故C错误.因为E,I分别为AB,BB1的中点,所以AB1∥EI.因为AB1 平面MNE,EI 平面MNE,所以AB1∥平面MNE.同理可证B1D1∥平面MNE.因为AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1 平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面MNE,故D正确.故选A、B、C.
6.解析:因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,且平面A1C1B∩平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1C1B∩平面ABCD=l,所以l∥A1C1.
答案:平行
7.解析:∵α∥β,且AA',BB',CC'共点于O,∴BC∥B'C',AB∥A'B',AC∥A'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
由==知相似比为,
又由AB=2,AC=1,∠BAC=60°,
知S△ABC=AB·AC·sin 60°=,
∴S△A'B'C'=.
答案:
8.解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为AN 平面DE,BM 平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确.如图(3)所示,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
答案:①②③④
9.证明:因为平面ABCD∥平面α,平面ABCD∩平面AA1B1B=AB,平面AA1B1B∩平面α=A1B1,所以AB∥A1B1.同理,CD∥C1D1.因为四边形A1B1C1D1是平行四边形,所以A1B1∥C1D1.所以AB∥CD.同理可证BC∥AD,所以四边形ABCD是平行四边形.
10.解:(1)证明:连接BD,
∵四边形ABCD为平行四边形,由题意可得G是线段BD的中点,
∴G,H分别是线段BD,DF的中点,故GH∥BF.
(2)存在,P是线段CD的中点,理由如下:
由(1)可知GH∥BF,
GH 平面GHP,BF 平面GHP,
∴BF∥平面GHP.
连接PG,PH,
∵P,H分别是线段CD,DF的中点,
则HP∥CF,HP 平面GHP,CF 平面GHP,
∴CF∥平面GHP,
又BF∩CF=F,BF,CF 平面BCF,
故平面GHP∥平面BCF.
11.选ACD 对于A,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为线段AB,A1B1,AA1的中点,所以B1E∥AF,CE∥C1F,易得B1E∥平面AC1F,CE∥平面AC1F,又B1E 平面B1CE,CE 平面B1CE,B1E∩CE=E,所以平面AC1F∥平面B1CE,所以A正确;对于B,因为F,G分别是线段A1B1,AA1的中点,所以FG∥AB1,AB1∩B1E=B1,所以FG与B1E相交,所以直线FG与平面B1CE相交,所以B错误;对于C,因为CG∩平面ABB1A1=G,BF 平面ABB1A1,且点G BF,所以CG与BF是异面直线,所以C正确;对于D,因为CE∥C1F,CE 平面CGE,C1F 平面CGE,所以直线C1F∥平面CGE,所以D正确.
12.选C 因为平面BDM∥平面A1C1CA,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C1CA∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE∥A1C1交B1C1于E,则点M的轨迹是线段DE(不包括点D).故选C.
13.解析:连接FH,HN,NF(图略).
易证HN∥BD,FH∥D1D,
又HN∩FH=H,BD∩D1D=D,
HN 平面FHN,FH 平面FHN,BD 平面BDD1B1,DD1 平面BDD1B1,
∴平面FHN∥平面BDD1B1.
又点M在四边形EFGH及其内部运动,FH 平面EFGH,
∴当M∈FH时,MN∥平面B1BDD1.
答案:M∈FH
14.解:如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1 平面AB1D1,所以点E在平面AB1D1内,所以
点E就是A1C与平面AB1D1的交点;同理,连接AC交BD于点O,连接C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC.
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,
所以AB1∥C1D.
又因为C1D 平面C1BD,AB1 平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1=B1,AB1 平面AB1D1,B1D1 平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.
又因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证F是CE的中点,即FC=EF,所以A1E=EF=FC.
15.解:(1)证明:在平面图形中,连接MN,设MN与AB交于点G.
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形,AD=AF,∴AD∥BE且AD=BE.
∴四边形ADBE是平行四边形.
∴AE∥DB.
又AM=DN,∴四边形ADNM是平行四边形.
∴MN∥AD.
当点F,A,D不共线时,如图,
MG∥AF,NG∥AD.
又MG∩NG=G,AF∩AD=A,
∴平面GNM∥平面ADF.
又MN 平面GNM,
∴MN∥平面ADF.
故当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FAD.
(2)这个结论不正确.
要使所给结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点.
理由如下.
当点F,A,D共线时,如题图,易证得MN∥FD.
当点F,A,D不共线时,由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使MN∥FD总成立,
根据面面平行的性质定理,只要FD与MN共面即可.
若要使FD与MN共面,连接FM,只要FM与DN相交即可.
∵FM 平面ABEF,DN 平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,
∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,此时只有M,N分别为AE,DB的中点才满足.
由FM∩DN=B,可知它们确定一个平面,
即F,D,N,M四点共面.
∵平面FDNM∩平面MNG=MN,
平面FDNM∩平面FDA=FD,
平面MNG∥平面FDA,
∴MN∥FD.
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