6.2 柱、锥、台的体积(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)
[课时目标] 了解柱、锥、台的体积公式.掌握利用柱、锥、台的体积公式解决简单的实际问题.
柱体、锥体、台体的体积公式
名称 体积(V)公式 备注
柱 体 棱柱 V= h为棱柱的高,S为棱柱的底面面积
圆柱 V= =Sh r为圆柱的底面半径,h为圆柱的高, S为圆柱的底面面积
锥 体 棱锥 V= h为棱锥的高,S为棱锥的底面面积
圆锥 V=πr2h=Sh r为圆锥的底面半径,h为圆锥的高, S为圆锥的底面面积
台 体 棱台、 圆台 V台体=(S上+ S下+)h S上,S下分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高
|微|点|助|解|
柱、锥、台体的体积公式之间的关系
柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体.当S上=0时,台体的体积公式变为锥体的体积公式,当S上=S下=S时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在三棱锥P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB. ( )
(2)锥体的体积等于底面积与高的乘积. ( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. ( )
(4)如果一个柱体与一个锥体底面积相等,则它们的体积比为3∶1. ( )
2.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是 .
3.如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,则三棱锥P-ABC的体积V= .
题型(一) 棱柱与圆柱的体积
[例1] (1)如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,则这个六棱柱的体积为 ( )
A. m3 B. m3
C.1 m3 D. m3
(2)已知圆柱的底面周长为4π,高为4,则它的体积为 ( )
A.4π C.12π
B.8π D.16π
|思|维|建|模|
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离,其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等,都是高;圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量.
[针对训练]
1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 ( )
A.π B.2π
C.4π D.8π
2. (2024·天津高考)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 ( )
A.+
C.-
题型(二) 棱锥与圆锥的体积
[例2] (1)(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为 ( )
A.1 B.
C.2 D.3
(2)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2 D.△PAC的面积为
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)锥体的体积公式V=Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.
(2)三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等体积法.
(3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体,体现了间接思维模式和化归的数学思想.
[针对训练]
3.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为棱AA1的中点,N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点,若记正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,则四棱锥B-A1MNC1的体积为 ( )
A.V B.V
C.V D.V
4.已知圆锥的表面积为12π m2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为 ( )
A.6π m3 B.π m3
C.π m3 D. m3
题型(三) 棱台与圆台的体积
[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为 .
听课记录:
|思|维|建|模|
台体的体积计算公式是V=(S上+S下+)h,其中S上,S下分别表示台体的上、下底面的面积,这一公式较为复杂,要求记准.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高,求解相关量时,应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外,台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算.
[针对训练]
5.如图所示,已知圆台的高为3,在轴截面A1ABB1中母线AA1与底面圆的直径AB的夹角为60°,AA1⊥A1B,求圆台的体积.
题型(四) 简单组合体的体积
[例4] 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.
听课记录:
|思|维|建|模|
在求组合体体积时,要先把组合体切割成几个基本几何体,分别计算体积后再相加,解题时注意补形法的应用.
[针对训练]
6.《九章算术》中将三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示,已知五面体ABCDEF为羡除,其中AB∥CD∥EF,AB=4,CD=8,EF=3,CD与EF的距离为8,点A到平面CDEF的距离为6,则该羡除的体积为 ( )
A.108 B.112
C.120 D.132
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么多面体BB1C1CEF的体积为 .
6.2 柱、锥、台的体积
课前预知教材
Sh πr2h Sh
[基础落实训练]
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× 2.6 3.4
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)设正六棱柱的底面边长为a m,高为h m,则2ah=1,a=1,解得a=,h=.所以六棱柱的体积为V=××6×=(m3).
(2)设圆柱的底面半径为r,则2πr=4π,解得r=2,则该圆柱的体积为π×22×4=16π.
答案:(1)B (2)D
[针对训练]
1.选B 设圆柱母线长为l,底面半径为r,
由题意得解得∴V圆柱=πr2l=2π.
2.选C 因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积V=×1××1+××=,故选C.
[题型(二)]
[例2] 解析:(1)如图,取AB的中点D,连接PD,CD,因为△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,所以PD⊥AB,CD⊥AB.所以PD=CD=.又PC=,所以PD2+CD2=PC2.所以PD⊥CD.又AB∩CD=D,AB,CD 平面ABC,所以PD⊥平面ABC.所以VP-ABC=×S△ABC×PD=××2××=1,故选A.
(2)在△PAB中,由余弦定理得AB=2,如图,连接PO,易知圆锥的高h=PO=1,底面圆的半径r=AO=BO=.该圆锥的体积V=πr2h=π,故A正确.该圆锥的侧面积S侧=πr·PA=2π,故B错误.取AC的中点H,连接PH,OH,因为OA=OC,所以OH⊥AC,同理可得PH⊥AC,则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO=45°.所以OH=PO=1,AH=CH==.所以AC=2,故C正确.又PH=OH=,所以S△PAC=×AC×PH=2,故D错误.故选A、C.
答案:(1)A (2)AC
[针对训练]
3.选B 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AB=a,AA1=b,
取AC的中点D,连接BD,
则BD⊥AC,BD=a,S△ABC=a·a=a2,
正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=.
因为AA1⊥平面ABC,BD 平面ABC,所以AA1⊥BD.
又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,
所以BD⊥平面ACC1A1.因为SAMNC=×·a=,=,
所以四棱锥B-AMNC的体积VB-AMNC=×SAMNC×BD=××a==V,
故四棱锥B-A1MNC1的体积为V.
4.选B 设圆锥的底面半径为r,侧面展开图的半圆半径为R,则2πr=×2πR,即R=2r.
故圆锥的表面积为S=πr2+πR2=3πr2=12π,解得r=2,圆锥的高为h==2.
故圆锥的体积为V=πr2·h=×4π×2=π.故选B.
[题型(三)]
[例3] 解析:法一:如图所示,设点O1,O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接B1D1,BD,
则点O1,O分别为B1D1,BD的中点,连接O1O,则O1O为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,过点B1作B1E⊥BD,垂足为E,则B1E=O1O.因为AB=2,A1B1=1,所以OB=,O1B1=.所以BE=OB-OE=OB-O1B1=.又AA1=,所以BB1=,B1E===.所以O1O=.所以=×(22+12+)×=.
法二:如图,将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD,因为AB=2,A1B1=1,AB∥A1B1,
所以A1,B1,C1,D1分别为PA,PB,PC,PD的中点.又A1A=,所以PA=2,即PB=2.连接BD,取BD的中点为O,连接PO,则PO⊥平面ABCD,易知BO=,所以PO==.所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为.
所以=×(22+12+)×=.
答案:
[针对训练]
5.解:设圆台上、下底面的半径分别为r',r,高为h,如图,作A1D⊥AB于点D,则h=A1D=3.
∵∠A1AB=60°,∠BA1A=90°,
∴∠BA1D=60°.
∴AD==,即r-r'=. ①
BD=A1D·tan 60°=3,
即r'+r=3. ②
联立①②,解得r=2,r'=.
∴V圆台=πh(r2+rr'+r'2)=π×3×[(2)2+2×+()2]=21π,即圆台的体积为21π.
[题型(四)]
[例4] 解:如题图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,
∴CD==2a,AB=CDsin 60°=a,∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a,∴DO=DD'=a.
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.
由上述计算知,圆柱母线长a,底面半径2a,圆锥的母线长2a,底面半径a.∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·a=4πa2,圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2,圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积S4=πa2,
∴组合体上底面积S5=S3-S4=3πa2,
∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2.
又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.
V柱=Sh=π·(2a)2·a=4πa3,
V锥=S'h=·π·a2·a=πa3,
∴V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3.
[针对训练]
6.选C 如图所示,连接AF,AC,∵CD∥EF,∴点C到平面ABF的距离即为CD与EF的距离,即为8,∴VC-ABF=××4×6×8=32,
∵VA-CDEF=××(3+8)×8×6=88,∴该羡除的体积V=VA-CDEF+VC-ABF=88+32=120.
7.解析:在△ABC中,BC边上的高h==2,
=BC·h·BB1=×6×2×6=36.
∵EF=3,A1A=B1B=6,
∴V三棱锥E ABC+
==6.
故=36-6=30.
答案:30
6 / 6(共68张PPT)
6.2
柱、锥、台的体积
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
了解柱、锥、台的体积公式.掌握利用柱、锥、台的体积公式解决简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
柱体、锥体、台体的体积公式
名称 体积(V)公式 备注
柱 体 棱柱 V= _____ h为棱柱的高,S为棱柱的底面面积
圆柱 V= _____=Sh r为圆柱的底面半径,h为圆柱的高,
S为圆柱的底面面积
锥 体 棱锥 h为棱锥的高,S为棱锥的底面面积
圆锥 r为圆锥的底面半径,h为圆锥的高,S为圆锥的底面面积
Sh
πr2h
Sh
台 体 棱台、 圆台 S上,S下分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高
续表
|微|点|助|解| 柱、锥、台体的体积公式之间的关系
柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体.当S上=0时,台体的体积公式变为锥体的体积公式,当S上=S下=S时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在三棱锥P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB. ( )
(2)锥体的体积等于底面积与高的乘积. ( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. ( )
(4)如果一个柱体与一个锥体底面积相等,则它们的体积比为3∶1. ( )
基础落实训练
√
×
√
×
2.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是 .
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,不妨令ab=2,ac=6,bc=9,∴(abc)2=108.∴V=abc=6.
6
3.如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,
且PA,PB,PC两两互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,则三
棱锥P-ABC的体积V= .
解析:三棱锥的体积V=Sh,其中S为底面积,h为高,而三棱锥的任意一个面都可以作为底面,所以此题可把B作为顶点,△PAC作为底面求解.
故V=S△PAC·PB=××2×4×3=4.
4
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 棱柱与圆柱的体积
[例1] (1)如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为
1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,则这个六棱柱
的体积为 ( )
A. m3 B. m3
C.1 m3 D. m3
解析:设正六棱柱的底面边长为a m,高为h m,则2ah=1,a=1,解得a=,h=.所以六棱柱的体积为V=××6×=(m3).
√
(2)已知圆柱的底面周长为4π,高为4,则它的体积为 ( )
A.4π B.8π
C.12π D.16π
解析:设圆柱的底面半径为r,则2πr=4π,解得r=2,则该圆柱的体积为π×22×4=16π.
√
|思|维|建|模|
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离,其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等,都是高;圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量.
针对训练
1.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 ( )
A.π B.2π
C.4π D.8π
解析:设圆柱母线长为l,底面半径为r,
由题意得解得∴V圆柱=πr2l=2π.
√
2. (2024·天津高考)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 ( )
A.+
C.-
√
解析:因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积V=×1××1+××=,故选C.
题型(二) 棱锥与圆锥的体积
[例2] (1)(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为( )
A.1 B.
C.2 D.3
√
解析:如图,取AB的中点D,连接PD,CD,
因为△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,
所以PD⊥AB,CD⊥AB.
所以PD=CD=.又PC=,
所以PD2+CD2=PC2.
所以PD⊥CD.又AB∩CD=D,AB,CD 平面ABC,
所以PD⊥平面ABC.所以VP-ABC=×S△ABC×PD=××2××=1,故选A.
(2)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
√
√
解析:在△PAB中,由余弦定理得AB=2,如图,连接PO,易知圆锥的高h=PO=1,底面圆的半径r=AO=BO=.该圆锥的体积V=πr2h=π,故A正确.该圆锥的侧面积S侧=πr·PA=2π,故B错误.取AC的中点H,连接PH,OH,因为OA=OC,所以OH⊥AC,同理可得PH⊥AC,则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO=45°.所以OH=PO=1,AH=CH==.
所以AC=2,故C正确.又PH=OH=,所以S△PAC=×AC×PH=2,
故D错误.故选A、C.
|思|维|建|模|
(1)锥体的体积公式V=Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.
(2)三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等体积法.
(3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解.无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体,体现了间接思维模式和化归的数学思想.
针对训练
3.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为棱AA1的中点,
N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点,若记正三棱柱
ABC-A1B1C1的体积为V,则四棱锥B-A1MNC1的体积
为 ( )
A.V B.V
C.V D.V
√
解析:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AB=a,AA1=b,取AC的中点D,连接BD,则BD⊥AC,BD=a,S△ABC=a·a=a2,正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=.因为AA1⊥平面ABC,BD 平面ABC,所以AA1⊥BD.又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1.因为SAMNC=×·a=,=,
所以四棱锥B-AMNC的体积VB-AMNC=×SAMNC×BD=
××a==V,故四棱锥B-A1MNC1的体积为V.
4.已知圆锥的表面积为12π m2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为 ( )
A.6π m3 B.π m3
C.π m3 D. m3
解析:设圆锥的底面半径为r,侧面展开图的半圆半径为R,则2πr=×2πR,即R=2r.故圆锥的表面积为S=πr2+πR2=3πr2=12π,解得r=2,圆锥的高为h==2.故圆锥的体积为V=πr2·h=×4π×2=π.故选B.
√
题型(三) 棱台与圆台的体积
[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,
A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为 .
解析:法一:如图所示,设点O1,O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接B1D1,BD,则点O1,O分别为B1D1,BD的中点,连接O1O,
则O1O为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,过
点B1作B1E⊥BD,垂足为E,则B1E=O1O.
因为AB=2,A1B1=1,所以OB=,O1B1=.
所以BE=OB-OE=OB-O1B1=.又AA1=,
所以BB1=,B1E===.所以O1O=.
所以 =×(22+12+)×=.
法二:如图,将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD,
因为AB=2,A1B1=1,AB∥A1B1,
所以A1,B1,C1,D1分别为PA,PB,PC,PD的中点.
又A1A=,所以PA=2,即PB=2.
连接BD,取BD的中点为O,连接PO,
则PO⊥平面ABCD,易知BO=,
所以PO==.
所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为.
所以 =×(22+12+)×=.
|思|维|建|模|
台体的体积计算公式是V=(S上+S下+)h,其中S上,S下分别表示台体的上、下底面的面积,这一公式较为复杂,要求记准.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高,求解相关量时,应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外,台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算.
针对训练
5.如图所示,已知圆台的高为3,在轴截面A1ABB1中母
线AA1与底面圆的直径AB的夹角为60°,AA1⊥A1B,
求圆台的体积.
解:设圆台上、下底面的半径分别为r',r,高为h,如图,作A1D⊥AB于点D,则h=A1D=3.
∵∠A1AB=60°,∠BA1A=90°,∴∠BA1D=60°.
∴AD==,即r-r'=.①
BD=A1D·tan 60°=3,即r'+r=3.②
联立①②,解得r=2,r'=.
∴V圆台=πh(r2+rr'+r'2)=π×3×[(2)2+2×+()2]=21π,即圆台的体积为21π.
题型(四) 简单组合体的体积
[例4] 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,
∠DCB=60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.
求旋转体的表面积和体积.
解:如题图,在梯形ABCD中,
∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,
BC=2a,∠DCB=60°,∴CD==2a,AB=CDsin 60°=a,
∴DD'=AA'-2AD=2BC-2AD=2a,∴DO=DD'=a.
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.由上述计算知,圆柱母线长a,底面半径2a,圆锥的母线长2a,底面半径a.∴圆柱的侧面积S1=2π·2a·a=4πa2,圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2,圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2,圆锥的底面积S4=πa2,∴组合体上底面积S5=S3-S4=3πa2,∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.V柱=Sh=π· (2a)2·a=4πa3,
V锥=S'h=·π·a2·a=πa3,∴V=V柱-V锥=4πa3-πa3=πa3.
|思|维|建|模|
在求组合体体积时,要先把组合体切割成几个基本几何体,分别计算体积后再相加,解题时注意补形法的应用.
针对训练
6.《九章算术》中将三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称
为“羡除”.如图所示,已知五面体ABCDEF为羡除,其中AB∥CD∥EF,
AB=4,CD=8,EF=3,CD与EF的距离为8,点A到平面CDEF的距离为6,则该羡除的体积为 ( )
A.108 B.112
C.120 D.132
√
解析:如图所示,连接AF,AC,∵CD∥EF,∴点C到平面ABF的距离即为CD与EF的距离,即为8,∴VC-ABF=××4×6×8=32,
∵VA-CDEF=××(3+8)×8×6=88,
∴该羡除的体积V=VA-CDEF+VC-ABF=88+32=120.
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么多面体BB1C1CEF的体积为 .
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A级——达标评价
1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
A.48 B.64
C.16 D.96
解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,∴a=4.∴其体积V=a3=43=64.故选B.
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2.已知圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为 ( )
A.15π B.30π
C.12π D.36π
解析:设圆锥的高为h,如图,则h==4.所以其体积V=Sh=×π×32×4=12π.故选C.
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3.已知圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:设圆台的体积为V,高为h.由题意得,V=(π+2π+4π)h=7π,所以h=3.
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4.小明有一卷纸,纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴
心卷成一卷,它的整体外貌如图,纸卷的直径为12 cm,轴的
直径为4 cm,当小明用掉的纸后,则剩下的这卷纸的直径
最接近于( )
A.6 cm B.7 cm
C.8 cm D.9 cm
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解析:设小明用掉的纸后,剩下的这卷纸的直径为x cm,卷纸高为h cm,则由题可知(π×62-π×22)h×=h,
解得x2=48.所以剩下的这卷纸的直径最接近于7 cm.故选B.
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5.如图所示,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积 ( )
A.与点E,F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E,F,Q的位置都有关
D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值
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解析:因为点Q到平面A'EF的距离为正方体的棱长4,A'到EF的距离为正方体的棱长4,所以VA'-QEF=VQ-A'EF=××2×4×4=,是定值,因此与点E,F,Q的位置均无关.
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6.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为
.
解析:两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台的体积之比为高之比,根据母线与半径的关系可得圆台甲与乙的体积之比为==.
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7.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,
BD=3,FC=4,AE=5.则此几何体的体积为 .
解析:如图,用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,
使AA'=BB'=CC'=8.
因为AB2+AC2=BC2,
所以AB⊥AC.所以S△ABC=×8×6=24.
所以V几何体=V三棱柱=·S△ABC·AA'=×24×8=96.
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8.金字塔一直被认为是古埃及的象征,然而,玛雅
文明也有类似的建筑,玛雅金字塔是仅次于埃及
金字塔的著名建筑.玛雅金字塔由巨石堆成,其下
方近似为正四棱台,顶端是祭神的神殿,其形状近似为正四棱柱.整座金字塔的高度为29 m,金字塔的塔基(正四棱台的下底面)的周长为220 m,塔台(正四棱台的上底面)的周长为52 m,神殿底面边长为9 m,高为6 m,则该玛雅金字塔的体积为 m3.
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解析:设塔基的边长为a,塔台的边长为b,正四棱台的高为h,神殿的高为h',
由已知,4a=220,4b=52,h+h'=29,h'=6,所以a=55,b=13,h=23.
所以正四棱台的下底面积S1=552=3 025(m2),上底面积S2=132=169(m2).
所以正四棱台的体积V1=(S1+S2+)h=(3 025+169+715)×23=29 969(m3).因为神殿的形状为正四棱柱,底面边长为9,高为6,
所以神殿的体积V2=81×6=486(m3).
所以该玛雅金字塔的体积V=29 969+486=30 455(m3).
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9. (8分)有一堆规格相同的铁制(铁的密度为7.8 g/cm3)六角螺帽共重
6 kg,已知该种规格的螺帽底面是正六边形,边长是12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm.
(1)求一个六角螺帽的体积;(精确到0.001 cm3)
解:由题得V=×122×6×10-3.14××10=3 736.8-785=2 951.8≈
2 952(mm3)=2.952(cm3),所以一个六角螺帽的体积为2.952 cm3.
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(2)问这堆六角螺帽大约有多少个
(参考数据:π取3.14,取1.73,2.952×7.8≈23,1.083×7.8≈8.45)
解:这堆螺帽的个数为6×1 000÷(7.8×2.952)≈261.即这堆六角螺帽大约有261个.
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10.(10分)如图,甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板,现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的全面积都等于原正方形的面积.(不计焊接缝的面积)
(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明;
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解:如图甲所示,将正方形按图中虚线剪,以两个边长为2a的小正方形为底面,以四个小矩形为侧面,焊接成一个底面边长为2a,高为a的正四棱柱.如图乙所示,将正方形沿图中虚线剪开,把两个小长方形焊接成边长为2a的正方形作为底面,三个等腰三角形为侧面,两个边上的小直角三角形,焊接成与其他侧面相同的等腰三
角形为第四个侧面,这样就可焊成一个
底面边长为2a,斜高为3a的正四棱锥.
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(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小.
解:由上面的裁剪焊接方式可得V柱=(2a)2·a=4a3,V锥=(2a)2·2a=a3.
又∵42-=>0,∴4a3>a3.
∴正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大.
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B级——重点培优
11.(多选)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,
F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则( )
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
√
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解析:设AB=ED=2FB=2a,因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,
所以V1=·ED·S△ACD=·2a··(2a)2=a3,V2=·FB·S△ABC=
·a·· (2a)2=a3.连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得BD⊥AC,又ED⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,则ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD 平面BDEF,则AC⊥平面BDEF.过F作FG⊥DE于G,
易得四边形BDGF为矩形,则FG=BD=2a,EG=a,
又BM=DM=BD=a,
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则EM==a,
FM==a,EF==3a,
EM2+FM2=EF2,则EM⊥FM,S△EFM=EM·FM=a2,AC=2a,
则V3=VA-EFM+VC-EFM=AC·S△EFM=2a3,则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,
故A、B错误,C、D正确.故选C、D.
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12.已知圆柱的全面积为80π,圆柱内有一平行于圆柱轴的截面,截面面积为24,且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2,则圆柱的体积是 .
解析:因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2,
所以由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角,即弦AB所对的圆心角为×2π=.
96π
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设底面半径为r,则弦AB===r.
设圆柱的高为h,则
解得或(舍去).
所以圆柱的体积V=πr2h=96π.
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13.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时
代,其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一
种计时装置,它根据细沙从一个容器漏到另一
个容器的时间来计量时间.如图,某沙漏由上、
下两个圆锥容器组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(两圆锥连接处长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆
的高为 cm.
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解析:由题意可知,开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=×8=,
底面半径r=×4=,故细沙的体积V=πr2H=π××=.
当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设高为H',
则π×42×H'=,解得H'=.故此圆锥形沙堆的高为 cm.
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14. (10分)(2023·全国乙卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,
BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,
BF⊥AO.
(1)求证:EF∥平面ADO.
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解:证明:因为AB⊥BC,AB=2,BC=2,O是BC的中点,所以==.
所以△OBA∽△ABC.所以∠CAB=∠AOB.
记BF⊥AO的垂足为H,则△BHA∽△OBA,所以∠HBA=∠AOB.
所以∠HBA=∠CAB.所以BF=AF,∠BCF=∠CBF.所以CF=BF.
故CF=AF,F是AC的中点.因为E,F分别是AP,AC的中点,所以EF∥PC.
因为D,O分别是BP,BC的中点,所以DO∥PC.所以EF∥DO.
又DO 平面ADO,EF 平面ADO,所以EF∥平面ADO.
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(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.
解:由(1)得FO∥AB,因为AB⊥BC,所以FO⊥BC.
又PO⊥BC,所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角.
所以二面角P-BC-F的大小为120°.
如图,过点P作PM⊥平面ABC于点M,连接MO,MB,则∠POM是二面角P-BC-M的平面角,所以∠POM=60°.在△PBC中,由PB=PC=,
BC=2,得PO=2,所以PM=.所以三棱锥P-ABC的体积
VP-ABC=S△ABC×PM=××2×2×=.
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15. (14分)(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
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(1)证明:EF∥平面ABCD;
解:证明:∵四边形ABCD是正方形,△EAB和△FBC是正三角形,
∴分别取AB,BC的中点K,I,连接EK,FI,KI,则EK⊥AB,FI⊥BC,如图.
∵平面EAB⊥平面ABCD,平面EAB∩平面ABCD=AB,EK 平面EAB,
∴EK⊥平面ABCD.同理FI⊥平面ABCD,∴EK∥FI.
易知△EAB≌△FBC,∴EK=FI.∴四边形EKIF是
平行四边形.∴EF∥KI.又EF 平面ABCD,KI 平面
ABCD,∴EF∥平面ABCD.
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(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
解:可补形成长方体,如图,易得长方体的高为4cm.故所求包装盒的容积V=82×4-4×××42×4=(cm3).课时跟踪检测(五十四) 柱、锥、台的体积
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为 ( )
A.48 B.64
C.16 D.96
2.已知圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为 ( )
A.15π B.30π
C.12π D.36π
3.已知圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.小明有一卷纸,纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷,它的整体外貌如图,纸卷的直径为12 cm,轴的直径为4 cm,当小明用掉的纸后,则剩下的这卷纸的直径最接近于 ( )
A.6 cm B.7 cm
C.8 cm D.9 cm
5.如图所示,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积 ( )
A.与点E,F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E,F,Q的位置都有关
D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值
6.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 .
7.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.则此几何体的体积为 .
8.金字塔一直被认为是古埃及的象征,然而,玛雅文明也有类似的建筑,玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑.玛雅金字塔由巨石堆成,其下方近似为正四棱台,顶端是祭神的神殿,其形状近似为正四棱柱.整座金字塔的高度为29 m,金字塔的塔基(正四棱台的下底面)的周长为220 m,塔台(正四棱台的上底面)的周长为52 m,神殿底面边长为9 m,高为6 m,则该玛雅金字塔的体积为 m3.
9.(8分)有一堆规格相同的铁制(铁的密度为7.8 g/cm3)六角螺帽共重6 kg,已知该种规格的螺帽底面是正六边形,边长是12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm.
(1)求一个六角螺帽的体积;(精确到0.001 cm3)
(2)问这堆六角螺帽大约有多少个
(参考数据:π取3.14,取1.73,2.952×7.8≈23,1.083×7.8≈8.45)
10.(10分)如图,甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板,现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的全面积都等于原正方形的面积.(不计焊接缝的面积)
(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明;
(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小.
B级——重点培优
11.(多选)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 ( )
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
12.已知圆柱的全面积为80π,圆柱内有一平行于圆柱轴的截面,截面面积为24,且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2,则圆柱的体积是 .
13.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代,其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它根据细沙从一个容器漏到另一个容器的时间来计量时间.如图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(两圆锥连接处长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为 cm.
14.(10分) (2023·全国乙卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.
(1)求证:EF∥平面ADO.
(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.
15.(14分) (2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
课时跟踪检测(五十四)
1.选B 设正方体的棱长为a,则6a2=96,∴a=4.∴其体积V=a3=43=64.故选B.
2.选C 设圆锥的高为h,如图,则h==4.所以其体积V=Sh=×π×32×4=12π.故选C.
3.选A 设圆台的体积为V,高为h.由题意得,V=(π+2π+4π)h=7π,所以h=3.
4.选B 设小明用掉的纸后,剩下的这卷纸的直径为x cm,卷纸高为h cm,则由题可知(π×62-π×22)h×=h,
解得x2=48.所以剩下的这卷纸的直径最接近于7 cm.故选B.
5.选D 因为点Q到平面A'EF的距离为正方体的棱长4,A'到EF的距离为正方体的棱长4,所以VA'-QEF=VQ-A'EF=××2×4×4=,是定值,因此与点E,F,Q的位置均无关.
6.解析:两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台的体积之比为高之比,根据母线与半径的关系可得圆台甲与乙的体积之比为==.
答案:
7.解析:如图,用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,
使AA'=BB'=CC'=8.
因为AB2+AC2=BC2,
所以AB⊥AC.所以S△ABC=×8×6=24.
所以V几何体=V三棱柱
=·S△ABC·AA'=×24×8=96.
答案:96
8.解析:设塔基的边长为a,塔台的边长为b,正四棱台的高为h,神殿的高为h',
由已知,4a=220,4b=52,h+h'=29,
h'=6,
所以a=55,b=13,h=23.
所以正四棱台的下底面积S1=552=3 025(m2),上底面积S2=132=169(m2).
所以正四棱台的体积V1=(S1+S2+)h=(3 025+169+715)×23=29 969(m3).
因为神殿的形状为正四棱柱,底面边长为9,高为6,
所以神殿的体积V2=81×6=486(m3).
所以该玛雅金字塔的体积V=29 969+486=30 455(m3).
答案:30 455
9.解:(1)由题得V=×122×6×10-3.14××10=3 736.8-785=2 951.8≈2 952(mm3)=2.952(cm3),所以一个六角螺帽的体积为2.952 cm3.
(2)这堆螺帽的个数为6×1 000÷(7.8×2.952)≈261.
即这堆六角螺帽大约有261个.
10.解:(1)如图甲所示,将正方形按图中虚线剪,以两个边长为2a的小正方形为底面,以四个小矩形为侧面,焊接成一个底面边长为2a,高为a的正四棱柱.
如图乙所示,将正方形沿图中虚线剪开,把两个小长方形焊接成边长为2a的正方形作为底面,三个等腰三角形为侧面,两个边上的小直角三角形,焊接成与其他侧面相同的等腰三角形为第四个侧面,这样就可焊成一个底面边长为2a,斜高为3a的正四棱锥.
(2)由上面的裁剪焊接方式可得V柱=(2a)2·a=4a3,V锥=(2a)2·2a=a3.又∵42-=>0,∴4a3>a3.∴正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大.
11.选CD 设AB=ED=2FB=2a,因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,所以V1=·ED·S△ACD=·2a··(2a)2=a3,
V2=·FB·S△ABC=·a··(2a)2=a3.连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得BD⊥AC,
又ED⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
则ED⊥AC.又ED∩BD=D,ED,BD 平面BDEF,则AC⊥平面BDEF.
过F作FG⊥DE于G,易得四边形BDGF为矩形,
则FG=BD=2a,EG=a,
又BM=DM=BD=a,
则EM==a,
FM==a,
EF==3a,
EM2+FM2=EF2,则EM⊥FM,S△EFM=EM·FM=a2,AC=2a,
则V3=VA-EFM+VC-EFM=AC·S△EFM=2a3,则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A、B错误,C、D正确.故选C、D.
12.解析:因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2,
所以由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角,即弦AB所对的圆心角为×2π=.
设底面半径为r,则弦AB===r.
设圆柱的高为h,则
解得或(舍去).
所以圆柱的体积V=πr2h=96π.
答案:96π
13.解析:由题意可知,开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=×8=,
底面半径r=×4=,故细沙的体积V=πr2H=π××=.
当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设高为H',
则π×42×H'=,解得H'=.故此圆锥形沙堆的高为 cm.
答案:
14.解:(1)证明:因为AB⊥BC,AB=2,BC=2,O是BC的中点,所以==.
所以△OBA∽△ABC.所以∠CAB=∠AOB.
记BF⊥AO的垂足为H,则△BHA∽△OBA,
所以∠HBA=∠AOB.
所以∠HBA=∠CAB.所以BF=AF,∠BCF=∠CBF.所以CF=BF.
故CF=AF,F是AC的中点.
因为E,F分别是AP,AC的中点,所以EF∥PC.
因为D,O分别是BP,BC的中点,所以DO∥PC.
所以EF∥DO.
又DO 平面ADO,EF 平面ADO,
所以EF∥平面ADO.
(2)由(1)得FO∥AB,
因为AB⊥BC,所以FO⊥BC.
又PO⊥BC,
所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角.
所以二面角P-BC-F的大小为120°.
如图,过点P作PM⊥平面ABC于点M,连接MO,MB,则∠POM是二面角P-BC-M的平面角,
所以∠POM=60°.
在△PBC中,由PB=PC=,BC=2,得PO=2,所以PM=.
所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=S△ABC×PM=××2×2×=.
15.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,△EAB和△FBC是正三角形,
∴分别取AB,BC的中点K,I,连接EK,FI,KI,则EK⊥AB,FI⊥BC,如图.
∵平面EAB⊥平面ABCD,平面EAB∩平面ABCD=AB,EK 平面EAB,
∴EK⊥平面ABCD.同理FI⊥平面ABCD,
∴EK∥FI.易知△EAB≌△FBC,
∴EK=FI.
∴四边形EKIF是平行四边形.
∴EF∥KI.
又EF 平面ABCD,KI 平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
(2)可补形成长方体,如图,易得长方体的高为4cm.故所求包装盒的容积V=82×4-4×××42×4=(cm3).
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