6.3 球的表面积和体积(教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学)
[课时目标] 1.理解球的大、小圆,直线与球相切的意义.
2.掌握球的表面积与体积公式,并能解决与球有关的组合体的相关计算问题.
1.球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的 ,被不经过球心的平面截得的圆称为球的 .
2.球的切线
(1)当直线与球有 时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的 .
(2)过球外一点的所有切线的切线长都 ,这些切点的集合是一个 ,该圆面及所有切线围成了一个 .
3.球的表面积和体积
S球面= ,V球= (其中R为球的半径).
题型(一) 球的截面
1.球的截面形状
(1)当截面过球心时,截面的半径即球的半径,此时球的截面就是球的大圆;
(2)当截面不过球心时,截面的半径小于球的半径,此时球的截面就是球的小圆.
2.球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式:d=.
图形解释如下:
在球的轴截面图中,截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R,以O'为圆心的截面的半径为r,OO'=d.则在Rt△OO'C中,有OC2=O'C2+OO'2,即R2=r2+d2.
[例1] (1)某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为2π,则该球的表面积为 ( )
A.20π B.16π
C.12 D.8
(2)如图,A,B,C是球面上三点,已知弦AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半,则球的表面积为 cm2.
听课记录:
[例2] 在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2,求此球的表面积.
听课记录:
|思|维|建|模|
空间向平面的转化
(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
(2)球到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r=.
利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径.
[针对训练]
1.过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,截面面积是48π cm2,求球的表面积.
题型(二) 与球有关的简单组合体
题点(一) 球与正(长)方体的切接问题
处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题.
(1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.
(2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
[例3] 有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
听课记录:
题点(二) 球与其他多面体的切接问题
特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=.
[例4] 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为 ( )
A.πa2 B.πa2
C.πa2 D.5πa2
听课记录:
题点(三) 球与旋转体的切接问题
球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
[例5] (1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 ( )
A.4π(r+R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R+r)2
(2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 .
听课记录:
|思|维|建|模|
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;
(2)利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径;
(3)定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点的距离也是半径,列关系式求解即可.
[针对训练]
2.棱长为4的正方体的内切球的表面积为 ( )
A.4π B.12π
C.16π D.20π
3.已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为4,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是 .
6.3 球的表面积和体积
1.大圆 小圆 2.(1)唯一交点 切点 (2)相等 圆 圆锥 3.4πR2 πR3
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)设截面圆的半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,根据截面圆的周长为2π可得2π=2πr,解得r=1,由题意知R2=12+22=5,∴该球的表面积为4πR2=20π.故选A.
(2)因为AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,可知AB2+BC2=AC2,
故△ABC外接圆的直径为AC=30 cm,故外接圆的半径15 cm,
设球的半径为R,截面和球心的距离等于球半径的一半,
则R2=+152,解得R=10.
所以球的表面积为S=4πR2=1 200π cm2.
答案:(1)A (2)1 200π
[例2] 解:(1)若两截面位于球心的同侧.如图1所示的是经过球心O的大圆截面,C,C1分别是两平行截面的圆心,设球的半径为R cm,截面圆的半径分别为r cm,r1cm.
由π=49π,得r1=7(r1=-7舍去),
由πr2=400π,得r=20(r=-20舍去).
在Rt△OB1C1中,OC1==,
在Rt△OBC中,OC==.
由题意可知OC1-OC=9,
即-=9,
解得R=25.
S球=4πR2=2 500π(cm2).
(2)若球心在截面之间,如图2所示,
OC1=,
OC=.
由题意可知OC1+OC=9,
即+=9.
整理,得=-15,此方程无解,这说明第二种情况不存在.
[针对训练]
1.解:如图,设O'为截面圆的圆心,则OO'⊥O'A,O'A为截面圆的半径,OA为球的半径,令OA=R,
则OO'=,∵48π=π·O'A2,
∴O'A2=48.在Rt△OO'A中,OA2=OO'2+O'A2,即R2=+48,
∴R2=64.∴S球面=4πR2=4π×64=256π(cm2).
[题型(二)]
[例3] 解:设正方体的棱长为a,设三个球的半径分别为r1,r2,r3.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过在一个平面上的四个切点及球心作截面,如图(1)所示.
所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2.
②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2).
所以2r2=a,r2=a,
所以S2=4π=2πa2.
③正方体的各个顶点都在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示.
则2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2.
因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
[例4] 选B 如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2.
∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,
∴A=a2+a2=a2,
故该球的表面积S球=4π×a2=πa2.
[例5] 解析:(1)如图,BE=BO2=r,AE=AO1=R,
又OE⊥AB且BO⊥OA,
∴△AEO∽△OEB,
∴OE2=AE·BE=Rr,
∴球的表面积为4πOE2=4πRr.
(2)设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.
所以==.
答案:(1)C (2)
[针对训练]
2.选C 设内切球的半径为r,由球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径,得2r=4,r=2,故内切球的表面积为S=4πr2=16π.
3.解析:如图,
过点S作SE⊥平面ABC于点E,记球心为O.
∵在正三棱锥S-ABC中,底面边长为6,侧棱长为4,
∴BE=××6=2.
∴SE==6.
∵球心O到四个顶点的距离相等,均等于该正三棱锥外接球的半径R,
∴OB=R,OE=6-R.
在Rt△BOE中,OB2=BE2+OE2,
即R2=12+(6-R)2,解得R=4.
∴外接球的表面积为S=4πR2=64π.
答案:64π
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球的表面积和体积
(拓展融通课——习题讲评式教学)
6.3
课时目标
1.理解球的大、小圆,直线与球相切的意义.
2.掌握球的表面积与体积公式,并能解决与球有关的组合体的相关计算问题.
1.球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的 ,被不经过球心的平面截得的圆称为球的 .
2.球的切线
(1)当直线与球有 时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的 .
(2)过球外一点的所有切线的切线长都 ,这些切点的集合是一个 ,该圆面及所有切线围成了一个 .
3.球的表面积和体积
S球面= ,V球= (其中R为球的半径).
大圆
小圆
唯一交点
切点
相等
圆
圆锥
4πR2
πR3
CONTENTS
目录
1
2
题型(一) 球的截面
题型(二) 与球有关的简单组合体
3
课时跟踪检测
题型(一) 球的截面
01
1.球的截面形状
(1)当截面过球心时,截面的半径即球的半径,此时球的截面就是球的大圆;
(2)当截面不过球心时,截面的半径小于球的半径,此时球的截面就是球的小圆.
2.球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式:d=.
图形解释如下:
在球的轴截面图中,截面与球的轴截面的关系如图所示.
若设球的半径为R,以O'为圆心的截面的半径为r,OO'=d.
则在Rt△OO'C中,有OC2=O'C2+OO'2,即R2=r2+d2.
[例1] (1)某同学在参加《通用技术》实践课时,制作
了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球
被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分
(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长
为2π,则该球的表面积为 ( )
A.20π B.16π C.12 D.8
解析:设截面圆的半径为r,球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,根据截面圆的周长为2π可得2π=2πr,解得r=1,由题意知R2=12+22=5,∴该球的表面积为4πR2=20π.故选A.
√
(2)如图,A,B,C是球面上三点,已知弦AB=18 cm,BC=24 cm,
AC=30 cm,平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半,
则球的表面积为 cm2.
解析:因为AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,
可知AB2+BC2=AC2,故△ABC外接圆的直径为AC=30 cm,
故外接圆的半径15 cm,
设球的半径为R,截面和球心的距离等于球半径的一半,则R2=+152,解得R=10.所以球的表面积为S=4πR2=1 200π cm2.
1 200π
[例2] 在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和
400π cm2,求此球的表面积.
解:(1)若两截面位于球心的同侧.如图1所示的是经过球心O的大圆截面,C,C1分别是两平行截面的圆心,设球的半径为R cm,截面圆的半径分别为r cm,r1cm.由π=49π,得r1=7(r1=-7舍去),由πr2=400π,得r=20(r=-20舍去).在Rt△OB1C1中,OC1==,
在Rt△OBC中,OC==.
由题意可知OC1-OC=9,即-=9,
解得R=25.S球=4πR2=2 500π(cm2).
(2)若球心在截面之间,
如图2所示,OC1=,OC=.
由题意可知OC1+OC=9,
即+=9.
整理,得=-15,此方程无解,这说明第二种情况不存在.
|思|维|建|模|
空间向平面的转化
(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
(2)球到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系式r=.
利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题平面化的主要途径.
1.过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,
截面面积是48π cm2,求球的表面积.
解:如图,设O'为截面圆的圆心,则OO'⊥O'A,O'A为
截面圆的半径,OA为球的半径,令OA=R,则OO'=,∵48π=π·O'A2,
∴O'A2=48.在Rt△OO'A中,OA2=OO'2+O'A2,
即R2=+48,∴R2=64.
∴S球面=4πR2=4π×64=256π(cm2).
针对训练
题型(二)
与球有关的简单组合体
02
题点(一) 球与正(长)方体的切接问题
处理与球有关的相接、相切问题时,关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面,将空间问题转化为平面问题.
(1)球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.
(2)球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
[例3] 有三个球,第一个球内切于正方体的六个面,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
解:设正方体的棱长为a,设三个球的半径分别为r1,r2,r3.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过在一个平面上的四个切点及球心作截面,如图(1)所示.
所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2.
②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2).所以2r2=a,r2=a,所以S2=4π=2πa2.
③正方体的各个顶点都在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示.则2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2.
因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
题点(二) 球与其他多面体的切接问题
特殊多面体的内切球或外接球问题,要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如几何体的中心,对角线的中点等,还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=.
[例4] 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点在一个球面上,则该球的表面积为 ( )
A.πa2 B.πa2
C.πa2 D.5πa2
解析:如图所示,设O1,O分别为上、下底面的中心,连接OO1,则球心O2为OO1的中点,连接AO并延长交BC于D点,连接AO2.
∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,∴A=a2+a2=a2,
故该球的表面积S球=4π×a2=πa2.
√
题点(三) 球与旋转体的切接问题
球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
[例5] (1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 ( )
A.4π(r+R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R+r)2
解析:如图,BE=BO2=r,AE=AO1=R,
又OE⊥AB且BO⊥OA,
∴△AEO∽△OEB,
∴OE2=AE·BE=Rr,
∴球的表面积为4πOE2=4πRr.
√
(2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下
底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积
为V2,则的值是 .
解析:设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,
高为2r.所以==.
|思|维|建|模|
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解; (2)利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径;
(3)定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点的距离也是半径,列关系式求解即可.
2.棱长为4的正方体的内切球的表面积为 ( )
A.4π B.12π
C.16π D.20π
解析:设内切球的半径为r,由球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径,得2r=4,r=2,故内切球的表面积为S=4πr2=16π.
√
针对训练
3.已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为4,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是 .
解析:如图,过点S作SE⊥平面ABC于点E,记球心为O.
∵在正三棱锥S-ABC中,底面边长为6,侧棱长为4,
∴BE=××6=2.
∴SE==6.∵球心O到四个顶点的距离相等,均等于该正三棱锥外接球的半径R,∴OB=R,OE=6-R.在Rt△BOE中,OB2=BE2+OE2,
即R2=12+(6-R)2,解得R=4.∴外接球的表面积为S=4πR2=64π.
64π
课时跟踪检测
03
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A级——达标评价
1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比为( )
A.1∶9 B.1∶27
C.1∶3 D.1∶1
解析:设两球的半径分别为r,3r,则表面积之比为=.
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2.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为 ( )
A.8π B.
C.
解析:作轴截面如图所示,则OO1=1.设截面圆的半径为r,
球的半径为R.由已知可得πr2=π,所以r=1,R=.
故S球=4πR2=8π.
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3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 ( )
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
解析:设三个球的半径分别为x,2x,3x,则最大球的体积V大=×(3x)3=
36πx3,另两球的体积之和V和=x3+×(2x)3=12πx3,所以V大=3V和.
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4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 ( )
A.8π B.12π
C.16π D.π
解析:因为正方体的体积为8,则其棱长为2,体对角线长为2,因此其外接球直径为2,半径为,所以其外接球的表面积为4π×()2=12π.
√
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5.如图,所有棱长都等于2的三棱柱ABC-A1B1C1的
所有顶点都在球O上,球O的体积为( )
A.27π B.
C.28π D.π
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解析:如图,三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形中心连线的中点处(O1,O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心,点O是线段O1O2的中点,即外接球的球心),C1O1=A1B1=×2=2,C1O==,
所以球O的体积V=πr3=π×()3=π.故选D.
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6.半球内有一个内接正方体,若正方体的棱长为,则这个半球的体积为 .
解析:过正方体对角面作截面如图所示,
设半球的半径为R,因为正方体的棱长为,
所以CC'=,OC=×=.
连接OC',在Rt△C'CO中,由勾股定理,得CC'2+OC2=OC'2,
即()2+()2=R2,所以R=3.故V半球=×πR3=18π.
18π
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7.若一个四面体的四个面中,有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形,另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形,则该四面体的外接球的表面积为 .
解析:满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V-ABC,
所以VA=AB=BC=1,VB=AC=,
其外接球即为该正方体的外接球,故其半径为R=.
所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π.
3π
1
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8.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同
的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上
面的球(如图所示),则球的半径是 cm.
解析:设球的半径为r cm,则由题意可得3V球+V水=V圆柱,即3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.故球的半径是4 cm.
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9. (10分)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和
一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱高
为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
解:因为半球的直径是6 cm,所以半径R=3 cm.
所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3).
又V圆柱=πR2×2=18π(cm3),所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3).
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(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克
解:根据题意,上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2),
又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2).
所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2)=12π(m2).所以共需胶100×12π=1 200π(克).
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B级——重点培优
10.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
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解析:依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,故A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2,故B错误;球的表面积为4πR2,圆柱的侧面积为4πR2,故C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,
V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,
∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,故D正确.
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11.(多选)已知A,B,C三点均在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的,则下列结论正确的是( )
A.球O的表面积为6π
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为
D.球O的内接正四面体的棱长为2
√
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解析:设球的半径为R,由已知可得ABC外接圆半径为r==,∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的,∴R2-R2=,得R2=.球O的表面积为4π×=6π,故A正确;设球O的内接正方体的棱长为a,∵正方体的体对角线即球O的直径,∴a=2R,解得a=,故B错误;设球O的外切正方体的棱长为b,∵正方体的棱长即球O的直径长,∴b=2R=,故C错误;设球O的内接正四面体的棱长为c,则正四面体的高为=c,由+=,解得c=2,故D正确.故选A、D.
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12.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
解析:如图,线段EF过正方体的中心,所以以EF为
直径的球的球心即正方体的中心,球的半径为.
而正方体的中心到每一条棱的距离均为,所以
以EF为直径的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点.
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13.已知Rt△ABC的斜边AC=2,∠ACB=,现将△ABC绕AB边旋转至△ABD的位置,使∠CBD=,则所得四面体A-BCD外接球的表面积为 .
解析:如图,取CD的中点M,连接BM,∠ACB=∠ADB=,∠CBD=,AC=AD=2,
AB=2sin=,BC=BD=2cos=1,CD=,
所以△BCD是等腰直角三角形,则斜边CD的中点
M为△BCD外接圆的圆心.
因为AB⊥BC,AB⊥BD,BC∩BD=B,BC,BD 平面BCD,
5π
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所以AB⊥平面BCD.过M作平面BCD的垂线,过AB的中点N作BM的平行线,两直线的交点为O,点O即为四面体A-BCD外接球的球心.
连接OB,因为BM=CD=,OM=NB=AB=,
所以四面体A-BCD外接球的半径R=OB===,
故所求外接球的表面积为S=4πR2=5π.
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14.(12分)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,求R的取值范围.
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解:设圆柱的高为h,酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,所以πRh=-πR2.
所以V=πR3+πR2h=πR3+R=-R3+R≤πR3,解得R .
又h>0,所以-πR2>0,解得R<.所以≤R<,
即R的取值范围为.
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15. (14分)如图一个半球,挖掉一个内接直三棱柱
ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上),AB=AC,
棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积;
解:记球心为O,BC中点为E,连接AO,OE,AE,
由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径,又BB1C1C是一个长为4的正方形,因此OE=AE=2,球半径为R=AO==2,
挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16.
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(2)求剩余几何体的表面积.
解:由(1)知AC==2,==
2×4=8,S△ABC=×4×2=4,=16,
S半球=2π×(2)2+π×(2)2=24π,所以剩余几何体
表面积为S=S半球-+++2S△ABC=
24π-16+2×8+2×4=24π+16-8.课时跟踪检测(五十五) 球的表面积和体积
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.如果两个球的半径之比为1∶3,那么这两个球的表面积之比为 ( )
A.1∶9 B.1∶27
C.1∶3 D.1∶1
2.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为 ( )
A.8π B.
C.
3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 ( )
A.1倍 B.2倍
C.3倍 D.4倍
4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 ( )
A.8π B.12π
C.16π D.π
5.如图,所有棱长都等于2的三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O上,球O的体积为 ( )
A.27π B.
C.28π D.π
6.半球内有一个内接正方体,若正方体的棱长为,则这个半球的体积为 .
7.若一个四面体的四个面中,有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形,另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形,则该四面体的外接球的表面积为 .
8.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.
9.(10分)如图,某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
(2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克
B级——重点培优
10.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是 ( )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
11.(多选)已知A,B,C三点均在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的,则下列结论正确的是 ( )
A.球O的表面积为6π
B.球O的内接正方体的棱长为1
C.球O的外切正方体的棱长为
D.球O的内接正四面体的棱长为2
12.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
13.已知Rt△ABC的斜边AC=2,∠ACB=,现将△ABC绕AB边旋转至△ABD的位置,使∠CBD=,则所得四面体A-BCD外接球的表面积为 .
14.(12分)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,求R的取值范围.
15.(14分)如图一个半球,挖掉一个内接直三棱柱ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上),AB=AC,棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形.
(1)求挖掉的直三棱柱的体积;
(2)求剩余几何体的表面积.
课时跟踪检测(五十五)
1.选A 设两球的半径分别为r,3r,则表面积之比为=.
2.选A 作轴截面如图所示,则OO1=1.设截面圆的半径为r,球的半径为R.由已知可得πr2=π,所以r=1,R=.故S球=4πR2=8π.
3.选C 设三个球的半径分别为x,2x,3x,则最大球的体积V大=×(3x)3=36πx3,另两球的体积之和V和=x3+×(2x)3=12πx3,所以V大=3V和.
4.选B 因为正方体的体积为8,则其棱长为2,体对角线长为2,因此其外接球直径为2,半径为,所以其外接球的表面积为4π×()2=12π.
5.选D 如图,三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形中心连线的中点处(O1,O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心,点O是线段O1O2的中点,即外接球的球心),C1O1=A1B1=×2=2,C1O==,
所以球O的体积V=πr3=π×()3=π.故选D.
6.解析:过正方体对角面作截面如图所示,设半球的半径为R,因为正方体的棱长为,
所以CC'=,OC=×=.
连接OC',在Rt△C'CO中,由勾股定理,得CC'2+OC2=OC'2,
即()2+()2=R2,所以R=3.
故V半球=×πR3=18π.
答案:18π
7.解析:满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V-ABC,
所以VA=AB=BC=1,VB=AC=,
其外接球即为该正方体的外接球,故其半径为R=.
所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π.
答案:3π
8.解析:设球的半径为r cm,则由题意可得3V球+V水=V圆柱,即3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.故球的半径是4 cm.
答案:4
9.解:(1)因为半球的直径是6 cm,所以半径R=3 cm.
所以两个半球的体积之和为
V球=πR3=36π(cm3).
又V圆柱=πR2×2=18π(cm3),所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3).
(2)根据题意,上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2),
又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2),所以1个“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2).
所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2)=12π(m2).所以共需胶100×12π=1 200π(克).
10.选CD 依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,故A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2,故B错误;球的表面积为4πR2,圆柱的侧面积为4πR2,故C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,故D正确.
11.选AD 设球的半径为R,由已知可得ABC外接圆半径为r==,
∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的,∴R2-R2=,得R2=.
球O的表面积为4π×=6π,故A正确;
设球O的内接正方体的棱长为a,∵正方体的体对角线即球O的直径,∴a=2R,解得a=,故B错误;
设球O的外切正方体的棱长为b,∵正方体的棱长即球O的直径长,∴b=2R=,故C错误;
设球O的内接正四面体的棱长为c,则正四面体的高为=c,由+=,解得c=2,故D正确.故选A、D.
12.解析:如图,线段EF过正方体的中心,所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心,球的半径为.而正方体的中心到每一条棱的距离均为,所以以EF为直径的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点.
答案:12
13.解析:如图,取CD的中点M,连接BM,∠ACB=∠ADB=,∠CBD=,AC=AD=2,
AB=2sin=,BC=BD=2cos=1,CD=,
所以△BCD是等腰直角三角形,则斜边CD的中点M为△BCD外接圆的圆心.
因为AB⊥BC,AB⊥BD,BC∩BD=B,BC,BD 平面BCD,
所以AB⊥平面BCD.过M作平面BCD的垂线,过AB的中点N作BM的平行线,
两直线的交点为O,点O即为四面体A-BCD外接球的球心.
连接OB,因为BM=CD=,OM=NB=AB=,
所以四面体A-BCD外接球的半径
R=OB=
==,
故所求外接球的表面积为S=4πR2=5π.
答案:5π
14.解:设圆柱的高为h,
酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,
所以πRh=-πR2.
所以V=πR3+πR2h=πR3+R=-R3+R≤πR3,
解得R≥.
又h>0,所以-πR2>0,解得R< .
所以≤R<,即R的取值范围为.
15.解:(1)记球心为O,BC中点为E,连接AO,OE,AE,
由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径,又BB1C1C是一个长为4的正方形,
因此OE=AE=2,球半径为R=AO==2,
挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16.
(2)由(1)知AC==2,
==2×4=8,
S△ABC=×4×2=4,=16,S半球=2π×(2)2+π×(2)2=24π,
所以剩余几何体表面积为S=S半球-+++2S△ABC=24π-16+2×8+2×4=24π+16-8.
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