2025年新九年级数学人教版暑假预习大讲堂 第三讲 解一元二次方程（二）公式法（含解析）

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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第三讲 解一元二次方程（二）公式法
知识点梳理
知识点1 求根公式
1.一般地，对于一元二次方程，
当
要点诠释：
求根公式只适用一元二次方程，即必须确认a≠0.
只有b2-4ac ≥0时，才能用求根公式求一元二次方程的解。
知识点2 公式法求解一元二次方程
公式法的定义：用求根公式求解一元二次方程的方法叫公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。
要点诠释：
必须首先把一元二次方程化为一般形式，再确定a、b、c的值
知识点3 一元二次方程根的判别式
①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。
②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 0 。
③时，一元二次方程没有实数根。
要点诠释：
任何一个一元二次方程如果有根，一定是两个，
b2-4ac<0,方程没有实数根，是指在实数范围内，方程无解，不能说b2-4ac<0,方程无解。
知识点4 一元二次方程根的判别式的应用
（1）不解方程，判定方程根的情况
（2）与方程根的情况确定参数的值
（3）根据方程根的情况证明
题型1 公式法解一元二次方程
【例1】．用公式法解方程．
针对训练1
1．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列一元二次方程的根是的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　）
A． B．
C． D．
4．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ．
题型2 实数范围内因式分解
【例2】若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根为x1，x2，则多项式ax2+bx+e可以分解因式为a(x-x1)(x-x2），例如因为方程3x2-4x+1=0的两根为，，则．请根据以上结论在实数范围内因式分解．
（1）
（2）
针对训练2
1．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为( )
A．
B．
C．
D．
3．在实数范围内因式分解： ．
4．在实数范围内因式分解：
【例3】已知整式．
(1)化简该整式；
(2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由．
针对训练3
1．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
2．当时，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ）
A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当，，时，方程一定没有实数根；
C．当，时，方程一定没有实数根；
D．当，，时，方程一定有实数根．
【例4】已知关于x的一元二次方程有实数根．若m是符合条件的最大整数，求m的值．
针对训练4
1．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
(1)求的值．
(2)求此时方程的根．
4．计算题
(1)解方程（公式法）
(2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围．
5．我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值．
(2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围．
【例5】已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求证：为非负数；
(2)若，，均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．
针对训练5
1．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围．
2．已知关于的方程，其中分别为三边的长．
(1)若是方程的根，试判断的形状；
(2)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状．
3．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围．
4．已知关于的方程：．
(1)若该方程有一个根是2，求的值；
(2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
5．已知：关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根．
能力提升 创新拓展
1．某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务：
关于根的判别式的探究
素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法．
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值．
2．阅读下列材料：
若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，
∵，
∴．
于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)请用上面方法分解二次三项式；
(2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）．
3．已知方程的根都是整数．求整数k的值及方程的根．
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第三讲 解一元二次方程（二）公式法
知识点梳理
知识点1 求根公式
1.一般地，对于一元二次方程，
当
要点诠释：
求根公式只适用一元二次方程，即必须确认a≠0.
只有b2-4ac ≥0时，才能用求根公式求一元二次方程的解。
知识点2 公式法求解一元二次方程
公式法的定义：用求根公式求解一元二次方程的方法叫公式法。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。
要点诠释：
必须首先把一元二次方程化为一般形式，再确定a、b、c的值
知识点3 一元二次方程根的判别式
①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。
②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 0 。
③时，一元二次方程没有实数根。
要点诠释：
任何一个一元二次方程如果有根，一定是两个，
b2-4ac<0,方程没有实数根，是指在实数范围内，方程无解，不能说b2-4ac<0,方程无解。
知识点4 一元二次方程根的判别式的应用
（1）不解方程，判定方程根的情况
（2）与方程根的情况确定参数的值
（3）根据方程根的情况证明
题型1 公式法解一元二次方程
【例1】．用公式法解方程．
【答案】，
【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形式得到，，，计算得到，代入求根公式进行计算即可．
【详解】解：
∵，，，
∴，
∴，
解得，．
针对训练1
1．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案．
【详解】解：，
，
则，，，
故选：C．
2．下列一元二次方程的根是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为．据此结合题意得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴该一元二次方程可以为，
故选：D．
3．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键．
根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可．
【详解】解：由知：，，．
所以该一元二次方程为：．
故选：D．
5．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
根据求根公式中的意义求解．
【详解】解：．
故答案为：．
题型2 实数范围内因式分解
【例2】若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根为x1，x2，则多项式ax2+bx+e可以分解因式为a(x-x1)(x-x2），例如因为方程3x2-4x+1=0的两根为，，则．请根据以上结论在实数范围内因式分解．
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用公式法求出方程的根，再利用已知分解因式即可；
（2）利用公式法求出方程的根，再利用已知分解因式即可．
【详解】（1）
这里a=2，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0，
由=0，得方程的解为：，；
∴
（2）
由方程=0，得方程的解为：，
所以，
【点睛】此题考查了用解一元二次方程的方法对二次三项式进行因式分解．正确求出方程的根是解决问题的关键．
针对训练2
1．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．
【详解】解：令，解得，，
所以，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
2．若在实数范围内定义一种运算“*”，使，则方程的根为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据运算“*”的规则，可将所求的方程化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，然后解这个一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，可将所求方程转化为：（x+2+1）2-5（x+2）=0，
化简得：x2+x-1=0
解得x1= ，x2= ．
故选D．
【点睛】本题考查解一元二次方程--公式法，是一个阅读型的问题，弄清新运算的规则是解答此类题的关键．
3．在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解及一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解及一元二次方程的解法是解题的关键；可令，然后根据求根公式可得出方程的根，进而问题可求解．
【详解】解：由题意可令，
则，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
4．在实数范围内因式分解：
【答案】
【分析】令，则式子可化为，令，求解即可．
【详解】解：令，则式子可化为，
令
则，，
则，
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．
【例3】已知整式．
(1)化简该整式；
(2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由．
【答案】(1)
(2)有两个不相等的实数根；理由见解析
【分析】该题考查了一元二次方程根判别式和整式混合运算，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据多项式乘多项式乘法法则和单项式乘多项式乘法法则去括号，再运算加减法即可；
（2）根据该整式的值为正数，得出，求出，再根据一元二次方程根判别式解答即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：由题可得，
解得：．
对于关于的方程，
．
因为，
所以．
所以该方程有两个不相等的实数根．
针对训练3
1．一元二次方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先将原方程化为一般式，再根据根的判别式求解即可．
【详解】解：原方程化为，
则，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
2．当时，关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键，根据题中新定义的运算方法，得到关于x的一元二次方程，再利用判断根的情况，即可得到答案．
【详解】解：由题可得：，
∴，
∴
∵
∴，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先根据数轴确定，再由根的判别式得到，即可确定符号．
【详解】解：由数轴得，
∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
5．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ）
A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当，，时，方程一定没有实数根；
C．当，时，方程一定没有实数根；
D．当，，时，方程一定有实数根．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“若方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根”进行排除选项即可．
【详解】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意；
故选D．
【例4】已知关于x的一元二次方程有实数根．若m是符合条件的最大整数，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据关于x的一元二次方程有实数根，得出，，求出结果即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得：且，
∵m是符合条件的最大整数，
∴．
针对训练4
1．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分情况讨论：当时，求出方程的解；当时根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可．
【详解】解：当时，
原方程为，
解得，符合题意；
当时，
∵方程有实数根，
∴，
∴，
∴且，
综上，，
故选：B．
2．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键．
（1）根据根的判别式解答即可；．
（2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可．
【详解】（1）证明：∵
．
∴该方程有两个实数根．
（2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下：
由求根公式，得：，
即，，
∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数，
∴必为正整数，
∴或，
即当或时，该方程的两个实数根均为正整数．
3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
(1)求的值．
(2)求此时方程的根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用根的判别式为0，即可得出的值；
（2）将代入方程，然后利用完全平方公式即可得解
此题主要考查根的判别式以及完全平方公式的运用，熟练掌握，即可解题．
【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得：；
（2）当时，代入原方程得，
解得．
4．计算题
(1)解方程（公式法）
(2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)且
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．
（1）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可；
（2）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：
移项：，
，，，
∵
∴，
解得：，；
（2）解：因为关于x的一元二次方程有实数根，
所以，
解得．
又因为是一元二次方程，
所以，
所以
综合知，m的取值范围是且．
5．我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值．
(2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围．
【答案】(1)23
(2)且
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元二次方程根的判别式和定义，正确理解新运算的定义是解题关键．
（1）根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的四则混合运算即可得；
（2）先根据新运算的定义可得一个关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式和定义求解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：
．
（2）解：由题意得：
，
∵，
∴，
∵关于的方程有两个实数根，即关于的方程有两个实数根，
∴这个方程根的判别式，且，
解得且．
【例5】已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求证：为非负数；
(2)若，，均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．
【答案】(1)见解析；
(2)该一元二次方程没有整数解，理由见解析．
【分析】（）根据题意可得，从而求证；
（）设关于的一元二次方程的整数解为，则也为奇数，然后分为奇数，为偶数两种情况分析即可求解；
此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴为非负数；
（2）解：该一元二次方程没有整数解，理由，
设关于的一元二次方程的整数解为，
∴，则，
∵为奇数，
∴也为奇数，故也为奇数，
若为奇数，则也为奇数，
∵为奇数，为奇数，
∴为奇数，为奇数，
∴为偶数，
∴与为奇数相矛盾，不符合题意；
若为偶数，则也为偶数，
∵为奇数，为奇数，
∴为偶数，为偶数，
∴为偶数，
∴与为奇数相矛盾，不符合题意；
综上可知：无论为奇数或偶数都相矛盾，
故该一元二次方程没有整数解．
针对训练5
1．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．
（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
（2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围．
【详解】（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由（1）知，，，，，
解方程得，
，．
由题意可知，，
．
2．已知关于的方程，其中分别为三边的长．
(1)若是方程的根，试判断的形状；
(2)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状．
【答案】(1)为等腰三角形；
(2)为直角三角形．
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握根的判别式，等腰三角形的定义，勾股定理判定直角三角形的计算是关键．
（1）把代入方程得到，结合等腰三角形的定义即可求解；
（2）根据根的判别式列式得，结合勾股定理判定直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵方程有两个相等的实数根，
∴．
∴，
∴为直角三角形．
3．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，利用根的情况求参数范围等．
（1）计算，即可证明出本题答案；
（2）利用求根公式得出，再由根的关系可得，计算出结果即为本题答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∵方程有一根不小于2，
∴，
解得：，
∴m的取值范围：．
4．已知关于的方程：．
(1)若该方程有一个根是2，求的值；
(2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题．
（1）根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求解即可；
（2）证明即可．
【详解】（1）解：∵方程：的一个根为2，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∵，
∴，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
5．已知：关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根．
【答案】(1)且
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围；
（2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．
【详解】（1）解：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴的取值范围是且；
（2）证明：∵，
∴由求根公式得
，
∴，
，
∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ．
能力提升 创新拓展
1．某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务：
关于根的判别式的探究
素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法．
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值．
【答案】任务1：；任务2：
【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，解一元一次不等式及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答．
任务 1：根据材料设，利用判别式解答即可；
任务 2：根据材料令，利用判别式解答即可
【详解】解：任务1：令，
．
．
解得：，
∴的最小值为．
任务2：由题意，令，
．
．
解得：，
又最小值为，
∴，
解得：．
2．阅读下列材料：
若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，
∵，
∴．
于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)请用上面方法分解二次三项式；
(2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围；
(3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)且
(3)，
【分析】此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键．
()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式；
()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围；
()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论；
【详解】（1）解：令，
∵，，，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：令 ，
由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解，
∴，
整理得，，
解得，
又∵且，
∴且；
（3）解：∵方程的两根是，
∴，
∴，
∵当时，代入上式，得，
∴是方程的一个根，
同理，也是方程 的一个根，
∴方程的两个根为 或，
在方程中，设，
得，
∴或，
∴或，
解得， ，
∴方程的根是，．
3．已知方程的根都是整数．求整数k的值及方程的根．
【答案】，0，2，3，，0，3，4
【分析】此题主要考查了一元二次方程的整数根的求法，以及根的判别式和完全平方数等知识，题目较简单．
先用利用已知条件得出，求出参数的范围，由特殊值法确定与的取值．
【详解】解：
∴
∴
整数，0，1，2，3．
由求根公式知，故
当时，，；
当时，，或3；
当时，不是完全平方数，整根不存在；
当时，，或4；
当时，，．
因此，，0，2，3，，0，3，4．
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
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典例精讲4
典例精讲5
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