微专题整合——动力学中的临界、极值问题
上一章讲的“平衡中的临界极值问题”只涉及物体受力的分析，仍属于纯力学的范畴，而“动力学中的临界、极值问题”不仅涉及物体受力的分析，还涉及运动状态的分析。在物体的运动状态发生变化的过程中，往往会达到某一个特定状态，此时有关的物理量将发生突变，此状态为临界状态，相应的物理量的值为临界值(或极值)。临界状态一般比较隐蔽，它在一定条件下才会出现。若题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语，常为临界问题。
1．临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力N＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力T＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为0
2．分析思路
思想方法 适用情境 分析思路
极限思想 题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般都隐含着临界问题 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到快速求解的目的
假设推理 物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题 一般先假设出某种临界状态，再分析物体的受力情况及运动情况是否与题设相符，然后根据实际情况进行处理
数学方法 利用临界值或临界条件作为求解问题的思维起点，在解决实际问题时经常用到 将物理过程转化为数学表达式，通过求解数学表达式的极值，求解得出临界条件
[应用体验]
1．(以“作用力为0”为临界、极值条件)如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离为h时，B与A分离。下列说法正确的是( )
A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长
B．B和A刚分离时，它们的加速度为g
C．弹簧的劲度系数等于
D．在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动
2．(以“速度相同或加速度相同”为临界、极值条件)如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m，物块与长木板间的动摩擦因数为μ，长木板与水平面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g。现对物块施加一水平向右的拉力F，则长木板加速度a的大小可能是( )
A．μg B.μg
C.μg D.－μg
微专题整合
1．选C A、B分离前，A、B共同做加速运动，由于F是恒力，而弹簧弹力是变力，故A、B做变加速直线运动，当两物体要分离时，FAB＝0，对B：F－mg＝ma，对A：kx－mg＝ma，即F＝kx时，A、B分离，此时弹簧仍处于压缩状态，由F＝mg，设用恒力F拉B前弹簧压缩量为x0，则2mg＝kx0，h＝x0－x，解以上各式得k＝，综上所述，C正确。
2．选D 若物块和长木板之间不发生相对滑动，物块和长木板一起运动，对物块和长木板的整体，根据牛顿第二定律可得F－μ·2mg＝2ma，解得a＝－μg；若物块和长木板之间发生相对滑动，对长木板，水平方向受两个摩擦力的作用，根据牛顿第二定律，有μmg－μ·2mg＝ma，解得a＝μg，D正确。
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动力学中的临界、极值问题
微专题整合
上一章讲的“平衡中的临界极值问题”只涉及物体受力的分析，仍属于纯力学的范畴，而“动力学中的临界、极值问题”不仅涉及物体受力的分析，还涉及运动状态的分析。在物体的运动状态发生变化的过程中，往往会达到某一个特定状态，此时有关的物理量将发生突变，此状态为临界状态，相应的物理量的值为临界值(或极值)。临界状态一般比较隐蔽，它在一定条件下才会出现。若题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语，常为临界问题。
1．临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力N＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力T＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为0
2．分析思路
思想方法 适用情境 分析思路
极限思想 题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般都隐含着临界问题 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到快速求解的目的
假设推理 物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题 一般先假设出某种临界状态，再分析物体的受力情况及运动情况是否与题设相符，然后根据实际情况进行处理
数学方法 利用临界值或临界条件作为求解问题的思维起点，在解决实际问题时经常用到 将物理过程转化为数学表达式，通过求解数学表达式的极值，求解得出临界条件
续表
[应用体验]
1．(以“作用力为0”为临界、极值条件)如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，运动距离为h时，B与A分离。下列说法正确的是( )
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(选择题1～8小题，每小题4分；10～13小题，每小题6分。本检测卷满分90分)
A级—学考达标
1．质量为1 kg的物体，受水平恒力F作用，由静止开始在光滑的水平面上做加速运动，它在t s内的位移为x m，则F的大小为( )
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2．为了减少行车过程中因急刹车造成车里的人受到伤害，人们设计了安全带。假定乘客质量为70 kg，汽车车速为90 km/h，从踩下刹车到完全停止需要的时间为5 s。安全带对乘客的作用力大小约为(不计人与座椅间的摩擦)( )
A．450 N B．400 N
C．350 N D．300 N
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3. 建筑工人用如图所示的定滑轮装置运送建筑材料。质量为M的工人站在地面上竖直向下拉绳子，通过定滑轮将质量为m的建筑材料竖直向上加速拉升。忽略绳子和定滑轮的质量，绳子与定滑轮之间的摩擦不计，且M>m，重力加速度大小为g，工人始终不离开地面。则关于工人对地面的压力大小F，下列关系正确的是( )
A．F>(M－m)g B．F＝(M－m)g
C．F<(M－m)g D．F＝Mg
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解析：设绳对建筑材料竖直向上的拉力大小为T，加速上升的加速度大小为a，则有T－mg＝ma，设地面对工人的支持力大小为F′，人静止可得F′＋T＝Mg，联立两式可得F′＝(M－m)g－ma，根据牛顿第三定律可得：工人对地面的压力大小F＝F′<(M－m)g，C正确。
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4．如图，在光滑的水平地面上放置着两个
质量均 为m的物块A、B，两物块间用劲度系数
为k的轻质弹簧连接，在水平向右的外力F的作用下，两物块最终一起做匀加速直线运动，则此时的加速度大小和弹簧的伸长量分别为(弹簧始终在弹性限度内)( )
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5. 如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行。现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端，木炭包将会在传送带上留下一段黑色的径迹。下列说法中正确的是( )
A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧
B．木炭包的质量越大，径迹的长度越短
C．传送带运动的速度越大，径迹的长度越短
D．木炭包与传送带间动摩擦因数越大，径迹的长度越短
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6. 如图所示，车辆在行驶过程中，如果车距不够，刹车不及时，汽车将发生碰撞，车里的人可能受到伤害。为了尽可能地减少碰撞引起的伤害，人们设计了安全带及安全气囊。假定乘客质量为70 kg，汽车车速为108 km/h(即30 m/s)，从踩下刹车到车完全停止需要的时间为5 s，安全带及安全气囊对乘客的平均作用力大小为( )
A．420 N B．600 N
C．800 N D．1 000 N
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7．(多选)如图所示表示某小球所受的合力与时间的关系，各段的合力大小相同，作用时间相同，设小球从静止开始运动，由此可判定( )
A．小球向前运动，再返回停止
B．小球向前运动，再返回不会停止
C．小球始终向前运动
D．小球在4 s末速度为0
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解析：由牛顿第二定律可知：在0～1 s，小球向前做匀加速直线运动，1 s末速度最大，在1～2 s，小球以大小相等的加速度向前做匀减速直线运动，2 s末速度为0；依此类推，C、D正确，A、B错误。
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8．(2024年1月·河南高考适应性演练)如图，在平直路面上进行汽车刹车性能测试。当汽车速度为v0时开始刹车，先后经过路面和冰面(结冰路面)，最终停在冰面上。刹车过程中，汽车在路面与在冰面所受阻力之比为7∶1，位移之比为8∶7。则汽车进入冰面瞬间的速度为( )
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9．(16分)一物体沿倾角为37°的斜面由静止开始匀加速直线滑下，在5 s的时间内滑下的路程为50 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，已知cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6。求物体与斜面间的动摩擦因数μ。
答案：0.25
解析：设物体下滑的加速度大小为a，根据运动学公式有x＝ at2，代入数据解得a＝4 m/s2
沿斜面方向由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ＝ma，解得μ＝0.25。
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B级—选考进阶
10．(2023·北京高考)如图所示，在光滑水平
地面上， 两相同物块用细线相连，两物块质量均
为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为( )
A．1 N B．2 N C．4 N D．5 N
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解析：拉力F最大时，对两物块整体受力分析有F＝2ma，再对后面的物块受力分析有FTmax＝ma，FTmax＝2 N，联立解得F＝4 N。
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11. 中国高速铁路系统简称“中国高铁”，完全由我国科技工作者自主研发，是中国呈现给世界的一张靓丽名片，目前“中国高铁”通车里程居世界第一位。为满足高速运行的需要，在高铁列车的前端和尾端各有一节机车，可以提供大小相等的动力。某高铁列车，机车和车厢共 16 节，假设每节机车和车厢的质量相等，运行时受到的摩擦和空气阻力相同，每节机车提供大小为F的动力。当列车沿平直铁道运行时，第 10 节(包含机车)对第 11 节的作用力大小和方向为( )
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12. 如图所示，A、B静止在水平地面上，A的质量为B的2倍，A、B之间的动摩擦因数为 ，B与地面之间的动摩擦因数为μ。若将水平拉力作用在B上，让两者共同向右加速，若A刚好要相对B滑动，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，此时B的加速度为a1；若将水平拉力撤去，则撤去拉力瞬间B的加速度为a2，则a1与a2的比为( )
A．1∶3 B．1∶5 C．1∶7 D．2∶3
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13．如图所示，质量均为m的a、b两物块用轻杆连接放在倾角为37°的斜面上，a所在BC段光滑、b与AB段间的动摩擦因数为0.25，重力加速度为g。a、b在平行于斜面的拉力F作用下沿斜面匀速上行(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．拉力F大小为1.6mg
B．杆对物块a的拉力大小为0.8mg
C．若撤去拉力F，则撤去瞬间物块a的加速度大小为0.7g
D．若撤去拉力F，则撤去瞬间杆对物块a的拉力为0
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14．(18分)(2024年1月·吉林、黑龙江高考适应性演练)滑雪是我国东北地区冬季常见的体育运动。如图(a)，在与水平面夹角θ＝14.5°的滑雪道上，质量m＝60 kg的滑雪者先采用两滑雪板平行的滑雪姿势(此时雪面对滑雪板的阻力可忽略)，由静止开始沿直线匀加速下滑x1＝45 m；之后采取两滑雪板间呈一定角度的滑雪姿势，通过滑雪板推雪获得阻力，匀减速继续下滑x2＝15 m后停止。已知sin 14.5°＝0.25，sin 37°＝0.6，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力。
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(1)求减速过程中滑雪者加速度a的大小；
答案：7.5 m/s2
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(2)如图(b)，若减速过程中两滑雪板间的夹角α＝74°，滑雪板受到沿雪面且垂直于滑雪板边缘的阻力均为F，求F的大小。
答案：500 N
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