8.6.1直线与直线垂直 教学设计

第八章 立体几何初步
8.6.1直线与直线垂直
一、教学目标
1. 掌握空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会画出异面直线．?
2.能运用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．
3.通过对直线与直线垂直的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.
二、教学重难点
1.理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直; 2.会求两异面直线所成的角.
三、教学过程：
（1）创设情景
空间两条直线如果不平行就一定相交吗？你能找出两条既不平行又不相交的例子吗？
学生回答，教师点拨 (提出本节课所学内容异面直线)
新知探究
问题1:垂直于同一条直线的两条直线，有几条种位置关系？
学生回答(相交、异面、平行）教师点拨
问题2:已知a和b是异面直线，a和c是异面直线，那么b和c也是异面直线吗？
学生回答（不一定），教师点拨
（3）新知建构
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
异面直线所成的角：
设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线，则把直线所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角．
特例 当异面直线a，b所成的角为90°时，则称这两条异面直线是互相垂直的；记为a⊥b．
异面直线所成角的范围：
（4）数学运用
例1.如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
【解析】(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
变式训练1:如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )
A． B． C． D．
【答案】D【解析】如图，连接B1G,B1F ．则异面直线A1E与GF所成角为∠B1GF． △B1GF中，得∠B1GF=. 故选:D
例2.空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，
EF＝3.求证：AC⊥BD．
【解析】　∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC．
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD．
变式训练:如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
【解析】如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴DB1⊥EF.
例3:已知在底面为菱形的直四棱柱中， ，若，则求异面直线与所成的角
【答案】
【解析】连接，四边形为菱形， ，.又为直角三角形， ，得，四边形为正方形.连接交于点 ，（或其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形， ，故异面直线与所成的角为.
变式训练:如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，AB与CD成角大小为_______;AB与EF成角大小为____________
【答案】60° 90°
【解析】又，所以是与所成角，
又是等边三角形，则，所以与成60°角，
因为，又，所以与成90°角
故答案为：60° 90°．
四、小结：
异面直线所成角的定义: 异面直线所成的角： 异面直线所成角的范围：
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