第4节 匀变速直线运动规律的应用
核心素养导学
物理观念 (1)匀变速直线运动的基本公式vt＝v0＋at和x＝v0t＋at2。(2)推导速度—位移关系式vt2－v02＝2ax。
科学思维 掌握匀变速直线运动公式的灵活应用。
科学态度与责任 能将匀变速直线运动的规律应用到生产生活中的实际问题，体会科学知识的魅力。
一、速度与位移关系式vt2－v02＝2ax的应用
[重点释解]
1．公式的适用条件
公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的意义
公式vt2－v02＝2ax反映了初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。
3．公式的矢量性
公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
(2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。
4．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，vt2＝2ax(表示初速度为0的匀加速直线运动)。
(2)当vt＝0时，－v02＝2ax(表示末速度为0的匀减速直线运动)。
[典例体验]
[典例] 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。
尝试解答：
公式vt2－v02＝2ax的应用
(1)当物体做匀变速直线运动时，如果不涉及时间，一般用速度与位移的关系式较方便。
(2)初速度或末速度为0的匀变速直线运动，应用此公式往往较方便。
[针对训练]
1．A、B、C三点在同一条直线上，某物体自A点从静止开始做匀加速直线运动，经过B点时速度为v，到C点时速度为2v，则AB和BC两段距离大小之比是( )
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶1
2．如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在平面上的加速度a2的大小关系为( )
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
3．一直隧道限速108 km/h。一列火车长100 m，以144 km/h的速度行驶，驶至距隧道200 m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道。若隧道长500 m。求：
(1)火车做匀减速运动的最小加速度的大小；
(2)火车全部通过隧道的最短时间。
二、匀变速直线运动规律的灵活应用
[典例] 物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为xAC，物体到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示。已知物体运动到距斜面底端xAC 处的B点时，所用时间为t，求物体从B点滑到C点所用的时间。
请尝试用多种方法解答：
[融会贯通]
解答匀变速直线运动问题的常用方法
常用方法 方法解读
基本公式法 vt＝v0＋at，x＝v0t＋at2，vt2－v02＝2ax应用时要注意公式的矢量性，一般以v0方向为正方向
平均速度公式法 ＝，对任何运动都适用＝(v0＋vt)，只适用于匀变速直线运动
中点时刻速度公式法 v＝＝(v0＋vt)，适用于匀变速直线运动
逐差相等公式法 在匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2，对于不相邻的两段位移：xm－xn＝(m－n)aT2
比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动，可利用比例法求解
逆向思维法 把运动过程的“末态”作为“初态”的方法。例如，末速度为零的匀减速直线运动可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动
图像法 应用v－t图像，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图像定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
[对点训练]
1．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( )
A．第2 s内的位移是2.5 m
B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
2．火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h,1 min后速度变成54 km/h，再经过一段时间，火车的速度达到
64．8 km/h。求上述的整个过程中火车的位移。
三、匀变速直线运动的常用推论
(一)平均速度公式
1．表述：匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
2．表达式：＝v＝。
3．推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为vt
由x＝v0t＋at2得，
平均速度＝＝v0＋at①
由vt＝v0＋at知，
当t′＝时有v＝v0＋a·②
由①②得＝v
又vt＝v＋a·③
由②③解得v＝
综上所述有＝v＝。
[特别提醒] 公式＝v＝ 只适用于匀变速直线运动，＝ 适用于所有运动。
[应用体验]
1．某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上车，于是汽车立即做匀减速运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度。
(二)位移中点的瞬时速度公式
1．表述：匀变速直线运动中，任意一段位移中点位置的瞬时速度等于该段位移初速度v0和末速度vt平方和一半的平方根。
2．表达式：v＝ 。
3．推导：
如图所示，前一半位移v2－v02＝2a·，后一半位移vt2－v2＝2a·，所以有v2＝·(v02＋vt2)，即有v＝ 。
[应用体验]
2．(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3＜
D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
(三)逐差相等公式
1．表述：做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差都相等。
2．表达式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
3．推导：如图所示，把匀变速直线运动按相等的时间分段。
设初速度为v0，则前1T、2T、3T、…的位移分别为：
x1＝v0T＋aT2，
x2＝v0·2T＋a·T2，
x3＝v0·3T＋a·T2，
…
所以第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移分别为：
xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，
…
则有：xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
[特别提醒] 逐差相等公式只适用于匀变速直线运动，对于不相邻的任意两段位移差应有：xm－xn＝(m－n)aT2。
4．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动：如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2成立，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
[应用体验]
3.从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。试求：
(1)小球的加速度大小；
(2)拍摄时小球B的速度大小；
(3)拍摄时xCD是多少？
(四)初速度为零的匀加速直线运动的推论
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x)
(1)通过前x、前2x、前3x…时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
[应用体验]
4．一坐在火车上的同学在火车进站前发现铁路边有等间距电线杆，于是从某根电线杆经过他面前(可视为该同学与电线杆相遇)时开始计时，同时记为第1根电线杆，5 s时第10根电线杆恰好经过他面前，火车在25 s时停下，此时恰好有1根电线杆在他面前。若火车进站过程做匀减速直线运动，则火车速度为0时，在他面前的电线杆的根数为( )
A．第18根 B．第22根
C．第25根 D．第26根
第4节 匀变速直线运动规律的应用
一、
[典例] 解析：(1)设货车刹车时速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为vt，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝，由题意知，v0＝54 km/h＝15 m/s，vt＝0，a1＝2.5 m/s2，a2＝5 m/s2，代入数据得，超载时x1＝45 m，不超载时x2＝22.5 m。
(2)超载货车与轿车碰撞时，由vt2－v02＝－2ax知，相撞时货车的速度vt＝ ＝10 m/s。
答案：(1)45 m 22.5 m (2)10 m/s
[针对训练]
1．选B 根据公式vt2－v02＝2ax，可得AB段距离为：x1＝，BC段的距离为：x2＝＝，故x1∶x2＝1∶3。
2．选B 设物体在斜面末端时的速度为vt，由vt2－v02＝2ax，可得vt2－02＝2a1x1,02－vt2＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2。
3．解析：(1)火车减速过程中
v0＝144 km/h＝40 m/s，x＝200 m，
vt＝108 km/h＝30 m/s，
以火车行驶的方向为正方向，当车头到达隧道口速度恰为108 km/h时加速度最小，设为a，
由vt2－v02＝2ax，
得a＝＝ m/s2＝－1.75 m/s2。
即火车减速时的最小加速度大小为1.75 m/s2。
(2)火车以108 km/h的速度通过隧道，所需时间最短，火车通过隧道的位移为x′＝100 m＋500 m＝600 m，
由x′＝vtt得t＝＝ s＝20 s。
答案：(1)1.75 m/s2 (2)20 s
二、
[典例] 解析：法一 基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，加速度大小为a，物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v02＝2axAC，vB2－v02＝－2axAB，xAB＝xAC
解得vB＝，又vB＝v0－at，vC＝vB－atBC
解得tBC＝t。
法二 平均速度法
匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，AC＝＝，
又0－v02＝－2axAC,0－vB2＝－2axBC，xBC＝，
解得vB＝，
可知vB正好等于AC段的平均速度，因此物体运动到B点时是这段位移的中间时刻，故tBC＝t。
法三 逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，其逆过程为由静止开始向下匀加速滑下斜面。设物体从B到C所用的时间为tBC ，由运动学公式得xBC＝atBC2，xAC＝a(t＋tBC)2，
又xBC＝，解得tBC＝t。
法四 比例法
物体运动的逆过程可以视为初速度为零的匀加速直线运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，
因为xBC∶xAB＝∶＝1∶3，而物体通过AB段的时间为t，所以通过BC段的时间tBC＝t。
法五 图像法
根据匀变速直线运动的规律，画出v －t图像，如图所示。
利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，
得＝，且＝，
OD＝t，OC＝t＋tBC，
所以＝，解得tBC＝t。
答案：t
[对点训练]
1．选BD 由Δx＝aT2，得a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，A、C错误，D正确；第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，B正确。
2．解析：火车的初速度v0＝10.8 km/h＝3 m/s,1 min后的速度v1＝54 km/h＝15 m/s，末速度v2＝64.8 km/h＝18 m/s。火车运动的加速度a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2，火车整个过程中运动的时间t＝＝ s＝75 s。
法一 基本公式法
由x＝v0t＋at2得火车在整个过程中的位移x＝3×75 m＋×0.2×752 m＝787.5 m。
法二 平均速度法
整个过程的平均速度＝＝ m/s＝ m/s，则火车在整个过程中的位移x＝t＝×75 m＝787.5 m。
答案：787.5 m
三、
1．解析：法一：基本公式法
设最大速度为vmax，
由题意得x＝x1＋x2＝a1t12＋vmaxt2－a2t22，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝＝5 m/s。
法二：平均速度法
由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，
即＝＝，由x＝t得vmax＝＝5 m/s。
答案：5 m/s
2．选BD 由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，故D正确，C错误。
3．解析：小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m。
答案：(1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
4．选D 设相邻两根电线杆之间的距离为l，根据逆向思维，将火车的运动视为做初速度为0的匀加速直线运动，运动时间为25 s，取5 s为一个周期，则每个周期内所走位移之比为1∶3∶5∶7∶9，第5个周期内的位移为9l，则总位移为x＝×9l＝25l，即总共有26根电线杆，所以火车速度为0时，在他面前的电线杆的根数为第26根，D正确A、B、C错误。
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匀变速直线运动规律的应用
第 4 节
核心素养导学
物理观念 (1)匀变速直线运动的基本公式vt＝v0＋at和x＝v0t＋ at2。
(2)推导速度—位移关系式vt2－v02＝2ax。
科学思维 掌握匀变速直线运动公式的灵活应用。
科学态度与责任 能将匀变速直线运动的规律应用到生产生活中的实际问题，体会科学知识的魅力。
1
2
二、匀变速直线运动规律的灵活应用
3
三、匀变速直线运动的常用推论
CONTENTS
目录
4
课时跟踪检测
一、速度与位移关系式vt2－v02＝2ax的应用
一、速度与位移关系式vt2－v02＝2ax的应用
[重点释解]
1．公式的适用条件
公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的意义
公式vt2－v02＝2ax反映了初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。
3．公式的矢量性
公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
(2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。
4．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，vt2＝2ax(表示初速度为0的匀加速直线运动)。
(2)当vt＝0时，－v02＝2ax(表示末速度为0的匀减速直线运动)。
[典例体验]
[典例] 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
[答案] (1)45 m 22.5 m
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。
[答案] (2)10 m/s
/方法技巧/
公式vt2－v02＝2ax的应用
(1)当物体做匀变速直线运动时，如果不涉及时间，一般用速度与位移的关系式较方便。
(2)初速度或末速度为0的匀变速直线运动，应用此公式往往较方便。
[针对训练]
1．A、B、C三点在同一条直线上，某物体自A点从静止开始做匀加速直线运动，经过B点时速度为v，到C点时速度为2v，则AB和BC两段距离大小之比是( )
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶1
√
2．如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在平面上的加速度a2的大小关系为( )
√
解析：设物体在斜面末端时的速度为vt，由vt2－v02＝2ax，可得vt2－02＝2a1x1,02－vt2＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2。
3．一直隧道限速108 km/h。一列火车长100 m，以144 km/h的速度行驶，驶至距隧道200 m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道。若隧道长500 m。求：
(1)火车做匀减速运动的最小加速度的大小；
答案：(1)1.75 m/s2
解析：(1)火车减速过程中
v0＝144 km/h＝40 m/s，x＝200 m，
vt＝108 km/h＝30 m/s，
以火车行驶的方向为正方向，当车头到达隧道口速度恰为108 km/h时加速度最小，设为a，
(2)火车全部通过隧道的最短时间。
答案： (2)20 s
二、匀变速直线运动规律的灵活应用
[答案] t
[解析] 法一 基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v0，加速度大小为a，物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
法四 比例法
物体运动的逆过程可以视为初速度为零的匀加速直线运动，对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，
法五 图像法
根据匀变速直线运动的规律，画出v －t图像，如图所示。
利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，
[融会贯通]
解答匀变速直线运动问题的常用方法
续表
逐差相 等公式法 在匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2，对于不相邻的两段位移：xm－xn＝(m－n)aT2
比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动，可利用比例法求解
续表
逆向思维法 把运动过程的“末态”作为“初态”的方法。例如，末速度为零的匀减速直线运动可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动
图像法 应用v－t图像，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图像定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
续表
[对点训练]
1．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( )
A．第2 s内的位移是2.5 m
B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
√
√
2．火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h,1 min后速度变成54 km/h，再经过一段时间，火车的速度达到64.8 km/h。求上述的整个过程中火车的位移。
答案：787.5 m
三、匀变速直线运动的常用推论
(一)平均速度公式
1．表述：匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
[应用体验]
1．某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上车，于是汽车立即做匀减速运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度。
答案：5 m/s
(二)位移中点的瞬时速度公式
1．表述：匀变速直线运动中，任意一段位移中点位置的瞬时速度等于该段位移初速度v0和末速度vt平方和一半的平方根。
[应用体验]
2．(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有( )
√
√
(三)逐差相等公式
1．表述：做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差都相等。
2．表达式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
3．推导：如图所示，把匀变速直线运动按相等的时间分段。
设初速度为v0，则前1T、2T、3T、…的位移分别为：
[特别提醒] 逐差相等公式只适用于匀变速直线运动，对于不相邻的任意两段位移差应有：xm－xn＝(m－n)aT2。
4．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动：如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2成立，说明物体做匀变速直线运动。
[应用体验]
3. 从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同
的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续
释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所
示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。试求：
(1)小球的加速度大小；
答案：(1)5 m/s2
解析：小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
(2)拍摄时小球B的速度大小；
答案：(2)1.75 m/s
(3)拍摄时xCD是多少？
答案： (3)0.25 m
解析：(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m。
(四)初速度为零的匀加速直线运动的推论
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x)
[应用体验]
4．一坐在火车上的同学在火车进站前发现铁路边有等间距电线杆，于是从某根电线杆经过他面前(可视为该同学与电线杆相遇)时开始计时，同时记为第1根电线杆，5 s时第10根电线杆恰好经过他面前，火车在25 s时停下，此时恰好有1根电线杆在他面前。若火车进站过程做匀减速直线运动，则火车速度为0时，在他面前的电线杆的根数为( )
A．第18根 B．第22根
C．第25根 D．第26根
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(选择题1～9小题，每小题4分；10～12小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级—学考达标
1．中国歼－20 隐形战斗机进行了编队飞行
训练(如图所示)。假设战机起飞前从静止开始做
匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，
则起飞前的运动距离为( )
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2．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)汽车行驶了36 m。汽车开始减速时的速度是( )
A．9 m/s B．18 m/s
C．20 m/s D．12 m/s
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3. “蛟龙号”是我国首台自主研制的作业
型深海载人潜水器，是目前世界上下潜能力最
强的作业型载人潜水器。“蛟龙号”某次海试
活动中，执行竖直下潜任务，初始阶段做匀加速运动，某段时间t内从A点下潜到B点，AB间的距离为h，B点速度为A点的3倍。则“蛟龙号”下潜的加速度为( )
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4．以36 km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，刹车后获得大小为a＝4 m/s2的加速度，刹车后的第3 s内汽车走过的路程为( )
A．12.5 m B．2 m
C．10 m D．0.5 m
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5.如图所示，某高速列车在某段距离中做匀
加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位
移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它
的位移是( )
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6．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆的刹车加速度是15 m/s2，该路段限速为60 km/h，则该车( )
A．超速
B．不超速
C．是否超速无法判断
D．行驶速度刚好是60 km/h
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7．(多选) 猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情境，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则( )
A．猎豹的加速度为5 m/s2
B．猎豹的加速度为10 m/s2
C．猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D．猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
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解析：由逐差相等公式xⅡ－xⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速度a＝5 m/s2，故A正确、B错误；猎豹的最大速度vt＝108 km/h＝30 m/s，由vt＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。
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8．(2023·山东高考) 如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为( )
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
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9．(多选)某次实验需要利用位移传感器和与之相连的计算机来研究小车做匀变速直线运动的相关规律。如图(a)所示，t＝0时刻，小车以初速度v0做匀加速直线运动，计算机显示其位置坐标—时间(x－t)图像如图(b)所示，则( )
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A．小车2 s末的瞬时速度大小为0.11 m/s
B．小车的加速度大小为0.04 m/s2
C．小车的初速度v0＝0.02 m/s
D．小车t＝0时刻的位置坐标无法求出
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解析：由匀变速运动的连续相等时间内的位移差为定值得Δx＝aT2，得(0.50 m－0.34 m)－(0.34 m－0.22 m)＝aT2，解得Δx＝0.04 m，a＝0.04 m/s2，故B正确；
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B级—选考进阶
10．一列火车沿直线轨道从静止出发由A地驶向B地，列车先做匀加速运动，加速度大小为a，接着做匀减速运动，加速度大小为2a，到达B地时恰好静止，若A、B两地距离为x，则火车从A地到B地所用时间t为( )
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11．“道路千万条，安全第一条。”《道路交通安全法》第四十七条规定：“机动车行经人行横道，应减速行驶；遇行人正在通过人行横道时，应停车让行。”一辆汽车以5 m/s的速度匀速行驶，驾驶员发现前方的斑马线上有行人通过，随即刹车使车做匀减速直线运动至停止。若驾驶员的反应时间为0.5 s，汽车在最后2 s内的位移为4 m，则汽车距斑马线的安全距离至少为( )
A．5.5 m B．6.25 m
C．7.5 m D．8.75 m
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12．(多选)一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时(设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计)( )
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶ ∶ ∶…
B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
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13. (16分)如图所示为某型号货车紧急制动时
(假设做匀减速直线运动)的v2-x图像(v为货车的
速度，x为制动距离)，其中图线1为满载时符合安
全要求的制动图像。某路段限速72 km/h，是根
据该型号货车满载时安全制动时间和制动距离确定的，现有一辆该型号的货车严重超载并以54 km/h的速度行驶，其制动图像如图线2所示。通过计算求解：
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(1)驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离是否符合安全要求；
答案：不符合安全要求
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所以驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离均不符合安全要求。
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(2)若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为1 s，则该型号货车满载时以72 km/h速度正常行驶的跟车距离至少应为多远。
答案： 60 m
解析：货车在反应时间内做匀速直线运动，反应时间内运动的距离x3＝vt3＝20×1 m＝20 m
跟车距离最小值为x＝x1＋x3＝60 m。
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4课时跟踪检测(七) 匀变速直线运动规律的应用
(选择题1～9小题，每小题4分；10～12小题，每小题6分。本检测卷满分70分)
A级—学考达标
1.中国歼－20 隐形战斗机进行了编队飞行训练(如图所示)。假设战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为( )
A．vt B.
C．2vt D．不能确定
2．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)汽车行驶了36 m。汽车开始减速时的速度是( )
A．9 m/s B．18 m/s
C．20 m/s D．12 m/s
3.“蛟龙号”是我国首台自主研制的作业型深海载人潜水器，是目前世界上下潜能力最强的作业型载人潜水器。“蛟龙号”某次海试活动中，执行竖直下潜任务，初始阶段做匀加速运动，某段时间t内从A点下潜到B点，AB间的距离为h，B点速度为A点的3倍。则“蛟龙号”下潜的加速度为( )
A. B.
C. D.
4．以36 km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，刹车后获得大小为a＝4 m/s2的加速度，刹车后的第3 s 内汽车走过的路程为( )
A．12.5 m B．2 m
C．10 m D．0.5 m
5.如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是( )
A.x B.x
C．2x D．3x
6．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆的刹车加速度是15 m/s2，该路段限速为60 km/h，则该车( )
A．超速
B．不超速
C．是否超速无法判断
D．行驶速度刚好是60 km/h
7．(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情境，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则( )
A．猎豹的加速度为5 m/s2
B．猎豹的加速度为10 m/s2
C．猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D．猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
8．(2023·山东高考)如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为( )
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
9．(多选)某次实验需要利用位移传感器和与之相连的计算机来研究小车做匀变速直线运动的相关规律。如图(a)所示，t＝0时刻，小车以初速度v0做匀加速直线运动，计算机显示其位置坐标—时间(x－t)图像如图(b)所示，则( )
A．小车2 s末的瞬时速度大小为0.11 m/s
B．小车的加速度大小为0.04 m/s2
C．小车的初速度v0＝0.02 m/s
D．小车t＝0时刻的位置坐标无法求出
B级—选考进阶
10．一列火车沿直线轨道从静止出发由A地驶向B地，列车先做匀加速运动，加速度大小为a，接着做匀减速运动，加速度大小为2a，到达B地时恰好静止，若A、B两地距离为x，则火车从A地到B地所用时间t为( )
A. B.
C. D.
11．“道路千万条，安全第一条。”《道路交通安全法》第四十七条规定：“机动车行经人行横道，应减速行驶；遇行人正在通过人行横道时，应停车让行。”一辆汽车以5 m/s的速度匀速行驶，驾驶员发现前方的斑马线上有行人通过，随即刹车使车做匀减速直线运动至停止。若驾驶员的反应时间为0.5 s，汽车在最后2 s内的位移为4 m，则汽车距斑马线的安全距离至少为( )
A．5.5 m B．6.25 m
C．7.5 m D．8.75 m
12．(多选)一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时(设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计)( )
A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…
B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…
C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…
13.(16分)如图所示为某型号货车紧急制动时(假设做匀减速直线运动)的v2?x图像(v为货车的速度，x为制动距离)，其中图线1为满载时符合安全要求的制动图像。某路段限速72 km/h，是根据该型号货车满载时安全制动时间和制动距离确定的，现有一辆该型号的货车严重超载并以54 km/h的速度行驶，其制动图像如图线2所示。通过计算求解：
(1)驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离是否符合安全要求；
(2)若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为1 s，则该型号货车满载时以72 km/h速度正常行驶的跟车距离至少应为多远。
课时跟踪检测(七)
1．选B x＝·t＝·t＝。
2．选C 由位移公式x＝v0t＋at2得汽车的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C正确。
3．选A 设A点速度为v，则B点的速度为3v，则h＝t，a＝，解得a＝，A正确。
4．选D 由vt＝v0＋at可得汽车刹车时间t＝2.5 s，则刹车后的2.5 s末汽车已经停止运动，第3 s内的位移实质上就是2～2.5 s内的位移，由逆向思维知x＝at′2＝0.5 m。
5．选B 由vt2－v02＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′；两式联立可得x′＝x。
6．选A 该车辆的末速度为0，由vt2－v02＝2ax，可计算出初速度v0＝＝ m/s＝30 m/s＝108 km/h，该车严重超速，A正确。
7．选AD 由逐差相等公式xⅡ－xⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速度a＝5 m/s2，故A正确、B错误；猎豹的最大速度vt＝108 km/h＝30 m/s，由vt＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。
8．选C 设RS段位移为x，所用时间为t，则ST段位移为2x，所用时间为t′，由题意得：在RS段的时间t＝＝，在ST段的时间t′＝＝，可解得t′＝4t，设电动公交车的加速度大小为a，逆向推导可得v2＝vT＋a，v1＝vT＋a，解得vT＝1 m/s，故C正确。
9．选BC 由匀变速运动的连续相等时间内的位移差为定值得Δx＝aT2，得(0.50 m－0.34 m)－(0.34 m－0.22 m)＝aT2，解得Δx＝0.04 m，a＝0.04 m/s2，故B正确；设t＝0时刻的位置坐标为x0，则Δx＝(0.22－0.14)m－(0.14 m－x0)，解得x0＝0.10 m，D错误；由匀变速直线运动的某段的平均速度等于时间中点的速度，则2 s末的速度v2＝＝ m/s＝0.1 m/s，由a＝，解得v0＝v2－at2＝0.1 m/s－0.04×2 m/s＝0.02 m/s，故A错误，C正确。
10．选C 设加速结束时的速度为vt，则＋＝x，解得vt＝ ，则整个过程中的平均速度为＝＝ ，则火车从A地到B地所用时间t＝＝ ，C正确。
11．选D 设汽车匀减速的加速度大小为a，由汽车在最后2 s内的位移为4 m得：x＝at2，解得：a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故汽车距斑马线的安全距离为：x′＝v0t0＋＝5×0.5 m＋ m＝8.75 m，故A、B、C错误，D正确。
12．选AC 设每节车厢长为l，由v2＝2ax得第一节车厢末端经过观察者时v1＝，同理，第二节车厢末端经过观察者时v2＝……第n节车厢末端经过观察者时vn＝，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶，A正确；相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，C正确。
13．解析：(1)根据速度位移公式vt2－v02＝2ax，有vt2＝v02＋2ax，v2?x图线斜率的一半表示加速度；根据题中图像可知，满载时，加速度为a1＝5 m/s2，
严重超载时加速度为a2＝2.5 m/s2。
设该型号货车满载时以v＝72 km/h＝20 m/s的速度行驶，则安全制动距离x1＝＝40 m，
制动时间为t1＝＝4 s
当该型号货车严重超载且以v′＝54 km/h＝15 m/s的速度行驶时，制动距离x2＝＝45 m>x1，
制动时间为t2＝＝6 s>t1
所以驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离均不符合安全要求。
(2)货车在反应时间内做匀速直线运动，反应时间内运动的距离x3＝vt3＝20×1 m＝20 m
跟车距离最小值为x＝x1＋x3＝60 m。
答案：(1)不符合安全要求 (2)60 m
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