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第26章 反比例函数
26.1.2.1
反比例函数的图象与性质
授课：
时间：
知识回顾
(1)描述函数的三种方法是什么
解析式法、列表法、图象法
(2)如何画函数的图象
描点法：列表、描点、连线.
(3)反比例函数的一般形式是怎样的
.
探索新知
探索1.画出反比例函数 的函数图象.
解：①列表;
②描点;
③连线.
x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …
y … …
类比一次函数的图象性质，你能说说反比例函数的图象性质吗？
-3
-6
-1
-2
6
3
2
1
问题思考
如图是反比例函数 的函数图象.
(1) 该函数图象有___部分,函数图象的形状是_________;
(2) 函数图象分布在______象限;
(3) 在每个象限内, y随x的增大而_____;
(4) 该函数图象是否具有对称性
2
2条曲线
一, 三
减小
① 具有轴对称性, 对称轴为y＝－x;
② 具有中心对称性, 对称中心为原点.
(5) 该函数图象与x, y轴能否相交
每一象限的每一条曲线会无限接近x轴, y轴, 但不会与坐标轴相交.
y＝－x
探索新知
探索2.画出反比例函数 的函数图象.
(1)观察与的函数图象有什么共同点？
(2)归纳的函数图象的性质.
归纳总结
y＝－x
反比例函数 的函数图象性质.
图象形状
图象位置
图象趋势
增减性
对称性
由2条曲线组成.
分布在一、三象限.
在每一个象限内,
y随x的增大而减小.
关于y＝－x成轴对称;
关于原点成中心对称.
每条曲线无限接近x轴, y轴,
但不会与坐标轴相交.
进一步探索
探索3.画出反比例函数 与 的函数图象.
(1)观察与 的函数图象有什么共同点
(2)归纳的函数图象的性质.
归纳总结
反比例函数 的函数图象性质.
图象形状
图象位置
图象趋势
增减性
对称性
由2条曲线组成.
分布在二、四象限.
在每一个象限内,
y随x的增大而增大.
关于y＝x成轴对称;
关于原点成中心对称.
每条曲线无限接近x轴, y轴,
但不会与坐标轴相交.
y＝x
进一步归纳
反比例函数 的函数图象性质.
k的值 k>0 k<0
图象
图象位置
增减性
对称性
分布在一、三象限.
分布在二、四象限.
在每一个象限内,
y随x的增大而减小.
在每一个象限内,
y随x的增大而增大.
关于y＝－x(k>0)或y＝x(k<0)成轴对称;
关于原点成中心对称.
图象为2条曲线, 每条曲线无限接近x轴, y轴, 但不会与坐标轴相交.
典例精析
例1.如图是 的函数图象.
由图象可得m的取值范围为______;
(2) 若点(2,3)是函数图象上的点, 则m的值为___;
(3) 若(x1,y1),(x2,y2)是图象上的点:
①当x1>x2>0时, y1___y2;
②当0>x1>x2时, y1___y2;
③当x1>0>x2时, y1___y2.
m>2
2
3
8
<
<
>
小试锋芒
练习1.关于反比例函数, 下列结论正确的是( ).
A. 图象位于第一、三象限;
B. 图象与坐标轴有公共点;
C. 图象所在的每一个象限内, y随x的增大而增大;
D. 图象关于直线y＝－x对称.
C
小试锋芒
练习2.若反比例函数 的图象在其所在的每一个象限内, y都随x的增大而增大, 则m的取值范围是( ).
A. m < 0 B. m < 1 C.m > D.m <
D
小试锋芒
练习3.已知点M( 2,6)在反比例函数 的图象上, 则下列各点一定在该图象上的是( ).
A. (2,6) B. ( 6, 2) C. (3,4) D. (3, 4)
D
练习4.若点A( 1,y1), B(2,y2), C(3,y3)在反比例函数 的图象上, 则y1, y2, y3的大小关系是__________.
y1>y3>y2
大展身手
练习5.在同一平面直角坐标系中, 一次函数与反比例函数的图象大致是( ).
A
B
C
D
C
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第26章 反比例函数
26.1.2.2
反比例函数的图象拓展
授课：
时间：
知识回顾
(1)反比例函数的一般形式是什么
(2)反比例函数有哪些性质
.
知识回顾
反比例函数 的函数图象性质.
k的值 k>0 k<0
图象
图象位置
增减性
对称性
分布在一、三象限.
分布在二、四象限.
在每一个象限内,
y随x的增大而减小.
在每一个象限内,
y随x的增大而增大.
关于y＝－x(k>0)或y＝x(k<0)成轴对称;
关于原点成中心对称.
图象为2条曲线, 每条曲线无限接近x轴, y轴, 但不会与坐标轴相交.
小试锋芒
练习1.已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
这个函数的图象位于第_______象限;
在每一个象限内, y随x的增大而_____;
点B(3,4),C( , ),D(2,5)是否在这个函数的图象上
一、三
减小
解: (3)设,将点A代入得k＝2×6＝12,
∴.
当x＝3时, y＝＝4,∴点B在这个函数的图象上;
当x＝时, y＝12÷( )＝,∴点C在这个函数的图象上;
当x＝2时, y＝＝6 ≠ 5,∴点D不在这个函数的图象上.
小试锋芒
练习2. 如图是反比例函数 图象的一支, 根据图象, 回答下列问题:
图象的另一支在第____象限; 常数m的取值范围是_____;
在这个函数图象的某一支任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2),如果x1>x2,那么y1,y2有怎样的大小关系
四
x
y
O
m<5
解: (2)由题意得, 反比例函数在每一个象限内,
y随x的增大而增大,
∴y1>y2.
问题探索
如图是反比例函数 的函数图象.
(1)当1由图象得, 当x＝1时, 有最大值6,
当x＝3时, 有最小值2,
∴2变式:当－6≤x<－2时, 求y的取值范围.
由图象得, －3问题探索
如图是反比例函数 的函数图象.
(2)当x>1时, 求y的取值范围.
由图象得, 当x＝1时, 有最大值6,
∴0变式: ①当x≤－6时, 求y的取值范围;
由图象得, －1≤y<0.
②当x<1且x≠0时, 求y的取值范围;
由图象得, y>6或y<0.
问题探索
如图是反比例函数 的函数图象.
(3)当2由图象得, 当y＝6时, x有最小值1,
当y＝2时, x有最大值3,
∴1≤x<3.
变式: ①当－3≤y<－1时, 求x的取值范围;
由图象得, －6②当y<－1, 求x的取值范围;
由图象得, －6小试锋芒
如图是反比例函数 的函数图象.
当1当x<－1时, 求y的取值范围;
当0.5当y≤－1时, 求x的取值范围;
解:(1)－2(2) 0(3) －4(4) 0典例精析
例.如图, 反比例函数与一次函数y＝x＋1相交于点A, B.
x
y
O
A
B
(1)求点A,B的坐标.
解:令＝x＋1得x1＝1,x2＝－2,
经检验, x＝1,－2是原分式方程的解,
∴A(1,2),B(－2,－1).
(2)不等式 x＋1 > 的解集为_____________.
x>1或－2(3)连接OA,OB, 求△AOB的面积.
典例精析
例.如图, 反比例函数与一次函数y＝x＋1相交于点A, B.
x
y
O
A
B
(3)连接OA,OB, 求△AOB的面积.
解:设直线AB与y轴交于点C,
令x＝0得y＝1,
∴C(0,1),OC＝1,
∴S△AOB＝.
C
小试锋芒
练习3.如图, 在平面直角坐标系中, 直线y＝ x＋4与反比例函数交于A, B两点, 点A的坐标为(1,m).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)结合图象, 直接写出的解集;
(4)求△AOB的面积.
x
y
O
A
B
答案:(1) ,
(2) B(3,1),
(3) 1C
(4) 面积为4.
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第26章 反比例函数
26.1.2.3
反比例函数中k的几何意义
授课：
时间：
知识回顾
(1)反比例函数的三种形式是什么
(2)反比例函数有哪些性质
，，.
当k>0时,
图象分布在一、三象限, 在每个象限内, y随x的增大而减小.
当k<0时,
图象分布在二、四象限, 在每个象限内, y随x的增大而增大.
问题思考
如图是反比例函数 的函数图象,点P是反比例函数图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N.
(1)四边形OMPN是_____;
P
N
M
矩形
(2)请根据以下点P的坐标, 填表.
点P的坐标 矩形OMPN的面积
(2,3)
(1,6)
(4,1.5)
6
6
6
(3)若点P在第一象限, 那么矩形OMPN的面积是否为定值
问题思考
如图是反比例函数 的函数图象,点P是反比例函数图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N.
(3)若点P在第一象限, 那么矩形OMPN的面积是否为定值
证明: 设,
则PM＝,PN＝,
∴S矩形OMPN＝＝6.
即矩形OMPN的面积为定值6.
P
N
M
提出猜想: 矩形OMPN的面积是为6.
如何验证猜想呢？
问题思考
如图是反比例函数 的函数图象,点P是反比例函数图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N.
(4)若点P在第三象限, 那么矩形OMPN的面积是为定值还成立吗
证明: 设,
则PM＝ , PN＝,
∴S矩形OMPN＝＝6.
即矩形OMPN的面积为定值6.
P
N
M
提出猜想: 矩形OMPN的面积是为6.
进一步探索
x
y
O
P
M
N
如图是反比例函数 的函数图象,点P是反比例函数图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N.
(1)矩形OMPN的面积是为定值
结论: 矩形OMPN的面积为定值k.
(2)若k<0, 上述结论还成立吗
进一步探索
x
y
O
P
M
N
如图是反比例函数 的函数图象,点P是反比例函数图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N.
提出猜想: 矩形OMPN的面积为定值－k.
(2)若k<0, 上述结论还成立吗
证明: 设, ①当m>0时，
则PM＝ , PN＝,
∴S矩形OMPN＝＝－k.
即矩形OMPN的面积为定值－k.
进一步探索
x
y
O
P
M
N
如图是反比例函数 的函数图象,点P是反比例函数图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N.
提出猜想: 矩形OMPN的面积为定值－k.
(2)若k<0, 上述结论还成立吗
证明: 设, ②当m<0时，
则PM＝ , PN＝,
∴S矩形OMPN＝＝－k.
即矩形OMPN的面积为定值－k.
归纳总结
x
y
O
P
M
N
x
y
O
P
M
N
矩形OMPN的面积为定值k.
矩形OMPN的面积为定值－k.
矩形OMPN的面积为定值|k|.
进一步归纳
x
y
O
P
M
N
在反比例函数中,点 P是其图象上的任意一点.
过点P作PM⊥x轴于点M,作PN⊥y轴于点N, 则:
S矩形OMPN＝|k|.
连接OP,思考S△ONP,S△OMP与k的数量关系.
S△ONP＝S△OMP＝S矩形OMPN .
符号语言:
∵点P在上,
∴S矩形OMPN＝|k|, S△ONP＝S△OMP.
典例精析
x
y
O
P
M
N
例.在反比例函数中,点P,Q是其图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,过点Q作QN⊥x轴于点N,连接OP,OQ.
Q
A
(1)若k＝4,则S△POM＝___;
(2)S△POM与S△QON的数量关系是_____;
(3)若S△POM＝3, 求反比例函数的解析式.
2
相等
解: ∵点P在上,
∴|k|＝3×2＝6,
∵k>0,∴k＝6.
∴反比例函数的解析式为.
典例精析
x
y
O
P
M
N
例.在反比例函数中,点P,Q是其图象上的动点,过点P作PM⊥x轴于点M,过点Q作QN⊥x轴于点N,连接OP,OQ.
Q
A
(4)探索△AOP与梯形AMNQ的面积的数量关系
解: S△AOP＝S梯形AMNQ .
∵点P,Q在上,
∴S△POM＝S△QON.
∵S△POM－S△AOM ＝S△QON－S△AOM ,
即S△AOP＝S梯形AMNQ .
小试锋芒
练习1.如图, 两个反比例函数 和 在第一象限的图象分别是l1和l2, 点P在l1上, PA⊥x轴于点A, 交l2于点B, 连接OP, OB, 则△POB的面积为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
小试锋芒
练习2.如图, 在菱形OABC中, AC＝6, OB＝8, O为原点, 点B在y轴正半轴上.若函数的图象经过点C, 则k的值为_____.
－12
小试锋芒
练习3.如图, 在平面直角坐标系中, □ ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上, 顶点A、B连接的线段与y轴相交于点G, 顶点C、D在x轴上, 若□ ABCD的面积为16, 求k的值．
E
F
思路: 过点B,A作BE⊥x轴,AF⊥x轴于点E,F,易证△BCE≌△ADF.根据k的几何意义可得矩形AGOF的面积为12, 则矩形BGOE的面积为4, 则k＝－4.
谢 谢 观 看
