(共18张PPT)
第27章 相似
27.2.1.1
平行线分线段成比例
授课：
时间：
知识回顾
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
(1)什么是相似多边形 相似比是什么
两个边数相同的多边形, 如果它们的角分别相等, 边成比例, 那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
(2) 相似多边形有哪些性质？
相似多边形的对应角相等, 对应边成比例.
(3) 最简单的相似多边形是___________.
相似三角形
探索新知
A
B
C
A’
B’
C’
如图, 在△ABC与△A’B’C’中, 若:
∠A＝∠A’, ∠B＝∠B’,∠C＝∠C’,
.
即三个角分别相等, 三条边成比例,
则△ABC与△A’B’C’相似, 相似比为k.
相似用符号“∽”表示, 读作“相似于”.
例如: △ABC ∽△A’B’C’.
问题思考
如图, △ABC ∽△A’B’C’, 相似比为k.
A
B
C
A’
B’
C’
(1)如果相似比k＝1, 两三角形有怎样的关系
当相似比为1时, 两三角形全等.
(2)△A’B’C’与△ABC的相似比是什么
相似比为 .
相似比具有顺序性;
两个全等图形的相似比等于1.
问题思考
A
B
C
A’
B’
C’
如图, 在△ABC与△A’B’C’中, 若:
∠A＝∠A’, ∠B＝∠B’,∠C＝∠C’,
.
即三个角分别相等, 三条边成比例,
则△ABC ∽△A’B’C’相似, 相似比为k.
类比全等三角形的判定方法, 判定两三角形相似时, 是否也存在简便的判定方法呢
问题探索
l3
l4
l5
l1
l2
A
B
C
F
E
D
如图, 作直线l1,l2,再作三条直线与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5.
度量AB,BC,DE,EF的长度, 填表:
线段 线段长 线段 线段长
AB DE
BC EF
与 相等吗 与 呢
提出猜想: , ＝ .
归纳总结
l3
l4
l5
l1
l2
A
B
C
F
E
D
如图, 当l3 // l4 // l5时, 有
, .
进一步可以推出:
, 等.
平行线分线段成比例(基本事实):
两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成比例.
进一步归纳
l3
l4
l5
l1
l2
A
D
B
C
E
把“平行线分线段成比例”的基本事实应用到三角形中:
把l4看作平行于△ABC的边BC的直线.
与 相等吗 与 呢
, .
进一步归纳
把“平行线分线段成比例”的基本事实应用到三角形中:
把l3看作平行于△ABC的边BC的直线.
与 相等吗 与 呢
, .
l3
l4
l5
l1
l2
A
D
B
C
E
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例推论:
进一步思考
A
B
C
D
E
如图, 在△ABC中, DE//BC,且DE交AB与点D,交AC于点E.
猜想△ABC与△ADE有怎样的关系
提出猜想: △ABC ∽△ADE.
如何证明呢
∠A＝∠A, ∠B＝∠ADE,∠C＝∠AED,
.
对应角相等:
对应边成比例:
验证猜想
已知:如图, 在△ABC中, DE//BC,且DE交AB与点D,交AC于点E.
求证: △ABC ∽△ADE .
A
B
C
D
E
证明: 在△ADE与△ABC中, ∠A＝∠A,
∵DE//BC,
∴∠B＝∠ADE,∠C＝∠AED, ,
过点E作EF//BC交BC于点F,
则四边形BDEF为平行四边形, DE＝BF,
∴,
∴△ADE∽△ABC.
F
即 ,
得出结论
相似三角形的判定定理1: 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
“A”形
“X”形
符号语言:
∵DE//BC, ∴△ABC∽△ADE.
典例精析
例1.如图, AB//CD//EF,AF与BE相交于点G,且AG＝2,GD＝1,DF＝5.
E
A
D
C
B
G
F
(1) 图中有几对相似三角形
3对, 分别是△ABG∽△DCG,
△ABG∽△FEG,△GCD∽△GEF.
(2) 图中＝___, ＝___;
(3) △ABG与△DCG的相似比为___,
2
△FEG与△ABG的相似比为___.
3
小试锋芒
练习1.如图, 在△ABC中, 点D, E分别在边AB和AC上, DE//BC, M为边BC上一点(不与点B, C重合), 连接AM交DE于点N, 则( ).
A. B. C. D.
C
小试锋芒
练习2.如图, 在△ABC中, DE//AB, 且 , 则 的值为( ).
A. B. C. D.
A
小试锋芒
练习3.如图, AB//CD, AC, BD相交于点E, AE＝1, EC＝2, DE＝3, 则BD的长为 ( ).
A. B. 4 C. D. 6
C
小试锋芒
练习4.如图, 在△ABC中, DE//BC, ∠ADE＝∠EFC, AD:BD＝5:3, CF＝6, 求DE的长.
思路: 根据相似三角形的性质找出DE: (DE＋6)＝5: 8, 可求得DE的值为10.
谢 谢 观 看(共14张PPT)
第27章 相似
27.2.1.2
相似三角形的判定(SSS,SAS)
授课：
时间：
知识回顾
(1)全等三角形有哪些判定定理
SSS, SAS, ASA, AAS, HL.
(2)相似三角形有哪些判定定理
相似三角形的定义：
三个角分别相等, 三条边成比例的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理1:
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似.
能否通过三边判定两三角形相似呢？
问题探索
任意画一个△ABC,将它的三边扩大k倍(或缩小1/k)倍, 得到△A’B’C’.
度量∠A, ∠A’, ∠B, ∠B’,∠C, ∠C’的度数, 填入下表:
△ABC 度数 △A’B’C’ 度数
∠A ∠A’
∠B ∠B’
∠C ∠C’
A
B
C
A’
B’
C’
猜想△ABC与△A’B’C’有怎样的关系
△ABC ∽△A’B’C’.
如何验证呢？
验证猜想
已知:在△ABC与△A’B’C’中, .
求证:△ABC ∽△A’B’C’.
A
B
C
A’
B’
C’
证明: 在线段A’B’上截取A’D＝AB,
过点D作DE//B’C’交A’C’于点E.
∴△A’DE∽△A’B’C’,
∴ ,∵ ,
∴ , ,
∴DE＝BC,A’E＝AC,
∴△ABC≌△A’DE(SSS),
∴△ABC ∽△A’B’C’.
D
E
得出结论
相似三角形的判定定理2: 三边成比例的两个三角形相似.
A
B
C
A’
B’
C’
符号语言:
∵ ,
∴△ABC ∽△A’B’C’.
如右图, 两三角形相似吗
4
8
3.6
1.7
7.2
3.4
解: ∵ ,
∴△ABC ∽△A’B’C’.
进一步探索
类似于判定全等三角形的SAS方法, 能否通过两边及其夹角判定两个三角形相似呢
已知:在△ABC与△A’B’C’中, , ∠A＝∠A’.
求证:△ABC ∽△A’B’C’.
A
B
C
A’
B’
C’
D
E
思路: 在线段A’B’上截取A’D＝AB,
过点D作DE//B’C’交A’C’于点E.
∴△A’DE∽△A’B’C’,
通过边的关系进行转化可得证明△ABC≌△A’DE(SAS),
则△ABC ∽△A’B’C’.
得出结论
相似三角形的判定定理3: 两边成比例且夹角相等两个三角形相似.
A
B
C
A’
B’
C’
符号语言:
∵ ,∠A＝∠A’
∴△ABC ∽△A’B’C’.
如右图, 两三角形相似吗
3.6
1.7
7.2
3.4
解: ∵ ,∠A＝∠A’,
∴△ABC ∽△A’B’C’.
88°
(
88°
(
小试锋芒
练习1.根据下列条件, 判断△ABC与△A’B’C’是否相似
(1) AB＝4cm, BC＝6cm, AC＝8cm,
A’B’＝12cm, B’C’＝18cm, A’C’＝24cm;
(2) ∠A＝120°, AB＝7cm, AC＝14cm,
∠A’＝120°, A’B’＝3cm, A’C’＝6cm.
解: (1)∵ ,
∴△ABC ∽△A’B’C’.
(2)∵ ,∠A＝∠A’,
∴△ABC ∽△A’B’C’.
计算时最长边与最长边对应, 最短边与最短边对应.
典例精析
例1.如图, 在正方形ABCD中, P是BC上的点且BP＝3PC, Q是CD的中点.
求证: △QCP∽△ADQ.
证明: 设正方形的边长为4a,
则CP＝a, QC＝QD＝2a,AD＝4a,
QP＝a, AQ＝a,
∵ ,
∴△QCP ∽△ADQ.
还有其它的证明方法吗？
∵ ,∠D＝∠C＝90°,
∴△QCP ∽△ADQ.
小试锋芒
练习2.如图, 在等边三角形ABC中, 点D, E分别在边AC, AB上, 且AC＝3AD, AE＝BE, 连接DE, BD.求证: ∠AED＝∠CBD.
证明: 设等边三角形的边长为3a,
则AD＝a, CD＝2a,AE＝1.5a,BC＝3a,
∵ , ∠A＝∠C＝60°,
∴△AED ∽△CBD.
小试锋芒
A
B
C
E
D
练习3.如图, 若要使△ABC∽△ADE,应添加的条件是_________.
归纳总结
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
E
相似三角形模型：“A”形
∵DE//BC.
或 ,∠A＝∠A.
∵ ,
∵ ,
∴△ABC∽△ADE.
∴△ABC∽△ADE.
∴△ABC∽△ACE.
∠A＝∠A.
∠A＝∠A.
归纳总结
相似三角形模型：“X”形
∵ ,
∠BAC＝∠DAE.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
∵DE//BC.
或 ,∠BAC＝∠DAE.
∴△ABC∽△ADE.
∴△ABC∽△ADE.
谢 谢 观 看(共14张PPT)
第27章 相似
27.2.1.3
相似三角形的判定(AA,HL)
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似.
问题思考
相似三角形有哪些判定定理
相似三角形的定义：
三个角分别相等, 三条边成比例的两个三角形相似.
判定定理1:
判定定理2:
三边成比例的两个三角形相似.
判定定理3:
两边成比例且夹角相等两个三角形相似.
观察思考
观察两副三角尺如图, 其中同样角度(30°与60°, 或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同, 但它们看起来是相似的.
一般地, 如果两个三角形有两组对应角相等, 它们一定相似吗
提出猜想: 两角分别相等的两个三角形相似.
验证猜想
已知:在△ABC与△A’B’C’中,∠A＝∠A’,∠B＝∠B’.
求证:△ABC ∽△A’B’C’.
A
B
C
A’
B’
C’
证明: 在线段A’B’上截取A’D＝AB,
过点D作DE//B’C’交A’C’于点E.
∴△A’DE∽△A’B’C’,
∴∠A’DE＝∠B’, ∠A’ED＝∠C’,
又∠A＝∠A’,∠B＝∠B’,
∴∠B＝∠A’DE,
∴△ABC≌△A’DE(ASA),
∴△ABC ∽△A’B’C’.
D
E
得出结论
相似三角形的判定定理4:两角分别相等的两个三角形相似.
A
B
C
A’
B’
C’
符号语言:
∵∠A＝∠A’,∠B＝∠B’,
∴△ABC ∽△A’B’C’.
如右图, 两三角形相似吗
解: ∵∠A＝∠A’=88°,∠B＝∠B’=32°,
∴△ABC ∽△A’B’C’.
88°
(
88°
(
(
32°
(
32°
典例精析
例1. 如图, 在Rt△ABC 中, ∠C ＝ 90°,E是AC上一点,ED⊥AB, 垂足为D.
(1) 图中有相似三角形吗？如何证明？
(2) 若BC＝6, AC＝8, AE＝5,求AD的长.
证明: △ADE ∽ △ACB.
∵∠EDA＝∠C＝90°, ∠A＝∠A,
∴△ADE ∽ △ACB.
解: 在Rt△ABC中, AB＝,
由(1)得 ,
∴AD＝8× ＝4.
小试锋芒
练习1.如图, 在△ABC中, 点D是边AB上的一点∠ADC＝∠ACB, AD＝2,BD＝6, 则边AC的长为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
B
小试锋芒
练习2.如图, △ABC中, AE 交 BC 于点 D, ∠C＝∠E, , AE＝16, BD＝8, 求DC的长.
解: ∵ , AE＝16,
∴AD＝6,DE＝10,
∵∠C＝∠E,∠ADC＝∠BDE,
∴△ADC ∽ △BDE,
∴ ,
∴DC＝ ×10＝ .
进一步探索
类似于判定全等三角形的HL方法, 能否通过斜边及直角边判定两个直角三角形相似呢
已知:在△ABC与△A’B’C’中, , ∠B＝∠B’＝90°.
求证:Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’.
A
B
C
A’
B’
C’
D
E
思路: 在线段A’B’上截取A’D＝AB,
过点D作DE//B’C’交A’C’于点E.
∴△A’DE∽△A’B’C’,
通过边的关系进行转化可得证明Rt△ABC≌Rt△A’DE(HL),
则Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’.
还有其他的证明方法吗？
进一步探索
已知:在△ABC与△A’B’C’中, , ∠B＝∠B’＝90°.
求证:Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’.
A
B
C
A’
B’
C’
证明: 设,则AB＝k·A’B’, AC＝k·A’C’,
∴
在Rt△ABC中, ,
＝k
∴Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’.
得出结论
相似三角形的判定定理5:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似.
符号语言:
∵ ,∠B＝∠B’＝90°,
∴Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’.
如右图, 两三角形相似吗
解: ∵ , ∠B＝∠B’＝90°,
∴Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’.
A
B
C
A’
B’
C’
1
3
9
3
典例精析
例2.如图, 在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中, ∠ACB＝∠A’C’B’＝90°, CD,C’D’分别是两个直角三角形斜边上的高.
若 ,求证△ABC ∽△A’B’C’.
证明: ∵ , ∠CDA＝∠C’D’A’＝90°,
∴Rt△ADC ∽ Rt△A’D’C’,
∴∠A＝∠A’,
又 ∠ACB＝∠A’C’B’＝90°,
∴△ABC ∽ △A’B’C’.
小试锋芒
练习3.如图,在Rt△ABC与Rt△ADC中, ∠ACB＝∠D＝90°, AD＝2, CD＝.当AB的长为多少时, △ACB与△ADC相似
解: 在Rt△ADC中, AC＝,
∵∠ACB＝∠D＝90°,
∴.
∴当 时, Rt△ACB ∽ Rt△ADC,
谢 谢 观 看(共14张PPT)
第27章 相似
27.2.1.4
相似三角形的判定综合
授课：
时间：
知识回顾
(1) 相似三角形的定义是什么
三个角分别相等, 三条边成比例的两个三角形相似.
(2) 相似三角形有哪些判定定理
知识回顾
(2) 相似三角形有哪些判定定理
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似；
三边成比例的两个三角形相似；
两边成比例且夹角相等两个三角形相似；
两角分别相等的两个三角形相似；
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似.
典例精析
例1.如图, 每个小正方形网格边长均为1, 则与图①中的三角形相似的是( ).
图①
A
B
C
D
图①中三角形三边长为___________;
选项A中三角形三边长为___________;
选项B中三角形三边长为___________;
选项C中三角形三边长为___________;
选项D中三角形三边长为___________.
D
, 2,
1, ,
2, ,
, , 3
1, ,
∵,
∴选项D符合题意.
小试锋芒
练习1.判断下列图中两个三角形是否相似
图①
图②
典例精析
例2.如图, CD是Rt△ABC斜边上的高, ∠ACB＝90°.
(1) 图中有几对相似三角形
3对, △ADC∽△ACB, △CDB∽△ACB, △ADC ∽△CDB.
(2) 求证: AC2＝AD·AB;
证明: ∵∠ADC＝∠ACB＝90°, ∠A＝∠A,
∴△ADC∽△ACB,
∴ ,
即AC2＝AD·AB.
(3) 求证: CD2＝AD·BD.
典例精析
例2.如图, CD是Rt△ABC斜边上的高, ∠ACB＝90°.
证明: ∵∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°,
则∠A＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD,
∴∠A＝∠DCB,
∴△ADC∽△CDB,
∴ ,
即CD2＝AD·BD.
(3) 求证: CD2＝AD·BD.
归纳总结
在直角三角形中, 斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,
每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
射影定理(欧几里德定理)：
如图, CD是Rt△ABC斜边上的高, ∠ACB＝90°.
则根据射影定理可得：
AC2＝AD·AB;
BC2＝BD·AB;
CD2＝AD·BD.
射影定理的概念了解即可.
小试锋芒
练习2.如图, AD是Rt△ABC斜边上的高, 若AB＝2cm,BC＝10cm.
则BD＝______, AC＝_______,AD＝_____.
2cm
4cm
4cm
典例精析
例3.如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P.
求证:PA·PB＝PC·PD.
证明: 连接AC,DB,
∵,
∴∠A＝∠D,
又 ∠APC＝∠DPB,
∴△APC ∽△DPB,
∴ ,
即PA·PB＝PC·PD.
归纳总结
经过圆内一点引两条弦, 各弦被这点所分成的两线段的积相等.
相交弦定理：
如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P.
则根据相交弦定理可得：
PA·PB＝PC·PD.
练习4.如图,若 PA＝3, PB＝8, PC＝4,
则PD＝___.
6
相交弦定理的概念了解即可.
小试锋芒
练习5.如图,AB是⊙O的直径, 弦CD⊥AB于点E, 过点B作⊙O的切线, 交AC的延长线于点F.已知OA＝3, AE＝2.
(1)求CD的长;
(2)求BF的长.
答案: (1) CD＝,
(2) BF＝.
大展身手
练习6.如图所示, 在△ABC中, D, E分别是AB, AC上的点, 若AB＝3AD, AE＝CE, DE的延长线交BC的延长线于点F.
求证: BC＝CF.
G
思路: 过点C作CG//AB交AB于点G,
根据平行线分线段成比例, 易证AD＝DG＝BF, 再证明△BCG∽△BFD,易得BC＝CF.
谢 谢 观 看
