(共46张PPT)
第2节 万有引力定律的应用
第3节 人类对太空的不懈探索
必备知识 清单破
1 | 天体质量的计算
知识点
1.地球质量的计算
(1)思路:地球表面的物体,若不考虑地球自转,物体的重力等于地球对物体的万有引力。
(2)关系式:mg=G 。
(3)结果:M= ,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量。
2.太阳质量的计算
(1)思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力提供向心力。
(2)关系式:G =m r。
(3)结论:M= ,只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质
量。
(4)推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M,公
式是M= 。
1.人造地球卫星的发射及原理
(1)牛顿的设想
如图甲所示,当物体被抛出的速度足够大时,它将围绕地球旋转而不再落回地面,成为一颗人
造地球卫星。
2 | 人造卫星上天
知识点
(2)发射过程简介
如图乙所示,发射人造地球卫星,一般使用三级火箭,三级依次点火使卫星进入地球轨道。
2.动力学特点
(1)运动模型
一般情况下可认为人造卫星绕地球做匀速圆周运动,其向心力由地球对它的万有引力提供。
(2)卫星运动的规律
由G =m 可得v= 。
3.宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) 第二宇宙速度 (脱离速度) 第三宇宙速度
(逃逸速度)
数值 7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s
意义 人造地球卫星在地面
附近绕地球做匀速圆
周运动的最小发射速
度 人造卫星挣脱地球引
力束缚,离开地球的
最小发射速度 人造卫星挣脱太阳引
力的束缚,飞到太阳
系以外的宇宙空间去
的最小发射速度
说明 7.9 km/s是卫星的最
小发射速度,也是卫
星环绕地球做匀速圆
周运动的最大速度,
当发射速度v满足7.9
km/s卫星在椭圆轨道上绕
地球运动 当11.2 km/s≤v<16.7
km/s时,卫星脱离地
球的束缚,成为太阳
系的一颗“小行星” 当v≥16.7 km/s时,卫
星脱离太阳的引力束
缚,跑到太阳系以外
的宇宙空间中去
1.1845年,英国大学生亚当斯和法国天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料,利用万有引力
定律计算出天王星外“新”行星的轨道。
2.1846年9月23日,德国的天文学家伽勒在勒维耶预测的区域发现了这颗行星——海王星。
3 | 预测未知天体
知识点
1.发射人造地球卫星需要足够大的速度。 ( )
2.卫星绕地球运行不需要力的作用。 ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
提示 卫星绕地球运行需要万有引力提供向心力。
3.绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s。 ( )
提示 绕地球做圆周运动的人造地球卫星的最大速度为7.9 km/s。
√
4.在地面上发射人造地球卫星的最小速度是7.9 km/s。 ( )
5.要发射一颗月球人造卫星,在地面的发射速度应大于16.7 km/s。 ( )
提示 当发射速度达到16.7 km/s时,就会挣脱太阳引力的束缚,飞出太阳系。
6.海王星的发现确立了万有引力定律的地位。 ( )
√
√
疑难 情境破
1 | 天体运动的分析与计算
疑难
情境探究
如图是太阳系的部分行星围绕太阳运动的示意图。
问题1
地球、火星等行星绕太阳的运动有什么特点
提示 地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动,万有引力提供向心力。
问题2
如何比较地球、火星等行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期及向心加速度的
大小关系
提示 由表达式G =ma=m =mω2r=m r可知线速度、角速度、周期及向心加速度都
与轨道半径有关系。
问题3
卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他被称为是“可以称量地球质量的
人”。他“称量”的依据是什么
提示 若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
问题4
若已知地球表面重力加速度g,地球半径R,如何求地球的质量和密度
提示 由mg=G 得M= ,则ρ= = = 。
问题5
如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量吗 若要求
太阳的密度,还需要哪些量
提示 由 =m地 r知M太= ,可以求出太阳的质量。由密度公式ρ= 可知,若
要求太阳的密度,还需要知道太阳的半径。
讲解分析
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有
引力提供,即F向=F万。
2.常用关系
(1)G =m =mrω2=mr =mωv=ma,万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
(2)mg=G ,在天体表面上物体的重力近似等于它受到的引力,可得gR2=GM,该公式被称为
“黄金代换式”。
3.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r 的关系 G =m v= r越大,
v越小
ω与r 的关系 G =mrω2 ω= r越大,
ω越小
T与r 的关系 G =mr T=2π r越大,
T越大
a与r 的关系 G =ma a= r越大,
a越小
速记口诀:“高轨低速周期长,低轨高速周期短”。
典例 我国2020年发射的火星探测器“天问一号”,实现了火星的环绕、着陆和巡视探测。
已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道,火星公转轨道半径约为地球公转轨道
半径的 倍【1】,火星的半径约为地球半径的 ,火星的质量约为地球质量的 ,以下说法正确
的是 ( )
A.火星的公转周期比地球的小
B.火星的公转速度比地球的大
C.探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小
D.探测器在火星表面附近环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度大
C
信息提取 【1】火星和地球绕同一个中心天体(太阳)公转,知道轨道半径之比,就可以求出
周期、线速度之比。
【2】知道火星与地球的质量之比和半径之比,根据黄金代换式就可以求出火星与地球表面
的重力加速度之比。
思路点拨 (1)比较围绕同一中心天体运动的不同环绕天体的周期大小,常采用开普勒第三
定律: =k。
(2)根据万有引力提供向心力列式时,注意选取向心加速度的不同表述形式:G =ma=m =
mω2r=m r=m(2πf)2r。
解析 火星的公转轨道半径大于地球公转轨道半径,根据开普勒第三定律可知,火星的公转
周期比地球的大,A错误;根据v= 可知,火星的公转速度比地球的小,B错误;根据g= ,
则 = · = ×22= ,则探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的
地球引力小,C正确;根据v火= = = = v地,则探测器在火星表面附近
环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度小,D错误。
2 | 万有引力与重力
疑难
讲解分析
1.重力和万有引力间的大小关系
重力为地球引力的分力。如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,则物体
受到地球的引力为F,方向指向地心O,由万有引力公式得F=G 。
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力,F2就是物体的重力mg,故一般情况下mg 。
2.重力与纬度的关系
(1)在赤道上满足mg=G -mRω2(物体受万有引力和地面对物体的支持力FN的作用,其合力
充当向心力,FN的大小等于物体重力的大小,ω为地球自转的角速度)。
(2)在地球两极处,由于F向=0,故mg=G 。
(3)地面上其他位置,重力mg万有引力。
3.近似处理
一般情况下,重力小于地球对物体的万有引力,但两者差距很小,近似计算中可以认为物体的
重力等于地球对它的万有引力。
(1)在地球表面:mg=G →g= ,g为常数。
(2)在距地面高h处:mg'=G →g'= ,高度h越大,重力加速度g'越小。
典例 某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N。在火箭发射阶
段,发现当飞船随火箭以大小为a= 的加速度匀加速竖直上升【1】到某位置时(其中g为地球
表面处的重力加速度),其身体下方的体重计的示数为1 220 N【2】。已知地球半径R=6 400 km,
地球表面的重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到 ≈1.03, ≈1.02)。问:
(1)该位置处的重力加速度g'是地面处重力加速度g的多少倍
(2)该位置距地球表面的高度h为多大
信息提取 【1】火箭上升过程中,加速度不变,宇航员所受合外力不变,而重力加速度减小,
即重力减小,支持力也减小。
【2】体重计对宇航员的支持力大小等于体重计的示数。
思路点拨 (1)在飞船发射前和到达某高度处,对宇航员分别受力分析,据牛顿第二定律【3】列
方程,求g'与g的关系。
(2)在地球表面和h高度处,利用重力和万有引力的关系【4】,列方程求h。
解析 (1)飞船发射前,对宇航员受力分析,有G=mg,得m=84 kg。
在h高度处,对宇航员受力分析,有F-mg'=ma,其中a= ,F=1 220 N,解得 = (由【2】【3】
得到)。
(2)根据万有引力公式,在地面处,有G =mg;在h高度处,有G =mg'(由【4】得到)。
联立以上两式解得h≈0.02R=128 km。
答案 (1) (2)128 km
3 | 地球同步卫星
疑难
讲解分析
1.地球同步卫星:位于地球赤道上方,相对于地面静止不动,它跟地球的自转角速度相同,广泛
应用于通信,又叫同步通信卫星。
2.地球同步卫星的特点
特点 说明
周期一定 与地球自转周期相同,即T=24 h=86 400 s
角速度一定 与地球自转的角速度相同
高度一定 卫星离地面高度h=r-R≈6R≈3.6×104 km(R为地球半径)
速度大小一定 v为恒量,环绕方向与地球自转方向相同
轨道平面一定 轨道平面与赤道平面共面
4 | 双星与多星问题
疑难
讲解分析
1.双星问题
(1)双星模型
宇宙中两颗靠得比较近的恒星构成双星,它们离其他星球都较远,因此其他星球对它们的万
有引力可以忽略不计。它们绕两者连线上某固定点做匀速圆周运动。
如图所示为质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星,它们组成一双星系统,它们间的距离
为L。
此双星系统的特点有:
①两星的运行轨道为同心圆,圆心是它们之间连线上的某一点。
②两星的向心力大小相等,由它们之间的万有引力提供。
③两星的运动周期、角速度相同。
④两星的运动半径之和等于它们之间的距离,即r1+r2=L。
(2)双星问题的处理方法
双星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力,即 =m1ω2r1=m2ω2r2。
(3)双星问题的两个结论
①m1r1=m2r2,可得 = ,可知双星系统中两颗恒星的运动半径之比等于其质量的反比。
②由于ω= ,r1+r2=L,所以两恒星的质量之和m1+m2= 。
2.三星模型
(1)如图甲所示,三个质量相等的星体,一个星体位于中心位置不动,另外两个星体围绕它做圆
周运动。这三个星体始终位于同一直线上,中心星体受力平衡。运转的星体由其余两个星体
的引力提供向心力: + =ma。
两星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。
(2)如图乙所示,三个质量相等的星体分别位于一正三角形的顶点处,都绕三角形的中心做圆
周运动。每个星体运行所需的向心力都由其余两个星体对它的万有引力的合力来提供。
2× ×cos 30°=ma,其中L=2r cos 30°。
三个星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。
3.四星模型
(1)如图甲所示,四个质量相等的星体分别位于正方形的四个顶点上,沿外接于正方形的圆轨
道做匀速圆周运动。
对四星中任一星体,由牛顿第二定律有
2× ×cos 45°+ =ma,其中L= r。
四个星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等。
(2)如图乙所示,三个质量相等的星体分别位于正三角形的三个顶点,另一颗星位于正三角形
的中心O点,三颗星以O点为圆心,沿正三角形的外接圆做匀速圆周运动。
对三颗星中任一星体,由牛顿第二定律有
2× ×cos 30°+ =ma,其中L=2r cos 30°。
外围三颗星转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小均相等。
5 | 人造卫星
疑难
讲解分析
1.人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时,由地球对它的万有引力提供向心力,因此卫星绕地球做
匀速圆周运动的圆轨道的圆心必与地心重合。这样的轨道有多种,其中比较特殊的有与赤道
共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道,也存在与赤道平面成某一角度的圆轨道,如
图所示。
2.卫星的变轨问题
卫星变轨时,先是线速度v发生变化,导致需要的向心力发生变化,进而导致轨道半径r发
生变化。
(1)当卫星减速时,卫星所需的向心力F向=m 减小,万有引力大于卫星所需的向心力,卫星将
做近心运动,向低轨道变轨。
(2)当卫星加速时,卫星所需的向心力F向=m 增大,万有引力不足以提供卫星所需的向心力,
卫星将做离心运动,向高轨道变轨。
导师点睛 以上两点是比较卫星在椭圆轨道和圆轨道切点处速度的依据。
3.飞船对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示,低轨道飞船通过合理加速,沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站,与其完
成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示,后面的飞船先减速降低运行高度,再加速提升运行高度,通过适当控制,使飞船追
上空间站时恰好具有与其相同的速度。
典例 质量为m的登月器与航天飞机连接在一起,随航天飞机绕月球做半径为3R(R为月球半
径)的圆周运动【1】。当它们运动到轨道的A点时,登月器被弹离,航天飞机速度变大,登月器速
度变小且仍沿原方向运动,随后登月器沿椭圆轨道登上月球表面的B点【2】,在月球表面逗留
一段时间后,经快速启动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接【3】,如图所示。
已知月球表面的重力加速度为g月。科学研究表明,天体在椭圆轨道上运行的周期的二次方与
轨道半长轴的三次方成正比。
(1)登月器与航天飞机一起在圆轨道上绕月球运行的周期是多少
(2)若登月器被弹离后,航天飞机的椭圆轨道的长轴为8R,为保证登月器
能顺利返回A点实现对接,则登月器可以在月球表面逗留的时间是多少
信息提取 【1】登月器与航天飞机做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供。
【2】椭圆轨道的半长轴为 =2R。
【3】要完成对接,航天飞机和登月器需同时到达A点,此时航天飞机可能转过了一圈,也可能
转过了多圈。
思路点拨 (1)在月球表面,物体所受重力等于月球对它的万有引力【4】,列出关系式;登月器和
航天飞机一起做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力【5】,列出相关等式,求出圆周运动周
期。
(2)对登月器和航天飞机分别应用开普勒第三定律【6】,求出航天飞机和登月器沿椭圆轨道运
动的周期;结合题意,求登月器在月球表面的逗留时间。
解析 (1)对于月球表面的物体,有mg月=G (由【4】得到)
设登月器和航天飞机在半径为3R的圆轨道上运行时的周期为T,有
G =m' ·3R(由【5】得到)
联立以上两式得T=6π
(2)设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1,航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2。
对登月器,有 = (由【2】【6】得到)
解得T1= T
对航天飞机,有 = (由【6】得到)
解得T2= T
为使登月器沿原椭圆轨道返回到分离点A与航天飞机对接,登月器在月球表面逗留的时间t应
满足:t=nT2-T1(其中n=1,2,3,…)(由【3】得到)
故t= nT- T=4π(4n- ) (其中n=1,2,3,…)
答案 (1)6π
(2)4π(4n- ) (n=1,2,3,…)
6 | 宇宙速度
疑难
讲解分析
1.认识第一宇宙速度
第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动必须具备的速度,即近地卫星的
环绕速度。
2.推导
对于近地人造卫星,轨道半径r近似等于地球半径R=6 400 km,卫星在轨道处所受的万有
引力近似等于卫星在地面上所受的重力,取g=9.8 m/s2,则
3.决定因素
由第一宇宙速度的计算式v= 可以看出,第一宇宙速度的值由中心天体决定,第一宇
宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R,与卫星无关。
4.对发射速度和环绕速度的理解
(1)“最小发射速度”:向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难,因为发射卫星要克服地
球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道,而近地轨道的发射速度就是第一宇宙
速度,所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
(2)“最大环绕速度”:在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中,近地卫星的轨道半径最小,
由G =m 可得v= ,轨道半径越小,线速度越大,所以在这些卫星中,近地卫星的线速
度即第一宇宙速度是最大环绕速度。第4章 万有引力定律及航天
第2节 万有引力定律的应用 第3节 人类对太空的不懈探索
第1课时 万有引力定律的应用
基础过关练
题组一 计算天体的质量
1.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,重力加速度g取9.8 m/s2,地球半径R=6.4×106 m,则可知地球质量的数量级是 ( )
A.1018 kg B.1020 kg
C.1022 kg D.1024 kg
2.已知地球表面重力加速度为g地、地球的半径为R地,地球的质量为M地,火星的半径为R火,某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为g火,由此可得火星的质量为 ( )
A.M地 B.M地
C.M地 D.M地
3.2021年2月10日,我国首次火星探测任务——“天问一号”火星探测器实施近火捕获制动,开启了环绕火星之旅。假设“天问一号”探测器在绕火星做圆周运动时距火星表面高为h,绕行的周期为T1;火星绕太阳公转的周期为T2,公转半径为R。太阳半径为r1,火星半径为r2。若忽略其他星球对“天问一号”探测器的影响,则火星与太阳的质量之比为 ( )
A. B.
C. D.·
4.嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。2020年11月29日,嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨到圆形环月轨道,圆形环月轨道对应的周期为T,离月面高度为h,如图所示。已知月球半径为R,引力常量为G。
(1)求月球的质量M;
(2)求月球表面的重力加速度大小g;
(3)假设未来的你是一名宇航员,登陆月球后,要测量月球表面的重力加速度,请简要写出一种测量方案。
5.宇航员在一星球表面附近高h处,以初速度v0竖直向上抛出一小球,经过时间t小球落到星球表面。已知该星球的半径为R,引力常量为G,不计星球表面的气体阻力,则该星球表面的重力加速度和星球质量分别为多大
题组二 计算天体的密度
6.2020年3月9日,我国成功发射第54颗北斗导航卫星。若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动,运行轨道距地面的高度为h,运行周期为T,已知引力常量为G,地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度分别为 ( )
A.
B.
C.
D.
7.假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面重力加速度在两极为g0,在赤道为g;地球自转周期为T,引力常量为G。则地球的密度为 ( )
A. B.
C. D.
8.土星和地球均可近似看成球体,土星的半径约为地球半径的9.5倍,土星的质量约为地球质量的95倍,已知地球表面的重力加速度g0=10 m/s2,地球密度约为ρ0=5.5×103 kg/m3,试计算:
(1)土星的密度;
(2)土星表面的重力加速度。
题组三 重力与万有引力的关系
9.假如地球的自转角速度增大,关于物体的重力,下列说法错误的是 ( )
A.放在赤道上的物体受到的万有引力不变
B.放在两极上的物体的重力不变
C.放在赤道上的物体的重力减小
D.放在两极上的物体的重力增大
10.设地球表面的重力加速度为g0,物体在距地心4R(R是地球半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则为 ( )
A.1 B. C. D.
11.一个物体在地球表面所受的重力大小为G,若不计地球自转的影响,则在距地球表面的高度为地球半径的2倍处,物体所受地球对它的万有引力大小为 ( )
A. B. C. D.
能力提升练
题组一 计算天体的质量
1.某学习小组分别查阅了木星和土星的多个卫星轨道半长轴a和周期T的数据,并绘制了如图所示的-T图像,各物理量的单位已在图上标出(周期的单位是天)。根据图像判断木星质量M1与土星质量M2的关系约为 ( )
A.M1=1.8M2 B.M1=3.3M2
C.M1=4.0M2 D.M1=5.4M2
2.(多选题)2022年2月,有科学家报告了迄今观测到的最大星系——“阿尔库俄纽斯”,它离地球30亿光年,自身横跨1 630万光年。星系中心有一个超大质量的黑洞,若观测到绕该黑洞做圆周运动的天体A的角速度为ωA,到黑洞中心的距离为RA,天体B绕黑洞运动的周期与地球绕太阳转动的周期相同,为T。已知地球中心到太阳中心的距离为R,则下列说法正确的是 ( )
A.该黑洞质量是太阳质量的倍
B.该黑洞质量是太阳质量的倍
C.天体B到该黑洞中心的距离为RA
D.天体B到该黑洞中心的距离为
题组二 计算天体的密度
3.2021年2月5日,我国首个火星探测器“天问一号”传回了火星照片,如图所示。假设多年以后,小明作为一位火星移民,于太阳光直射赤道的某天晚上,在火星赤道上某处仰望天空。某时,他在西边的地平线附近恰能看到一颗火星人造卫星出现,之后极快地变暗而看不到了,他记下此时正是火星上日落后约4小时5分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为T的探测卫星,查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为24小时30分,已知引力常量为G。根据以上信息,分析可得火星密度为 ( )
A. B. C. D.
4.(多选题)若宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球,测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R,引力常量为G。下列说法中正确的是 ( )
A.月球表面的重力加速度g月=
B.月球的质量m月=
C.月球的自转周期T=
D.月球的平均密度ρ=
5.2021年2月24日6时29分,我国首次火星探测任务天问一号探测器成功实施第三次近火制动,进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)。若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体,火星停泊轨道的近火点P离火星表面的距离为L1,远火点Q离火星表面的距离为L2,已知探测器在轨道上运行的周期为T,L1+L2≈18R,引力常量为G。则火星的密度约为 ( )
A. B.
C. D.
6.某宇航员乘坐宇宙飞船登陆到半径为R的某行星表面后,为了测定该行星的平均密度,他利用摆长为L的圆锥摆去测定该行星表面的重力加速度,如图所示,某次测得连接小球的悬线与竖直方向间的夹角为θ时,圆锥摆的周期为T,该行星自转的影响可忽略,引力常量为G,求:
(1)该行星表面的重力加速度g;
(2)该行星的平均密度ρ。
题组三 重力与万有引力的关系
7.英国杂志评选出了2008年度世界8项科学之最,在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中。若某黑洞的半径R约4.5 km,质量M和半径R的关系满足=(其中c为光速,G为引力常量),则该黑洞表面重力加速度的数量级为 ( )
A.1014 m/s2 B.1013 m/s2
C.1012 m/s2 D.1010 m/s2
8.理论上已经证明,质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体,将一个铁球分别放在地面以下深处和放在地面上方高度处,则铁球受到地球对它的万有引力之比为 ( )
A.9∶8 B.8∶9 C.3∶2 D.2∶3
9.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证 ( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案与分层梯度式解析
第4章 万有引力定律及航天
第2节 万有引力定律的应用
第3节 人类对太空的不懈探索
第1课时 万有引力定律的应用
基础过关练
1.D 2.A 3.D 6.A 7.B 9.D
10.D 11.D
1.D 根据G=mg可得,地球的质量为M=≈6.0×1024 kg,D正确。
2.A 星球表面的物体受到的重力等于万有引力,即G=mg,得M=,所以=,所以M火=M地,故选A。
3.D 火星绕太阳公转时由万有引力提供向心力,故有G=M火R;同理,“天问一号”探测器绕火星运动时,有G=M卫(r2+h),联立解得=·,选项D正确。
4.答案 (1) (2) (3)见解析
解析 (1)设嫦娥五号的质量为m,根据万有引力提供向心力得
G=m(R+h)
解得M=
(2)设月球表面上一个物体的质量为m',则
G=m'g
所以g=
(3)答案合理即可。例如:用弹簧测力计测出一个质量为m0的钩码的重力G,则月球表面的重力加速度g=;在距月球表面高h处,由静止释放一个小钢球,测出其运动时间t,则月球表面的重力加速度g=;在月球表面某一高度释放手机,利用手机内的加速度传感器测月球表面的重力加速度。
5.答案
解析 设该星球表面的重力加速度为g0,依题意有
-h=v0t-g0t2
解得g0=
在星球表面,物体的重力等于万有引力,有
mg0=G
解得该星球质量
M==
6.A 设卫星的质量为m,地球平均密度为ρ,由万有引力提供向心力有G=m(R+h),解得M=,又有M=ρ·πR3,由以上两式解得ρ=,所以A正确,B、C、D错误。
7.B 设地球半径为R,在两极,物体所受地球的万有引力等于重力,则有mg0=G,由此可得地球质量为M=;在赤道处,物体所受地球的万有引力与支持力的合力提供向心力,支持力与重力大小相等,由牛顿第二定律得,G-mg=mR,地球的密度为ρ==,联立解得ρ=,故选B。
8.答案 (1)0.61×103 kg/m3 (2)10.5 m/s2
解析 (1)星体的密度ρ==,则==≈0.11,故土星的密度ρ=0.11ρ0≈0.61×103 kg/m3。
(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力,有
mg=G
解得g=
则==≈1.05
所以土星表面的重力加速度g=1.05g0=10.5 m/s2。
9.D 地球的自转角速度增大,地球上所有物体受到的万有引力不变,选项A说法正确;在两极,物体受到的重力等于万有引力,万有引力不变,故其重力不变,选项B说法正确,D说法错误;放在赤道上的物体,F引=G+mω2R,由于ω增大,而F引不变,则G减小,C说法正确。
10.D 设距地心4R的物体质量为m,则有G=mg,假设在地球表面上放置一个质量为m0的物体,则有G=m0g0,两式联立得==,A、B、C错误,D正确。故选D。
11.D 设引力常量为G0,由于不计地球自转影响,则物体在地球表面所受重力等于地球对其的万有引力,即G=G0;物体在距地面高度为地球半径2倍处,距地心的距离为3R,所以万有引力F=G0=G0=G,故D正确。
能力提升练
1.B 2.BC 3.C 4.AD 5.A 7.B
8.A 9.B
1.B 由万有引力提供向心力得G=mr,则有=,说明k=只与中心天体的质量有关。根据开普勒第三定律=k得=T,则-T图线的斜率为,对木星有,=①,对土星有,=②,①②两式相比得=1.8,则木星与土星质量之比为==1.82=3.24,即木星与土星的质量关系约为M1=3.3M2,故选B。
2.BC 设黑洞的质量为M1,太阳质量为M2,地球质量为m,对天体A和地球各自的运动根据牛顿第二定律有
=mARA①
=mR②
联立①②解得=,则M1=M2,故A错误,B正确;
天体A的运动周期为
TA=
对天体A、B由开普勒第三定律有
=
解得RB=RA
故C正确,D错误。故选B、C。
3.C 火星自转周期约为24小时30分,日落后4小时5分,此时火星相对于日落时转过的角度为60°,卫星的位置如图所示,由图知=cos 30°;设火星的质量为M,卫星的质量为m,根据万有引力提供向心力,可得G=mr,火星密度为ρ=,联立解得ρ=,选项C正确。
4.AD 由平抛运动规律得L=v0t,h=g月t2,解得月球表面的重力加速度g月=,A正确;在月球表面有,G=mg月,解得m月=,B错误;月球的自转周期T=≠,C错误;月球的平均密度ρ===,D正确。故选A、D。
5.A 火星停泊轨道的半长轴为r==10R,设火星的近火卫星的周期为T0,由开普勒第三定律可得=,解得T0=,对近火卫星,万有引力提供向心力,则有G=mR,解得M==,火星的体积V=πR3,则火星的密度ρ==,A正确,B、C、D错误。
6.答案 (1),方向竖直向下
(2)
解析 (1)对小球受力分析如图
小球重力和悬线拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力,则有
mg tan θ=mL sin θ
可得该行星表面的重力加速度g=,方向竖直向下。
(2)在该行星的表面,忽略该行星的自转,则有
G=mg
可得该行星的质量M=
则该行星的平均密度ρ==。
7.B 黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力,对黑洞表面的某一质量为m的物体有G=mg,由题知=,联立解得g=,代入数据得重力加速度的数量级为1013 m/s2,故选B。
8.A 设地球的密度为ρ,铁球质量为m,则在地面以下深处,铁球受到地球对它的万有引力大小为F1=Gm,在地面上方高处,铁球受到地球对它的万有引力大小为F2=Gm,可得=,选A。
9.B 设月球质量为M月,地球质量为M,苹果质量为m,则月球受到的万有引力为F月=,苹果受到的万有引力为F=,由于月球质量和苹果质量之间的关系未知,故二者之间万有引力的关系无法确定,故选项A错误;根据牛顿第二定律,对月球和苹果分别得=M月a月、=ma,整理可得a月=a,故选项B正确;在地球表面处有G=m'g地,在月球表面处有G=m'g月,由于地球和月球本身的半径大小、质量大小关系未知,故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系,也无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系,故选项C、D错误。故选B。
8第4章 万有引力定律及航天
第2节 万有引力定律的应用 第3节 人类对太空的不懈探索
第2课时 人造卫星 宇宙速度
基础过关练
题组一 宇宙速度
1.关于三个宇宙速度,下列说法正确的是 ( )
A.第一宇宙速度大小为7.9 km/h
B.绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度
C.第二宇宙速度为11.2 km/s,是绕地飞行器最大的环绕速度
D.在地面附近发射的飞行器速度等于或大于第三宇宙速度时,飞行器就能逃出太阳系了
2.物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度,第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=v1。已知某星球半径是地球半径R的3倍,其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的,不计其他星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为 ( )
A. B. C. D.
3.宇航员在某星球表面将一小钢球以某一初速度竖直向上抛出,测得小钢球上升的最大高度为h,小钢球从抛出到落回星球表面的时间为t。不计空气阻力,忽略该星球的自转,已知该星球的半径为R(R远大于h),该星球为密度均匀的球体,引力常量为G。求:
(1)该星球表面的重力加速度;
(2)该星球的第一宇宙速度。
题组二 人造卫星
4.中国航天事业迅猛发展,进入世界领先行列。如图所示,若A、B、C三颗人造地球卫星在同一平面内,沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动,周期分别为TA、TB、TC,角速度分别为ωA、ωB、ωC,则 ( )
A.TA=TB=TC B.TAC.ωA=ωB=ωC D.ωA<ωB<ωC
5.2021年10月17日,“神舟十三号”载人飞船出征太空,11月7日,航天员王亚平成为中国首位进行出舱活动的女航天员。王亚平在中国空间站“天和”核心舱中一天可以看到16次日出日落。我国的北斗同步卫星也在太空为我们提供导航通信服务。下列说法正确的是 ( )
A.“神舟十三号”的发射速度为第二宇宙速度
B.“天和”核心舱围绕地球运动的速度小于第一宇宙速度
C.“天和”核心舱围绕地球运动的周期是北斗同步卫星周期的
D.“天和”核心舱的向心加速度比北斗同步卫星的向心加速度小
6.北京时间2021年5月19日12时03分,我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号”乙运载火箭,成功将“海洋二号”卫星送入预定轨道,发射任务获得圆满成功。已知卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r、运行周期为T,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G。求:
(1)“海洋二号”做匀速圆周运动的向心加速度的大小a;
(2)地球的半径R。
题组三 赤道上物体、同步卫星、近地卫星的比较
7.有a、b、c、d四颗人造地球卫星,a还未发射,在地球赤道上随地球表面一起转动,b在地面附近的近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,各卫星排列位置如图所示,则有 ( )
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.b在相同时间内转过的弧长最长
C.c在4 h内转过的圆心角是
D.d的运动周期有可能是20 h
8.设地球半径为R,a为静止在地球赤道上的一个物体,b为一颗近地卫星,c为地球的一颗同步卫星,其轨道半径为r。下列说法中正确的是 ( )
A.a与c的线速度大小之比为
B.a与c的线速度大小之比为
C.b与c的周期之比为
D.b与c的周期之比为
题组四 卫星的变轨问题
9.如图所示,我国发射“神舟十号”飞船时,先将飞船发射到一个椭圆轨道上,其近地点M距地面200 km,远地点N距地面340 km。进入该轨道正常运行时,通过M、N点时的速率分别是v1和v2。当某次飞船通过N点时,地面指挥部发出指令,点燃飞船上的发动机,使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道,开始绕地球做匀速圆周运动,这时飞船的速率为v3,比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小,下列结论正确的是 ( )
A.v1>v3>v2,a1>a3>a2
B.v1>v2>v3,a1>a2=a3
C.v1>v2=v3,a1>a2>a3
D.v1>v3>v2,a1>a2=a3
10.某次发射地球同步卫星时,该卫星先进入椭圆轨道再进入同步轨道,椭圆轨道的近地点A在近地圆轨道上,远地点B在同步轨道上,如图所示。则该卫星 ( )
A.在椭圆轨道上运行的周期小于1天
B.在同步轨道上的角速度小于赤道上物体随地球自转的角速度
C.在B点需要减速才能进入同步轨道
D.在椭圆轨道上从A点运动到B点的过程中,速度增大
能力提升练
题组一 人造卫星
1.如图所示,两颗人造卫星绕地球逆时针运动,卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动,圆的半径与椭圆的半长轴相等,两轨道相交于A、B两点,某时刻两卫星与地球在同一直线上,下列说法中正确的是 ( )
A.两卫星在图示位置的速度大小关系为v1B.两卫星在A处的加速度大小不相等
C.两卫星可能在A点或B点处相遇
D.两卫星永远不可能相遇
2.如图所示,“羲和号”是我国首颗可24小时全天候对太阳进行观测的试验卫星,该卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面垂直。卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈(n>1)。已知地球半径为R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星运行的 ( )
A.线速度大于第一宇宙速度
B.角速度小于地球同步卫星
C.向心加速度大于地球同步卫星
D.轨道距地面高度为-R
3.材料的力学强度是材料众多性能中被人们极为看重的一种性能,目前已发现的高强度材料碳纳米管的抗拉强度是钢的100倍,密度是钢的,这使得人们有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”。当航天员乘坐“太空电梯”时,地球引力对航天员产生的加速度a与r的关系用图乙中图线A表示,航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系用图线B表示,其中r为航天员到地心的距离,R为地球半径。关于相对地面静止在不同高度的航天员,下列说法正确的是 ( )
A.航天员在r=R处的线速度等于第一宇宙速度
B.图中r0为地球同步卫星的轨道半径
C.随着r增大,航天员运动的线速度一直减小
D.随着r增大,航天员受到电梯舱的弹力减小
4.如图所示,A是地球同步卫星,另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内,距离地面高度为h。已知地球半径为R,地球自转角速度为ω0,地球表面的重力加速度为g,O为地球中心。
(1)卫星B的运行周期是多少
(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上),则至少再经过多长时间,它们再一次相距最近
题组二 卫星的变轨问题
5.发射地球同步卫星,可简化为如下过程:先将卫星发射到近地圆轨道1,然后点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于P点,轨道2、3相切于Q点,如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,下列说法正确的是 ( )
A.地球同步卫星可以定点在北京上空
B.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
C.卫星在轨道2上从P点向Q点运动的过程中机械能逐渐增大
D.卫星在轨道1上经过P点时的速率小于它在轨道2上经过P点时的速率
6.2022年11月,“天舟五号”货运飞船仅用2小时就与“天宫”空间站快速交会对接,创造了世界纪录。飞船从预定轨道Ⅰ的A点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达椭圆轨道的远地点B时,再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ,与空间站实现对接,假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道,不计飞船质量的变化,则飞船 ( )
A.在轨道Ⅰ的线速度大于第一宇宙速度
B.在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期
C.第一次变轨需瞬间加速,第二次变轨需瞬间减速
D.从椭圆轨道Ⅱ的A点运动到B点,动能增加
7.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船,目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术,其发射过程简化如下:飞船在酒泉卫星发射中心发射,由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,A点距地面的高度为h1,飞船飞行五周后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示,设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,若已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R,求:
(1)地球的平均密度;
(2)飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小;
(3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h2。
答案与分层梯度式解析
第2课时 人造卫星 宇宙速度
基础过关练
1.D 2.A 4.B 5.B 7.B 8.D
9.D 10.A
1.D 第一宇宙速度是飞行器绕地球做圆周运动的最大运行速度,也是绕地球飞行的飞行器的最小地面发射速度,其值为7.9 km/s,故A、B、C错误;当飞行器的地面发射速度大于或等于第三宇宙速度16.7 km/s时,飞行器将脱离太阳的束缚,故D正确。
2.A 物体沿该星球表面做匀速圆周运动时,有m·g=,解得该星球的第一宇宙速度为v1=,则该星球的第二宇宙速度为v2=v1=,故选A。
3.答案 (1) (2)
解析 (1)根据竖直上抛运动的对称性可知小球上升、下落过程的时间均为,根据自由落体运动公式,有h=g,解得该星球表面的重力加速度g=。
(2)根据万有引力提供向心力,有G=m
在星球表面有=mg
解得该星球的第一宇宙速度v1=。
4.B 根据=mω2r=,得ω=,T=2πr,由题图可知rA5.B “神舟十三号”绕地球飞行,可知其发射速度大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,A错误;第一宇宙速度是地球卫星的最大环绕速度,也是地面的最小发射速度,“天和”核心舱围绕地球运动的速度小于第一宇宙速度,B正确;设地球的自转周期为T,王亚平在中国空间站“天和”核心舱中一天可以看到16次日出日落,说明“天和”核心舱围绕地球运动的周期为T'=T,地球同步卫星的周期等于地球自转周期,所以“天和”核心舱绕地球做圆周运动的周期约为北斗同步卫星周期的,C错误;根据开普勒第三定律=k可知“天和”核心舱离地面的高度比北斗同步卫星低,根据G=ma得a=,所以“天和”核心舱的向心加速度比北斗同步卫星的大,D错误。
6.答案 (1)r (2)
解析 (1)卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动,有ω=,a=ω2r
解得a=r
(2)设地球质量为M,对卫星,根据万有引力提供向心力有
G=m
在地球表面有G=mg
解得R==
7.B 对a有-FN=ma,对b有=mg,故a8.D 物体a与同步卫星c角速度相等,由v=rω可得,二者线速度大小之比为,选项A、B均错误;b为近地卫星,轨道半径近似为R,c的轨道半径为r,由T=2π可得,二者周期之比为,选项C错误,D正确。
9.D 根据万有引力提供向心力,即=man,得an=,由题图可知r1a2=a3;飞船通过N点时在短时间内加速后进入距地面340 km的圆形轨道,所以v3>v2,若飞船在过M点的圆形轨道运行,设速率为v1',在M点从图中椭圆轨道变轨到圆形轨道需要减速,则v1>v1',飞船在圆形轨道上运行时根据=得v=,又因为r1v3,故v1>v3>v2。故选D。
10.A 地球同步卫星运行的周期与地球自转的周期(1天)和角速度相等,故该卫星在同步轨道上的角速度等于赤道上物体随地球自转的角速度,根据开普勒第三定律可知,该卫星在椭圆轨道上运行的周期小于1天,故A正确,B错误;该卫星在B点需要加速才能进入同步轨道,故C错误;该卫星在椭圆轨道上从A点运动到B点的过程中,速度减小,故D错误。故选A。
能力提升练
1.D 2.C 3.B 5.D 6.B
1.D v2为卫星2在椭圆轨道的远地点的速度,此时卫星2加速做离心运动,才能到达以此位置与地心连线为半径的圆周轨道,故v2小于对应圆轨道的环绕速度,v1表示做匀速圆周运动的速度,根据=,得v=,可知v1>v2,故A错误;两个轨道上的卫星运动到A点时,所受的万有引力产生加速度,有a=,则加速度大小相等,故B错误;椭圆的半长轴与圆轨道的半径相等,根据开普勒第三定律知,两颗卫星的运动周期相等,则不会相遇,故D正确,C错误。故选D。
2.C 第一宇宙速度是地球卫星的最大环绕速度,也是地面的最小发射速度,“羲和号”卫星绕地球运动,线速度小于第一宇宙速度,故A错误;卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈,则卫星的周期为T星=,其中n>1,由ω=可知=n,即“羲和号”卫星角速度大于地球同步卫星的角速度,故B错误;“羲和号”卫星的周期小于同步卫星的周期,则轨道半径小于同步卫星的轨道半径,由=ma可得a星>a同,即“羲和号”卫星的向心加速度大于地球同步卫星的,故C正确;由=m(R+h)和=m'g联立得轨道距地面高度为h=-R,故D错误。故选C。
3.B 电梯舱内的航天员与地球一起同轴转动,当r=R时,电梯中的航天员受到万有引力和电梯的弹力,合力提供向心力,-FN=,第一宇宙速度为在地球表面附近只有万有引力提供向心力时,即上式中FN=0时做匀速圆周运动的线速度,因此航天员在r=R处的线速度小于第一宇宙速度,A错误;由公式-FN=mω2r可知,随着r增大,航天员受到电梯舱的弹力减小,当=mω2r时,电梯舱对航天员的弹力为零,只由万有引力提供向心力,此时r=r0,r0为同步卫星的轨道半径,B正确;由于电梯舱内的航天员与地球一起同轴转动,由v=ωr知,随着r增大,线速度增大,C错误;当r>r0时,随着r继续增大,需要的向心力更大,有+FN=mω2r,知FN反向增大,所以随着r从小于r0到大于r0逐渐增大的过程中,航天员受到电梯舱的弹力先减小为零后反向增大,D错误。故选B。
4.答案 (1)2π (2)
解析 (1)由万有引力定律和向心力公式得
G=m(R+h) ①
G=m'g ②
联立①②解得TB=2π ③
(2)由题意得(ωB-ω0)t=2π④
ωB== ⑤
代入④得t=
5.D 由于地球同步卫星相对地面静止,自西向东绕地球转动,因此轨道平面一定在赤道所确定的平面内,不可能定点在北京上空,A错误;根据=可得v=,因此卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率,B错误;卫星在轨道2上从P点向Q点运动的过程中,只有万有引力做功,因此机械能守恒,C错误;在轨道1上经过P点时做圆周运动,因此满足=,在轨道2上经过P点后做离心运动,满足<,因此可知卫星在轨道1上经过P点时的速率小于它在轨道2上经过P点时的速率,D正确。故选D。
6.B 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,近地卫星的轨道半径近似等于地球半径,根据G=m解得v=,由于轨道Ⅰ的半径大于地球半径,则飞船在轨道Ⅰ的线速度小于第一宇宙速度,A错误;根据G=m解得T=2π,由于轨道Ⅰ的半径小于空间站的运行半径,可知,飞船在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期,B正确;第一次变轨与第二次变轨均是由低轨道到达高轨道,则均需要在切点位置加速,C错误;从椭圆轨道Ⅱ的A点运动到B点,万有引力做负功,动能减小,D错误。故选B。
7.答案 (1) (2) (3)-R
解析 (1)根据质量、密度、体积间的关系可知,地球的质量为
M=ρ·πR3 ①
在地球表面附近,物体受到的重力与万有引力近似相等,有
mg=G ②
联立①②解得地球的平均密度ρ=
(2)根据牛顿第二定律有
G=maA ③
联立②③解得飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为
aA=
(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力,有
G=m(R+h2) ④
由题意可知,飞船在预定圆轨道上运行的周期为
T= ⑤
联立②④⑤解得椭圆轨道远地点B距地面的高度为
h2=-R
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