第4章 万有引力定律及航天
第1节 天地力的综合: 万有引力定律
基础过关练
题组一 行星运动的规律
1.自远古以来,当人们仰望星空时,天空中壮丽璀璨的景象便吸引了人们的注意。智慧的头脑开始探索星体运动的奥秘,其中德国天文学家开普勒做出了卓绝的贡献,发现了行星运动的三大定律,下列关于这三大定律的说法正确的是 ( )
A.太阳系中所有行星的公转周期与行星的轨道半长轴的三次方成正比
B.太阳系中所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等
C.木星、地球与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
D.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的中心
2.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示,F1和F2是椭圆轨道的两个焦点。已知行星在A点的速率大于在B点的速率,则太阳位于 ( )
A.F1点 B.F2点
C.O点 D.F1~F2之间某点
3.关于行星运动的公式=k,以下理解正确的是 ( )
A.k与a和T均无关
B.k与a3成正比
C.k与T2成反比
D.k是一个与行星质量有关的常量
4.2023年8月10日,我国成功发射首颗人工智能卫星——地卫智能应急一号,标志着我国在人工智能与航天领域的重大突破。假设绕地球做匀速圆周运动时,该卫星的周期是地球同步卫星周期的,则它与地球同步卫星的轨道半径之比为 ( )
A.k2 B. C. D.
题组二 万有引力定律
5.关于万有引力定律,下列说法正确的是 ( )
A.牛顿提出了万有引力定律,并测定了引力常量的数值
B.万有引力定律只适用于天体之间
C.万有引力的发现,揭示了自然界一种基本相互作用的规律
D.地球绕太阳在椭圆轨道上运行,在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的
6.(多选题)要使两物体间的万有引力减小到原来的,以下措施可行的是 ( )
A.使两物体的质量各减少一半,距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的,距离不变
C.使两物体间的距离和质量都减少原来的
D.使两物体间的距离增加为原来的2倍,质量不变
7.火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为 ( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
8.宇宙中存在的一种四星系统如图所示,四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上,它们都绕正方形中心做匀速圆周运动。若每个星体的质量均为m,引力常量为G,正方形的边长为a,则每个星体所受万有引力为 ( )
A. B.
C. D.
9.已知地球的质量大约是M=6.0×1024 kg,地球半径R=6 370 km。假设你与你的同桌的质量均为50 kg,距离为0.5 m,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
(1)估算你的同桌对你的万有引力;
(2)估算地球对你的万有引力;
(3)比较上述两个结果,你对万有引力的大小有什么新的认识
题组三 引力常量
10.(多选题)关于引力常量G,下列说法中正确的是 ( )
A.在国际单位制中,G在数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力的大小
B.G是一个没有单位的比例常数,它的数值是人为规定的
C.在不同的星球上,G的数值不一样
D.在不同的单位制中,G的数值是不同的
11.根据万有引力定律,两个质量分别是m1和m2的物体,它们之间的距离为r时,它们之间的引力大小为F=G,式中G是引力常量,若用国际单位制的基本单位表示G的单位应为 ( )
A.kg·m·s-2 B.N·kg2·m-2
C.m3·s-2·kg-1 D.m2·s-2·kg-2
12.(多选题)物理学领域中具有普适性的一些常量,对物理学的发展有很大作用,引力常量就是其中之一。1687年牛顿发现了万有引力定律,但并没有得出引力常量数值。直到1798年,卡文迪许首次利用如图所示的装置,比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史,下列说法正确的是 ( )
A.卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”
B.万有引力定律是牛顿和卡文迪许共同发现的
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理,提高了测量精度
D.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
能力提升练
题组一 行星运动的规律
1.二十四节气是我国古代劳动人民智慧的结晶。24个节气对应着地球在椭圆公转轨道上的二十四个不同的位置,2023年中4个节气对应的日期和位置如图所示。下列说法正确的是 ( )
A.地球沿着椭圆形轨道绕太阳做匀速率运动
B.地球从春分运动到夏至的时间等于地球公转周期的四分之一
C.地球从冬至运动到春分的时间小于地球公转周期的四分之一
D.夏至时地球绕太阳公转的速度最大
2.如图所示,哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆,哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年,预计哈雷彗星下次回归到近日点将在2061年。已知椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是地球公转轨道半径R的0.6,则椭圆轨道远日点到太阳的距离为(=3.56) ( )
A.17.2R B.17.8R C.35R D.36R
题组二 万有引力定律
3.2024年6月2日,嫦娥六号探测器成功在月球背面实现了软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图像是 ( )
4.一卫星绕某行星做匀速圆周运动,已知行星表面的重力加速度为g,行星的质量M与卫星的质量m之比为M∶m=81,行星的半径R行与卫星的半径R卫之比为R行∶R卫=3.6,行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比为r∶R行=60。卫星表面的重力加速度与行星表面的重力加速度之比为 ( )
A.4∶25 B.25∶4
C.1∶3 600 D.3 600∶1
5.一个质量均匀分布的球体,半径为2r,在其内部挖去一个半径为r的球形空穴,其表面与球面相切,如图所示。已知引力常量为G,挖去小球的质量为m,在球心和空穴中心连线上,距球心d=6r处有一质量为m2的质点,求:
(1)被挖去的小球在挖去前对质点的万有引力为多大
(2)剩余部分对质点的万有引力为多大
答案与分层梯度式解析
第4章 万有引力定律及航天
第1节 天地力的综合: 万有引力定律
基础过关练
1.B 开普勒第三定律可表示为=k,即行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比为定值(定值与中心天体有关),故A错误,B正确;根据开普勒第二定律可知,行星和恒星的连线在相等时间内扫过的面积相同,不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不等,故C错误;根据开普勒第一定律可知,行星绕恒星运动的轨道是椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上,不在中心,故D错误。故选B。
2.A 根据开普勒第二定律,对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,如果时间间隔相等且很短,那么S面A=S面B,由于vA>vB,所以A点为近日点,B点为远日点,则太阳位于F1点,故选项A正确。
3.A 设中心天体的质量为M,行星的质量为m,当椭圆轨道近似看作圆轨道时,根据万有引力提供向心力有G=ma,解得=,即k是一个与中心天体质量有关的常量,与a和T均无关,故选A。
4.B 设该卫星的周期为T1,轨道半径为r1,地球同步卫星的周期为T2,轨道半径为r2,根据开普勒第三定律可得=,由题意可得=,联立可得该卫星与地球同步卫星的轨道半径之比为=,故选B。
5.C 牛顿提出了万有引力定律,而引力常量是由卡文迪许测定的,故A错误;万有引力定律适用于宇宙中任意两个物体之间的引力,是自然界一种基本相互作用的规律,故B错误,C正确;根据万有引力公式F=可知,地球在近日点时与太阳的距离比在远日点时与太阳的距离小,所以在近日点时受到太阳的万有引力大,故D错误。
6.ABD 根据万有引力公式F=G可知,两物体的质量各减少一半,距离不变,两物体间的万有引力减小到原来的,故A正确;使其中一个物体的质量减小到原来的,距离不变,两物体之间的万有引力将减小为原来的,故B正确;使两物体间的距离和质量都减少原来的,两物体间的万有引力不变,故C错误;使两物体间的距离增加为原来的2倍,质量不变,两物体之间的万有引力将减小为原来的,故D正确。
7.B 设物体质量为m,则在火星表面有F1=G,在地球表面有F2=G,由题意知=,=,联立以上各式可得==×=0.4,故选B。
8.D 每一个星体均受到另外三个星体的万有引力的作用,以其中任意一个星体为研究对象,其受力如图所示,与其相邻的两个星体的万有引力F1=F3=,两个力的合力为F'=F1=,方向沿正方形的对角线;对角线上的星体对它的万有引力为F2=,故星体所受万有引力的合力为F=F'+F2=,选D。
9.答案 (1)6.67×10-7 N (2)493 N (3)见解析
解析 (1)估算时可以将人作为质点,则同桌对你的万有引力大小为F1=G= N=6.67×10-7 N。
(2)地球对你的万有引力大小为F2=G= N≈493 N。
(3)与天体对物体的引力相比,一般物体间的引力非常小,可以忽略。
10.AD 在国际单位制中,G在数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力的大小;G的单位是导出单位,为N·m2/kg2。此数值并非人为规定的,它是一个实验测得的值;G是一个与星球无关的常量,在不同星球上,G的数值都为6.67×10-11 N·m2/kg2;虽然如此,但G的数值与单位有关,在不同的单位制中,G的数值是不同的。故选A、D。
11.C 用国际单位制的基本单位表示质量m、距离r、力F的单位分别是:kg、m、kg·m·s-2,根据万有引力定律F=G,得到用国际单位制的基本单位表示G的单位为m3·s-2·kg-1,选项C正确。
12.ACD 卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量,知道引力常量后可以利用万有引力定律测出地球的质量,因此卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”,A正确;万有引力定律是牛顿发现的,B错误;该实验利用了放大的原理,提高了测量的精确程度,C正确;引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小,D正确。
能力提升练
1.C 根据开普勒第二定律可知,地球从近日点向远日点运动的过程中,速率一直在减小,可知夏至时地球绕太阳公转的速度最小,故A、D错误;由于地球从冬至运动到春分的平均速率大于从春分运动到夏至的平均速率,而两段路程相等,则可知地球从冬至运动到春分的时间小于地球公转周期的四分之一,而地球从春分运动到夏至的时间大于地球公转周期的四分之一,故B错误,C正确。故选C。
2.C 地球绕太阳公转的周期T为1年,哈雷彗星的周期T1=2061年-1986年=75年,根据开普勒第三定律得=,解得===17.8,得a=17.8R,又近日点到远日点的距离为2a,近日点到太阳中心的距离为0.6R,故d远=2a-0.6R=35R,故选项C正确。
3.D 根据万有引力定律可得F=,可得h越大,F越小,且F与h不是线性关系,A、B、C错误,D正确。故选D。
4.A 卫星表面的重力加速度是卫星表面上的物体受到卫星的万有引力产生的,可得=m0g卫,解得卫星表面的重力加速度g卫=,行星表面的重力加速度满足=m'g行,解得行星表面的重力加速度g行=,解得==×(3.6)2=,故选A。
5.答案 (1)G (2)G
解析 (1)被挖去的小球在挖去前对质点的万有引力为F2=G=G。
(2)将挖去的小球填入空穴中,由V=πR3、M=ρV可知,大球的质量为8m,则挖去小球前大球对质点的万有引力为F1=G=G
则剩余部分对质点的万有引力为F=F1-F2=G。(共18张PPT)
第1节 天地力的综合: 万有引力定律
知识点 1 行星运动的规律
知识 清单破
内容 图示
开普勒第一定律(椭圆定律) 所有行星绕太阳运动的轨道
都是椭圆,太阳位于椭圆的一
个焦点上
说明:不同行星绕太阳运动的
椭圆轨道是不同的 开普勒第二定律(面积定律) 任何一个行星与太阳的连线
在相等的时间内扫过的面积
相等
说明:行星在近日点的速率大
于在远日点的速率 开普勒第三定律(周期定律) 行星绕太阳运行轨道半长轴
a的立方与其公转周期T的平
方成正比
说明: =k,比值k是取决于中 心天体的常量 1.内容:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的方向沿两物体的连线,引力的大小F与
这两个物体质量的乘积m1m2成正比,与这两个物体间的距离r的平方成反比。
2.表达式:
3.引力常量G:由英国物理学家卡文迪许测量得出,常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
知识点 2 万有引力定律
1.测定:在1798年,英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验,较精确地测出了引力常量。
2.意义:使万有引力定律能进行定量运算,显示出其真正的实用价值。
3.知道G的值后,利用万有引力定律可以计算出天体的质量,卡文迪许也因此被称为“能称出
地球质量的人”。
知识点 3 引力常量的测定
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.万有引力不仅存在于天体之间,也存在于普通物体之间。 ( )
2.引力常量是牛顿首先测出的。 ( )
引力常量是由卡文迪许测出的。
3.月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。 ( )
4.开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。 ( )
开普勒定律适用于宇宙中一切绕中心运动的天体。
5.围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的。 ( )
√
疑难 情境破
疑难1 对开普勒第三定律的理解和应用
情境探究
火星冲日也叫火星大冲,是指火星位于日、地连线上,并且和地球位于太阳的同一侧,火
星冲日一般每两年零两个月左右发生一次,此时火星与地球的距离比平时近,因此探测火星
的宇宙飞船每两年多才发射一次,以节省燃料和节约时间。
问题1
已知地球的公转周期是一年,由此计算火星的公转周期还需要知道哪些数据
还需要知道地球、火星各自轨道的半长轴。
问题2
地球、火星的轨道可近似看成圆轨道,开普勒第三定律还适用吗
对于圆轨道,开普勒第三定律仍然适用,只是将公式 =k中的半长轴a换成轨道半
径r。
提示
提示
讲解分析
对开普勒第三定律的理解及应用
(1)用公式表示为 =k,k是一个对所有行星都相同的常量。椭圆轨道的半长轴越长的行星,
其公转周期越长。
(2)开普勒第三定律的适用范围
天体的运动可近似看成匀速圆周运动,开普勒第三定律既适用于轨道是椭圆的天体,也适用
于轨道是圆的天体。
(3)开普勒第三定律的应用
①知道了行星到太阳的距离,就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期。
反之,知道了行星的周期,也可以计算或比较其到太阳的距离。
②知道了彗星的周期,就可以由开普勒第三定律计算彗星轨道的半长轴,反之,知道了彗星轨
道的半长轴也可以求出彗星的周期。
(4)开普勒第三定律中的k值
表达式 =k中的常数k,只与中心天体的质量有关,如研究行星绕太阳运动时,常数k只与太阳
的质量有关,研究卫星绕地球运动时,常数k只与地球的质量有关。
情境探究
1665—1666年间因瘟疫流行,23岁的牛顿从剑桥回到家乡,当时他正在思考月球绕地球运行
的问题。一天,牛顿坐在花园里正冥思着,突然,一颗熟了的苹果从树上落了下来,这引起了他
的遐想:
(1)苹果为什么要落到地上,而不飞向天空呢 一定是受到了地球的引力作用。
(2)天上的月亮为什么会围绕着地球运转,而不飞离地球呢 也同样是受到了地球的引力。
上述两个力会不会是同一种力呢
疑难2 对万有引力定律的理解
问题1
万有引力定律公式F=G 中r的含义是什么
r指的是两个质点间的距离。
问题2
任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F=G 计算出来吗
不能。万有引力定律的表达式F=G 只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之
间万有引力的计算,形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定,所以不适用。
提示
提示
问题3
苹果和月亮的运动具有相同的力学本源,万有引力定律揭示了这种力的规律,那为什么
它们表现出不同的运动形式 设想一下,苹果有没有可能像月亮一样运动
苹果和月亮的运动虽然具有相同的力学本源,即都受到万有引力作用,但由牛顿运动
定律可知物体的运动形式由受力和初速度共同决定,苹果和月亮表现出不同的运动形式,正
是由于它们的初速度不同,设想一下,如果给苹果一个适当的初速度,它完全有可能像月亮一
样运动;同样,假如有一双“巨人之手”将月亮拦住,它也会像熟了的苹果一样落地。
提示
讲解分析
1.万有引力定律的推导
(1)建立模型
太阳系中八大行星的轨道半长轴和轨道半短轴相差不大,所以我们可以建立如下的简化模
型。
①行星绕太阳做匀速圆周运动。
②太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力。
③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值均相等,即 =k。
(2)太阳对行星的引力规律的推导
①设行星的质量为m,速度为v,行星到太阳的距离为r,则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力
为F=m 。天文观测难以直接得到行星运动的速度v,但可以得到行星公转的周期T,它们之
间的关系为v= ,由以上两式可得F=m r,再由 =k,可得F=4π2k 。
在研究太阳对行星的引力时,“k”是一个与太阳有关的常量,故对于不同的行星,行星质量不
同,但4π2k是一定值。
②结论
太阳对行星的引力与行星的质量成正比,与行星到太阳的距离的二次方成反比,即F∝ 。
(3)行星对太阳的引力
由(2)中推导可知,行星对太阳的引力F'的大小应该与太阳质量M成正比,与行星到太阳距离的
二次方成反比,也就是F'∝ 。
(4)得出结论
由于F∝ 、F'∝ ,根据牛顿第三定律,F与F'的大小又是相等的,所以太阳与行星间引力的
大小与太阳的质量、行星的质量成正比,与两者距离的二次方成反比,即F∝ ,写成等式就
是F=G ,式中G是比例系数,与太阳、行星都没有关系。
特点 内容
普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量
的物体(大到天体,小到微观粒子)间的相互吸
引力,它是自然界中物体间的基本相互作用
之一
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力与
反作用力,遵循牛顿第三定律
2.万有引力的“四性”
宏观性 通常情况下,万有引力非常小,只有在质量巨
大的天体间或天体与物体间,它的存在才有
宏观的物理意义。在微观世界中,粒子的质
量都非常小,粒子间的万有引力可以忽略不
计
特殊性 两个物体间的万有引力,只与它们本身的质
量、它们之间的距离有关,和所在空间的性
质以及周围有无其他物体无关
