第一章空间向量与立体几何常考易错检测卷（含答案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第一章空间向量与立体几何常考易错检测卷（含答案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-28 09:42:08 | ||
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文档简介
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第一章空间向量与立体几何常考易错检测卷-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
一、填空题
1．已知点，点，则点到直线的距离为 ．
2．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ．
3．如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .
二、选择题
4．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
5．如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知四面体，，分别是棱，的中点，且，，，则向量用，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则（ ）
A．4 B．5 C．21 D．26
9．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
11．在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
三、多项选择题
12．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．与一定不垂直
B．的面积是
C．点P到平面的距离是定值
D．二面角的正弦值是
14．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
B．若非零向量，，满足，，则有
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底
四、解答题
15．如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
16．如图，在长方体中，，点在棱上移动.
（1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.
17．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为．
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，⊥底面，，， ，点E为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
19．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，， 分别是、的中点，点在线段上，且.
（1）求直线AM与直线PN所成角的大小；
（2）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】A
12．【答案】A,D
13．【答案】B,C,D
14．【答案】A,C
15．【答案】（1）证明：平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）解：由（1）知平面，平面，，
以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面与平面夹角为，
则
16．【答案】（1）解：以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
当点在棱的中点时，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的夹角的余弦值为；
（2）解：设，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
令，
所以，
所以当时，取得最小值，最小值为.
17．【答案】（1）证明：连结，，因为为等边三角形，为中点，则，
依题意平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
由题设知四边形为菱形，所以，
因为，分别为，中点，所以，即，
又，平面，所以平面；
（2）解：由（1）知平面，又因为，所以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，
，，，，
设，则，
设平面的法向量，则
令，则，，则，
由（1）可知可作为平面的一个法向量，
则，
令，则，
则；
设，则，故得，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为．
18．【答案】（1）证明：取中点M，连接，如图：
∵E，M分别为的中点，
∴，且，
又因为，可得，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵⊥底面，，，
则，，平面，，
∴平面，
又因为平面，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，两两垂直，以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，
，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，，得，则，
又因为，，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量，，
因为⊥底面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为θ，
结合图象可知，，
故二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：直三棱柱中，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
易得点，，，
则，即，
故直线AM与直线PN所成角的大小为90°；
（2）解：点，则，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设直线与平面所成的角为，则，
整理可得，即，
因为，解得.
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第一章空间向量与立体几何常考易错检测卷-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
一、填空题
1．已知点，点，则点到直线的距离为 ．
2．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ．
3．如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .
二、选择题
4．若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
5．如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知四面体，，分别是棱，的中点，且，，，则向量用，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则（ ）
A．4 B．5 C．21 D．26
9．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
11．在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
三、多项选择题
12．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．与一定不垂直
B．的面积是
C．点P到平面的距离是定值
D．二面角的正弦值是
14．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
B．若非零向量，，满足，，则有
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底
四、解答题
15．如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
16．如图，在长方体中，，点在棱上移动.
（1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.
17．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为．
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，⊥底面，，， ，点E为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
19．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，， 分别是、的中点，点在线段上，且.
（1）求直线AM与直线PN所成角的大小；
（2）当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】A
12．【答案】A,D
13．【答案】B,C,D
14．【答案】A,C
15．【答案】（1）证明：平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，；
（2）解：由（1）知平面，平面，，
以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
，
设平面与平面夹角为，
则
16．【答案】（1）解：以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
当点在棱的中点时，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的夹角的余弦值为；
（2）解：设，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
令，
所以，
所以当时，取得最小值，最小值为.
17．【答案】（1）证明：连结，，因为为等边三角形，为中点，则，
依题意平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
由题设知四边形为菱形，所以，
因为，分别为，中点，所以，即，
又，平面，所以平面；
（2）解：由（1）知平面，又因为，所以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，
，，，，
设，则，
设平面的法向量，则
令，则，，则，
由（1）可知可作为平面的一个法向量，
则，
令，则，
则；
设，则，故得，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为．
18．【答案】（1）证明：取中点M，连接，如图：
∵E，M分别为的中点，
∴，且，
又因为，可得，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵⊥底面，，，
则，，平面，，
∴平面，
又因为平面，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，两两垂直，以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，
，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，，得，则，
又因为，，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量，，
因为⊥底面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为θ，
结合图象可知，，
故二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：直三棱柱中，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
易得点，，，
则，即，
故直线AM与直线PN所成角的大小为90°；
（2）解：点，则，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设直线与平面所成的角为，则，
整理可得，即，
因为，解得.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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