【中考专项特训】2026年中考数学专项提优练习：二次函数（含答案）

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【中考专项特训】2026年中考数学专项提优练习：二次函数
一、选择题
1． 开口向下的抛物线经过点，则下列关系式可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
2． 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　）
A．2 B． C．4 D．
3．抛物线经过，，三点，且该抛物线与轴的交点位于轴两侧，则，，的大小关系是(　　)
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为( )
A． B． C． D．
5．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知正比例函数与二次函数的图象相交于两点．若两点的横坐标分别为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数，当时，随的增大而减小．点，都在这个函数图象上．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（　　）
A． B． C．0 D．2
9．记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（　　）
A．01 B．0或
C．0或 D．
10．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=，与x轴的一个交点A(，0)，抛物线的顶点B纵坐标10；③3a-b=0；④4a+c<0；⑤A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．抛物线与轴两个公共点的横坐标分别为，，且．若b，c为整数，则的可能取值为　 　．
12．在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）.若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为　 　.
13．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为　 　．
①； ②； ③；④；⑤时，
14．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为　 　．
15．已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　．
16．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为　 　．
18．在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格：
2
以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图象关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是　 　．（填写序号）
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为 ，其中 .
（1）若此函数图象过点 （2， 5），求这个二次函数的表达式；
（2）若 ， 为此二次函数图象上不同的两个点，当 时，，求 m 的值；
（3）若点 （-1， t） 在此二次函数图象上，当 时，y 随 x 的增大而增大，求 t 的取值范围.
20．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数解析式和顶点坐标．
（2）坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离．
（3）在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标．
21．已知二次函数y=x2-3x-m2+3m（m≠0的实数）.
（1）二次函数图象的对称轴是　 　.
（2）当m=2时，
①若将平面内一点A（1，n）向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合；向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，求n的值.
②如果点p（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于等于2，那么我们称点p是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围.
（3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出t的取值范围.
22．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
（1）为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？
（2）该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？
23．已知抛物线（为常数）经过点．
（1）用含的代数式表示，并求该抛物线的对称轴．
（2）当时，，求抛物线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，已知点在抛物线上，，求的取值范围．
24． 体育课上小林同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似地看作是抛物线的一部分．如图①是小林连续两次蛙跳的运动示意图，规定小林距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），建立如图所示的平面直角坐标系．第一个蛙跳的起跳点为原点，并在点处达到最高点，在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同．
（1）求小林第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式；
（2）若小林第二个蛙跳从时开始总处于下降状态；
①求k的值；
②在处，有一根长0.12m的海绵条垂直放置在地面，则小林在第二跳中是否会触碰到海绵条？说明理由．
（3）如图②，为提高训练效果，老师指导小林在可调节坡度的斜坡（近似看作直线）上进行训练，P为斜坡与的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且轴．当，且抛物线与抛物线的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围．
25．已知，是抛物线上的两点．
（1）当A为时，求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）．
（2）当时，对于，，都有，求a的取值范围．
（3）如图，若A为，B为，C为抛物线与y轴交点，点D在y轴负半轴，且，点Q在抛物线上，，E，F分别为边，上的动点，且，记的最小值为m，点P为第二象限抛物线上的一动点，，求k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】②③④⑤
14．【答案】
15．【答案】①②④
16．【答案】2
17．【答案】
18．【答案】①②④
19．【答案】（1）解： 把点 (2，5) 代入到二次函数的表达式 中，得： .
化简得： ，联立方程组：
，
解得：
所以二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵，∴，∴.
∵，∴，解得：
（3）解：由题意得： 且 ，解得： .
由 ，把 (-1，t) 代入整理得 ，∴.
20．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象与轴交于两点，
∴将点A和点B的坐标代入可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴顶点坐标为（1，-4）.
（2）解：∵ 点P满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，
∴点P在对称轴上，
设P（1，m-4），
∴点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m-4），
∴，
解得：m=0（舍去）或m=1，
即平移的距离m=1.
（3）解：点D的坐标为或.
21．【答案】（1）直线x=
（2）解： 当 时，二次函数的解析式为 ，
①∵将平面内一点A(1，n)向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合，向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，
∴点 ，
由(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 ，
∵点. )都在二次函数
的图象上，
解得：，
∴点( ，
当 时，；
②∵二次函数的解析式为
，
当 时，y取得最小值 当 时， ，
当 时， ，
，
∴抛物线的开口向上，
∴所有“亲密点”的y的取值范围是
（3）解：由(1)可知：二次函数图象的对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x增大而减小；当 时， y随x增大而增大，
设点 在二次函数 的图象上，且满足 ，
当 时，
3m，
∴当 时，
，
∵对于二次函数图象上的两点.
当 时，均满足 ，
∴当点 在点 下方时，满足条件 ，
整理， 得： ，
解得： ，
，
∴抛物线的开口向上，
，
解得：，
∴t的取值范围是
22．【答案】（1）当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元
（2）至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元
23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为（为常数），
∴对称轴直线为；
（2）解：当时，图象开口向上，
∵抛物线对称轴直线为，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，，
∴，
解得：（舍去）；
当时，图象开口向下，当时，随的增大而增大，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴直线为，图象开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
∴点关于对称轴直线对称的点为，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴．
24．【答案】（1）解：(1)由题意知抛物线的顶点为(1，0.4)，且过原点(0，0)
设解析式为，将(0，0)代入得
a+0.4=0，得a=-0.4
故抛物线的解析式为
（2）解：①由(1)，令y=0，则x=0或x=2，即知A(2，0)
由题意知中a=-0.4且过点(2，0)
得，将(2，0)代入得
同时x>2.6时总处于下降状态，故h=2.6，代入上式得
解得；
②L2：，令x=3，则y==0.08<0.12
故小林会碰到海绵条
（3）解：由题意知L2的顶点坐标为(h，0.4)，故
当m=时，联立解得或(舍去)，故点P()
将点P代入L2解析式得解得h=1(舍)或h=
当m=时，联立解得或(舍去)，故点P()
将点P代入L2解析式得解得h=1(舍)或h=2
故
25．【答案】（1）直线
（2）或
（3）
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