【中考专项特训】2026年中考数学专项提优练习：方程与方程组（含答案）

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【中考专项特训】2026年中考数学专项提优练习：方程与方程组
一、选择题
1．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺 如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．若分式方程 有增根，则实数a的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
6．某商品的价格为100元，因为积压，经过两次降价x%后的价格为81元，则x为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．20
7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．9
8．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．方程的解为　 　.
10．一元二次方程的根是　 　．
11． 已知二元一次方程组，则的值为　 　．
12．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：　 　．
13．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
14．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的取值为　 　．
15．已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则　 　．
16．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为　 　．
三、计算题
17．解方程：
18． 解方程：；
19．解方程组：
四、解答题
20．某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍．
（1）求钢笔和笔记本两种奖品的单价．
（2）购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：
计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？
21．“煎茶竹丝茄”是天府新区煎茶街道最为知名的农业特色产品，据考证，种植历史已有200余年，大规模种植和发展也有几十年历程，为推广当地特色农产品，某餐馆特推出鱼香茄子和炸茄盒两种特色菜，已知每份鱼香茄子的单价比炸茄盒的单价少6元，某天餐馆卖出46份鱼香茄子和36份炸茄盒共收入1200元．
（1）分别求出鱼香茄子和炸茄盒的单价；
（2）该餐馆计划“五一”劳动节当天推出鱼香茄子和炸茄盒共120份，为吸引更多食客，老板决定鱼香茄子降价两元，炸茄盒打八折销售，全部售完后希望收入不低于1530元，则炸茄盒最少应该售出多少份？
22．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足 ，求 的值．
23．某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调研得到如下信息：
①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；
②每个A款书包比每个B款书包少10元；
③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元．
（1）从以上①②③中选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价；
（2）在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包200个，且A款书包的数量不低于B款书包的，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润．
24．滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等．
（1）求甲、乙两种树苗每株的价格；
（2）现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？
25．“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量/个 销售额/元
滨滨 妮妮
1月 80 50 6800
2月 100 60 8400
（1）求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价；
（2）为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的2倍，若总费用不超过1300元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】
10．【答案】，
11．【答案】4
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】4
15．【答案】1
16．【答案】
17．【答案】解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，
x-7=0或x+1=0；
解得：x1=7，x2=．
18．【答案】解：方程两边同乘以2x-5，得：
x-5=-2x+5
解得：
经检验，是原方程的根，
∴方程的解为
19．【答案】解：
由①得y=2x-6③，
将③代入②得x2-3x-2(2x-6)=0，
解得x1=3，x2=4，
∵x1=3时，x-3=0，
∴x1=3舍去，
将x=4代入③得y=2，
∴
20．【答案】（1）钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元
（2）有3种方案，①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件；②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件；③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件
21．【答案】（1）鱼香茄子和炸茄盒的单价分别为12元和18元
（2）炸茄盒最少应该售出75份
22．【答案】解：令 ，则原方程组可化为：
，整理得： ，
②-①得： ，
解得： ，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为： 或 ，
，
当a=5时， =6，
当a=-5时， =26，
因此 的值为6或26.
23．【答案】（1）选①②作为条件，30元/个，40元/个
（2）当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元
24．【答案】（1）解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴乙种树苗每株的价格为元，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
（2）解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元，由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最低，为（元），
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元．
25．【答案】（1）设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为x元和y元，则 ，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为60元和40元．
（2）设购买a个“妮妮”手办，则购买2a个“滨滨”手办，由题意得60×0.8×2a+40×0.75×a≤1300，
解得a，
∵a为正整数，
∴a≤10，
答：最多可以购买20个“滨滨”手办．
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