江津区杜市中学九年级数学教案 舒正全
28.3用一元二次方程解决实际问题3
教学目标
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
3、通过用列一元二次方程解决实际问题，体现了数学中的换元法和化归思想，使学生鹈鹕体会应用数学知识解决实际问题的乐趣，使他们更加热爱数学。
教学重点：
学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题．
教学难点：
如何找出商品的销售问题中的等量关系。
教学过程：
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？
二、典型示例：
例1：某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱了，赚多少？
分析：
这道题首先要知道常识：利润=售出价-进贷价，而总价=单价×本数 ．要知赔钱和赚钱，得找到售出价和进贷价．
解：设第二次购买x本，则第一次购买（x-10）本，依题意得，
，
整理得:
，
解这个方程得：
x1=50,x2=60.
经检验，x1=50,x2=60都是原方程的根．
当x1=50时，每本书的批发价为150÷50=3（元）高于定价，不合题意，舍去．
当x2=60时，每本书的批发价为150÷60=2.5（元）低于定价，符合题意．
因此，第二次购书60本，第二次的售出价=60×2.8+60××2.8×=151.2，进货价为150，故赚了1.2（元）．
答：老板第二次售书故赚了1.2元．
注意：不仅要检验是否是增根，还是看是否符合题意。
例2、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？
例3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）
三、课堂小结：
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
四、作业:
教材P.53，ex6,7,8
课后随笔
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22.2解一元二次方程2
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程；
2、通过应用配方法推到出元二次方程的一般形式的根的情况，即公式法；
3、通过由开方到配方到一般形式的一元二次方程的求解过程，体现了数学知识的连续性，同时在探索求根公式的过程中，使数学有一种成功的喜悦，使他们更加热爱数学，增加学习的自信心。
教学重点：
用公式法解一元二次方程.
教学难点：
一元二次方程的求根公式的推导过程及应用求根公式解决实际问题。
教学过程
一、引入新课
1、用配方法解下列一元二次方程
2、配方法解方程的基本步骤：
一除、二移、三配、四开平方、五解.
二、新课学习
1、做一做：
你能用配方法解一般形式的一元二次方程（a≠0)吗？
注意：给学生充足的时间做一做，配方法掌握好的学生最后求解的结果可能不会考虑到的条件，也可能答案不够简练；然后教师引导学生再去探索.
思考：，方程有实数解吗？
一般地，对于一元二次方程（a≠0),如果，那么方程的两个根为，这个公式就叫做一元二次方程的求根公式。 利用求根公式，由一元二次方程的系数a，b，c，直接求得一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
2、公式法解一元二次方程的基本步骤：
①把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
②求出的值.
③代入求根公式 :
④写出方程的解。
3、试一试:用公式法解下列方程
；
；
；
；
4、一元二次方程根的判别式△=b2-4ac.
(1) △>0 有两个不相等的实数根；
（2）△=0 有两个相等的实数根；
（3）△<0 没有实数根；
一元二次方程根的判别式的应用：
①不解方程，判别一元二次方程根的情况；
②已知一元二次方程根的情况，确定某些字母的值或范围；
③进行有关的证明．
练一练：关于的一元二次方程根的情况是
（A）有两个不相等实数根
（B）有两个相等实数根
（C）没有实数根
（D）根的情况无法判定
分析：△= b2-4ac=（2k+1）2-4(k-1)=4k2+5>0，从而这个方程有两个不相等的实数根．这种方法常用于判断△的符号．
5、问：解一元二次方程的方法都有哪些？
说明：至于选择哪一个方法解一元二次方程，看你觉得哪个方法好用或方便就用哪个。
选择适当的方法解下列方程
；
；
；
；
三、课堂小结
1．公式法解一元二次方程的基本步骤。
①把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
②求出的值.
③代入求根公式 :
④写出方程的解。
2、注意：用公式法解一元二次方程时，一定把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值.
3、一元二次方程根的判别式△=b2-4ac.
(1) △>0 有两个不相等的实数根；
（2）△=0 有两个相等的实数根；
（3）△<0 没有实数根；
四、布置作业
课本P45，ex4
课后随笔
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22.1一元二次方程
教学目标：
1、理解和掌握一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、通过实际问题列出方程，得出一元二次方程的定义，从而进一步掌握列方程的方法。
3、通过用一元二次方程解决实际问题，体现数学是解决现实生活中不可缺少的一种方法，同时在列方程的过程中，使数学获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点：
正确识别一元二次方程及它的一般形式。
教学难点：
正确识别一元二次方程及它的一般形式。
教学过程：
一、复习回忆
1、什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？什么叫做方程的解？什么叫做解方程？
2、列出下列问题中关于未知数x的方程：
（1）现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？
设小正方形的边长是x,可列出方程______________;
（2）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？
设竹竿为x尺，可列出方程______________。
（学生自主探索，并互相交流，自己列出方程。）
(3)据国家统计局公布的数据，浙江省2001年全省实现生产总值6万亿元，2003年生产总值达9200亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。
设年平均增长率为x，可列出方程______________；
3、观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处。
学生各抒己见，发表自己的发现：
共同点：①它的左右两边都是整式，
②只含一个未知数；
不同点：未知数的最高次数是2。
符合上述特征的方程叫做一元二次方程。（板书课题）
二、探索新知
1、一元二次方程
只含一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。
注意：一元二次方程的三要素：①整式方程，②只含一个未知数，③未知数的最高次数是2。
2、练一练
1）判断下列方程是否是一元二次方程：
2）判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程的根。
说明：一元二次方程的解（或根）的概念与一元一次方程的解（或根）的概念类似，但解的个数不同。
3、一元二次方程的一般形式
引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗 为什么 (如果a＝0、b≠0就成了一元一次方程了)。
2）讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．
3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
三、例题讲解
例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项。
说明：启发学生思考，方程变形时，哪些属于代数式变形，运用了什么法则；哪些属于等式变形，依据什么性质。
例2： 若方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A m =±2 B m=2 C m=- 2 D m≠±2
分析：我们知道一元二次方程的一般形式，那么，是一元二次方程肯定满足这个形式，不难有，且m+2≠0，故m=2
例3：已知2是关于x的方程的一个解，则2a-1的值是（ ）
分析：根据方程解的定义的可逆性，2就应该使方程左右两边值相等，所代入方程，就有2a=6，则2a-1=5。
课堂练习：P32 练习第1、2题
四、课堂小结
1)一元二次方程的概念及一元二次方程的解；
2)一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)的特点：“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，“＝”的右边必须整理成0；
3)要很熟练地说出一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数。
四、布置作业
课本P34 Ex 1，2
课后随笔
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22.2 降次 —— 一元二次方程的解法1
教学目标
1、理解直接开平方法的意义和方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
2、把一般形式的一元二次方程转化成直接开平方法的形式，从而得到了新的解一元二次方程的方法——配方法。
3、通过教学活动，体现了数学中由简单到复杂，再由复杂到简单的转化思想，同时在活动中也体现了学生解决问题的能力，提高学生学习数学的热情。
教学重点
掌握直接开平方法及配方法解一元二次方程。
教学难点
用配方法解一元二次方程的步骤。
教学过程
一、复习旧知，引入新课
解方程x2－4=0。
若将方程先移项，得：x2=4,你能直接得到该方程的解吗？其解是什么？(板书课题)
二、讲解新课
（一）直接开平方法
1.直接开平方法的概念。
将方程：x2－4=0，先移项，得：x2=4。
因此，x=± 2即，x1=2，x2=－2。
这种利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
2. 直接开平方法的应用
例1：用直接开平方法解下列方程：
①、x2－144=0； ②、x2－3=0；
③、x2+16=0； ④、x2=0。
（①、x1=12，x2=－12；②、x1= ，x2=－ ；③、无解——负数没有平方根；④、x=0——0有一个平方根，它是0本身）。
例2：解方程：(1) 3x2－27=0 (2) （x+3）2=2。
练习：解下列方程：
（x+4）2=3； 2、（3x+1）2=－3。
（1、x1=－4，x2=+ 4 ； 2、无解。）
3. 合作学习
(1) 想一想：你能用直接开平方法解方程x2+6x+7=0吗？
(2) 你能将方程x2+6x+7=0转化为(x+a)2=b的形式吗
(3) 请与同伴尝试解这个方程。
（二）配方法
1. 配方法的概念
将方程：x2+6x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上32，即：x2+2·x·3+32=－7+32， （x+3）2=2。
解这个方程，得：
x1=－3+ ，x2=－3－ 。
把一个一元二次方程左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 做一做——进一步理解配方的过程。
例3：填空：
1、x2+6x+ =（x+ ）2； 2、x2－5x+ =（x－ ）2；
3、x2+ x+ =（x+ ）2； 4、x2－9x+ =（x－ ）2
填空后总结配方的关键：对二次项系数为1的一元二次方程x2+bx=c配方，只需在方程两边都加上一次项系数一半的平方。
例4：用配方法解下列一元二次方程
(1) x2+6x=1 (2) x2=6+5x
解答过程由学生口述，教师板书的形式完成。
3、配方的步骤：
通过例题2的讲解，帮助学生总结出配方的步骤：
①先把方程x2+bx+c=0 移项，得 x2+bx=-c
②方程的两边同加一次项系数一半的平方，得
x2+bx+=-c+,
=
③若-4c+b2≥0,就可以用开平方法解出方程的根。
课堂练习：课本P36，39
三、课堂小结
（1）开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x2=b（b≥0）；（x－a）2=b（b≥0）。
注意：由于负数没有平方根，所以，上列两式中的b≥0，当b＜0时，方程无解。
（2） 配方的关键是：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。
四、作业：
课本P45 ex1，3
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22.3用一元二次方程解决实际问题1
教学目标
1、经历一元二次方程的实际应用，会列一元二次方程解应用题；
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想；
3、通过列一元二次方程的方法解决日常生活及生产实际中遇到的有关面积、体积方面和经济方面的问题；
4、通过探究性学习,抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的简洁性的数学美。
教学重点
列一元二次方程解应用题；
会用列一元二次方程的方法解有关面积方面的问题。
教学难点
审题，从文字语言中挖掘有价值的信息。
教学过程
一、复习引入：
1、以前我们已经经历了几次列方程解应用题？
①列一元一次方程解应用题；
②列二元一次方程组解应用题；
③列分式方程解应用题.
2、列方程解应用题的基本步骤怎样？
①审（审题），找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系；
②设（设元），包括设直接未知数或间接未知数，用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量；
③列（列方程）；
④解（解方程）；
⑤答（写出结果），注意检验。（注意根的准确性及是否符合实际意义）
本节课我们学习一元二次方程的应用（板书课题）
二、讲解新课
例1：要做一个容积为，高，底面的长比宽多的无盖长方体铁盒，应选用多大尺寸的长方形铁片？（精确到）
解：如图1，设长方体铁盒底面宽为，则底面长为，根据题意，得
．
整理，得
．
解这个方程，得
，（不合题意，舍去）．
当时，，．
答：选用长为，宽为的长方形铁片．
说明：关键是画出长方体的平面展开图，分析数量之间的关系，将几何问题转化为代数问题．
例2 有一间会议室，它的地板长为，宽为，现准备在会议室地板中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半．未铺地毯的部分宽度应该是多少？
析：本题中等量关系：地毯面积＝会议室地板面积的一半．
解：设未铺地毯的部分宽度为，则地毯的长、宽分别为，．根据题意，得
．
整理，得．
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
答：未铺地毯的部分宽度应该是．
课内P53练习。
三、课堂小结：
利用一元二次方程解决实际问题时，要注意通过实际要求检验根的合理性，要注意审题能力的培养。
1.学会了列一元二次方程解应用题；
2.列一元二次方程解应用题的步骤；
四、作业：1、 P53，1，2
2、补充：如图，有一块长80cm，宽60cm的硬纸片，在四个角各剪去一个同样的小正方形，用剩余部分做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子.求剪去的小正方形的边长.
课后随笔
第 1 页 共 3 页22.3用一元二次方程解决实际问题2
教学目标
1、继续探索一元二次方程的实际应用，进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能；
2、提高学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想；
3、通过探究性学习,抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的简洁性的数学美。
教学重点
1、继续探索一元二次方程的应用；
2、通过列一元二次方程的方法解决日常生活及生产实际中遇到的有关增长率方面的问题。
教学难点
问题较为复杂，计算量大是本节的难点。
教学过程
一、复习引入
列方程解应用题的基本步骤是什么？
①审（审题），找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系；
②设（设元），包括设直接未知数或间接未知数，用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量；
③列（列方程）；
④解（解方程）；
⑤答（写出结果），注意检验。（注意根的准确性及是否符合实际意义）
本节课我们继续学习一元二次方程的应用（板书课题）
二、例题讲解
例1、某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加，（人均住房面积＝该区住房总面积／该区人口总数，单位：平方米／人）该开发区2001至2003年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图1，图2所示．
请根据这两图所提供的信息解答下面问题：
（1）该区2002年和2003年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米
（2）由于经济发展需要，预计到2005年底，该区人口总数将比2003年底增加2万，为使到2005年底该区住房面积达到11平方米／人，试求2004年和2005年这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几。
解：（1）2003年比2002年增加住房面积为：
（万平方米）
2002年比2001年增加的住房面积为：
（万平方米）
多增加：（万平方米）
答：2003年比上一年增加的住房面积多，多增加万平方米．
（2）设该区住房总面积的年平均增长率应达到，根据题意，得
解这个方程，得
，（不合题意，舍去）
答：2004年和2005年这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到。
说明：关键是根据图表所提供的信息，准确地理解题意，将实际问题转化为数学问题。
例2、2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了一系列政策措施.2003年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为305亿元，2005年达到662亿元，2003年到2005年，中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率是多少？
分析：
如果设平均每年的增长率为x，则中央财政用于支持这项改革试点的资金
（1）2004年比2003年增加了 亿元，增加到 亿元；
（2）2005年比2004年增加了 亿元，增加到 亿元；
（3）根据题意，列方程得 ；
（4）解方程，并与同学交流所得的结果。
思考：在上面问题中，两年的增长率相同，列方程时有无规律可循？
例3：太阳能是无污染的天然能源，具有极大的开发和利用价值.某企业生产的一种新型太阳能热水器，前年获利1000万元，今年获利1560万元，今年利润增长率比去年增长率多10个百分点，去年和今年的利润增长率各是多少？
分析：增长率不同时，用表格帮助学生分析题目.
学生活动：分析题目，寻找等量关系，建立方程，求解。
注意：叙述年平均增长率时，要有明确规范的说法，如：“从何年到何年的年平均增长率”，“从何月到何月的月平均增长率”，不要随用其他的说法，否则学生解题时容易产生歧义。
（1）增长率与什么有关系？（增长率与时间相关.必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长率.）
（2）年平均增长率怎么算？纠正学生的各种错误回答并小结；
经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是：。
解：设去年利润增长率为x，则今年利润增长率为x+0.1，根据题意得：
1000(1+x)(1+x+0.1)=1560
整理得：
x2+2.1x-0.46=0
解这个方程得：
x1=0.2,x2=-2.3（不合题意，舍去）
x+0.1=0.2+0.1=0.3
答：去年利润增长率是20%，今年利润增长率是30%.
三、课堂练习：
1、某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率x为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．
求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；
（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．
四、课堂小结：
用列一元二次方程的方法解决有关增长率方面的问题：
1、增长率相同时，解决问题的规律；
2、增长率不同时，通过表格分析，获得解题思路。
五、布置作业：
课本P45： 1 ，2
1000（1+x）
1000(1+x)(1+x+0.1)
x+0.1
x
1000（1+x）
1000
时间
利润基数／万元
利润增长率
利润／万元
去年
今年
图1 图2
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22.3用一元二次方程解决实际问题2
教学目标
1、继续探索一元二次方程的实际应用，进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能；
2、提高学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想；
3、通过探究性学习,抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题的简洁性的数学美。
教学重点
1、继续探索一元二次方程的应用；
2、通过列一元二次方程的方法解决日常生活及生产实际中遇到的有关增长率方面的问题。
教学难点
问题较为复杂，计算量大是本节的难点。
教学过程
一、复习引入
列方程解应用题的基本步骤是什么？
①审（审题），找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系；
②设（设元），包括设直接未知数或间接未知数，用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量；
③列（列方程）；
④解（解方程）；
⑤答（写出结果），注意检验。（注意根的准确性及是否符合实际意义）
本节课我们继续学习一元二次方程的应用（板书课题）
二、例题讲解
例1、某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加，（人均住房面积＝该区住房总面积／该区人口总数，单位：平方米／人）该开发区2001至2003年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图1，图2所示．
请根据这两图所提供的信息解答下面问题：
（1）该区2002年和2003年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米
（2）由于经济发展需要，预计到2005年底，该区人口总数将比2003年底增加2万，为使到2005年底该区住房面积达到11平方米／人，试求2004年和2005年这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几。
解：（1）2003年比2002年增加住房面积为：
（万平方米）
2002年比2001年增加的住房面积为：
（万平方米）
多增加：（万平方米）
答：2003年比上一年增加的住房面积多，多增加万平方米．
（2）设该区住房总面积的年平均增长率应达到，根据题意，得
解这个方程，得
，（不合题意，舍去）
答：2004年和2005年这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到。
说明：关键是根据图表所提供的信息，准确地理解题意，将实际问题转化为数学问题。
例2、2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了一系列政策措施.2003年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为305亿元，2005年达到662亿元，2003年到2005年，中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率是多少？
分析：
如果设平均每年的增长率为x，则中央财政用于支持这项改革试点的资金
（1）2004年比2003年增加了 亿元，增加到 亿元；
（2）2005年比2004年增加了 亿元，增加到 亿元；
（3）根据题意，列方程得 ；
（4）解方程，并与同学交流所得的结果。
思考：在上面问题中，两年的增长率相同，列方程时有无规律可循？
例3：太阳能是无污染的天然能源，具有极大的开发和利用价值.某企业生产的一种新型太阳能热水器，前年获利1000万元，今年获利1560万元，今年利润增长率比去年增长率多10个百分点，去年和今年的利润增长率各是多少？
分析：增长率不同时，用表格帮助学生分析题目.
学生活动：分析题目，寻找等量关系，建立方程，求解。
注意：叙述年平均增长率时，要有明确规范的说法，如：“从何年到何年的年平均增长率”，“从何月到何月的月平均增长率”，不要随用其他的说法，否则学生解题时容易产生歧义。
（1）增长率与什么有关系？（增长率与时间相关.必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长率.）
（2）年平均增长率怎么算？纠正学生的各种错误回答并小结；
经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是：。
解：设去年利润增长率为x，则今年利润增长率为x+0.1，根据题意得：
1000(1+x)(1+x+0.1)=1560
整理得：x2+2.1x-0.46=0
解这个方程得：x1=0.2,x2=-2.3（不合题意，舍去）x+0.1=0.2+0.1=0.3
答：去年利润增长率是20%，今年利润增长率是30%.
三、课堂练习：
1、某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率x为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．
2、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．
求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；
（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．
四、课堂小结：
用列一元二次方程的方法解决有关增长率方面的问题：
1、增长率相同时，解决问题的规律；
2、增长率不同时，通过表格分析，获得解题思路。
五、布置作业：
课本P53： 4，5
课后随笔
图1 图2
1000（1+x）
1000(1+x)(1+x+0.1)
x+0.1
x
1000（1+x）
1000
时间
利润基数／万元
利润增长率
利润／万元
去年
今年
第 1 页 共 3 页课题：28．4方程的近似解
教学目的 知识技能 观察估计方程解的大致范围，用试值的方法，得到方程的近似解．
数学思考 建立初步的数感和符号感，发展抽象思维
解决问题 综合运用所学到的知识和技能解决问题，发展应用意识
情感态度 培养学生对数学的好奇心和求知欲
教学难点 通过观察估计方程解的大致范围
知识重点 用试值的方法得到方程的近似解
教学过程 设计意图
教学过程 问题一：小明的爸爸投资购买某种债券，第一年初购买了1万元，第二年初有购买了2万元，到第二年底本利和为3.35万元．设这种债券的年利润率不变，你能估计出年利润率的近似值吗？师生活动：共同审题，设未知数，建立方程设年利润率为r，一起探究根据题目的实际意义，总投入3万元，而本利和为3.35万元，所以r＞0．年利润r可能超过0.1吗？可能比0.06小吗？方程的左边可化为当r=0.1时，方程的左边＝1.1×3.1 ＝3.41＞３.３５0＜ r ＜0.1当r=0.06时，方程的左边＝1.06×3. 06＝３.3.2436 ＜3.350.06＜ r ＜0.1课堂练习一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A除到地面的距离为8m．如果梯子的顶端沿墙面下滑1m，那么梯子的底端在地面上滑动的距离也是1m吗？请列出方程，并估计方程解的大致范围（误差不超过0.1m）．问题二：估计方程 x3-9=0 的解．解：将方程化成 x3=9由于23＝8＜９，33=27＞9通过试值，得到方程的解在2和3之间，并且接近2．取x=2.1进行试值，2.13=9.261＞92＜ x ＜2.1再取x=2.08， x=2.09继续试值，2.08＜ x ＜2.09 在实践探索交流中解决问题，逐步领悟解决问题的正确方法，克服畏难情绪。同时调动学生的思维积极性，提高动手能力和活用数学的意识．通过观察，估计方程解的范围．用试值的方法得到方程的近似解通过估计方程的近似解，解决实际问题．对高次方程进行估算，求其近似解．
小结与作业
课堂小结 学生讨论总结，本节课的所得和估算要点
本课作业 课本第48页 习题1、２、３
课后随笔（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
2007年7月8日
A′
A
Ｂ′
Ｂ
1
第 1 页 共 2页江津区杜市中学九年级数学教案 舒正全
22.2.一元二次方程——根与系数关系4
一、复习引入
1、一元二次方程根的判别式△=b2-4ac与根的情况之间的关系是什么？
(1) △>0 有两个不相等的实数根；
（2）△=0 有两个相等的实数根；
（3）△<0 没有实数根；
2、一元二次方程的求根公式是什么？
二、新课讲解
1、填空：
因为方程的根是，，所以，x1·x2=-12；因为方程的根是，，所以，x1·x2=1.5；所以若是方程的两个实数根则 ，x1·x2= ；
如果关于的一元二次方程（a,b,c为常数）的两个实数根是，那么，x1·x2与系数a,b,c有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．
2、韦达定理
如果一元二次方程有两根（△≥0）为x1、x2，则x1+x2=-，x1·x2=．这就是一元二次方程根与系数的关系定理。为了纪念在研究和推广这个定理中作出贡献的法国数学家韦达，又把这个定理叫做韦达定理。
韦达定理的应用：
①已知一根，求另一根及求知系数；
②不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；
③已知两数，求以这两数为根的方程；
④ 已知两数的和与积，求这两个数
⑤确定根的符号
3、例题讲解
例1、方程的一根是，另一根是，则（ ）
A、，B、x2=-1，k=4，C、 x2=1，k=-4，D、x2=1，k=4
分析：因为-3是方程的根，所以2（-3）2+（-3）k-6=0，所以k=4，
又因为x1+x2=-2，所以-3+ x2=-2，所以x2=1，所以选D。
例2、若，是方程的两个根，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．-、
分析：因为x1+x2=-2，x1·x2=-1，所以=-2+2（-1）=-4，所以选D。
例3、已知，是方程的两个根，则的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
分析：因为，是方程的两个根，所以+=2，又因为是方程的根，所以a2-2a-1=0, 所以a2-2a=1,所以
=a2-2a+3 a+3=1+3*2=7，所以选Ａ。
例4、已知一元二次方程的两个根是、，则2+2= ，-= ．
分析：由根和系数的关系，有x1+x2=2，x1·x2=-1，只要能用x1+x2、x1·x2来表示2+2、-就可以实现由已知向未知的转化．容易2+2=（+）2-2 x1·x2=6，（-）2=（+）2-4 x1·x2=8，即-=±2。
例5、已知关于的方程的两个实数根的倒数和为3，求的值．
解：设，是方程的两个实数根，
，．
又，
．
．
．
．
又当时，原方程的，
的值为2．
例6、已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根满足，求的值．
解：（1）
∴不论取何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解法一：由原方程可得
或
又∵
经检验：符合题意．
的值为．
解法二：根据根与系数关系有 x1+x = 2+1，x1·x2=m2+m-2
又∵
整理得
解得
经检验是增根舍去
的值为．
三、练一练
1、若方程的两根互相反数，则 ．
2、若方程有两个同号不等的实数根，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、一元二次方程的两个根分别是，则的值是（ ）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4、设，是方程的两根，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、若方程的两个实数根为，则的值是（ ）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6、已知a，b为一元二次方程x2 + 2x－9 = 0 的两个根，那么a2＋a－b的值为（ ）
A．－7 B．0 C．7 D．11
7、已知关于的方程
（1）若此方程有两个实数根（包括重根的情况），求的取值范围．
（2）为何值时，此方程的两根之和等于两根之积？
8、已知关于的方程有两个不相等的实数根，且满足，求的值．
9、已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为，且满足x1+x2=x1·x2，求的值．
10、关于的一元二次方程的两个实数根为，，
且，求实数的值．
1 2 3 4 5 6
Ｃ Ａ Ｄ Ａ D
答案：
7、解：（1）由题解得，
整理得，解得且；
（2）因其两根之和为，两根之积为，
由题意得，解得，
即当时，此方程的两根之和等于两根之积，
8、解：根据题意，得，
，解得．
，解得．
所以．
9、解：（1）证明：，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2 = -k,x1·x2=-1，
又∵ x1+x2 =x1·x2，∴-k=-1．
∴．
10、解：由题意，得，．
，
．
解得，．
，
或．
四、作业
1、已知是方程的两根，求的值。
2、已知是方程的两根，求的值。
3、已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
答案：1、，2、，
3、解：（1）．
因为方程有两个相等的实数根，所以．
解得．
（2）由题意可知，，
解得．
当时，原方程没有实数根，故．
所以的值为4．
课后随笔
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