(共18张PPT)
第28章 锐角三角函数
28.1.1
正弦
授课：
时间：
问题思考
(
30°
A
B
C
35m
30°角所对直角边等于斜边的一半.
在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A＝30°, BC＝35m,求AB.
(1) 含30°角的直角三角形有哪些性质
(2) 如何求AB的长
∴AB＝2BC＝70m.
∴需要准备70m长的水管.
∠A的对边
斜边
,
∵
问题思考
(
30°
A
40m
在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A＝30°.
(3) 若BC＝40m, 求AB的长.
若BC为x m呢
当BC＝40m时, AB＝2BC＝80m.
当BC＝x m时, AB＝2BC＝2x m.
∠A的对边
斜边
,
∵
B
C
进一步思考
如图, 在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中, ∠C＝∠C’＝90°.
(
30°
A
B
C
(
30°
A’
B’
C’
(1) 当∠A＝∠A’＝30°时, 与 有怎样的数量关系
∠A的对边
斜边
,
∠A’的对边
斜边
,
∴
在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°, 无论这个直角三角形大小如何, 这个角的对边与斜边之比都等于 .
进一步思考
如图, 在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中, ∠C＝∠C’＝90°.
(
45°
A
B
C
(
45°
A’
B’
C’
(2) 当∠A＝∠A’＝45°时, 与 有怎样的数量关系
∠A的对边
斜边
,
∠A’的对边
斜边
,
∴
还有其它的方法吗
∵∠A＝∠A’,∠C’＝∠C’,
∴△ABC ∽ △A’B’C’,
∴ ,
∴ .
进一步思考
如图, 在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中, ∠C＝∠C’＝90°.
(
n°
A
B
C
(
n°
A’
B’
C’
(3) 当∠A＝∠A’＝n°(0 < n < 90)时, ＝ 还成立吗
∵∠A＝∠A’,∠C’＝∠C’,
∴△ABC ∽ △A’B’C’,
∴ ,
∴
＝定值.
在直角三角形中, 当锐角A的度数一定时, 无论这个直角三角形大小如何, ∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
归纳总结
(
A
B
C
在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
如图, 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.
在直角三角形中, 任意一锐角的对边与斜边的比, 叫作这个角的正弦.
正弦:
记作: sin A , 即:
sin A＝
∠A的对边
斜边
a
b
c
＝ .
sin A由英语sine一词简写得来, 常见的正弦值: sin 30°＝ , sin 45°＝.
归纳总结
(
A
B
C
a
b
c
如图, 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.
sin A＝
∠A的对边
斜边
＝ .
在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
① sin A是一个完整的符号, 它表示∠A的正弦, 记号里习惯省去角的符号“∠”, 但∠BAC的正弦, 记作“sin ∠BAC”,不能省略符号“∠”.
② sin A不表示“sin”乘“A”;
③ sin A没有单位, 它表示一个比值, 即直角三角形中∠A的对边与斜边的比; sin A的值只随着∠A的变化而变化.
典例精析
例1.如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
A
B
C
(1) 若AC＝4cm, BC＝3cm, 求sin A和sin B的值.
4cm
3cm
解: 在Rt△ABC中,AB＝＝5 cm,
∴sin A ＝ ＝ ,
sin B ＝ ＝ .
(2) 若BC＝5cm, AB＝13cm, 求sin A和sin B的值.
典例精析
例1.如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
A
B
C
13cm
5cm
解: 在Rt△ABC中,AC＝＝12 cm,
∴sin A ＝ ＝ ,
sin B ＝ ＝ .
(2) 若BC＝5cm, AB＝13cm, 求sin A和sin B的值.
求sin A就是要确定∠A的对边和斜边;
求sin B就是要确定∠B的对边和斜边.
小试锋芒
练习1.如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, 求sin A和sin B的值.
A
B
C
8
6
C
B
A
sin A ＝ ＝ ,
sin B ＝ ＝ .
sin A ＝ ＝ ,
sin B ＝ ＝ .
小试锋芒
练习2.如图, 在平面直角坐标系中, 点P的坐标为(3,4), 则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值为( ).
A. B. C. D.
Q
B
典例精析
例2.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD为斜边AB上的高.
(1) 若BC＝ AB,求∠A的度数.
解: 在Rt△ABC中,
∵sin A ＝ ＝ ,
∴∠A＝30°.
(2) 若sin B＝ , AB＝6,求AC.
解: 在Rt△ABC中,
∵sin B ＝ ＝ ,
∴AC ＝ .
典例精析
例2.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD为斜边AB上的高.
(3) ∠B与∠ACD有怎样的数量关系 他们的正弦值相等吗
解: ∵∠B＋∠DCB＝90°, ∠ACD＋∠DCB＝90°,
∴∠B＝∠ACD,
∴sin B ＝ sin ∠ACD.
(4) 若sin B＝ , AD＝8,求AC.
解: ∵ sin B ＝ sin ∠ACD = ,
∴ = ,
∴ AC ＝ .
小试锋芒
练习3.如图, BD⊥AC于点D, CE⊥AB于点E, BD与CE相交于点O, 则下列比值中不等于sin A的是( ).
A. B. C. D.
C
∵∠A＝∠DOC,
∴ sin A ＝ sin ∠DOC.
O
小试锋芒
练习4.如图, 在△ABC中, CD⊥AB, sin A＝ , AB＝13, CD＝12.
求AC的长和sin B的值.
答案: AC＝15, sin B ＝ .
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第28章 锐角三角函数
28.1.2
余弦、正切
授课：
时间：
问题思考
(
A
B
C
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
(1) ∠A的正弦如何表示
a
b
c
sin A＝
∠A的对边
斜边
＝ .
(2) ∠A还有其它边之间的比吗？
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
＝ ,
＝ .
(3) 这些比值是否为定值呢
进一步思考
如图, 在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中, ∠C＝∠C’＝90°.
(
n°
A
B
C
(
n°
A’
B’
C’
(1) 当∠A＝∠A’＝n°(0 < n < 90)时, 与 有怎样的数量关系
∵∠A＝∠A’,∠C’＝∠C’,
∴△ABC ∽ △A’B’C’,
∴ ,
∴
＝定值.
在直角三角形中, 当锐角A的度数一定时, 无论这个直角三角形大小如何, ∠A的邻边与斜边的比都是一个固定值.
进一步思考
如图, 在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中, ∠C＝∠C’＝90°.
(
n°
A
B
C
(
n°
A’
B’
C’
(2) 当∠A＝∠A’＝n°(0 < n < 90)时, 与 有怎样的数量关系
∵由(1)得△ABC ∽ △A’B’C’,
∴ ,
∴
＝定值.
在直角三角形中, 当锐角A的度数一定时, 无论这个直角三角形大小如何, ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值.
归纳总结
(
A
B
C
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
如图, 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦.
在直角三角形中, 任意一锐角的邻边与斜边的比, 叫作这个角的余弦.
余弦:
记作: cos A , 即:
cos A＝
∠A的邻边
斜边
a
b
c
＝ .
cos A的值只随着∠A的变化而变化,与边的长短无关, 没有单位.
归纳总结
(
A
B
C
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
如图, 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.
在直角三角形中, 任意一锐角的对边与邻边的比, 叫作这个角的正切.
正切:
记作: tan A , 即:
tan A＝
∠A的对边
∠A的邻边
a
b
c
＝ .
tan A的值只随着∠A的变化而变化,与边的长短无关, 没有单位.
归纳总结
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
正弦:
sin A＝
∠A的对边
斜边
＝ .
余弦:
cos A＝
∠A的邻边
斜边
＝ .
正切:
tan A＝
∠A的对边
∠A的邻边
＝ .
(
A
B
C
a
b
c
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的锐角三角函数.
对于锐角A的每一个确定的值, sin A,cos A,tan A都有唯一确定的值与它对应, 所以sinA, cosA,tan A是A的函数.
典例精析
例1. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C＝90°, AB＝10, BC＝6.
A
B
C
6
10
8
求sin B, cos B, tan B的值.
解: 在Rt△ABC中,AC＝＝8,
∴sin B ＝ ＝ ,
cos B ＝ ＝ ,
tan B ＝ ＝ .
小试锋芒
练习1.如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°,填表:
A
B
C
1
15
17
C
B
A
sin A sin B
cos A cos B
tan A tan B
sin A sin B
cos A cos B
tan A tan B
2
8
你有什么发现？
验证猜想
猜想1.若∠A＋∠B＝90°, 则sinA＝cosB, sinB＝cosA.
A
B
C
a
b
c
如何验证猜想
∵sin A＝ , sin B＝ ,
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
cos A＝ , cos B＝ ,
∴sin A＝cos B, sin B＝cos A .
锐角三角函数间的关系:
若∠A＋∠B＝90°, 则sinA＝cosB, sinB＝cosA,
或sinA＝cos(90°－∠A), sinB＝cos(90°－∠A).
验证猜想
猜想2.若∠A＋∠B＝90°, 则tan A · tan B＝1.
A
B
C
a
b
c
如何验证猜想
∵tan A＝ , tan B＝ ,
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
∴tan A · tan B＝ × ＝ 1.
锐角三角函数间的关系:
若∠A＋∠B＝90°, 则tan A · tan B＝1,
或tan A · tan (90°－∠A)＝1.
验证猜想
猜想3.tan A ＝ .
A
B
C
a
b
c
如何验证猜想
∵sin A＝ , cos A＝ , tan A＝ ,
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
∴tan A ＝ ＝ · ＝ .
锐角三角函数间的关系:
tan A ＝ .
归纳总结
A
B
C
a
b
c
锐角三角函数间的关系:
① 若∠A＋∠B＝90°, 则sinA＝cosB, sinB＝cosA,
或sinA＝cos(90°－∠A), sinB＝cos(90°－∠A).
② 若∠A＋∠B＝90°, 则tan A · tan B＝1,
或tan A · tan (90°－∠A)＝1.
③ tan A ＝ .
小试锋芒
练习3.在Rt△ABC中, ∠C＝90°, sin A＝ , 求cos B为( ).
A. B. C. D.
B
练习4.在Rt△ABC中, ∠C＝90°, tan A＝1, 则sin A＝___,cos A＝___.
典例精析
例2.如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC ＝ 6, sin A ＝ .
求cosA , tanB 的值.
A
B
C
6
10
8
解: ∵sin A ＝ ＝ ,
在Rt△ABC中, AC＝ ＝8,
∴cos A ＝ ＝ ,
tan B ＝ ＝ .
∴AB＝10,
小试锋芒
练习5.如图, 在Rt△ABC中,∠C＝90°, BC＝8, tan B＝ , 点D在BC上,
且BD＝AD.
求AC的长和cos ∠ADC的值．
答案: AC＝4, cos ∠ADC ＝ .
小试锋芒
练习5.如图, A、B、C是小正方形的顶点, 且每个小正方形的边长为1, 则tan∠BAC的值为___.
A
B
C
1
小试锋芒
练习1.如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC＝1.
A
B
C
(
30°
1
(1) 若∠A＝30°, 则∠B＝_____;
(2) 填表:
sin A sin B
cos A cos B
tan A tan B
2
(
60°
60°
小试锋芒
练习1.如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC＝1.
A
B
C
(
45°
1
(3) 若∠A＝45°,填表:
sin A cos A tan A
1
1
归纳总结
30°, 45°, 60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
1
锐角A
锐角三角函数
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第28章 锐角三角函数
28.1.3
锐角三角函数计算
授课：
时间：
知识回顾
(
A
B
C
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°.
∠A的正弦、余弦和正切如何表示
a
b
c
正弦:
sin A＝
∠A的对边
斜边
＝ .
余弦:
cos A＝
∠A的邻边
斜边
＝ .
正切:
tan A＝
∠A的对边
∠A的邻边
＝ .
问题思考
两块三角尺中有几个不同的锐角
三角尺中的锐角: 30°, 45°, 60°.
问题思考
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A＝30°.
A
C
B
(
30°
(1) ∠B＝_____;
60°
(2) 你能计算出∠A,∠B的正弦值、余弦值和正切值吗
sin A sin B
cos A cos B
tan A tan B
a
2a
a
问题思考
如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A＝45°.
A
C
B
(
45°
a
a
a
你能计算出∠A的正弦值、余弦值和正切值吗
sin A
cos A
tan A
1
归纳总结
30°, 45°, 60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
1
锐角A
锐角三角函数
特殊角的三角函数值可以借助图形记忆.
典例精析
(1) ;
例1.求下列各式的值：
(2) .
表示60°角的余弦值的平方.
∠A的正弦值的平方, 记作sin2 A;
∠A的余弦值的平方, 记作cos2 A;
∠A的正切值的平方, 记作tan2 A.
典例精析
(1) ;
例1.求下列各式的值：
(2) .
解：原式
＝ 1
解：原式
＝1－1
＝ 0
练习1.求下列各式的值：
(2) tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°.
(1) 3tan 30°－tan 45°＋2sin 60°;
解: 原式＝2－1.
解: 原式＝ .
小试锋芒
练习2.求下列各式的值, 并思考问题:
(1) sin2 30°＋cos2 30°＝____;
sin2 45°＋cos2 45°＝____;
sin2 60°＋cos2 60°＝____;
(2) 观察以上等式, 猜想: 对于任意锐角A,都有sin2 A＋cos2 A＝____;
(3) 如图, 在Rt△ABC中,∠C ＝ 90°, 请你验证(2)中的猜想;
A
B
C
a
b
c
(4) 若sin A ＝ , 求cos A的值.
1
1
1
1
解: ∵cos A ＝ .
归纳总结
A
B
C
a
b
c
锐角三角函数间的关系:
① 若∠A＋∠B＝90°, 则sinA＝cosB, sinB＝cosA,
或sinA＝cos(90°－∠A), sinB＝cos(90°－∠A).
② 若∠A＋∠B＝90°, 则tan A · tan B＝1,
或tan A · tan (90°－∠A)＝1.
③ tan A ＝ .
④ sin2 A＋cos2 A＝1.
小试锋芒
练习4.已知tan α ＝ 5, 则 ＝ ____.
练习3.在△ABC中, 若, 则∠C的度数是____.
75°
典例精析
例2.如图,在Rt△ABC中,∠C ＝ 90°.
若AB＝, BC＝, 求∠A的度数.
A
B
C
解: ∵sin A ＝ ＝
＝ ,
∴∠A＝45°.
还有其它的解法吗？
解: ∵cos B ＝ ＝
＝ ,
∴∠B＝45°, 则∠A＝45°.
小试锋芒
练习5.如图, AO 是圆锥的高, OB 是底面半径, AO＝OB.
(1) 求α的度数;
(2) 若AB＝6,求圆锥的侧面积.
A
B
O
解: (1)∵tan α ＝ ＝ ,
∴α ＝ 60°.
(2)∵cos α ＝ ＝ ,
∴OB ＝ 6× ＝ 3,
∴圆锥的侧面积为π×3×6＝18π.
小试锋芒
练习5.如图, AO 是圆锥的高, OB 是底面半径, AO＝OB.
(1) 求α的度数;
(2) 若AB＝6,求圆锥的侧面积.
A
B
O
解: (1)∵tan α ＝ ＝ ,
∴α ＝ 60°.
(2)∵cos α ＝ ＝ ,
∴OB ＝ 6× ＝ 3,
∴圆锥的侧面积为π×3×6＝18π.
小试锋芒
练习6.如图, AB为⊙O的直径, ∠ADC＝30°, 则tan∠CAB的值为_____.
大展身手
练习5.在△ABC中, ∠ACB＝135°, AC＝8, D, E分别是边BC, AB上的点,
若tan∠DEA＝2, DE＝, S△BDE＝4.求四边形ACDE的面积.
F
G
答案: 四边形ACDE的面积为20.
谢 谢 观 看
